参数市场下高频数据的估计

此外，sincen1/2Ξ′-eΞ′= n1/2n【T】/n]-kn+1Xi=1g（c′i）-g（eci）+n1/2n2kn[吨/n]-kn+1Xi=1h（eci）-h（c′i）,断言n1/2Ξ′-eΞ′→P0是引理21、引理22和引理23的直接结果。结合Jacod和Rosenbaum（2013）中的定理3.2（第1469页，适用于X′），这就产生了中心极限定理。6.9推论的证明12通过Slutsky引理，我们需要证明的是→PAV-AR.给出了AV-AR的形式，可以使用与一般定理完全相同的推理路线来显示这一点，在所有估计中用g-byh代替g，并将结果与Jacod和Rosenbaum（2013）中的推论3.7相结合，以代替第3.2条，但在估计之前没有n1/2的缩放，也没有偏差项。由于g的Cproperty在处理引理23中的偏差项时只使用了一次，因此h仅属于类Cis这一事实没有问题。6.10定理14和推论15的证明在Vetter（2015）中，作者介绍了Sai=2nknxj=1Z（i+j）T/n（i+j-1） 电话号码（Xs- X（i+j-1） T/n）dXsandBi：=nknZ（i+kn）T/niT/nσsds。因此，我们定义：=2nknxj=1（Z（i+j）T/n（i+j-1） 电话号码（Xs- X（i+j-1） T/n）dXs+ψi+j（bθ）i+jX），bBi：=nknZ（i+kn）T/niT/nσsds+knXj=1ψi+j（bθ）,以及一些任意p的近似增量≥ 1和1≤ l≤ J（p）：=[[nt/T-2kn】/（（p+2）kn）]，其中，[x]定义为x，eAi+kn的函数-eAi：=nknσal（p）T/nknXj=1i+kn+jW- i+jW,andeBi+kn-息税前利润：=nknZ（i+kn）T/niT/neσal（p）T/n（W′（s+knT/n）- W′s）ds，其中al（p）：=（l- 1） （p+2）kn。请注意，bci=bAi+bBi，因此bΞ可与上述数量联系如下：bΞ=[T/n]-2knXi=02kn（bAi+kn-bAi+bBi+kn-bBi）-knbqi公司.

（79）还应注意，近似增量与信息过程和ofbθ无关。现在请注意，Vetter（2015）中的一般证明分以下两个步骤进行计算偏差Ai+kn的估计值-艾岛-（eAi+kn-eAi），Bi+kn-Bi公司-（息税前利润+千牛-eBi）和eqi-Rti+1tiσsds.o在所有遇到的表达式中，系统地使用之前的估计值将Ai（分别为Bi、eqi）替换为其对应项Ai（分别为eBi、Rti+1tiσsds）。由于EAI、eBiandRti+1tiσsds独立于信息处理和Bθ，第二步在我们的设置中保持不变，并且在Vetter（2015）的证明中没有修改。因此，为了证明该定理，我们所要做的就是调整第一步，替换Ai、Biand eqibybAi、Bbian和bqi。更准确地说，我们在Vetter（2015）中采用引理A.1和（A.8）p.2411证明中的第二个方程（对应于eqibyRti+1tiσsds的近似值），如下所示（在下一个引理中，回忆一下eaiandebi依赖于某些参数p≥ 1).引理24。我们有任何r≥ 1，p≥ 1和任何i∈ {al（p），····，al（p）+pkn}EhbAi+kn-bAi公司- （eAi+kn-eAi）国际扶轮社≤ C（pn-1） r/2，EhbBi+kn-bBi公司- （息税前利润+千牛-息税前利润）国际扶轮社≤ C（pn-1） r/2，EhbAi+kn-bAi公司国际扶轮社≤ 中国大陆-安第斯2号公路bBi+kn-bBi公司国际扶轮社≤ 中国大陆-r/2。此外，我们有统一的∈ [0，T]rnknE[t/n]-2knXi=1knbqi-knZtσsds= o（1）。证据根据Vetter（2015）中的引理A.1，证明我们有bAi+kn-bAi公司- （Ai+kn- Ai）国际扶轮社≤ C（pn-1） r/2和BBI的类似声明。自|ψk（bθ）|≤ 所有1的K/n≤ k≤ n、 我们得到了bAi+kn-bAi公司- （Ai+kn- Ai）国际扶轮社≤rnrkrnE公司knXj=1nψi+kn+j（bθ）i+kn+jX- ψi+j（bθ）i+jXor,≤CnrknknXj=1Ehψi+kn+j（bθ）i+kn+jXr+ψi+j（bθ）i+jXri，≤CknknXj=1E[|i+kn+jX | r+|i+jX | r]|{z}≤中国大陆-r/2，≤ Cpr/2n-r/2，自p起≥ 1，其中我们在第二步使用Jensen不等式和控制|ψi（bθ）| r≤ C/N在第三步。

其他三个不等式的证明和逼近可以通过相似计算来完成。现在，为了证明定理14，有必要严格遵循Vetter（2015）中定理2.6的证明，替换所有Ai，BiandP[t/n]-2kni=1knbqibybAi，bBiandknRtσsds，相应地，引理A.1的所有应用以及上述Bkiby引理24的近似值。类似的推理得出推论15。参考a"it-Sahalia Y，Mykland PA，Zhang L（2005）在存在市场微观结构噪声的情况下，对连续时间过程进行采样的频率。金融研究回顾18（2）：351–416Almgren R，Chriss N（2001）《投资组合交易的最佳执行》。《风险杂志》3:5–40Altmeyer R，Bibinger M（2015）准有效谱共变性估计的泛函稳定极限定理。随机过程及其应用125（12）：4556–4600 Andersen TG、Bollerslev T、Diebold FX、Ebens H（2001a）已实现股票收益波动率的分布。《金融经济学杂志》61（1）：43–76Andersen TG、Bollerslev T、Diebold FX、Labys P（2001b）《已实现汇率波动的分布》。《美国统计协会杂志》96（453）：42–55Andersen TG，Dobrev D，Schaumburg E（2014）综合四次度估计的稳健邻域截断方法。计量经济学理论30（1）：3–59 Andersen TG、Cebiroglu G、Hautsch N（2017）《波动性、信息反馈和市场微观结构噪音：两种制度的故事》。可用工作文件athttps://papersssrncom/sol3/paperscfm?abstract_id=2921097AndersenTG、Thyrsgaard M、Todorov V（2019）日内波动的时变周期性。《美国统计协会杂志》114（528）：1695–1707巴恩多夫-尼尔森OE，谢泼德N（2002a）《已实现波动率的计量经济学分析及其在估计随机波动率模型中的应用》。

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