参数市场下高频数据的估计

RV=PNi=1iXwhere公司iA=Ati- Ati-可能还有一个相关的中心极限定理和它的学生版。一般来说，它们分别以Nκ的形式存在eΞ-Ξ→ 明尼苏达州AB、AV和AR, （16） 此处限制r<1来自Jacod和Rosenbaum（2013）。事实上，即使对于已实现的波动率问题，（16）也可能不会在r>1的情况下发生。事实上，它产生了不同的最佳收敛速度，如Jacod andReiss（2014）所示（对于某些κ>0的情况，其形式为NκlogN）。此外，正如他们在备注3.4中所解释的，在某些情况下甚至无法实现CLT。将r=1的情况放在一边。Vett er（2010）在考虑双功率变化时，对这种边界情况进行了研究。其中，κ>0对应于收敛速度，nκeΞ- N-κgAB- Ξq ^ AV AR→ N（0，1），（17），其中gab（Xt，···，XtN）和^ AV AR（Xt，···，XtN）也是基于数据的统计，分别对应于渐近偏差和渐近方差估计量。本节的目的是为高频数据用户配备基于oneΞ的噪声鲁棒估计器。为了估计综合参数，我们首先需要噪声参数θdefinedasbθ的估计器。我们假设bθ满足（bθ- θ） =OP（1）。（18） 本文的技术与估计量无关，只需要（18）。在第3.2节中，我们提供了文献中满足（18）要求的估计量的形式（见下文建议1）。基于bθ，有效价格自然估计为bxti=Zti- φ（Qti，bθ）。（19） Li等人（2016）、Chaker（2017）以及Clinet和Potiron（2019b）已经使用了该估计器。相关插件估计器构造为bΞ=eΞ（bXt，···，bXtN）。（20） 例如，在RV的情况下，我们得到了DRV=PNi=1ibX。同样，我们引入了AB=gAB（bXt，···，bXtN）和\\ AV AR=^ AV AR（bXt，··，bXtN）。在这一节的结尾，我们简要地评论了（18）的理论含义。

此时，读者可能会注意到快速速率N-1in（18），表示ψi（bθ）=φ（Qti，θ）的近似值bxti=Xti+ψi（bθ）- φ（Qti，bθ）=OP（N-1） 由（3.1）可知，扰动ψi（bθ）作为附加漂移分量，因此可以在所有推导中系统地处理为附加漂移分量。然而，这两个量之间存在着根本的差异，即漂移返回iB=Rtiti-1BSD通常是适应的，因此FTI是可测量的，而ψi（bθ），通过HBθ，不仅取决于附加观测值（Qtj）j=0，。。。，n但在价格过程X的整个轨迹上，也就是FT。这可能会在考虑，例如，形式Ai的terms时造成问题-1.iM何处iM是鞅增量（即使对于增强过滤Ht=Ft∨ σ{Qti，0≤ 我≤ N} ）。的确，当Ai-1= 我-1B，它自然地保持了Ai的鞅结构-1.感应电动机。另一方面，如果Ai-1=ψi-1（bθ），这样的结构被破坏了，为了检索所需的增量Ai的顺序，需要额外的参数-1.感应电动机。在这个简单的例子中，这个问题可以用泰勒展开式ψi来回避-1（bθ）≈ （bθ-θ） T型θψi-1（θ）+ri-1（bθ），现在使用它θψi-1（θ）是Hti-1可测量-1（bθ）为N阶-2.3.2噪声参数估计Li等人（2016）、Chaker（2017）、Clinet和Potiron（2019b）在不同的设置下提出了几个估计量，当我们假设零剩余噪声t=0时。当φ为线性时，Chaker（2017）的估计量与Li et al（2016）的最小均方误差（MSE）估计量一致（这是前一篇论文的相关假设）。此外，由于拟似然函数的高斯形式，Clinet和Potiron（2019b）的拟最大似然估计（QMLE）降低为均方误差。

因此，我们回顾了下面的均方误差过程，并给出了噪声参数估值器的相关极限理论。我们假设θ：=（θ（1），θ（d）），其中对于每个分量k=1，··，d，我们有θ（k）：=（θ（k，1），θ（k，lk）），对应于与观测价格的第k个分量相关的参数。更具体地说，我们使用组件形式z（k）ti=X（k）ti+φ（Q（k）ti，θ（k））。（21）因此，我们单独考虑θ（k）的估计，因此我们可以假设d=1，而不会失去一般性。估计量bθ（MSE）由bθ（MSE）=argminθ给出∈ΘQN（Z，θ），其中QN（Z，θ）=NXi=1(iZ公司-ui（θ）），其中ui（θ）=φ（Qti，θ）- φ（Qti-1, θ).当φ为线性时，问题归结为线性回归。结果估计量采用显式公式Bθ（MSE）=（MTM）-100万吨Z、 （22）其中Z：=(Z、 ·····························，新西兰），一旦矩阵：=智商（j）1.≤我≤N、 1个≤j≤使MTM是可逆的。现在，我们回顾了Li等人（2016）框架下与tobθ（MSE）相关的极限理论，其中特别包括具有有限活动的跳跃。在下一个命题中，条件A假设b和σ的局部有界性，跳跃过程的可和性，以及大多数f函数的几个标准识别能力，这些函数依赖于参数θ和序列（Qti）i∈N、 详情见Li等人（2016），第35页。提案1。（Li等人（2016）的定理1）。假设Li等人（2016）提出的条件A。ThenN（bθ（MSE）- θ） =OP（1）。4该方法的应用在下文中，我们指出，对于文献中的五个主要示例，插件估计器具有噪声鲁棒性，并且中心极限定理（9）和（10）在参数噪声下成立。在例4.1中，我们研究了在价格和到达时间内生性的有限活动跳跃情况下的阈值实现波动率。

我们进一步研究了Li等人（2014）提出的realizedvolatility的中心极限理论，该理论在观测时间内生性时不包含跳跃，以允许在有限的活动中跳跃。我们首先陈述了与阈值实现波动率相关的中心极限定理，然后是与插件估计器相关的理论。在例4.2中，我们考虑了在有限活动和定期观测下的阈值双功率变化。在例4.3中，我们开发了无跳跃设置、异步和内生观测时间下高频协方差的Hayashi Yoshida估计量。在例4.4中，我们考虑了波动率函数的估计，当价格可以在有限的活动和观测有规律的情况下表现出跳跃。最后，在示例4.5.4.1中，我们讨论了连续价格和波动性过程以及定期观察时间的波动性情况。阈值实现波动性参数为ξt=σt，如果观察值不受噪声污染，则收敛速度κ=1/2。当价格是连续的且观察结果是有规律的时，Andersen等人（2001a）、Andersen等人（2001b）以及Barndorff-Nielsen和Shephard（2002a）、Barndorff-Nielsen和Shephard（2002b）、Meddahi（2002）等都考虑了一种流行的Ξ=RTσsds估计值。Jacodand-Protter（1998）表明RV-ZTσsds→ 明尼苏达州0，2TZTσsds.当观测值不规则时，AVAR等于2TRTσtdHt，其中Ht=lim T-1NPti≤t（ti-ti公司-1） 是所谓的“时间的二次变化”（见Zhang（2001）和Mykland and Zhang（2006）），前提是存在此类数量。

当观察结果是内源性的时，Li等人（2014）研究了n1/2（RV）的有限分布- Ξ）包括渐近偏差和相关AVAR改变。此外，他们还证明了到达时间的信息内容有助于估计交感偏倚和AVAR。我们的目标是在这种内生环境中考虑参数噪声，同时也包括价格过程中的跳跃。据作者所知，没有任何一般理论包括一般内生性和跳跃，即使在观测没有噪音的情况下。因此，在增加跳跃时，我们首先扩展了Li等人（2014）的结果。然后，我们展示了本文的技术适用于这样一个一般环境，这一部分本质上归结为应用了Li等人（2016）的论点。虽然内生性下不存在理论，但当观测值是规则的时，可以使用Jacod和Protter（2011）中的定理13.2.4（第383页）。我们考虑了一个类似的阈值RV，最初在Li et al（2016）的标记6（第36页）中表明，阈值RV估计器可以在内生性下使用，但没有正式的证据，这仅限于具有有限活动的跳跃情况。《曼奇尼精神》（2009）和《曼奇尼精神》（2011），定义aseΞ=PNi=1(九）{|九|≤wi}，其中wi=α它是ω，ω∈ (1/(2(2 -r） ，1/2），α>0是一个调整参数。在下一个定理中，我们给出了相关的中心极限定理，并证明了本文的条件成立。定理2。我们假设inft∈（0，T]σT>0。我们进一步假设存在非随机EUT和evtsuch thatnX0<ti≤t型iX′→PZteusσsds，（23）n1/2X0<ti≤t型iX′→PZtevsσsds，（24），其中eutσt、evtσ和evtσtare是可积的，并且evt局部有界且远离f从0有界。此外，我们假设ti、bt、σ和δ是由无数布朗运动产生的。

最后我们假设不适用→PF f或某个随机变量f，n它是从0开始的局部有界和局部有界。然后，在法律上稳定为n→ ∞, 我们有1/2（eΞ-Ξ ) →ZTvsσsdX′s+ZTrus-vsσsdBs，（25），其中vs=√F evs，us=F eu和bt是一个标准的布朗运动，与其他量无关。此外，我们有1/2（bΞ-Ξ ) →ZTvsσsdX′s+ZTrus-vsσSDB。（26）备注3。如果观察结果是有规律的，则所有s的F=1，us=3T，vs=0∈ [0，T]。因此，（25）和（26）可以指定为N1/2（eΞ-Ξ ) → 明尼苏达州0，2TZTσsds, （27）n1/2（bΞ-Ξ ) → 明尼苏达州0，2TZTσsds. （28）我们现在提供AB=（2/3）RTvsσsdX′和AV AR=RT（us）的跳跃稳健估计-vs）σsds基于Li等人（2014）提供的非跳跃稳健估计。因此，我们将数据分为h个观测值的B个块（f或最后一个可能包含较少观测值的块除外）。我们设置h=nβ, 其中1/2<β<1。我们可以估计vthiσthiasfvσi=N1/2Phij=h（i-1)+1(jX）{|jX公司|≤wj}Phij=h（i-1)+1(jX）{|jX公司|≤wj}，即我们假设tiare G-停止时间，其中G=（Gt）t∈[0，T]是由无数布朗运动产生的F的细分，bt、σ和δ适用于G。在这里和其他定理中，我们的意思是bt独立于边界σ场F和AB，AVAR asgAB=BXi=1fvσi（hiXj=h（i-1)+1jX1型{|jX公司|≤wj}）{z}gABi，^AV AR=2NNXi=1(九）{|九|≤wi}-BXi=1gABi。回顾当用BX代替X时，DAB和AV AR分别构造为GAB和^ AV AR，我们现在提供了先前中心极限定理的研究版本。推论4。我们有- N-1/2磅- Ξq ^ AV AR→ N（0，1），（29）N1/2bΞ- N-1/2选项卡- Ξp\\AV AR→ N（0，1）。（30）备注5。如果观测值是规则的，则不存在渐近偏差，并且可以使用第4.4节中获得的四次性插件估计器估计AV AR。

鉴于定理11暗示插件估计量的一致性，我们直接通过定理2（30）中获得的稳定收敛性获得。备注6。（估计i.i.d噪声下的波动率）估计潜在i.i.d噪声下综合波动率的替代方法包括但不限于：A"it-Sahalia et al（2005）的准最大似然估计量（QMLE），该估计量后来在Xiu（2010）中被证明对时变波动率具有鲁棒性，Zhang et al（2005）中的两个标度实现波动率，Zhang（2006）中的多尺度已实现波动率、Jacod et al（2009）中的预平均方法、Barndor Off-Nielsen et al（2008）中的已实现核以及基于Reiss（2011）的Altmeyer和Bibinger（2015）中考虑的谱方法。Clinet和Potiron（2018）在考虑局部估计时讨论了AVAR减少。此外，Li等人（2013）考虑了内生到达时间。4.2阈值双功率变化这里再次ξt=σt。双功率变化BV=πPNi=2 |九| |我-1X |（巴恩多夫-尼尔森和谢泼德（2004）和巴恩多夫-尼尔森和谢泼德（2006）的更普遍的多功率变化）最初是作为一种对近期活动跳跃稳健的替代措施引入的。在常规观测和无跳跃的情况下，Barndor Off-Nielsen等人（2006a）和Barndor Off-Nielsen等人（2006b）建立了中心极限理论。参见Kinnebrock和Podolskij（2008）的相关发展。如果活动出现跳跃，请参见Barndor Off-Nielsen等人（2006c）。如果跳跃表现出有限的活动，Vetter（2010）表明BV不再一致，但跳跃鲁棒阈值估值器Ξ=πNXi=2 |九| 1{|九|≤w} |我-1X | 1{|我-1台|≤w} 一致，其中w=αω, ω ∈ (0, 1/2). 此外，他还展示了相关的中心极限理论。相关工作参见Corsi等人（2010）。最后，一般理论（定理13.2.1（p。

也可采用Jacod和Protter（2011）的380）。所有这些论文都有一个共同点，即它们都是定期观察的，我们遵循相同的设置，以表明本文的技术也可以用于此示例中。我们将在下面提供正式结果。定理7。我们有1/2bΞ-eΞ→P0.（31）尤其是，在法律上稳定为n→ ∞,n1/2（bΞ-Ξ ) →πs1 +π-πTZTσsdBs，（32），其中bt是独立于其他量的布朗运动。在这个例子中，我们得到AV AR=π（1+π-π） TRTσsds，可通过AV AR=π（1+π）估计-π） Tσsds，其中四次性的插入式估计器定义为第4.4节的特例（即，Tσsds对应于以下（39）中给出的估计器，其中g（x）=x）。我们还提供了相关的学生化中心极限定理。推论8。我们有1/2bΞ-Ξp\\AV AR→ N（0，1）。（33）4.3高频协方差的Hayashi-Yoshida估计量我们在此假设XT是二维的，ξt=ρtσ（1）tσ（2）t，其中高频相关ρtsatis fies dhW（1），W（2）it=ρtdt。这个问题的收敛速度也是κ=1/2。我们认为观测是非同步的。在此框架下，假设价格是连续的，Hayashi和Yoshida（2005）提出了所谓的Hayashi-Yoshida估计量，并在采样时间独立于价格过程的情况下建立一致性。这在Hayashi和Kusuoka（2008）的非内生性环境中得到了扩展。相关的中心极限理论可以在Hayashi和Yoshida（2008）、Hayashi和Yoshida（2011）以及Potiron和Mykland（2017）中找到，后者的工作考虑了一般的内生到达时间。

另请参见Bibingerand Vetter（2015）和M artin and Vetter（2019）在跳跃环境中的出色工作，以及Koike（2014a）、Koike（2014b）和Koike（2016）将跳跃、噪音和某种内生性纳入模型。由于我们希望考虑到非常奇特的内生模型，我们遵循Potiron和Mykland（2017）。特别是，我们假设设置中没有跳转。我们将在接下来的文章中介绍带时间过程的命中边界（HBT）模型。在该模型中，有八个随机过程（其中四个实际上是随机过程的家族）是令人感兴趣的，每种资产四个。对于指数k=1，2，我们有价格过程X（k）t和其他三个s-tochastic过程（其中两个实际上是过程的家族）-Y（k）t，d（k）t（s）和u（k）t（s）-与该过程的观察时间相关。这四个随机过程可以相互关联，我们进一步认为（Xt，Yt）是一个四维It过程。对于过程k=1，2，Y（k）t代表驱动与X（k）t相关的观测时间的连续观测时间过程。其他四个过程是下行过程d（k）t（s）和上行过程u（k）t（s）。我们假设下行过程只取负值，上行过程只取正值。每当这两个过程中的一个被观测时间过程的增量击中时，就会生成一个新的观测时间。然后，观察时间过程的增量将重置为0，并且每当再次点击向上或向下过程时，将生成下一个观察时间。形式上，如果我们让α>0代表厚度大小，我们将第一次观察时间定义为t（k）：=0，递归地定义为t（k）last（k）i：=infnt>t（k）i-1: Y（k）[t（k）i-1，t]/∈αd（k）tt型-t（k）i-1., αu（k）tt型-t（k）i-1.o、 （34）其中Y（k）[a，b]：=Y（k）b-Y（k）a。

我们定义了Hayashi-Yoshida估计量aseΞ：=X0<t（1）i，t（2）j<t九（1）jX（2）[t（1）i-1，t（1）i）∩[t（2）j-1，t（2）j）6=. （35）在渐近理论中，我们让α→ 0.为了Potiron和Mykland（2017）的R emark 5（第25页），α-与n1/2的顺序相同。我们现在可以证明本文的技术也适用于这种情况。定理9。作为刻度大小α→ 0，我们有α-1.bΞ-eΞ→P0.（36）特别是，在Potiron和Mykland（2017）的假设下，存在AB和过程AVTsch，其在法律上稳定为刻度大小α→ 0,α-1（bΞ-Ξ ) → AB+ZT（AVs）1/2dBs，（37）其中Bt为布朗运动，与其他量无关，AB和AVTAR在Potiron和Mykland（2017）第4.3节中定义。我们在Potiron和Mykland（2017）（第5节，第28页）分别定义了（46）和（47）。注意，gab和^ AV AR在α意义上已经具有正确的渐近顺序-1gAB→PAB和α-2^AV配置总成→PRTAVSD（见citedpaper推论4中的（48）和（49））。我们现在提供（37）的学生化版本。推论10。我们有-轻而快地擦掉- Ξp\\AV AR→ N（0，1）。（38）4.4波动率局部估计的泛函现货参数为ξt=g（ct），对于M+d上的给定光滑函数g，所有非负对称d×d矩阵的s集。这个问题是由巴恩多夫·尼尔森和谢泼德（2002a）提出的。另请参见Barndor Off-Nielsen等人（2006a）、Mykland和Zhang（2012）（提案2.17，第138页）和andRenault等人（2017），了解相关发展。这里，收敛速度又是κ=1/2。局部估计（Mykland and and Zhang（2009），第4.1节，第1421-1426页）可以使上述估计有效。Jacod和Rosenbaum（2013）以多种方式扩展了该方法。为此，他们首先提出了即期波动率eci的估计值，然后取g（eci）的黎曼和。对于任何矩阵a∈ M+d，相关的Aij表示a的（i，j）-分量。