多项式跳扩散模型

然后Z′t=（Xt，P Yt）满足度（5.4）和（5.9）代替Zt=（Xt，Yt），尺寸e替换为e′。6 L'evy时变通过L'evysubordinator显示，多项式跳变的类别在时变下是不变的。设Xt是E上的多项式跳差 RDG带扩展发电机G。LetZtbe是一个独立的非减量L'evy过程（从属），具有L'evy测度νZ（dζ）和漂移bZ≥ 0，使其生成器为gzf（z）=bZf′（z）+z∞（f（z+ζ）- f（z））νz（dζ）。Ztis定律用ut（dz）表示。一个启发式论证表明，时间变化过程ext=xzt再次是E上的多项式跳跃效应。事实上，对于任何多项式f（x）=（1，H（x），矩公式定理2.5、xt和Zt的独立性以及Ztgive的L'evy性质)~fin Poln（E），E[f（eXT）| eXT]=E[f（XZT）| XZT，Zt，Zt]| XZT]=E[（1，H（XZT）)e（ZT-Zt）G~f | XZt]=（1，H（XZt）)Z∞ezGuT-t（dz）~ f=（1，H（eXt）)e（T-t） eG~f，其中矩阵eG在下面的（6.7）中给出，服从ut（dz）-可积条件。Henceextsatifies力矩公式。然而，如果没有任何进一步的假设，要证明ext是一种跳跃式差异，即使不是不可能，也是非常困难的。假设马尔可夫性，我们可以证明以下结果。定理6.1。假设XT是一个具有过渡Kernel pt（x，dy）的Feller过程，其生成器的域包含C∞c（E），且发电机与c上的G重合∞c（E）。还假设L'e vy测度νZ（dζ）允许e个指数矩，Z∞eζλνZ（dζ）<∞, （6.1）对于G的特征值的实部集合中的任何λ，限制为Pol（E）。那么，时变过程ext=xzt是E上的多项式跳跃微分，是一个具有过渡核的Feller过程pt（x，dy）=Z∞pz（x，dy）ut（dz）（6.2）相对于其自然过滤的通常增强。

其扩展生成器eg f（x）=Tr（ea（x）f（x））+eb（x）f（x）+ZRdf（x+ξ）- f（x）- ξf（x）eν（x，dξ）（6.3）由ea（x）=bZa（x），（6.4）eb（x）=bZb（x）+Z给出∞ZE（y-x） pζ（x，dy）νZ（dζ），（6.5）eν（x，dξ）=bZν（x，dξ）+Z∞{ξ6=0}pζ（x，x+dξ）νZ（dζ）。（6.6）很容易证明Ext是一个半马丁大风，但不清楚其跳跃特性是否仅是当前状态的函数，正如跳跃差异所要求的那样。此外，根据Xt的马尔可夫转移核给出了漂移和跳跃特性sin（6.5）和（6.6）。Poln（E）上G和G的矩阵表示G和G由Eg=bZG+Z关联∞（eζG- id）νZ（dζ）和eteG=Z∞ezGut（dz）。（6.7）备注6.2。定理6.1的证明表明，pt（x，A）和pt（x，x+A）在（t，x）中是可联合测量的∈ [0, ∞) 所有可测量A的X E Rd，具有明显的扩展pt（x，A）=pt（x，A∩E） 。因此（6.2）和（6.6）规定了Rdinto Rd中定义良好的过渡核，对于x，定义为零/∈ E、 备注6.3。理论2.5得出thatZE（y- x）pζ（x，dy）=（1，H（x）)（eζG- id）M其中G i是G在Pol（E）上的矩阵表示，M是矩阵，其第i列是xiin Pol（E）的对应向量表示。鉴于（6.1），（6.5）规定了一个定义良好的一阶多项式漂移函数。备注6.4。Sato（1999，定理25.3）指出，条件（6.1）等价于E[EλZt]=R∞ezλut（dz）<∞ 对于所有t≥ 因此，（6.7）中的积分定义良好。如果E是紧的，则G的所有特征值限制在Pol（E）上都有非正实部，因此（6.1）平凡地成立。以下示例显示，a ffine属性对于L'evy timechange不是不变的。示例6.5。

考虑Ornstein–Uhlenbeck过程ss dXt=-κXtdt+σdWt，这是一个具有正态转移核pt（x，dy）的a ffenefeller过程，平均值为e-κtx和方差σ2κ1.- e-2κt.现在考虑一个i独立的泊松从属函数zt，βZ=0，νZ（dζ）=δ{1}（dζ）。根据定理6.1，L'evy时间变化ju mp diffu si oneXt=XZtis多项式。但如果κ6=0，则extisnot a ffine。实际上，直接集成显示seg eux=ZE（euy- eux）p（x，dy）=e（e-κt-1） ux+C（t）- 1.euxfor C（t）=σu4κ1.- e-2κt, 不属于（3.1）形式。inLi和Linetsky（2014）给出了L'evy时变Orn-stein–Uhlenbeck过程（如例6.5）在商品衍生品定价中的应用。7多项式展开式我们研究金融中的一般定价问题，其可归纳如下。状态空间E上的Xtbe多项式跳跃微分 Rd.可能路径依赖期权的定价归结为计算条件期望it=E[F（X）| Ft]，其中X=P（Xt，…，Xtn），对于某些线性映射P:Rd×n→ Rm，带m≤ d×n，对于某些时间分区0≤ t<t<··<tn，以及Rm上的一些贴现支付函数F（x）。例如，X=（X1，t，…，X1，tn）可能仅取决于m=n的Xt，s的第一个分量。在下文中，我们提出了一种方法，扩展了inFilipovi'c等人（2013）的方法。我们用g（dx）表示X在给定rmft上的正则条件分布。我们让w（dx）是(Ohm, Ft）到Rmthat支配g（dx），似然比表示为l（x） ，使得g（dx）=l（x） w（dx）。（7.1）我们将希尔伯特空间Lw定义为RMF上的可测实函数f（x）的（等价类）集，Lw范数由Kfkw=ZRmf（x）w（dx）给出。相应的标量积为hf，hiw=RRmf（x）h（x）w（dx）。我们假设lw包含Rm上的所有多项式，Pol（Rm） Lw，（7.2），设q（x）=1，q（x），q（x）。

形成Lw中跨越closurePol（Rm）的多项式的正交基。我们还假设似然比函数位于Lw，l ∈ Lw。（7.3）因此，其傅里叶系数lk=hl, qkiw=ZRmqk（x）l（x） w（dx）=E[qk（x）| Ft]（7.4）通过迭代定理2.5中的力矩公式以闭合形式给出。我们最终假设贴现支付函数位于Lw，F∈ Lw。（7.5）我们用F表示Lw中F ontoPol（Rm）的正交投影。然后，初等函数分析得出价格近似值“It=E[”F（X）| Ft]等于“It=ZRm”F（X）g（dx）=\'F，lw=Xk≥0Fklk（7.6），傅里叶系数由fk=h'F，qkiw=hF，qkiw=ZRmF（x）qk（x）w（dx）给出。（7.7）如果预测F等于Lw中的F，则近似值等于真实价格，It=It。这一说法更具理论意义，而非实际意义，原因有二。首先，根据辅助内核w（dx）的选择，我们知道Pol（Rm）在Lw中是稠密的，因此'F=F始终保持不变。其次，在实践中，我们通过截短（7.6）中某个特定阶数K的序列来近似预测，I（K）t=KXk=0Fklk、 （7.8）定价误差为（k）=It-I（K）t.虽然很高兴知道（K）→ 0 asymp toticallyas K→ ∞ 如果Lw中的F=F，那么困难的工作在于控制有限K的误差（K）。近似值I（K）tca的计算可以转换为Rm上的数值积分，I（K）t=KXk=0hF，lkqkiw=ZRmF（x）l（K） （x）w（dx），（7.9）表示似然比近似值l（K） （x）=KXk=0lkqk（x）。请注意，近似值g（K）（dx）=l（K） 量度g（dx）的（x）w（dx）积分为1，g（K）（Rm）=1，因为对于K，qkis与lwk中的q=1正交≥ 1.

但一般来说，g（K）（dx）只是一个有符号的度量。如何选择辅助概率核w（dx）？w（dx）必须满足条件（7.1）–（7.3）和（7.5），而eof（7.3）可以说是实践中最难验证的。下列准则表明，从计算角度来看，w（dx）具有更理想的性质：（i）w（dx）允许闭合形式的Ft条件矩。然后我们得到正交多项式q（x）=1，q（x），q（x）。Lwin闭合形式，无数值积分。实际上，我们让▄q（x）=1，▄q（x），▄q（x）。是Pol（Rm）的任何依据。我们根据w（dx）的Ft条件矩得到了所有标量积hqk，qliw。这允许执行一个精确的Gram–Schmidt正交归一化，我们得到了闭合形式下的正交基POL（Rm）。（ii）傅立叶系数fk存在封闭式公式，计算I（K）t不需要数值积分。例如，参见inAckerer等人（2018）的期权定价；Ackerer和Filipovi\'c（2017年）。否则，必须对w（dx）进行数值积分（7.7）或等效积分（7.9）。这至少应该通过立方法或蒙特卡罗方法进行修正。（iii）w（dx）匹配n阶及以下的g（dx）的动量，RRmxαw（dx）=RRmxαg（dx）对于所有|α|≤ n、 我们已经知道它总是保持f或α=0，所以l= 1、那么lk=RRmqk（x）g（dx）=RRmqk（x）w（dx）=h1，所有k的qkiw=0≥ 1度qk≤ n、 这可以提高近似值（7.8）的收敛性。

Filipovi\'c和Willems（2017年，第3.2节）提出了一种数值有效的方法，用于构建与单变量情况下的前n个矩匹配的概率密度，m=1。在第C节中，我们概述了在应用程序中可能遇到的情况。8多项式资产定价模型在第5节的基础上，我们开发了一个多项式框架，用于调整一大类资产定价模型。它嵌套了所有有效的资产定价模型，受跳跃可积性的约束。首先，我们引入了具有超额对数回报的金融市场模型，该模型是基于非均衡跳跃扩散因子过程的条件L'evy。然后，我们讨论了期权定价和等价度量变化，并提供了收益波动率、交易量和杠杆率的封闭式表达式。8.1有条件的L'evy超额对数回报我们考虑一个具有e个主要资产的金融市场，其价格过程为asSi，t=Si，0ERTRSD+Yi，t，其中RTI是无风险利率，Yt=（Y1，t，…，Ye，t）是Y=0的超额对数回报过程。我们假设Xt是某个状态空间E上的多项式跳差 Rd使得Zt=（Xt，Yt）是一个E×Re值跳跃微分，具有f形式（5.1）的扩展生成器G。也就是说，这是一个传统的L’evy过程。我们遵循公约（5.2）–（5.3）和assu meZRe（eηi- 1.- ηi）νY（x，dη）<∞ 对于所有x∈ E、 i=1，e、 （8.1）然后证明价格过程是具有分解DSI，tSi，t的特殊半鞅-= （rt+i（Xt））dt+dYci，t+ZRe（eηi-1)uY（dη，dt）- νY（Xt-, dη）,式中，Yctdenotes是Yt的连续鞅部分，uY（dη，dt）是与Yt跳跃相关的整值随机测度，超额收益率由i（x）=bYi（x）+aYii（x）+ZRe（eηi）给出- 1.- ηi）νY（x，dη）。我们还没有规定测量值P。

对于衍生品定价，我们假设P是风险中性度量，因此贴现价格过程e-RtrsdsSi，皮雷局部鞅。这是通过为所有x设置i（x）=0来实现的∈ E和i=1，e、 从引理2.2来看，如果Zt=（Xt，Yt）通常是一个多项式跳跃微分，而不是一个函数，则i（x）不能b ezero。下一个结果展示了如何将ZT嵌入到高维多项式跳跃d函数中，使i（x）=0。从定理5.2开始，我们立即省略了它的证明。引理8.1。让n∈ N、 假设（8.1）保持andaY∈ Poln（E），aXY∈ Pol1+n（E），ZRd+Eξαf（η）ν（·，dξ×dη）∈ Pol |α|+n（E），对于所有|α|≥ 0，（8.2）对于所有函数f:Re→ R的积分是有限的。然后可以选择Yi=-aYii公司-ZRe（eηi- 1.- ηi）νY（·，dη）∈ Poln（E），因此E上的i（x）=0，P i是一个风险中性度量，而zt=（H（Xt），Yt）是H（E）×Re上的多项式跳跃微分。8.2期权定价为了说明如何对主要资产的期权进行定价，我们现在假设P是风险中性度量。首先考虑一个欧洲看涨期权，以资产Si、twith strike K和到期日T为基础。其在t=0时的价格由E给出-RTRSD（Si，T- K） +| Fi=Eh（Si，0eYi，T- Ke公司-RTRSD）+Fi。如果无风险利率R具有确定性，则定价操作将简化为计算形式E[（eYi，T）的预期值- c） +| F]，其中c是常数。路径依赖型衍生工具的定价归结为计算形式为E[F（Yi，t，…，Yi，tn）| F]的条件预期，如第7节所讨论的Ztin替代Xt。8.3等价测度变化一般来说，P可以是任何测度，例如真实世界的测度，只要存在局部等价的风险中性测度Q，使得贴现价格过程是Q-局部鞅。这是资产定价模型无套利的标准条件，参见Harrison和Pliska（1981）。

如果P不是风险中性度量，我们指定风险的市场价格，以便Xtisa多项式跳变与相应的风险中性度量。为此，我们确定了时间范围T，并考虑了等效概率度量Q~ P，其中Zt，t∈ [0，T]，isa跳跃扩散，扩散、漂移和ju mp系数aQ（x）、bQ（x）和νQ（x，dζ），给定P系数a（x）、b（x）和ν（x，dζ）asa（x）=aQ（x），b（x）=bQ（x）+a（x）φ（x）+ZRd+e（1- 1/ψ（x，ζ））ζν（x，dζ），ν（x，dζ）=ψ（x，ζ）νQ（x，dζ），（8.3）对于某些Rd+e值函数φ（x）和实函数ψ（x，ζ）>0。其中φ（x）是扩散风险的市场价格，ψ（x，ζ）是与ZT相关的ζ级跳跃事件的风险市场价格。如果所有x的Qi（x）=0，则Q是风险中性度量∈ E和i=1，e、 为了明确测量值的变化，我们将thatEt（L），t∈ [0，T]是一个正鞅（8.4），如果Ztis的连续鞅部分的形式为dZct=σ（Xt）dWt，对于某些布朗运动Wt，anda（x）=σ（x）σ（x）, 然后σ（Xt）φ（Xt）是Wt.fordLt=-φ（Xt）dZct公司-ZRd+e（1- 1/ψ（Xt-, ζ))uZ（dζ，dt）- ν（Xt-, dζ）dtL=0时，其中Zctis是Zt的连续鞅部分，uZ（dζ，dt）表示与Zt跳跃相关的整值随机测度。然后dQ/dP=ET（L）定义了一个等效的概率度量Q~ P、 我们还假设ztzrd+e（kζk∧ kζk）/ψ（Xt，ζ）ν（Xt，dζ）dt<∞. （8.5）Girsanov定理意味着Zt，t∈ [0，T]是（8.3）中给出的具有扩散、漂移和跳跃系数aQ（x）、bQ（x）和νQ（x，dζ）的跳跃微分，见Jacod和Shiryaev（2003，TheoremIII.3.24）。在（8.4）和（8.5）的基础上，假设d+ekζkk/ψ（x，ζ）ν（x，dζ）<∞ 对于所有x∈ E和allk≥ 2.

让GQdenote在Q下生成zt，使gqf（z）=G f（z）- φ（x）a（x）f（z）-ZRd+e（f（z+ζ）- f（z）（1）- 1/ψ（x，ζ））ν（x，dζ）。由于G在Pol（E×Re）上定义良好，因此Lemma。2意味着GQI在Pol（E×Re）上定义良好。在个案的基础上，现在可以直接从（8.3）和引理2.2推导条件，例如Xt，t∈ [0，T]是Q下的多项式跳跃微分，引理8.1适用；所以Q是一个风险中性度量，Zt=（H（Xt），Yt），t∈ [0，T]是H（E）×Reunder Q.8.4波动率、Vol of Vol和LeverageThe spot variance vi（Xt）上的多项式跃变差-) 在第i个超额对数返回dYi中，定义为其四次比率变化的可预测补偿器的时间导数[Yi，Yi]t（修改的第二特征），给出了yvi（x）=Γ（Yi，Yi）（x）=aYii（x）+ZReηiνY（x，dη），其中Γ表示与G相关的carr'e-du-champ算子（见A节）。dYi的波动率定义为其即期方差voli（Xt）的平方根-) =pvi（Xt-).vol的vol定义为波动过程voli（Xt）和voli（Xt）的即期方差的平方根-) =pΓ（卷，卷）（Xt）-).杠杆效应是指dYi与其即期方差dvi（Xt）变化之间的负相关。

它由可预测补偿器的时间导数捕获。该假设要求φ（x）和ψ（x，ζ）>0是可测量的，并且这样的th atZTφ（Xt）a（Xt）φ（Xt）dt+ZTZRd+e1.-p1/ψ（Xt，ζ）ν（Xt，dζ）dt<∞,所以Lt，t∈ [0，T]是一个定义良好的局部鞅，seeJacod和Shiryaev（2003，定理II.1.33d）。Yi、tand vi（Xt）、levi（Xt）之间的二次协变-) =Γ（彝语，vi）（Xt）-)pvi（Xt-)pΓ（vi，vi）（Xt）-).请注意，在存在ju mps的情况下，跳跃度量νY（x，dη）以及即期方差、波动率、vol of vol和杠杆率取决于度量P，因此我们区分风险中性和真实世界波动率、vol of vol和杠杆率。9线性波动率我们在线性SDE（2.8）–（2.9）的基础上引入了一大类多项式资产定价模型，扩展了示例5.1。在本节中，我们假设P是风险中性度量。这是一个标准的m维布朗运动。设N（du，dt）为泊松随机测度，对于一些标记空间U，在U×R+上具有补偿器F（du）dt。我们假设Xt是线性SDEdXt的E值解=bX（Xt）dt+σX（Xt）dWt+ZUδX（Xt-, u） （N（du，dt）- F（du）dt），（9.1），其中漂移、波动和跳跃大小函数bX（x）、σx（x）和δx（x，u）在x形式（2.9）下是线性的，对于某些状态空间E Rd.然后，我们指定超额日志返回bydYt=bY（Xt）dt+σY（Xt）dWt+ZUδY（u）（N（du，dt）- F（du）dt），（9.2），漂移（x）待确定，使得P为风险中性度量。对于参数ΓYi，波动率函数为线性，σY（x）=ΓY+dXi=1xiΓYi∈ Re×m，i=0，d、 Yt的跳跃由状态无关的jumpsize函数δY（u）捕获，可以与Xt的j umps隔离或同时进行。我们假设th在pushf或δY方向*δY（u）满足度（8.1）下F（du）的F（dη），ZUeδYi（u）- 1.- δYi（u）F（du）<∞ 对于所有i=1，e