参数市场下高频数据的估计

介绍 作为对称微分算子，我们有{|ibX′型|≤w}- 1{|iX′|≤w}= 1{|ibX′型|≤w} {|iX′|≤w}≤ 1{|iX′-w|≤|ψi（bθ）|}≤ 1{|iX′-w|≤序号}。现在，让γ∈ （(R)ω，1/2）和q>0，因为{|iX′- w |≤ 序号}∩ {|iX′|≤ n-γ} =  对于n largeenough，我们自动{|iX′-w|≤序号}≤ 1{|iX′|>n-γ}≤ nγq|iX′| q，亨西{|ibX′型|≤w}- 1{|iX′|≤w}≤ nγqE|iX′| q≤ Cnq（γ-1/2），取q足够大，我们得到（55）。最后，我们证明了I=oP（1）。II的证明是相似的。首先注意，由于X′是连续的，ψi（bθ）<K/n，我们可以按照与f或（46）相同的推理路线去掉指示函数。除此之外，下列论点与（55）的论点相似，如果1{|ψI，I渐近不受影响-1（bθ）|<|我-总和中存在1X′|}。因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设i=πn1/2nXi=2iX′{|ψi-1（bθ）|<|我-1X′|}我-1bX′-我-1倍\'+ oP（1）。接下来，我们使用| y |的恒等式将I分解如下≤ |x |，| x+y |- |x |=带sgn的ysgn（x）通常的符号函数：I=πn1/2nXi=2ψI-1（bθ）iX′新加坡元(我-1X′）1{|ψi-1（bθ）|≤|iX′|}+oP（1）。同样，指示器功能可以删除，因为其补码事件可以忽略不计（它可以通过例如C|iX′| p/NP对于C可能依赖于p的任何p），其产生近似值i=πn1/2nXi=2ψi-1（bθ）iX′新加坡元(我-1X′）+oP（1）=πn1/2（bθ- θ） TnXi=2θψi-1(θ)iX′新加坡元(我-1X′）+oP（1），其中第二步是中值定理的另一个应用（如定理证明2）。

现在请注意，s标准参数yieldP[sgn(我-1X′）6=sgn(我-1W）]=oP（n-p） 安第斯山脉||iX′|-|σti-2.iW | | p≤ E类|iX′- σti-2.iW | p≤ 中国大陆-p对于任何p>0（其中常数C可能依赖于p）和我们使用的（14），因此使用bθ- θ=OP（n-1） givesI=πn1/2（bθ- θ） TnXi=2σti-2.θψi-1(θ)iW公司新加坡元(我-1W）+oP（1），以条件为中心且增量不相关，Var[|iW | sgn(我-1W）| Fi-2] =O（n-1） ，因此Pni=2σti-2.θψi-1(θ)iW公司新加坡元(我-1W）=OP（1）。因此，再次使用thatbθ-θ=OP（n-1） ，我们有我→P0.6.5推论8的证明通过定理7的稳定收敛性，证明相当于表明\\AV AR是一致的，这实际上是在特例g（x）=x中定理11的推论。6.6根据Potiron和Mykland（2017）附录a.2（第30页）的开始讨论以及Mykland和Zhang（2009）第1408页的命题1，定理9的证明，我们可以在不丧失一般性的情况下，假设价格过程X是连续的，则漂移bt为null。首先，请注意，（37）是（36）以及定理1（第25页）Inpoiron和Mykland（2017）的直接结果。因此，我们只需要显示（36）。我们现在提供（36）的证明，即α-1bΞ=α-1eΞ+oP（1）。首先，请注意，根据Potiron和M ykland（2017）中的备注5（第25页），n1/2和α-它们的顺序是相同的，因此有必要证明n1/2bΞ=n1/2eΞ+oP（1）。其次，我们必须重新表达Hayashi Yoshida估计量（35）。为此，我们遵循Potiron和Mykland（2017）第4.3节的开头，并介绍了HayashiYoshida文献中的一些（常见）定义。

对于任何正整数i，我们考虑第一个资产的第i个采样时间t（1）i。我们定义了两个相关的随机时间t-i和t+i，分别对应于严格小于t（1）i的第二个资产的最近采样时间，以及（不一定严格）大于t（1）i的第二个资产的最近采样时间。正式定义为-= 0，（56）吨-i=i的最大值{t（2）j:t（2）j<t（1）i}≥ 1，（57）t+i=最小{t（2）j:t（2）j≥ t（1）i}。（58）重新排列（35）中的术语，使用Ξ=Xt+i<t九（1）（X（2）t+i- X（2）t-我-1） +oP（n-1/2). （59）我们推断n1/2bΞ=n1/2Xt+i<tibX（1）（bX（2）t+i-bX（2）t-我-1） +oP（1），=n1/2eΞ+n1/2Xt+i<tψ（1）i（bθ（1））（φ（Q（2）t+i，θ（2））-φ（Q（2）t-我-1, θ(2))) -（φ（Q（2）t+i，bθ（2））-φ（Q（2）t-我-1，bθ（2）））+ n1/2Xt+i<t九（1）（φ（Q（2）t+i，θ（2））-φ（Q（2）t-我-1, θ(2))) -（φ（Q（2）t+i，bθ（2））-φ（Q（2）t-我-1，bθ（2）））+ n1/2Xt+i<tψ（1）i（bθ（1））（X（2）t+i- X（2）t-我-1） +oP（1），：=n1/2eΞ+I+II+III+oP（1）。我们的目的是证明I=oP（1），II=oP（1）和III=oP（1）。我们从I开始，φ是Cinθ，因为maxikQtik是有界的，I≤ Cn1/2N | bθ- θ|，这是Potiron和Mykland（2017）中的oP（1）（18）、备注5（第25页）和引理8（第31页）。至于II，Li等人（2016）在波动率案例中对定理2（第46页）的证明只进行了一次修改。在引用的论文中证明（69），自（φ（Q（2）t+i，θ（2））-φ（Q（2）t-我-1, θ(2))) -（φ（Q（2）t+i，bθ（2））-φ（Q（2）t-我-1，bθ（2）））如果Fti不可测量，我们需要使用θ附近的泰勒展开。

更具体地说，让我们证明（69），并根据引用论文的符号，我们定义：FN（θ）=N（1）Xi=1（φ（Q（2）t+i，θ）- φ（Q（2）t-我-1, θ)) - （φ（Q（2）t+i，θ（2））-φ（Q（2）t-我-1, θ(2)))|{z}χi（θ）Zt（1）it（1）i-1σ（1）tdW（1）t |{z}Mc，（1）我注意到，通过与（49）相同的泰勒展开式和相同的推理，我们直接得到θ的∈ Θ使得|θ- θ| ≤ K/N，对于某些θ∈ [θ，θ]，Nl | FN（θ）-FN（θ）| 2l≤ ClNl |θ- θ| 2lN（1）Xi=1θχi（θ）Mc，（1）i2升+N（1）Xi=1θχi（θ）Mc，（1）i2l |θ- θ| 2l.现在，使用第一项是Ht鞅增量和Burkholder-Davis-Gundy不等式yieldsE的和N（1）Xi=1θχi（θ）Mc，（1）i2升≤ 总工程师N（1）Xi=1|θχi（θ）|it（1）l≤ C、 同样，Jensen不等式应用于测度（N（1））-1PN（1）i=1，的有界性|θχi（θ）|，直接计算力矩Mc，（1）iyieldEN（1）Xi=1θχi（θ）Mc，（1）i2升≤ CN2l-1EN（1）Xi=1Mc，（1）i2升≤ CNl公司。结合|θ- θ| ≤ K/N，这给出了一个简单的supθ∈Θ||θ-θ|≤K/N | FN（θ）-FN（θ）| 2l→ 0这是Li等人（2016）的（69）。然后，我们可以按照Liet al（2016）中定理2（第46页）的证明进行。我们转向III，它的处理稍微复杂一些。我们将第二资产的增量分解为三部分，并重写III asIII=n1/2Xt+i<tψ（1）i（bθ（1））（X（2）t+i- X（2）t（1）i）+Xt+i<tψ（1）i（bθ（1））（X（2）t（1）i- X（2）t（1）i-1） +Xt+i<tψ（1）i（bθ（1））（X（2）t（1）i-1.- X（2）t-我-1):= n1/2（IIIA+IIIB+IIIC）。IIIa的问题在于它不适合简单的过滤。为了避免这种困难，我们需要再次重新排列求和的条件。我们遵循Potiron和Myk land（2017）（第4.3节）的规定，确定了新的采样时间t1Cias t1C：=t（1），并递归地确定了i的任何非负整数1ci+1：=mint（1）u：存在j∈ N s uch that t1Ci≤ t（2）j<t（1）u.

（60）与（56）、（57）和（58）类似，我们引入以下时间t1c，-:= 0，（61）t1C，-我-1： =最大{t（2）j:t（2）j<t1Ci-1} 对于i≥ 2（62）t1C，+i-1： =最小{t（2）j:t（2）j≥ t1Ci-1} 对于i≥ 1.（63）根据这一定义，我们可以重写IIIAasIIIA=Xt1C，+i<t（φ（Q（1）t1Ci，bθ（1））-φ（Q（1）t1Ci-1，bθ（1）））-（φ（Q（1）t1Ci，θ（1））-φ（Q（1）t1Ci-1, θ(1)))（X（2）t1C，+i- X（2）t1Ci）{z}Mi（bθ（1）），其中Mi（θ）是Ft1Ci+1-可测的。根据中值定理，我们还有一些θ∈ 【θ（1），bθ（1）】即n1/2N（1）Xi=1Mi（bθ（1））=n1/2（bθ（1）- θ（1））TN（1）Xi=1θMi（θ（1））+n1/2（bθ（1）- θ（1））TN（1）Xi=1θMi（θ）（bθ（1）- θ(1)).按照与波动率案例中（49）证明相同的推理路线，我们可以证明这两项的概率为0，因此我们已经证明n1/2IIIA=oP（1）。其他两个术语III和III不需要重新排列术语。具体而言，n1/2IIB可以在Li等人（2016）定理2（第46页）的证明之后显示为oP（1）。关于第三项n1/2IIc，我们可以使用泰勒展开式证明它是oP（1），与IIIA类似。6.7推论10的证明尽管引入的数量涉及到正式定义negAB和AV AR，但证明方式与推论4中（30）的证明方式相同，以及Potiron和Mykland（2017）的技术和估计。6.8定理11的证明在整个过程中，我们使用符号kn，n、 Wn分别代替k， 为了强调它们对n的依赖性，我们必须知道n1/2bΞ-eΞ′= oP（1），其中bΞ=n【T】/n]-kn+1Xi=1g（bci）-2kndXj，k，l，m=1jk，lmg（bci）bcjlibckmi+bcjmibckli, （64）BCLMI=knnkn公司-1Xj=0i+jbXli+jbXm{ki+jbXk≤wn}。（65）我们首先表明，我们可以在不丧失一般性的情况下假设X是连续的，即在所有表达式中用X′替换X。为此，考虑bΞ′和bc′，估计量应用于连续部分X′，而不是X。

在不丧失一般性的情况下，我们假设X、bθ和θ是一维量。多维情况可以通过简单的调整推导出来。引理18。我们有1/2bΞ-bΞ′→P0.证明。回想一下，我们有关键分解ibX=iX（bθ）=iB+ψi（Bθ）{z}iB′型+iMc+iJ，（66）其中，我们记得Bt=Rtb′sds。现在，我们应用与定理7的证明完全相同的推理路线。我们再次更换iB由iB′和Fiby Gi=Fi∨ σ{Qti，0≤ 我≤ n} 在Jacod和Protter（2011）的lemma 13.2.6证明（第384页）中，保留了所有的条件估计，因此引理在ψi（bθ）项存在时仍然有效。当F（x）=x，k=1，p′=s′=2，s=1，θ=0时，这直接产生所有q≥ 对于某些缩小到0的确定性序列，我们得到了|ibX公司|{|ibX公司|≤wn}- |ibX′型|{|ibX′型|≤wn}q≤ 可以（第2季度-r） ω+1n。（67）作为副产品，我们还推断bci公司-bc′iq≤ 可以（第2季度-r） ω+1-qn。（68）此外，再次替换Fiby GiandiB由iB′在计算中，我们还可以看到，在存在ψi（bθ）的情况下，Jacod和Rosenbaum（2013）中（4.10）的第二个不等式仍然成立，即引入αi=|ibX′型|-σtin、 我们有| E[αi | Gi]|≤ C2月3日。（69）现在，根据Jacod和Rosenbaum（2013）中引理4.4的证明（第1479页，案例v=1），n1/2bΞ-bΞ′→P0是我们的估计（68）和（69）以及g上的多项式条件（40）的直接结果。从现在起，凭借引理18，我们只需证明n1/2（bΞ′-eΞ′）→P0。我们现在想说明，在B′的定义中，我们可以用c′i代替bc′ib，其中c′lmi=knnkn公司-1Xj=0i+jbX′li+jbX′m{|i+jX′型|≤wn}，（70），即指示符函数应用于X′本身而不是X′。我们首先提出了一项技术性备忘录。引理19。我们有，任何我∈ {1，···，n}，任意j∈ {1，···，3}，和任何q≥ 1，E|jg（bc′i）| q≤ C和E|jg（c′i）| q≤ C、 证明。

根据（40），证明对于任何q≥ 1，E | bc′i | q≤ C和E | C′i | q≤ C、 此外，自| bc′i | q≤ C（| bc′i-c′i | q+| c′i- eci | q+| eci | q），以及作为E | eci | q≤ C作为Jacod和Rosenbaum（2013）（第1476页）中的（4.11）和假设（H）中C的有界性的一个简单结果，它能够显示C′i的LQ有界性-c′i=knnkn公司-1Xj=0|i+jbX′|{|i+jbX′|≤wn}- 1{|i+jX′型|≤wn}（71）andc′i-eci公司≤千牛nkn公司-1Xj=0i+jX′ψi+j（bθ）1{|i+jX′型|≤wn}+knnkn公司-1Xj=0ψi+j（bθ），（72）：=i+II。我们首先展示了（71）的LQ有界性。首先回顾一下，在（55）中，我们证明了{|ibX′型|≤wn}- 1{|iX′|≤wn}≤ n-对于任何大于0的β。因此，通过Cauchy-Schwarz不等式和Jensen不等式，我们很容易得到E | bc′i-c′i | q≤ 考虑到β足够大。我们现在证明了（72）的LQ有界性。应用于| k的Jensen不等式-1nkn-1Xj=0i+jX′ψi+j（bθ）| q，我们有e | i | q≤Cnqknkn公司-1Xj=0E|i+jX′q |ψi+j（bθ）| q |{z}C/nq≤ 中国大陆-问题2。对于II，我们有| II | q≤CnqknEkn-1Xj=0 |ψi+j（bθ）| 2q≤ 中国大陆-q、 这样就得到了c′i的lq有界性-eci，它总结了证据。引理20。设Ξ′定义为B′，其中bc′i被c′i代替。然后1/2bΞ′-Ξ′→P0.证明。我们有1/2bΞ′-Ξ′= n1/2n【T】/n]-kn+1Xi=1g（bc′i）-g（c′i）（73）+n1/2n2kn[吨/n]-kn+1Xi=1h（c′i）-h（bc′i）,h（x）=2时g（x）x，所以证明我们的主张归结为表明（73）右侧的两个项都可以忽略不计。对于第一个，我们有/n]-kn+1Xi=1g（bc′i）-g（c′i）≤千牛n【T】/n]-kn+1Xi=1kn-1Xj=0|g（ai，j）||i+jbX′|{|i+jbX′|≤wn}- 1{|i+jX′型|≤wn}对于一些（随机的）ai，jsuch认为| ai，j |≤ |bc′i |+| c′i |通过中值定理。现在，通过引理19和g是多项式增长的f作用，我们得到E|g（ai，j）| q≤ C表示任何q≥ 因此，通过Cauchy-Schwarz不等式，我们将得到1/2n【T】/n]-kn+1Xi=1g（bc′i）-g（c′i）→如果我们可以证明/n]-kn+1Xi=1kn-1Xj=0呃|i+jbX′|{|i+jbX|≤wn}- 1{|i+jX′型|≤wn}我1/2=o（knn-1/2），即。

该【T】/n]-kn+1Xi=1呃|ibX′型|{|ibX′型|≤wn}- 1{|iX′|≤wn}我1/2=o（n-1/2).回顾|ibX′型|≤ C类(|iX′|+|ψi（bθ）|），我们有[T/n]-kn+1Xi=1呃|iX′|{|ibX′型|≤wn}- 1{|iX′|≤wn}我1/2=O（n-β/4）=o（n-1/2）由于β可以取任意大，再次使用Cauchy-Schwarz不等式以及E|iX′| q≤ 中国大陆-q/2和（55）。最后，立即证明/n]-kn+1Xi=1Eh |ψi（bθ）|{|ibX′型|≤wn}- 1{|iX′|≤wn}我1/2=零n-1/2,假设|ψi（bθ）|≤ （73）右边的第二项在同一条路上得到了证明。在一维设置中，我们现在为θ引入以下符号∈ Θ：c′i（θ）=knnkn公司-1Xj=0|i+jX′（θ）|{|i+jX′型|≤wn}，我们回忆起∈ {1，···，n}，iX′（θ）=iX′+ψi（θ）。注意c′i=c′i（bθ），andeci=c′i（θ）。我们需要：=n1/2n【T】/n]-kn+1Xi=1g（c′i）-g（eci）.通过中值定理和链式法则，我们得到了一些θ∈ [θ，bθ]，En=2n1/2kn（bθ- θ） [T/n]-kn+1Xi=1g（eci）kn-1Xj=0i+jX′型θψi+j（θ）1{|i+jX′型|≤wn}+n1/2kn（bθ- θ） [T/n]-kn+1Xi=1g（c′i（θ））kn-1Xj=0i+jX′（θ）θψi+j（θ）1{|i+jX′型|≤wn}+n1/2kn（bθ- θ） [T/n]-kn+1Xi=1g（c′i（θ））kn-1Xj=0θψi+j（θ）{|i+jX′型|≤wn}+2n1/2knn（bθ- θ） [T/n]-kn+1Xi=1g（c′i（θ））千牛-1Xj=0i+jX′（θ）θψi+j（θ）1{|i+jX′型|≤wn},:= I+II+III+IV。我们现在证明每个术语都是oP（1）。引理21。我们有i=2n1/2kn（bθ- θ） [T/n]-kn+1Xi=1g（eci）kn-1Xj=0i+jX′θψi+j（θ）1{|i+jX′型|≤wn}→P0.证明。自假设（H）屈服强度2n1/2kn（bθ- θ） =OP（k-1nn-1/2），必须证明/n]-kn+1Xi=1g（eci）kn-1Xj=0i+jX′型θψi+j（θ）1{|i+jX|≤wn}=oP（knn1/2）。（74）回顾分解i+jX′=i+jB+i+jMc，我们首先表明，当i+jX′替换为i+jMc。

在这种情况下，由于控制1{|i+jMc|≥wn}≤w-1n|i+jMc |，Burkholder-Davis-Gundy不等式，H"older不等式，以及以下事实|g（eci）|是以引理19为界的LQ，可以移除指示函数而不损失一般性。因此，Introductingan=[T/n]-kn+1Xi=1g（eci）kn-1Xj=0i+jMcθψi+j（θ），and bn=[T/n]-kn+1Xi=1g（cti）kn-1Xj=0i+jMcθψi+j（θ），我们证明- Bn=oP（knn1/2）和Bn=oP（knn1/2）。我们有一些ξi∈ [eci，cti]，| An- Bn |≤[T/n]-kn+1Xi=1g（ξi）|eci公司- cti | kn-1Xj=0|i+jMc||θψi+j（θ）|。此外，根据Jacod和Rosenbaum（2013）（第1476页）中的（4.11），我们得到了估计的eci- cti | i≤ Ck-1n+knn. （75）因此，通过应用霍尔德不等式g（ξi）是以引理19为界的lq，对于任何q≥ 1： E类[|i+jMc | q|θψi+j（θ）| q]≤ CE公司[|i+jMc | q]≤ 中国大陆-问题2，我们推断- Bn |≤ Cknn1/2k-1n+knn1/2=oP（knn1/2）。至于Bn，我们注意到它可以表示为关于过滤Ht=Ft的鞅增量之和∨σ{Qti，i=0，····，n}，我们有Bn=P[T/n] i=1χi，其中χi=iXl=（i-kn+1）∧1.g（σtl）θψi（θ）iMc。因此，根据Jacod和Protter（2011）第56页的属性（2.2.35），证明Bn=oP（knn1/2）归结为表明ebn：=n-1公里-2n[T/n] Xi=1Eχi→ 现在，利用c的有界性，我们得到了eχi≤ CknE公司θψi（θ）(iMc）≤ Cknn公司-因此，EBN=OP（n-1） 当更换时，这证明了（76）和（74i+jX′byi+jMc。最后，我们考虑漂移项的情况i+jB代替i+jX′紧随着E|i+jB | k≤ 中国大陆-k对于任何k≥ 引理22。我们有II=oP（1），III=oP（1），IV=oP（1）。证据证明第一项索赔等同于证明FII：=[T/n]-kn+1Xi=1g（c′i（θ））kn-1Xj=0i+jX′（θ）θψi+j（θ）1{|i+jX′型|≤wn}=oP（knn3/2）。再次注意，通过假设（H）和θ属于紧集的事实，我们得到|θψi+j（θ）|≤C

图塞金融情报机构≤ C[T/n]-kn+1Xi=1E|g（c′i（θ））| kn-1Xj=0|i+jX′（θ）|≤ C[T/n]-kn+1Xi=1kn-1Xj=0Eg（c′i（θ））1/2E类|i+jX′（θ）|1/2≤ Cknn1/2=oP（knn3/2），其中我们使用引理19，并且对于任何q≥ 1，E|i+jX′（θ）| q≤ CE类|i+jX′q+E(θ - θ） q |{z}≤K/nqsupθ∈Θ|θψi（θ）| q |{z}≤K≤ Cn-q/2+n-q. （77）对于第二个权利要求，我们有（将指示符函数从上方限定为1）估算值II≤[T/n]-kn+1Xi=1g（c′i（θ））kn-1Xj=0θψi+j（θ）≤ Ckn[T/n]-kn+1Xi=1|g（c′i（θ））|{z}OP（n）=OP（knn）=OP（kn3/2），因此III=OP（1）。最后我们证明了IV=oP（1），即FIV：=[T/n]-kn+1Xi=1g（c′i（θ））千牛-1Xj=0i+jX′（θ）θψi+j（θ）1{|i+jX′型|≤wn}= oP（knn1/2）。（78）通过Cauchy-Schwarz不等式和|θψi+j（θ）|≤ C、 我们得到了支配地位≤ CknE公司[T/n]-kn+1Xi=1|g（c′i（θ））| kn-1Xj=0|i+jX′（θ）|≤ Ckn[T/n]-kn+1Xi=1kn-1Xj=0Eg（c′i（θ））1/2 |{z}≤CE类|i+jX′（θ）|1/2 |{z}O（n-1)≤ Ckn=o（knn1/2），其中我们使用了（77）和q=4，我们完成了。类似地，我们通过中值定理得到nkn[吨/n]-kn+1Xi=1h（c′i）-h（eci）等于2n1/2kn（bθ- θ） [T/n]-kn+1Xi=1h（c′i（θ））kn-1Xj=0i+jX′（θ）θψi+j（θ）1{|i+jX′型|≤wn}。引理23。我们有1/2nkn[吨/n]-kn+1Xi=1h（c′i）-h（eci）→P0.证明。假设（H）我们有n1/2nkn[吨/n]-kn+1Xi=1h（c′i）-h（eci）≤Cn1/2kn[T/n]-kn+1Xi=1kn-1Xj=0E|h（c′i（θ））||i+jX′（θ）|.自从h也是多项式增长的，我们推导出对于引理19，对于任何q≥ 1，E|h（c′i（θ））| q≤ C、 Cauchy-Schwarz不等式的一个应用n1/2nkn[吨/n]-kn+1Xi=1{h（ci）-h（eci）}≤ C/kn→ 我们现在证明这个定理。定理11的证明。回想一下，通过引理18，我们只需要证明n1/2（bΞ′）-eΞ′）→P0.Wehaven1/2bΞ′-eΞ′= n1/2bΞ′-Ξ′+ n1/2Ξ′-eΞ′.根据引理20，上述第一项可以忽略不计。