合格投资者最优投资组合的存在性、唯一性和稳定性

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英文标题：
《Existence, uniqueness and stability of optimal portfolios of eligible
  assets》
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作者：
Michel Baes, Pablo Koch-Medina, Cosimo Munari
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In a capital adequacy framework, risk measures are used to determine the minimal amount of capital that a financial institution has to raise and invest in a portfolio of pre-specified eligible assets in order to pass a given capital adequacy test. From a capital efficiency perspective, it is important to identify the set of portfolios of eligible assets that allow to pass the test by raising the least amount of capital. We study the existence and uniqueness of such optimal portfolios as well as their sensitivity to changes in the underlying capital position. This naturally leads to investigating the continuity properties of the set-valued map associating to each capital position the corresponding set of optimal portfolios. We pay special attention to lower semicontinuity, which is the key continuity property from a financial perspective. This \"stability\" property is always satisfied if the test is based on a polyhedral risk measure but it generally fails once we depart from polyhedrality even when the reference risk measure is convex. However, lower semicontinuity can be often achieved if one if one is willing to focuses on portfolios that are close to being optimal. Besides capital adequacy, our results have a variety of natural applications to pricing, hedging, and capital allocation problems.
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中文摘要：
在资本充足率框架中，风险度量用于确定金融机构为通过给定的资本充足率测试而必须筹集和投资于预先指定的合格资产组合的最低资本额。从资本效率的角度来看，重要的是要确定一组合格资产的组合，这些资产可以通过筹集最少的资本来通过测试。我们研究了这种最优投资组合的存在性和唯一性，以及它们对基础资本状况变化的敏感性。这自然会导致研究集值映射的连续性属性，该映射与每个资本头寸以及相应的最优投资组合集相关联。我们特别关注下半连续性，这是从财务角度来看的关键连续性。如果测试基于多面体风险度量，则始终满足此“稳定性”属性，但一旦我们离开多面体，即使参考风险度量是凸的，它通常也会失败。然而，如果一个人愿意专注于接近最优的投资组合，通常可以实现较低的半连续性。除了资本充足率，我们的结果对定价、对冲和资本配置问题也有各种自然的应用。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Existence,_uniqueness_and_stability_of_optimal_portfolios_of_eligible_assets.pdf (359.46 KB)

2022-6-8 15:38:52 上传

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关键词：合格投资者 投资组合 稳定性 投资者 存在性

合格资产最优组合的存在性、唯一性和稳定性苏黎世ETH Michel BaesDepartment of Mathematics，Switzerlandmbaes@math.ethz.chPablo科赫·梅迪纳，科西莫·穆纳里安金融保险中心和瑞士苏黎世大学金融研究所，瑞士巴勃罗。koch@bf.uzh.ch，科西莫。munari@bf.uzh.chJanuary2018年3月摘要在资本充足性框架中，风险度量用于确定金融机构必须筹集和投资预先指定的合格资产组合的最低资本量，以通过给定的资本充足性测试。从资本效率的角度来看，重要的是通过筹集最少的资本来确定合格资产组合的集合，以通过测试。我们研究这种最优投资组合的存在性和唯一性，以及它们对潜在资本头寸变化的敏感性。这自然会导致研究集值dmap的连续性属性，该集值dmap与每个资本头寸以及相应的最优投资组合集相关联。我们特别关注下半连续性，这是从财务角度来看的关键连续性。如果测试基于多面体风险度量，则该“稳定性”属性总是令人满意的，但一旦我们脱离多面体，即使参考风险度量是凸的，它通常也会失败。然而，如果一个人愿意专注于接近最优的投资组合，通常可以实现较低的半连续性。

除资本充足率外，我们的结果对定价、对冲和资本配置问题有着各种自然的应用。关键词：资本充足率、风险度量、最优合格资产、下半连续性。数学学科分类：91B30，91B321简介本论文研究的是一类集值映射，它在数学金融的几个领域中发挥着自然而重要的作用。出于不确定性，我们介绍了我们的数学设置，重点是一个特定的应用领域，即资本充足率。与其他财务问题的联系如下图所示。监管机构要求金融机构持有充足的资本金，以保护负债持有人在发生严重未预期损失时免受违约风险的影响。机构发行的资本基础是否由监管资本充足率测试确定，监管资本充足率测试通常基于价值风险（巴塞尔协议2-3，偿付能力2）或预期缺口（Ba sel 4，瑞士偿付能力测试）。与此测试相关的是一个风险度量或资本要求规则，该规则确定了一个机构为了通过监管机构y测试而必须筹集的最低资本额。然而，这一最低数额将取决于一旦筹集资金后如何进行投资。因此，只有在规定了一组可接受的投资后，风险度量作为确定资本要求的规则才有意义。根据Artzner等人（1999）在总结论文中描述的原始框架，大部分关于风险度量的文献都是明确或隐含的，该募集资金以现金形式持有，或投资于单一预先指定的交易资产，使用Artzner等人（2009）的语言，我们称之为合格资产。

从实践的角度来看，找到这些问题的答案至关重要，因为要使资本制度有效运作，必须确保管理者知道他们可以采取哪些行动来满足资本要求，并且这些行动对于错误估计是稳健的。定价、套期保值和资本配置的应用上述问题与数学金融的其他各种领域相关。在不完全市场定价的背景下，其中元素X∈ X被解释为不可复制金融合同的支付，数量ρ(-十） =inf{π（Z）；Z∈ M、 Z- 十、∈ A} 可以自然地视为价格（从卖家的角度）。在这种情况下，acceptanceset A的元素表示可接受的复制错误。如果A是X的正元素集（providedX是部分订购的），那么我们可以获得标准的超级复制价格。如果A还包含非积极因素，因此impe-rfect superreplication可能是可接受的，那么我们将在可接受风险下的好交易定价框架内；参见Cochrane和Saa Re quejo（2000）、Carr等人（2001）和Jaschke andK¨uchler（2001）。这种定价方法最近在Madan和Cherny（2010）开发的二次曲线融资框架中再次受到关注。我们还参考了Arai和Fukasawa（2014）。本文研究的风险度量自然会在一系列与套期保值相关的风险最小化问题中产生一个lso。要看到这一点，让X是一个包含常数的随机变量空间，并假设X∈ X表示给定的未来风险敞口。

然后，可以将ρ重写为ρ（X）=inf{ρA（X- Z+π（Z））；Z∈ M} ，其中ρA:X→R是由ρA（X）=inf{m定义的简单（基于现金的）单一资产风险度量∈ RX+m∈ A} 。这表明ρ（X）可以解释为风险指数k的最低水平，由ρA衡量，在该水平下，我们可以通过建立合格资产组合来确保风险敞口X。还要注意ρ（X）=inf{ρA（X- Z）- π（Z）；Z∈ M} ，表明ρ可以表示为ρa和-π（通过设置π（X）=-∞ 无论何时X/∈ M） 。关于通过风险最小化进行套期保值的详细讨论以及在此背景下的错误卷积的作用，我们参考了B arrieu和El Karoui（2009年）及其参考文献。例如，Jouini等人（2008年）和Filipovi\'c和Svindland（2008年）研究了风险度量s的错误卷积。我们还参考了R¨uschendorf（2013）中的全面讨论。最后，我们强调ρ形式的泛函最近已在资本分配和系统风险的背景下进行了研究。在这种情况下，人们将X的元素解释为d维区域向量，其中组件代表d金融实体（不同的公司、单个公司的子公司、不同的办公桌）的资本头寸。类似地，M的元素被解释为d维随机向量，由合格的支付组成（原则上可以考虑合格资产的不同空间，包括不同的组成部分），π由各个定价函数的总和给出。在这些规范下，数量ρ（X）=inf（dXi=1πi（Zi）；（Z，…，Zd）∈ M、 （X+Z，…，Xd+Zd）∈ A） 代表必须在系统的各个实体之间以合法资产组合的形式筹集和分配的最小资本量，以确保可接受性。

Biagini等人（2015年）研究的系统性风险度量具有上述形式。Feinstein等人（2017）在系统性风险框架中引入的有效现金不变分配规则也与上述功能有关。Molchanov和Cascos（2016年）使用了多种多变量位置的接受集。Hamelet等人（2013年）处理了与基于预期短缺的独立可接受性相对应的特殊情况。Armenti等人（2017年）对多变量s-hortfall风险进行了深入研究。我们的贡献虽然风险度量本身的属性已经受到了详细的审查，但上述四个问题在风险度量文献中还没有得到系统的解决。在使用单变量头寸风险度量进行套期保值和资本配置的背景下，建立了各种结果，即最优支付的存在性（精确性）和唯一性；见Barrieu和El Karoui（20 09）及其参考文献。本文全面讨论了一般位置空间的存在性和唯一性，从而也包括了多元情况。然而，据我们所知，这篇论文最重要也是最新颖的贡献在于对稳定性这一关键问题的研究。这个问题构成了一个典型的非优化问题，更具体地说是在参数优化子领域；参见e.g.B ank et al.（1983）及其参考文献。

在这里，可以通过关注约束集映射f:X来描述问题=> 定义为f（X）={Z∈ MX+Z∈ A} 。风险度量ρ和最优支付图E可以用图F表示为ρ（X）=inf{π（Z）；Z∈ F（X）}和E（X）={Z∈ F（X）；π（Z）=ρ（X）}。因此，风险度量ρ对应于极值函数和最优支付映射E到最优集映射。最优集映射连续性性质的研究是参数优化中经常出现的一个主题，它被称为定性稳定性或摄动分析。众所周知，在稳定性或连续性的各种概念中，下半连续性的性质是最具挑战性的。不幸的是，事实证明（少数）关于下半连续性的标准结果都不能应用于我们的设置；se e备注5.8。然而，从财务角度来看，关键属性恰恰是下半连续性，因为它确保了基础头寸的小扰动不会导致最优投资组合结构的显著变化。为了解决稳定性问题，我们不得不开发各种新的结果，利用我们的最优集映射的特殊结构。本文的结构如下。在第2节中，我们将介绍底层模型空间并列出一些相关示例。在第3节中，我们讨论了最优支付映射的基本性质。第4节讨论了最优支付的存在性和唯一性问题。尤其是，位置4.2和推论4.4强调了存在与不存在（可扩展）好交易之间的联系。第5节专门讨论稳定性问题。在重点讨论了外半连续和上半连续之后，我们对下半连续的关键性质进行了全面的讨论。

如许多示例所示，即使存在公共接受集，下半连续性也可能失败。然而，根据定理5.11，如果选择的接受集是多面体，我们总是具有下半连续性。在本节的最后一部分中，我们放松了最优性条件，并将重点放在接近最优的支付上。作为orem 5.21的结论，我们能够为接近最优的支付映射建立几个低于半连续的有效条件。2基本模型空间在本节中，我们描述了我们的头寸空间模型和合格支付空间，并介绍了一些符号和术语。为了覆盖文献中提到的所有单变量和多变量位置的特殊空间，我们在一个抽象空间中工作。这也有助于突出问题的基本数学结构。头寸空间我们考虑一个单期模型，其中，期末的财务头寸由R上的Hausdorff拓扑向量空间的元素表示，我们用X表示。我们假设X是第一个可数且局部凸的。这意味着X的每个元素都允许一个由凸集组成的可数邻域基。特别地，X可以是任何赋范空间。X的拓扑对偶用X′表示。集合a的内部、闭包和边界 X分别用int A、cl A和bd A表示。我们说当X∈ A表示λX∈ 每λ为A∈ [0, 1]. 如果λX+（1），则称集合A是凸的- λ） Y型∈ A表示任意X，Y∈ A和λ∈ [0，1]和一个锥，如果λX∈ 任何X∈ A和λ∈ [0, ∞). 此外，我们还说，t A是严格凸的w hene verλX+（1- λ） Y型∈ 所有λ的int A∈ （0，1）和任何不同的X，Y∈ A、 显然，每个包含零的凸集都是星形的。类似地，每个（不一定是凸的）圆锥体都是星形的。

包含A的最小凸集称为A的凸集，用co A表示。包含A的最小圆锥称为A的圆锥壳，用圆锥A表示。A的圆锥壳，用OFF A表示，是formPmi=1αiXifor X，…，的所有线性组合的集合，Xm公司∈ A和α，αm∈ R总计为1。如果A可以表示为半空间的有限交点，即A=m\\i=1{X，则称A为多面体∈ 十、^1i（X）≥ αi}对于合适的泛函Д，^1m∈ X′和sca larsα，αm∈ R、 在这种情况下，我们说A由Д表示，^1m；见下文als o（1）。显然，任何多面体集都是封闭的和凸的。A的渐近锥是通过设置A定义的闭合锥∞:=\\ε> 0cl{λX；λ∈ [0，ε]，X∈ A} 。等效地，A∞由序列的所有极限（λnXn）组成，其中（λn） [0, ∞) 带λn→ 0和（Xn） A、 如果A是闭合的，且为凸形或星形，则A的渐近锥与由EC A定义的衰退锥（否则更小）重合：={X∈ 十、Y+λX∈ A.Y∈ A.λ ∈ (0, ∞)}.A的线性空间是由lin A定义的向量空间：=A∞∩ (-A.∞).我们假设X是由一个反射的、反对称的传递关系部分排序的≥. 对应的正锥由X+：={X给出∈ 十、十、≥ 0}.在这种情况下，双空间X′也可以通过设置Д进行部分排序≥ ψ当且仅当ψ（X）≥ ψ（X）表示所有X∈ X+。相关的正锥体为x′+：={Д∈ X′；^1（X）≥ 0, 十、∈ X+}。元素X∈ 对于所有非零的Д，当Д（X）>0时，X+被称为严格正∈ X′+。严格正元素集用X++表示。

类似地，功能Д∈ 对于所有非零X，当ν（X）>0时，X′＋称为严格正∈ X+。集合a的（下）支持函数 X是σA:X′的映射→ R∪ {-∞} 定义人σA（Д）：=infX∈A^1（X）。σA的有效域很容易被视为一个凸锥，称为A的势垒锥，由bar A表示。我们说X∈ A是A的支撑点，如果存在功能∈ X′满足Д（X）=σA（Д）。A的每个支撑点自动属于bd A。虽然边界点不必是支撑点，但每当A是多面体或dim（X）<∞.我们在下面的结果中收集了支持函数和势垒锥的各种有用性质；参见Aliprantis和Border（2006年），对于第（iii）点，Farkas等人（2014年）。引理特别告诉我们，一个向量空间的势垒，分别是一个圆锥体，与它的零化子，分别是它的（单侧）极性重合。引理2.1。以下陈述适用于任何子集A、B X：（i）σA+B（ψ）=每个ψ的σA（ψ）+σB（ψ）∈ X′。（ii）巴（A+B）=巴A∩ 钢筋B.（iii）（如果A+X）+ A、 然后bar A X′+。（iv）如果A是向量空间，则bar A={Д∈ X′；Д（X）=0，十、∈ A} 。（v） 如果A是圆锥体，则bar A={Д∈ X′；^1（X）≥ 0, 十、∈ A} 。（vi）如果A是闭合的和凸的，则A=\\Д∈条形图A{X∈ 十、^1（X）≥ σA（Д）}。（vii）如果A是多面体，并由Д、…、表示，^1m∈ X′，然后Д，^1m∈ 条形图A和A=m\\i=1{X∈ 十、^1i（X）≥ σA（Дi）}。（1） 合格支付空间假定合格支付属于向量子空间M X，1<尺寸（M）<∞. 我们装备了从X继承的相对拓扑。由于M具有有限维，因此相对拓扑始终是可规范的。在下文中，我们用k·k表示M上的固定范数，并使用符号d（S，S）：=inf{kW- Zk；W∈ S、 Z∈ S} 对于任何子集S，S M