多项式跳扩散模型

（9.3）jum p-diffusionzt=（Xt，Yt）发生器的结果系数a（x），b（x）和ν（x，dξ×dη）是x的函数，由a给出=σXσXσXσYσYσXσYσY∈ Pol（E），b=bXbY公司,一些作者将即期方差、波动率、成交量和杠杆率的定义限制在dYi、TF的不同组成部分，这在两种衡量标准下是相同的。泊松随机测度N（du，dt）和布朗运动wt是自动独立的，seeIkeda和Watanabe（1989，定理II.6.3）。与XT跳跃同时发生的YT状态相关跳跃将违反结构条件（8.2）。带bX∈ Pol（E），and zrd+ef（ξ，η）ν（x，dξ×dη）=ZUf（δx（x，u），δY（u））F（du）。通过检查，n=2时满足引理8.1的假设。因此，我们可以设置一个=-aYii公司-祖eδYi（u）-1.- δYi（u）F（du）∈ Pol（E），因此P是一个风险中性指标，如所需，Zt=（Xt，Yt）满足5.2中n=2的属性（5.4）–（5.8）。这是一个关于（Xt，Yt）的N（du，dt）驱动的j泵规格的示例。示例9.1。设U=U∪U∪···∪Ukfor成对不相交集Ujsuchλj=F（Uj）<∞.然后，Nj，t=N（Uj×[0，t]）是强度为λj的独立泊松过程，对于j=0，…，k。定义u的分段常数δX（X，u）=0∈ u和δX（X，u）=δX+Pdi=1xiδxiju∈ Uj，j=1，k、 对于某些参数δX，δXij∈ Rd.然后（9.1）中的N（du，dt）驱动跳跃项读取szuδX（Xt-, u） （N（du，dt）- F（du）dt）=kXj=1δ+dXi=1Xi，t-δXij！（dNj，t- λjdt）。（9.2）中的N（du，dt）驱动的j ump项相应地为ztzuδY（u）（N（du，ds）- F（du）ds）=kXj=0Xi∈NH（i）j{i≤Nj，t}- E[H（1）j]λjt！其中δY（u）是u上满足（9.3）的任何跳跃大小函数，H（i）是相互独立的重估随机变量，与泊松过程N0，t。

，Nk，tand布朗运动Wt，使得H（i）jhas分布由F（u）/λjunder的向前推给出，在那里，严格的δY | Uj，即E[F（H（i）j）]=RUjf（δY（u））F（du）/λj，对于i∈ N和j=0，k、 注意，N0、tD驱动Yt的独立跳跃。另一方面，如果H（i）j=0，对于某些j=1，…，Nj，t驱动Xtif H（i）j=0的孤立跳跃，线性扩散波动率模型的示例包括扩展的Stein-Stein模型（Stein和Stein，1991；Sch¨obel和Zhu，1999）和扩展的Hull-White模型（Hull和White，1987；Lions和Musiela，2007），Ackerer和Filipovi\'c（2017）对此进行了详细讨论。10结论基于扩展生成器对多项式的逐点作用，我们开发了一个松弛半鞅背景下多项式跳跃微分的数学框架，而不是马尔可夫设置。我们建立了各种特征，包括矩公式和关于多项式变换的不变性以及L'evy时间变化。我们还重新讨论了relaxedcontext中嵌套在多项式类中的一个函数跳跃差异。然后，我们构建了一大类基于多项式跳跃差分的新型资产定价模型，并提出了一种期权定价的通用方法。这些结果为新的资产定价模型提供了基础。有几个扩展是可能的，留待将来研究。这包括离散时间和时间非齐次多项式跳变差。Carr'e-du-champ运算符let Xtbe在Rdof表（2.1）上使用扩展生成器G进行跳跃微分。

与G密切相关的对象是carr'e-du-champ算子，它是由Γ（f，G）（x）=G（fg）（x）给出的双线性算子- f（x）G G（x）- g（x）gf（x）（A.1）对于rdzrd（h（x+ξ）上的任意函数f（x）和g（x）- h（x））ν（x，dξ）<∞ 对于所有x∈ rdh=f，g。使用乘积规则，可以用a（x）和ν（x，dξ）表示Γ（f，g）（x）=f（x）a（x）g（x）+ZRd（f（x+ξ）- f（x））（g（x+ξ）- g（x））ν（x，dξ）。（A.2）尤其是Γ（f，f）≥ 当扩展生成器捕捉到过程f（Xt）的漂移时，carr'e-du-champ算子给出了关于f（Xt）二次变化的信息。引理A.1。ztΓ（f，g）（Xs）dsd给出了二次协变[f（X），g（X）]的可预测补偿器，用于Rd上的任意函数f（X）和g（X），使得ztzrd | f（Xs+ξ）- f（Xs）| | g（Xs+ξ）- g（Xs）|ν（Xs，dξ）ds<∞. （A.3）证明。鉴于Jaco d和Shiryaev（2003，定理I.4.52）以及dhXc，Xcit=a（Xt）dt这一事实，我们有[f（X），g（X）]t=Ztf（Xs）a（Xs）g（Xs）ds+Xs≤t（f（Xs）- f（Xs-))（g（Xs）- g（Xs-)).现在的结果来自（A.2）和Jacod和Shiryaev（2003，定理II.1.8）。在carr'e-du-champ算子的帮助下，我们可以将G的性质限定在Pol（e）上，以用于某些状态空间e 引理A.2。假设G在Pol（E）中定义良好。让f∈ E.Thena（x）上f（x）=0的Pol（Rd）f（x）=0和rrd（f（x+ξ）- f（x））ν（x，dξ）=0。我们在E上有f（x）=0，所以（A.1）意味着在E上有Γ（f，f）（x）=0∈ Sd+，则此困境源自标识（A.2）。B跳跃微分的多项式变换对于某些状态空间E，我们将Xt设为具有形式（2.1）的扩展生成器G的E值跳跃微分 Rd.根据技术条件，我们再次展示了Xtis的可逆多项式变换，并确定了其扩展生成器。引理B.1。

Let^1：Rd→ Rkbe是一个多项式映射，它在E上允许一个可测逆，在这个意义上，存在一个可测映射ψ：Rk→ Rd使得ψo ^1=E上的id。假设G在Pol（E）上定义良好，即（2.3）和（2.4）保持。还假设过程Xt=Д（Xt）是一个特殊的半鞅。则X是一个带扩展生成器G=ψ的跳跃微分*G^1*, 在Pol（Д（E））中有明确定义。其形式为f（x）=Tr（a（x）f（x））+b（x）f（x）+ZRkf（x+ξ）- f（x）- ξf（x）ν（x，dξ），其中，对于ν（x）的第i个分量，写入x=Д（x）和Дi（x），aij（x）=^1i（x）a（x）^1j（x）,bi（x）=GДi（x），ν（x，A）=ZRkA（Д（x+ξ）- ν（x））ν（x，dξ）。证据Sin-ceXtis是一个特殊的半鞅，Kallsen（2006，命题3）结合adirect计算表明，它是一个扩展generatorG=ψ的跳跃微分*G^1*所述形式的。特别是，跳跃度量满足Zrkkξknν（x，dξ）=ZRdkД（x+ξ）- ν（x）knν（x，dξ），其中x=Д（x），这是每个x的定义∈ 由于（2.3）和由于（x）是多项式，所以。最后，如果f∈ Pol（Rk）在ν（E）上消失，然后*f∈ Pol（Rd）在E上消失，因此为G^1*f在（2.4）视图中也在E上消失，因此G f在Д（E）上消失。因此，G在Pol（Д（e））上定义良好。C局部绝对连续测度变化我们勾勒出一种可能发生在应用程序中的情况，以选择满足假设（7.3）的辅助概率核w（dx）。设Q是一个概率测量值，它相当于每个Ft上的P，具有Radon Nikodym densityDt。我们将w（dx）定义为给定Ft的X的Q-正则条件分布。然后（7.1）保持由Dtm/DtgivenFt的Q-正则条件分布给出的似然比函数∨ σ（X），l（x） =相等D*****t | Ft，X=X, （C.1）回拨在（1.1）中定义。其中，如果Dt=0，则设置Dtm/Dt=0。

的确，设f（x）是Rm上的一个边界可测函数。取条件期望给定szrmf（x）g（dx）=EP[f（x）| Ft]=等式f（X）DtmDt | Ft= 均衡器均衡器f（X）DtmDt | Ft∨ σ（X）| 英尺= 公式[f（X）l（十） | Ft]=ZRmf（X）l（x） w（dx），证明了权利要求（C.1）。似然比函数满足估计值l（x） w（dx）=EQ“EQDtmDt |英尺∨ σ（X）| 英尺#≤ EQ“DtmDt公司| 英尺#。（C.2）（C.2）中的界限非常尖锐，以至于Dtm/Dtm可以是Ft∨σ（X）-可测量，因此我们在（C.2）中具有等式。估算值（C.2）可用于验证假设（7.3）。在实践中，我们可以通过模拟Xtunder Q来近似w（dx），即给定Ft的Q-正则条件分布。具体而言，我们可以通过（嵌套）蒙特卡罗方法估计（7.7）中的傅里叶系数fk=EQ[qk（X）F（X）| Ft]（C.3）。这涉及财产（ii）。如果我们进一步假设x是关于Q的多项式跳跃微分，那么w（dx）允许闭合形式的Ft条件矩，如性质（i）所示。D证明本附录包含主要文本中引理和定理的证明。D、 1定理的证明2.5定理2.5的证明建立在以下四个引理的基础上。引理D.1。局部鞅性质（2.2）适用于RdsatisfyingVt=ZtZRd上的任何c函数f（x）f（Xs+ξ）- f（Xs）- ξf（Xs）ν（Xs，dξ）ds<∞. （D.1）证明。属性（D.1）表示VTI位于+loc。引理现在来自Jacod和Shiryaev（2003，定理II.1.8和定理II.2.42的证明）。在本节的其余部分，我们假设G是E上的多项式，我们让f∈ Poln（E）。然后进程mft=f（Xt）- f（X）-ZtG f（Xs）数据定义良好。引理D.2。MFT是局部鞅。证据在LemmaD看来。1（D.1）所包含的内容就足够了。但W（x，ξ）=f（x+ξ）-f（x）- ξf（x）是单项式xβξγ与2的线性组合≤ |γ| ≤ n、 因此| W（x，ξ）|≤C（x）kξk+kξk2n对于某些多项式C（x）。

现在（D.1）遵循引理2.2。引理D.3。对于任何k∈ N有一个有限常数C，使得e[1+kXtk2k | F]≤1+kXk2keCt，t≥ 0.证明。我们回顾了Inuchiero等人（2012，定理2.10）或Filipovi\'c和Larsson（2016，引理B.1）的论点。设f（x）=1+kxk2k，且C为有限常数，使得| G f（x）|≤ Cf（x）在E上。这样一个常数由G的多项式性质存在。让0≤ T≤ T≤ ··· 是局部鞅Mft的局部序列，参见Lemm a D.2，这样kXtk≤ m表示t<Tm。ThenE[f（Xt∧Tm）| F]=F（X）+EZt公司∧TmG f（Xs）ds | f≤ f（X）+CZtE[f（Xs∧Tm）| F]ds。Gronwall不等式和Fatou引理现在得出了结果。引理D.4。对于任何有限元c，过程Mft{kXk≤c} 是鞅。证据让c b e是一个有限的数字。那么Nft=Mft{kXk≤c} 是LemmaD的局部鞅。2具有二次变化[Nf，Nf]t=[f（X），f（X）]t{kXk≤c} 。我们声称其可预测补偿由HNF给出，Nfit=ZtΓ（f，f）（Xs）ds1{kXk≤c} 。事实上，在伦玛看来。1只要（A.3）适用于g=f，则该权利要求如下。但W（x，ξ）=（f（x+ξ）-f（x））是单项式xβξγ与2的线性组合≤ |γ| ≤ 第2条。因此| W（x，ξ）|≤C（x）kξk+kξk2n对于某些多项式，C（x）和（A.3）遵循Lemma 2.2。通过（A.1），Γ（f，f）（x）是E上的多项式。结合引理D.3，我们推断E[hNf，Nfit]<∞ 对于所有t≥ 0，因此Nftis是平方可积鞅。现在我们证明了定理2.5。固定固定c和t≥ 通过引理D.4，行向量值函数F（T）=E[（1，H（XT）)1{kXk≤c} | Ft]T的满意度≥ tF（T）=（1，H（Xt）)1{kXk≤c} +ZTtE[G（1，H)（Xs）1{kXk≤c} | Ft]ds=F（t）+ZTtF（s）G ds。因此E[（1，H（XT））) | Ft]1{kXk≤c} =F（T）=（1，H（Xt）)e（T-t） G{kXk≤c} 。定理2.5接下来让c↑ ∞ .D、 2引理的证明3.2我们首先假设0∈ E的a ffene跨度是Rd的全部。假设G是a ffene。

简单的计算表明G eux个=ua（x）u+b（x）u+ZRd欧盟ξ- 1.- uξν（x，dξ）欧盟通过假定的关系式（3.1），我们得到f（u）+R（u）x=ua（x）u+b（x）u+ZRd欧盟ξ- 1.- uξν（x，dξ）对于所有x∈ E、 u型∈ 税务局。（D.2）我们声称F（u）和R（u）的形式为（3.3）。自0起∈ E、 对于F（u），设置a=a（0），b=b（0），ν（dξ）=ν（0，dξ）。接下来，由于E的a ffne跨度都是Rd，因此存在数字λ，λdwithPdk=1λk=1，点x，除息的∈ E使得λx+···+λdxd=E，第一个标准单位向量。计算x=xk时（D.2）的两侧，乘以λk，求k的和，并使用F（u）的形式，得出R（u）的形式为（3.3），其中a=dXk=1λka（xk）- a、 b=dXk=1λkb（xk）- b、 ν（dξ）=dXk=1λkν（xk，dξ）- ν（dξ）。相同的参数表明R（u），Rd（u）也是形式（3.3）。有待证明（3.2）。给定刚刚得到的F（u）和R（u），很明显，取（3.2）中的a（x），b（x），ν（x，dξ）与（d.2）是一致的。此外，对于每个固定的x∈ E、 知道（D.2）的右侧对于所有u∈ Ird唯一确定a（x），b（x），ν（x，dξ）；参见Jacod和Shiryaev（2003，Lemma II.2.44）。因此，（3.2）事实上是唯一的可能性，完成正向证明。反之，假设a（x），b（x），ν（x，dξ）的形式为（3.2）。计算结果表明，G满足度（3.1），F（u）和R（u）由（3.3）给出，因此是有效的。在一般情况下，其中0/∈ 或者E的a ffene跨度不是Rd，我们应用可逆a ffene变换T:Rd→ rD，以便0∈ 对于某些d′，T（E）的a ffene跨度为Rd′×{0}≤ d、 在这些新坐标系中，我们将对应的ai、bi和νi（dξ）设置为零，使i>d′，然后通过T-1.D.3理论证明3.4确定f（t，x）=exp（φ（t- t） +ψ（t- t）x） 复值过程Mt=f（t，Xt）。

然后（3.5）产生| Mt |≤ 此外，使用（3.4）的计算结果tf（t，x）+gf（t，x）=0，0≤ t型≤ T、 x个∈ E、 其中G分别作用于f（t，·）的实部和虚部。因此，MT是[0，T]上的鞅，MT=exp（uXT）。a ffine trans form公式现在只是等式Mt=E[Mt | Ft]。D、 4引理证明4.1引理证明4.1建立在以下引理的基础上。引理D.5。任意多项式p∈ 对于某些f，Polmn（E）的形式为p（x）=f（H（x））∈Polm（H（E））。证据必须考虑带|α|的单项式p（x）=xα≤ 明尼苏达州。通过检验发现，对于某些多指标αi，α=α+···+αk∈ Ndwith |αi |≤ n、 因此，对于某些线性多项式fi，E上的xαi=fi（H（x））∈ Pol（RN），对于每个i。我们推导出E上的p（x）=mYi=1xαi=f（H（x）），其中f（x）=Qmi=1fi（x）最多为m。我们现在证明了L emma 4.1。如果函数f:RN→ R在H（E）上消失，然后H*f（x）=f（H（x））在E上消失。因此H*定义为从Pol（H（E））到Pol（E）的映射，并且与逆L呈线性关系*. 很明显，H*将每m的Polm（H（E））映射到Polmn（E）∈ N、 看到我*mapsp∈ 对于Polm（H（E））中的一个元素，观察p（x）=f（H（x）），对于某些f∈ 由引理D.5得到的Polm（H（E）），因此*p（x）=f（H（L（x）））=f（x）。这证明了引理4.1。D、 5定理的证明4.2由于Xt是引理D.2的特殊半鞅，引理B.1暗示Xt是扩展generatorG=L的H（E）值跳跃微分*G高*, 这在Pol（H（E））中有很好的定义。引理4.1意味着G是H（E）上的多项式，图（4.2）可以相互转换。这完成了定理4.2的证明。D、 6定理的证明5.2定理5.2的证明建立在以下引理的基础上。引理D.6。假设（5.4）。然后，增广过程ss Zt=（H（Xt），Yt）是H（E）×倒带扩展生成函数=ψ的跳跃微分*G^1*, 算子G和G分别在Pol（E×Re）和Pol（H（E）×Re）上定义良好。证据

我们首先证明G在Pol（E×Re）上定义良好。由于（5.4），我们只需要验证（2.4）。设f（x，y）是在E×Re上消失的多项式th。收集y中的单项式表示f（x，y）=xβpβ（x）yβ，对于Rd上的许多多项式pβ（x）。对于每个固定x∈ E、 f（x，y）是零多项式onRe，因此pβ（x）=0表示所有β。因此，我们可以假设f（x，y）=p（x）q（y），其中p（x）在E上消失，q（y）=yβ。一个hasG（pq）（x，y）=p（x）G q（x，y）+q（y）G p（x，y）+Γ（p，q）（x，y）。任何x的第一项为零∈ E、 S o是第二项，因为G p（x，y）=GXp（x），GXiswell定义在Pol（E）上。对于第三项，请注意carr'e-du-champ算子是双线性和正半无限的，因此满足Cauchy-Schwarz不等式。即|Γ（p，q）（x，y）|≤ Γ（p，p）（x，y）Γ（q，q）（x，y）。但Γ（p，p）（x，y）=Γx（p，p）（x）=0，因为G在Pol（E）上定义得很好。因此，G（pq）（x，y）=0 1×Re，我们推断G在Pol（E×Re）上定义良好。其次，由于H（Xt）是Lemm a D.2给出的一个特殊半鞅，而Ytis是一个特殊的半鞅，因此Ztis也是一个特殊的半鞅。因此，由于G在Pol（E×Re）上定义得很好，因此它源自LemmaB。1表示zt是一个跳转差，扩展generatorG=ψ*G^1*, 这在Pol（H（E）×Re）中有很好的定义。现在我们证明定理5.2。由于引理D.6，仍然需要证明（5.5）–（5.8）一起意味着（5.9），相反，（5.9）意味着（5.5）、（5.6）和（5.8），α=0。为此，我们利用定理5.6。我们首先假设（5.5）–（5.8）成立，并证明定理5.6中的性质（i）。修复m∈ N并考虑任何单项式f（z）=f（x，y）=xαyβ和|α|≤ n（米- |β|）和|β|≤ m、 我现在在Vm里。有必要证明G f再次位于Vm中。

设eaX（x）、eaXY（x）和eaY（x）表示G的修改后的第二个特征，即eaX（x）=aX（x）+ZRdξνX（X，dξ），eaY（X）=aY（X）+ZRd+eηην（x，dξ×dη），eaXY（x）=aXY（x）+ZRd+eξην（x，dξ×dη）。此外，写xf（x，y）用于f（x，y），s通常表示yf（x，y），xxf（x，y），xyf（x，y），和yyf（x，y）。然后我们得到f（x，y）=TreaX（x）xxf（x，y）+ Tr公司eaXY（x）xyf（x，y）+Tr公司eaY（x）yyf（x，y）（D.3）+bX（x）xf（x，y）+bY（x）yf（x，y）（D.4）+ZRd+ef（z+ζ）- f（z）- ζf（z）-ζf（z）ζν（x，dζ）。（D.5）首先考虑（D.3）。自从xxf（x，y）=yβ（xα）且由于GXis多项式，第一个端点（D.3）在x和y中最多为|α|和|β|，因此位于Vm中。下一个xyf（x，y）最多为|α|-1英寸x和|β|-y中的1，与（5.7）一起表示第二个端子（D.3）的度数最多为n+1+|α|- 1=n+|α| in x和|β|- 1在y中。因此，该术语也存在于Vm中。最后yyf（x，y）在x和β中的度数最多为|α|和|β|- y中的2，这与（5.6）一起意味着（D.3）中的第三项在x中的度数最多为2n+|α|和|β|- y中的2。这再次产生Vm中的成员身份。现在考虑一下（D.4）。自从xf（x，y）=yβ（xα）且由于GXis多项式，第一个端点（D.4）在x和y中最多为|α|和|β|，因此位于Vm中。与上述类似，第二项也位于Vmdue to（5.5）中。最后考虑一下（D.5）。从多重二项式定理可以看出，括号中的表达式是单项式xγyδξην与|γ|+||的线性组合≤ |α|, |δ| + |υ| ≤ |β|，和||+|Д|≥ 因此（D.5）是形式xγyδZRd+eξην（x，Dξ×Dη）表达式的线性组合。由于（5.8），这些表达式在x和y中最多为|γ|+||+n |Д|和|δ|次多项式。由于|γ|++n |Д|+n |δ|≤ |α|+n |β|≤ nm，因此（D.5）位于Vm中。