参数市场下高频数据的估计

此外，对于b∈ R、 【b】代表b的水平。Jacod和Rosenbaum（2013）对一些结果感兴趣。在其最重要的形式中（从我们的角度来看），es timator采用了形式eΞ=[T/]-k+1Xi=1g（eci）-2kdXj，q，l，m=1jq、lmg（eci）ecjliecqmi+ecjmiecqli, （39）ECLMI=kk-1Xj=0i+jXli+jXm{ki+jXk≤w} ，对于整数k和w=α的两个序列对于某些α>0和2p的ω-12（2p-r）≤ ω<，其中我们假设kjg（x）k≤ K（1+kxkp）-j） ，对于某些常数p，j=0，1，2，3（40）≥ 3，K>0。在方程（39）中，ECI对应于现货波动性矩阵的估计量，第一项是黎曼和的一部分，而第二项需要去除第一项的渐近爆发的共有偏差。我们证明了associatedplug-in估计器BΞ具有相同的极限理论aseΞ。更准确地说，我们有以下结果。定理11。假设k → 0，k → ∞. LeteΞ′是（39）中定义的估计量，其中X被其连续部分X′t代替。然后，我们得到了收敛1/2bΞ-eΞ′→P0。（41）此外，在法律上稳定，我们有收敛1/2bΞ-Ξ→ZTqT h（cs）dBs，（42）其中x∈ M+d，h（x）=dXj，q，l，M=1jqg（x）lmg（x）（xjlxqm+xjmxql），其中B是独立于其他量的标准布朗运动。特别要注意的是，稳定收敛中的渐近方差可以表示为AV AR=TZTh（cs）ds，因此我们自然将渐近方差估计定义为AV AR=T[t/]-k+1Xi=1h（bci）。我们很容易从Jacod和Rosenbaum（2013）第1471页的推论3.7中推断出上述中心极限定理的以下学生化版本。推论12。在前一个定理的假设下，我们在lawn1/2中有稳定的收敛性bΞ-Ξp\\AV AR→ N（0，1）。备注13。（i.i.d噪声下波动率函数的估计）在i.i.d噪声下，一般函数g（ct）的结果不可用。

替代方法包括：Jacod等人（2010年）对even power、Mancino和Sanfelici（2012年）以及Andersen等人（2014年）对四次性的特殊情况，以及andalso Altmeyer和Bibinger（2015年）在考虑三次性时。另请参见Potiron和Mykland（2016）的工作（第4.2节），以了解噪声方差为零的局部极大似然估计。4.5波动性在本节中，我们假设XT是一维的，我们对现货参数ξt=eσt感兴趣，该参数对应于（14）中定义的所谓波动性过程。据我们所知，文献中没有将噪声纳入模型的结果，但在非噪声情况下，可以参考Vetter（2015）（定理2.5和定理2.6）和Mykland等人（2012）（定理7和推论2）。我们遵循前一位作者的观点，旨在证明定理2.6在使用插件估计器时的稳健性。因此，我们随后假设XT和CTA都是连续过程，即δ=eδ=0 in（13）-（14）。据我们所知，Xtand/或ctremainsan中的跳跃是一个悬而未决的问题。收敛速度为κ=1/4。引入即期波动率估值器∈ {0，···，n- k} ，eci：=nkkXj=1(i+jX），点四次估计量eqi：=n3kkXj=1(注意，ECI的定义与前一节略有不同。作者定义了波动率估计器的波动率（参见引用工作第2399页的（2.5）），如：=[t/]-2kXi=02k（eci+k-eci）-科奇.让bci、bqi和BΞ作为相应的插件估计量，我们得到以下结果。定理14。假设对于某些c>0的情况，k=cn1/2+o（n1/4）。

然后在法律上稳定下来，rnkbΞ-Ξ→√TZTαsdBs，其中bt是独立于其他量的布朗运动，αs=cσs+cσseσs+eσs。此外，如果我们定义负（1）=Tn[t/]-kXi=0bqi，G（2）=T[T/]-2kXi=02k（bci+k-bci）-kbqi公司bqi，G（3）=T nk[T/]-2kXi=0（bci+k-bci），并且最终\\AV AR=G（3）-nkG（2）-nkG（1），我们可以推导出之前中心极限定理的以下学生化版本。推论15。在前一定理的假设s下，当k具有最优速率c时，我们在律上有稳定的收敛性√c>0n1/4bΞ时为n-Ξpc\\AV AR→ N（0，1）。5结论本文在五个不同的例子中开发了插件估计器来估计参数噪声下的高频量。在计算这些例子的理论时，我们没有发现任何特殊困难。Andersen等人（2019）提供了另一个应用示例。感谢塞尔玛·查克（Selma Chaker）、李英英（Yingying Li）、马蒂亚斯·维特（Mathias Vetter）、郑兴华（Xinghua Zheng）、曼·孔法姆（Manh CuongPham）、两位匿名裁判、香港第二届计量经济学与统计国际会议（International Conference on Econometrics and Statistics in Hong Kong）和澳大利亚计量学会（Econometric Society Australia）2018年奥克兰会议（。Yoann Potiron的研究得到了庆应义塾大学和日本科学促进会为青年科学家提供的第60781119号特别私人赠款的支持。Simon Clinet的研究得到了日本青年科学家科学资助促进会的支持，第19K13671.6号证明6.1序言由于我们对bt、ebt、CTA和ect（12）和（18）的局部有界性的假设，在整个过程中，假设以下更强的假设是很有效的（例如，参见引理4.4.9以及Jacod和Protter（2011）中的命题2.2.1）。（H） 我们有bt、ebt、CTA和ECTA有界。

此外，存在K>0使得kbθ-θk≤ K/n和maxi，j，KQ（k，j）t（k）i≤ K、 由于Jacod和Protter（2011）的命题2.2.1没有直接暗示Bθ和Q的最后两个性质，我们现在在下一个命题中详细说明了一般的本地化过程，我们将其应用于推论17中的上述特殊情况。在下一个引理中，如果A是随机事件，A代表Ohm -A、 提案16。（本地化）Let（AKn）n∈N、 K级∈R+是一个双索引的事件族，例如limk→+∞supn公司∈NP[AKn]=0。Let（Xn）n∈Nbe一系列Rd值随机变量f或somed≥ 1和X表示另一个Rd值随机变量，并假设以下任一属性均成立。1.（概率局部收敛）对于任何K≥ 0，（Xn- 十） 1AKn→P0.2。（分布局部收敛）对于任意K≥ 0，对于任何f连续且有界的，E[f（Xn）1AKn]→E[f（X）]。然后我们分别有1个。Xn公司→二甲苯。2、Xn→dX。证据我们首先证明了概率收敛性。固定>0和η>0，并注意p[| Xn- X |≥ η] ≤ Ph | Xn- X | 1AKn≥ηi+Ph | Xn- X | 1AKn≥ηi≤ Ph | Xn- X | 1AKn≥ηi+Phakini。通过将K取得足够大，我们可以假设右侧的第二项由支配。接下来，通过将n取得足够大，我们可以假设第一项小于，这与概率的局部收敛性有关。这证明了Xn→二甲苯。接下来我们证明了收敛不分布。我们有| E[f（Xn）]-E[f（X）]|=| E[f（Xn）1AKn]-E[f（X）]+E[f（Xn）1AKn]|≤ |E【f（Xn）1AKn】-利用f的有界性，E[f（X）]|+CPhAKnifor某个常数C。同样，取K足够大会使第三项任意变小，然后取n→ +∞ 使前两项之间的差异趋于0，这证明了Xn→dX。推论17。

当证明估计量bΞ对Ξ的相合性或渐近正态性nκ（bΞ- Ξ) → MN（AB，AV-AR），我们可以假设存在K>0（这可能是任意大的），使得kbθ- θk≤ K/n和maxi，j，KQ（k，j）t（k）i≤ K、 证明。我们给出了kbθ的情况- θk≤ K/n，情形maxi，j，K | Q（K，j）t（K）i |≤ K相同。为了一致性，我们应用前面的命题，其中Xn=bΞ，X=Ξ，AKn=nkbθ- θk≤ K/编号Byhyp othesis（6），n（bθ-θ） 是随机有界的，也就是说limK→+∞supn公司∈NP[nkbθ-θk≥ K] =0（回想一下bθ取决于n）。对于中心极限理论，应用Xn=nκ（bΞ）的局部收敛分布-Ξ），X~ MN（AB，AV-AR），AKn=nkbθ- θk≤ 不。在所有的证明中，C是一个常数，它可能会随着一行到下一行的变化而变化。我们进一步提供了一些与有效价格分解（13）相关的符号，即thatXt=X+Ztbsds+ZtσsdWs+ZtZRδ（s，z）1{| |δ（s，z）| |≤1}(u -ν） （ds，dz）+ZtZRδ（s，z）1{| |δ（s，z）{1}u（ds，dz），：=X+Bt+Mct+Mdt+Jbt。（43）注意，在这种分解中，Mct（分别为Mdt）是一个连续（分别为纯不连续）的局部鞅（见Jaco d和Protter（2011）第2.1.2节的讨论）。最后，我们介绍iX（θ）：=iX+ψi（θ），其中ψi（θ）：=ui（θ）- ui（θ）。特别要注意的是ibX=iX（bθ）。同样，我们定义iX′（θ）：=iX′+ψi（θ）和ibX′=iX′（bθ），对应于移除跳跃部分J时的估计火化。此外，Esis定义为给定Fs的条件期望。6.2定理2的证明对于该证明，由于我们在定理2中的假设，并使用与假设（H）相同的参数，我们进一步作出以下假设。（H\'）我们有n它和evtare有界且有界远离0。注意，当φ=0时，（25）是（26）的特例。在下面的内容中，我们直接证明了generalcase（26）。

首先，作为编号→PF，这有助于证明lawn1/2（eΞ）中的稳定收敛性-Ξ ) →ZTevsσsdX′s+ZTreus-evsσsdBs。（44）其次，注意如果我们能证明n1/2NXi=1ibX公司{|ibX公司|≤wi}=n1/2NXi=1iX′+ oP（1），（45）然后（25）根据Li等人（2014）的定理1（第585页）以及对第2项的总结而成立。因此，我们在下面的内容中显示（45）。由于分解（15），wehaven1/2NXi=1ibX公司{|ibX公司|≤wi}=n1/2NXi=1ibX′型{|ibX公司|≤wi}+2n1/2NXi=1ibX′型iJ1{|ibX公司|≤wi}+n1/2NXi=1iJ公司{|ibX公司|≤wi}，：=I+II+III。我们将在下面的内容中显示I=n1/2PNi=1iX′+ oP（1），II=oP（1），III=oP（1）。我们从I开始。根据定义，I=n1/2NXi=1ibX′型- n1/2NXi=1ibX′型{|ibX |>wi}。我们现在显示n1/2PNi=1ibX′型{|ibX |>wi}=oP（1）。我们有n1/2NXi=1ibX′型{|ibX |>wi}≤ n1/2NXi=1ibX′型{|ibX′|>wi/2}+n1/2NXi=1ibX′型{|iJ |>wi/2}：=A+B。我们首先与A交易。由支配1{|ibX′|>wi/2}≤ 2k |ibX′kw-ki，对于任何k>0，我们有：| A |≤ Cn1/2NXi=1w-ki公司|ibX′2+k.（46）注意，通过假设（H）以及ψiis Cinθ和Θ是紧集的事实，我们很容易得到任何k≥ 1，|ψi（bθ）| k≤ 中国大陆-k、 从这里，我们通过假设（H’）推导出Byburkholder-Davis-Gundy不等式|ibX′| k≤ C（n-k/2+n-k）≤ 中国大陆-k/2，（47），所以我们可以得出结论，如果k足够大，A=oP（1），这是n的有界性的结果it，和N/N→ F现在，我们来讨论B。注意，通过（H’）和H"older不等式，我们得到了| B |≤ 2n1/2NXi=1ibX′型|iJ | | wi|-1.≤ Cn1/2+(R)ωNXi=1ibX′型|iJ公司|≤ Cn1/2+(R)ωNXi=1ibX′型2p！1/pNXi=1|iJ | q！1/q，其中1/p+1/q=1，且p，q>1。到（46）年，我们得到PNi=1ibX′型2p级1/p=OP（n1/p-1） 由于q>1，我们也有pni=1|iJ | q=OP（1），因为跳跃是可求和的。

事实上，首先请注意，在假设（A-c）下，应用Jacod和Protter（2011）的定理3.3.1，案例A，第70页，其中f（x）=| x | q=o（x）表示x→ 0因为q>1，我们的收敛性pni=1|iJ | q→PP0<s≤T型|sJ | q。如果我们证明极限几乎肯定是有限的，那么左手边的随机有界性将得到证明。我们可以写入0<s≤T型|sJ | q=X0<s≤T型|sJ | q{|sJ公司|≥1} +X0<s≤T型|sJ | q{|sJ |<1}。右侧的第一项显然是有限的，因为在间隔[0，T]上只有大于1的有限跳跃次数。此外，对于第二项，使用| x | q<| x |表示x∈ [0，1）当q>1时，使用该跳跃可求和yieldsX0<s≤T型|sJ | q{|sJ |<1}≤X0<s≤T型|sJ |<+∞ a、 总的来说，这会产生B=OP（n1/p+(R)ω-1/2），当p大于（1/2）时，该值趋于0- ω)-1，这是可能的，因为ω<1/2。现在我们通过证明我们有n1/2NXi=1来结束IibX′型= n1/2NXi=1iX′+ oP（1）。（48）注意n1/2NXi=1ibX′型-iX′= 2n1/2NXi=1iX′ψi（bθ）+n1/2NXi=1ψi（bθ），方程右侧的第二项可以忽略，这是支配ψi（bθ）的直接结果≤ 我们现在表明，第一项也可以忽略不计。根据中值定理，我们还有一些θ∈ [θ，bθ]即n1/2NXi=1iX′ψi（bθ）=n1/2（bθ- θ） TNXi=1iX′θψi（θ）+n1/2（bθ- θ） TNXi=1iX′θψi（θ）（bθ- θ).（49）使用thatbθ- θ=OP（1/n），并且kθψ（θ）k≤ 我们推断第二项可以忽略不计。最后，请注意Pni=1iX′θψi（θ）可以分解为Pni=1的和iBθψi（θ），其中Bt=Rtb′sds，考虑到b和δ的局部有界性，且pni=1，很容易证明可以忽略不计iMc公司θψi（θ），是关于filtrationht=Ft的鞅增量之和∨ σ{Qti，1≤ 我≤ N}。

因此，根据Jacod和Protter（2011）中的（2.2.35），证明该术语趋向于0归结为表明n-1NXi=1E(iMc）kθψi（θ）k→ 0，自k起为立即数θψi（θ）k≤ C、 无/无→PF和E(iMc）≤ 根据假设（H’）的信用证号码。现在我们来看II。正如（47）和假设（H’）一样，对于任何k>0，我们都有不等式|ibX′|>wi/2i≤ Cnk（°ω）-1/2），我们可以在不损失一般性的情况下，通过采用k su ficientlylarge，假设我们可以添加指标1{|ibX′型|≤wi/2}在II中，即thatII=2n1/2NXi=1ibX′型iJ1{|ibX公司|≤wi}{|ibX′型|≤wi/2}，≤ 2n1/2NXi=1ibX′型iJ1{|iJ公司|≤3wi/2}{|ibX′型|≤wi/2}，因此| II |≤ 2n1/2NXi=1|ibX′型||iJ | 1-r|iJ | r{|iJ公司|≤3wi/2}{|ibX′型|≤wi/2}，≤ Cn1/2-ω(2-r） NXi=1|iJ | r |{z}OP（1），其中我们记得r>0是J的跳跃指数∈ (1/(2(2 -r） ，1/2），我们立即得出II=oP（1）。最后，我们可以证明III=oP（1），其推理路线与forII相同。6.3推论4We show（30），as（29）是φ=0的特例。这相当于证明DAB和AV是一致的。我们首先表明DAB是一致的。与之前的证明一样（在这种情况下，这实际上更容易，因为我们只显示一致性），我们可以删除截断和参数噪声部分，并替换ibX由iX′。我们得到dab=BXi=1vσi（X′tih- X′t（i-1） h）+oP（1），其中vσi=N1/2Phij=h（i-1)+1(jX′）Phij=h（i-1)+1(jX′）。函数f（x，y）=x/y上的泰勒展开式，以及收敛的局部版本（24），pni=1iX′→PΞ，σ和v以0和n/n为界→PF yieldsdAB=BXi=1vti-1σti-1（X′tih- X′t（i-1） h）+oP（1）。应用Jacod和Shiryaev（2003）第47页上的定理I.4.31（iii）以及σ和V有界且远离0有界的事实，我们得出以下结论：→个人通讯簿。我们现在表明\\AV-AR是一致的。

在这种情况下，我们可以再次通过类似的参数删除字符串并替换ibX由iX′，即它认为\\AV AR=2NNXi=1(iX′）-BXi=1（vσi）（X′tih- X′t（i-1） h）+oP（1）。根据（23）以及以下事实：→PF，我们推断2nnxi=1(iX′）→PZTusσsds。此外，使用与forgAB类似的技术，我们得到bxi=1（vσi）（X′tih- X′t（i-1） h）→PZTvsσsds。因此，我们已经证明→PAV AR.6.4定理7的证明可以立即看出，（32）与Vetter（2010）中的定理3.3一样适用于（31）。因此，我们证明（31）适用于以下情况，即th atn1/2bΞ=n1/2eΞ+oP（1）。首先，我们证明，我们可以在不损失一般性的情况下假设价格过程X是连续的，即J=0。为此，我们引入b′作为X′的估计量，以代替X。我们表明n1/2bΞ-bΞ′→P0。（50）从（15）中，我们可以很容易地得到密钥分解ibX=iX（bθ）=iB+ψi（Bθ）{z}iB′型+iMc+iJ，（51）通过假设（H），还记得我们有|ψi（bθ）|≤ |supθ∈Θθψi（θ）| bθ- θ| ≤ 因此，请注意iB也适用于iB′。更准确地说，更换iB由iB′和Fiby Gi=Fi∨σ{Qti，0≤ 我≤ n} 在inJacod和Protter（2011）引理13.2.6（第384页）的证明中，保留了所有条件估计，因此引理在存在误差项ψi（bθ）的情况下成立。事实上，Lemma13.2.6原始证明的三个关键要素如下（使用我们自己的符号）：定义UI=|iX′|1/2n，Vi=Rtiti-1RRγ（z）1/ru（ds，dz）ωn！∧ 1和Wi=Rtiti-1RRγ（z）1/ru（ds，dz）1/2n！∧ 1，我们有（见Jacod和Protter（2011）第384-385页中的（13.2.22）-（13.2.23）），对于任何m>0，E[（Ui）m | Gi-1] ≤ Cm，（52）E[（Vi）m | Gi-1] ≤ (1-r′ω）（1∧（m/r））nφn，（53）E[（Wi）m | Gi-1] ≤ (1-r/2）（1∧（m/r））nφn，（54），其中Cm>0是一个常数，可能取决于m，φnis是一个合适的确定性序列，倾向于0，作为n→ +∞.

注意，在存在项ψi（bθ）的情况下，也就是说，如果VIA和WIA保持不变，但UI变为UI=|ibX′型|1/2n，条件偏差（52）-（54）保持不变E[（Ui）m | Gi-1] -E[（bUi）m | Gi-1]= OP（n-1.-1/2n）→ 0使用ψi（bθ）≤ 因此，当X和X′分别被BX和BX′取代时，Jacod和Protter（2011）的引理13.2.6仍然成立。应用F（x，x）=| x | | x |，k=2，p′=s′=2，s=1和θ=0，这直接得出所有q≥ 1，对于某个确定序列angoing to 0，E|ibX公司||我-1bX | 1{|ibX公司|≤w}{|我-1倍|≤w}- |ibX′型||我-1bX′1{|ibX′型|≤w}{|我-1bX′|≤w}q≤ 可以（第2季度-r） ω+1n，其中我们使用了q/r>1和ω<1/2，其中我们回忆起ibX′=iX′（bθ）。给定bΞ和bΞ′的定义，应用q=1的上述支配，我们直接推导出估计值1/2EbΞ-bΞ′|≤ ann1/2-(2-r） ω→ 0，自ω起∈ (1/(2(2 - r） ），1/2）。从现在起，到（50），我们剩下来显示n1/2（bΞ′）-eΞ）→P0。通过定义，我们得到n1/2bΞ′=πn1/2nXi=2ibX′型{|ibX′型|≤w}我-1bX′{|我-1bX′|≤w} ，=πn1/2nXi=2(iX′+ψi（bθ））(我-1X′+ψi-1（bθ））{|ibX′型|≤w}{|我-1bX′|≤w} 。如果我们引入Ξ=πPni=2iX′{|ibX′型|≤w}我-1倍\'{|我-1bX′|≤w} ，我们有1/2bΞ′-Ξ=πn1/2nXi=2iX′{|ibX′型|≤w}我-1bX′-我-1倍\'{|我-1bX′|≤w} +πn1/2nXi=2ibX′型-iX′{|ibX′型|≤w}我-1bX′的{|我-1bX′|≤w} =I+II。我们在下面的两个步骤中证明（31）。首先，我们证明n1/2eΞ-Ξ= oP（1）。其次，我们证明了I=oP（1）和II=oP（1）。我们有1/2eΞ-Ξ≤πn1/2nXi=2|iX′||我-1X′| | 1{|ibX′型|≤w}{|我-1bX′|≤w}- 1{|iX′|≤w}{|我-1X′型|≤w} 因此，通过标准不等式，我们可以推导出n1/2eΞ-Ξ→P0 ifE{|ibX′型|≤w}- 1{|iX′|≤w}≤ 中国大陆-β（55），对于一些足够大的大于0的β（其中C可能取决于β）。现在让我们来展示一下（55）。