基于black-scholes模型实现完美对冲的问题

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最近看black-scholes期权定价，Hull的书上说：连续调整delta，就可以实现完美对冲。

楼主有个疑问：假设从当前时刻到欧式期权到期时刻这段时间内，股票价格一直不变。那对于这样一个股票价格路径，我们可以说它是mu(股票收益率期望)=0,sigma(股票价格波动率)=0的布朗运动的一个路径实现，也可以说它是mu=0.1,sigma=0.2的布朗运动的一个路径实现，或者说它是mu=任意值,sigma=任意值的布朗运动的一个路径实现。但是基于black-scholes定价公式计算delta时，delta的计算值是与sigma相关的。如果“连续调整delta，就可以实现完美对冲”成立的话，这意味着我们可以得出结论：计算delta时可以代入任意sigma值，而只需要连续调整delta，就都能够对“股票价格一直不变”这样一个路径实现完美对冲。显然这个结论是错误的。

所以，Hull的书上的“连续调整delta，就可以实现完美对冲”是不是应该这样理解：
mu=mu_0,sigma=sigma_0的布朗运动可以有无穷多的股票价格路径实现（这些路径的概率分布是与mu_0、sigma_0相关的），使用参数sigma=sigma_0计算delta并连续调整delta，并不能够对这无穷多路径中的每一个路径都实现完美对冲，有些路径可能会产生盈利，有些路径可能会产生亏损，有些路径可能恰好盈亏持平；但是对这无穷多路径的盈亏依照各自的概率取期望，结果应该为零。

不知道楼主的理解是否正确？希望得到大家的一些指点、或者建议一些书籍或文献，不胜感激；这样也可以供后人学习。

先前在悬赏版块发了帖 https://bbs.pinggu.org/thread-5405656-1-1.html 不过想着还是在专业版块上求助比较合适 ~~

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关键词：SCHOLES choles Holes Black chol 模型

"这意味着我们可以得出结论：计算delta时可以代入任意sigma值，而只需要连续调整delta，就都能够对“股票价格一直不变”这样一个路径实现完美对冲"

这个没什么不对，忽略利率的因素，你在一个小区间dt上的hedging profit&loss 是delta*dS, 如果你的股价一直不变，dS=0, 这个时候你用什么delta都无所谓。

假设我们讨论call option
sigma是0的时候，意味着你事先知道所有路劲（其实就是只有一条路劲）如果你初始时刻是in the money，你就持有1份股票，不用任何调整，直接hold 到期 deliver，如果是out of the money，直接不用持有任何股票。

如果sigma不是0，如果真的实现的股价一直不变，如果你初始时刻是in the money，你会越买越多股票直到到期的时候持有1份股票来应对行权，如果初始时刻是out of the money，你会越卖越少直到最后到期不持有股票。

但是无论什么情况，如果股价不变，你就没有任何对冲的利润和损失，所以用什么波动率算delta都无所谓。因为最后都能完美对冲。当然sigma不是0的时候只有当你运气够好的时候，也就是你赌对股价不变的时候用什么sigma都无所谓（你没法预见未来的股票走势，你只是恰好蒙对了一条特殊路劲），如果你运气不好，股价变了，那么你就很可能hold太多或者太少股票，这个时候你就完美复制不了了。这个跟现实情况也是一致的，只有当股票实现的波动和option的隐含波动率相一致的时候你才会完美对冲（也就是BS 模型假设的情况），如果他们两个不匹配，你肯定对冲不了。

Chemist_MZ 发表于 2017-3-10 15:47
"这意味着我们可以得出结论：计算delta时可以代入任意sigma值，而只需要连续调整delta，就都能够对“股票价 ...

Chemist_MZ，谢谢你的答复，不过我还是有一些疑问。

对于“股票价格一直不变”这样一个路径，实际上，仅当代入sigma=0来计算delta，才能保证“连续调整delta，就可以实现完美对冲”。具体的结果就是你给出的叙述：“sigma是0的时候，意味着你事先知道所有路劲（其实就是只有一条路劲）如果你初始时刻是in the money，你就持有1份股票，不用任何调整，直接hold 到期 deliver，如果是out of the money，直接不用持有任何股票。”

如果计算delta所代入的sigma不为零，则即使连续调整delta，也无法实现完美对冲。我的证明如下：
t时刻：一份期权空头头寸，期权价格为f；f_s份股票多头头寸，股票价格为s。注：f_s表示f对s的偏导数 （不会用LaTex公式~）
从而，t时刻的期权股票资产组合价值为-f+f_s*s
从t时刻变化至t+dt时刻，期权价格的变化为f(t+dt,s)-f(t,s)=f_t*dt  注：由于股票价格一直不变，所以t+dt时刻的股票价格仍为s。另外，f_t表示f对t的偏导数。
所以从t时刻变化至t+dt时刻，期权股票资产组合价值的变化量=-f_t*dt  (股票价格变化量ds=0)
如果是完美对冲，那么资产组合价值的变化量应该等于dt时间段内资产组合的无风险收益(-f+f_s*s)rdt，r为无风险收益率
即：-f_t*dt = (-f+f_s*s)rdt，从而f_t+f_s*rs=rf。但是该等式明显不是black-scholes方程，差了一项1/2*f_ss*sigma^2*s^2，其中f_ss表示f对s的二阶偏导数。换言之，black-scholes方程的解并不满足等式f_t+f_s*rs=rf
也就是说：从t时刻变化至t+dt时刻，是无法实现完美对冲的。那么，即使连续调整delta，也无法实现完美对冲。

自己感觉分析的过程没有问题，欢迎指正~

cqrcb 发表于 2017-3-10 16:49
Chemist_MZ，谢谢你的答复，不过我还是有一些疑问。

对于“股票价格一直不变”这样一个路径，实际上， ...

Sorry I cannot type Chinese on the PC in my office. I have to type in English.

if sigma=0, the term 1/2*f_ss*sigma^2*s^2=0

if sigma!=0, remember how did you get the term from the Ito Lemma. It is 1/2*f_ss*(ds)^2. Since the equity price does not change, ds=0, so the term again disappears.

The reason why we get this term in the BS PDE is because in most cases (ds)^2=sigma^2*s^2*(dw)^2=sigma^2*s^2*dt. Where dw is the Brownian motion that drives the stock price. This is because we have (dw)^2=dt on almost all the paths. I say "almost" because it does not hold for certain special path such as in your case where the stock price does not change. But as I showed above, in such special cases BS PDE still holds. So you won't miss any terms.

I strongly suggest you to carefully go through the derivation of the BS model and the stochastic calculus behind the derivation. I think that will answer you a lot of questions.

cqrcb 发表于 2017-3-10 11:10
最近看black-scholes期权定价，Hull的书上说：连续调整delta，就可以实现完美对冲。

楼主有个疑问：假设 ...

嗯嗯