论汇率的奇异控制

在下文中，我们将ξ=η=0 a.s.，而不丧失一般性，并且为了将来频繁使用，我们注意到任何ν∈ S满意度νt=νct+νjt，t≥ 这里，ν是ν的连续部分，跳跃部分是νjis，因此νjt：=P0≤s<tνs，其中νt：=νt+- νt，t≥ 0.然后我们考虑(Ohm, F、 P）过程X满足以下随机微分方程（SDE）（2.3）dXt=u（Xt）dt+σ（Xt）dBt+dξt- dηt，X=X∈ 一、 这里I：=（x，x），带-∞ ≤ x<x≤ +∞, u和σ是合适的漂移和扩散系数。进程X表示两种货币之间的（对数）汇率。漂移系数u衡量汇率的趋势，而σ衡量围绕这一趋势的波动。中央银行可以通过ξ和η过程调整X的水平。特别是，ξtandηt可以表示截至时间t已买入或卖出的外币累计金额≥ 0，以分别将汇率水平推高或推低。以下假设确保，对于任何ν∈ S、 （2.3）存在唯一的强解（见[41]，定理V.7）。假设2.1。系数u：R→ R和σ：R→ (0, ∞) 属于C（R）。此外，存在L>0，因此对于所有x，y∈ 一、 |u（x）- u（y）|+|σ（x）- σ（y）|≤ L | x- y |。从现在开始，为了强调它对初始值x的依赖性∈ 对于ξ和η这两个过程，我们将（2.3）的（左连续）解称为Xx；ξ、 η，如适用。此外，在本文的其余部分中，我们使用符号Ex[f（Xξ，ηt）]=E[f（Xx，ξ，ηt）]。

这里是测量Px（·）：=P（·| Xξ，η=X）下的期望值(Ohm, F） ，和F:R→ R是任何可测的Borel，使得f（Xξ，ηt）是可积的。我们也用σI表示：=inf{t≥ 0 | Xx；ξ、 ηt/∈ 一} 第一次受控过程Xx；ξ、 ηtleaves I.我们还考虑了根据SDE（2.4）dbXt=[u（bXt）+（σ）（bXt）]dt+σ（bXt）dbBt，bX=x演变的一维差异∈ 一、 注意，在假设2.1下，存在一个弱解（bOhm,bF、bF、bPx、bB、bX），在可能的爆炸时间内（参见【30】中的第5.5章，以及其他内容），这在法律上是唯一的。事实上，在假设2.1下，对于任何x∈ I存在o> 0，使（2.5）Zx+公牛-o1+|u（z）|+|σσ（z）|σ（z）| dz<+∞.我们将考虑针对任何初始条件x确定的此类解决方案∈ 我看完了这篇论文。此外，（2.5）保证BX是一种常规的差异。也就是说，从x开始∈ 一、 bX到达任何其他y∈ 我在有限时间内有正概率。最后，为了强调Bx对其初始值的依赖性，从现在起，我们在需要的地方写下Bxx，并用Bx表示测量值Bx下的期望值。关于汇率的单一控制7备注2.2。通过Radon-Nikodym导数zt确定新的测量值qxT：=dQxdPxFt=expnZtσ（X0,0s）dBs-Zt（σ）（X0,0s）dso，Px- a、 s.，（2.6），这是σ有界的指数鞅。然后根据Girsanov定理，过程（2.7）bBt：=Bt-Ztσ（X0,0s）ds是Qx下的标准布朗运动，不难证明该定律（X0,0Qx）=定律（bXbPx）。非受控扩散Xx的微型发生器；0,0用lx表示，定义为（LXf）（x）：=σ（x）f（x）+u（x）f（x），f∈ C（I），x∈ 一、 （2.8）而ofbX用lbx表示，定义为（LbXf）（x）：=σ（x）f（x）+（u（x）+σ（x）σ（x））f（x），f∈ C（I），x∈ 一、 （2.9）假设r>0为固定常数，我们作出以下长期假设。假设2.3。

r- 对于x，u（x）>0∈ 一、 在随后的优化问题中，参数r>0将起到中央银行贴现系数的作用（见下文（2.28））。我们引入ψ和φ作为普通微分方程（ODE）的基本解（见第2章，第10节，共10页），LXu（x）- ru（x）=0，x∈ 一、 （2.10）我们记得，它们分别严格地增加和减少。对于任意x∈ I我们也用s（x）：=exp表示-Zxx2u（z）σ（z）dz, x个∈ 一、 （Xx；0,0t）t标度函数的导数≥0，W等于常数Wronskian（2.11）W：=ψ（x）φ（x）- φ（x）ψ（x）S（x），x∈ 一、 此外，在假设2.1下，ODELbXu（x）的任何解- （r）- u（x））u（x）=0，x∈ 一、 （2.12）可以写成基本解bψ和bφ的线性组合，其中[10，第2.10章]的增益分别严格递增和递减。最后，让x∈ 为了任意，我们表示bybS（x）：=exp-Zxx2u（z）+2σ（z）σ（z）σ（z）dz, x个∈ 一、 （bXxt）t标度函数的导数≥0，乘以（2.13）bm（x）：=σ（x）bS（x），8法拉利，瓦吉奥卢特速度测量密度（bXxt）t≥0，w等于Wronskian（2.14）w：=bψ（x）bφ（x）-bφ（x）bψ（x）bS（x），x∈ 一、 备注2.4。

很容易看出，这两种差异的尺度函数和速度度量Xx；0,0和bxxx通过x的S（x）=S（x）/σ（x）和bm（x）=2/S（x）进行关联∈ 一、 关于实值It^o-diffusions Xx的边界行为；0,0和bx，在本文的其余部分中，我们假设x和x对于这两个过程是自然的（有关一维差异边界行为的完整讨论，请参见[10]）。这尤其意味着它们在限定时间内无法实现，并且（2.15）极限↓xψ（x）=0，limx↓xφ（x）=+∞, 林克斯↑xψ（x）=+∞, 林克斯↑xφ（x）=0，（2.16）limx↓xψ（x）S（x）=0，limx↓xφ（x）S（x）=-∞, 林克斯↑xψ（x）S（x）=+∞, 林克斯↑xφ（x）S（x）=0和（2.17）limx↓xbψ（x）=0，limx↓xbφ（x）=+∞, 林克斯↑xbψ（x）=+∞, 林克斯↑xbφ（x）=0，（2.18）limx↓xbψ（x）bS（x）=0，limx↓xbφ（x）bS（x）=-∞, 林克斯↑xbψ（x）bS（x）=+∞, 林克斯↑xbφ（x）S（x）=0。在下文中，我们还提出了下一个长期假设。假设2.5。一个有边缘↓xφ（x）=-∞ 和limx↑xψ（x）=∞.在假设2.5下，我们在附录引理A.1中显示，一个hasbφ=-φ和bψ=ψ（另请参见[6]中引理4.3证明的第二部分）。备注2.6。值得注意的是，我们针对差异所做的所有假设Xx；0,0和bx（即假设2.1、2.3和2.5）在（对数）汇率的相关情况下满足，例如，通过漂移布朗运动（即u（x）=u>0和σ（x）=σ>0）或通过均值回复过程（即u（x）=θ（u- x） ，对于某些常数θ>0，u∈ R和σ（x）=σ>0，均定义于I=R，即。

带X=-∞, \'\'x=+∞.供将来参考，适用于所有x、y∈ I我们介绍与差异Xx相关的绿色函数；0,0（2.19）G（x，y）：=W-1·（ψ（x）φ（y），x≤ y、 φ（x）ψ（y），x≥ y、 对于差异bxx（2.20）bG（x，y）：=w-1·（bψ（x）bφ（y），x≤ y、 bφ（x）bψ（y），x≥ y、 然后有一个解算式（2.21）（Rf）（x）：=ExZ∞e-rsf（X0,0s）ds, x个∈ 一、 关于汇率的单数控制9和（2.22）（bRf）（x）：=bExZ∞e-卢比（r-u（bXu））duf（bXs）ds, x个∈ 一、 对于任何函数f进行了定义，以使之前的期望明确，允许表示（2.23）（Rf）（x）=ExZ∞e-rsf（X0,0s）ds=ZIf（y）G（x，y）m（y）dy和（2.24）（bRf）（x）=bExZ∞e-卢比（r-u（bXu））duf（bXs）ds=ZIf（y）bG（x，y）bm（y）dy，适用于所有x∈ 一、 请注意，Rf和BRF求解ODE（2.25）九、- r（Rf）（x）=-f（x），LbX公司- （r）- u（x））（bRf）（x）=-f（x），对于任何x∈ 一、 此外，（2.26）（Rf）（x）=（bRf）（x），x∈ 一、 对于任何f∈ C（I）使Rf和Brfare得到明确定义（为完整起见，可在附录中找到关系证明（2.26））。最后，以下有用的方程式适用于任何x<α<β<x（参见第10段，第2章，共10页））：（2.27）bψ（β）bS（β）-bψ（α）bS（α）=Zβαbψ（y）（r- u（y））bm（y）dy，bφ（β）bS（β）-bφ（α）bS（α）=Zβαbφ（y）（r- u（y））bm（y）dy.2.2。最优控制问题。在本节中，我们将介绍中央银行面临的优化问题。中央银行可以通过购买或出售这两种货币中的一种（即。

通过适当地运用ξ和η），我们假设货币贬值或评估政策会导致成比例的成本cand c，这取决于当前的汇率水平。此外，我们假设，Xt是时间t的（对数）汇率水平≥ 0时，中央银行面临持有成本h（Xt）。与中央银行政策相关的总预期成本ν∈ 因此，S为（2.28）Jx（ν）：=ExZσIe-rsh（Xξ，ηs）ds+ZσIe-卢比c（Xξ，ηs）⊕ dξs+c（Xξ，ηs） dηs.在（2.28）中，r>0是中央银行的合适贴现系数，ZσIe-rsc（Xx，ξ，ηs）⊕ dξs：=ZσIe-rsc（Xx，ξ，ηs）dξcs+Xs<σIe-rsZ公司ξsc（Xξ，ηs+z）dz，（2.29）10法拉利，VARGIOLUandZσIe-rsc（Xx，ξ，ηs） dηs：=ZσIe-rsc（Xx，ξ，ηs）dηcs+Xs<σIe-rsZ公司ηsc（Xξ，ηs- z） dz，（2.30）和ξcandηcdenote分别是ξ和η的连续部分。请注意，（2.29）和（2.30）中的控制成本定义已经在[49]中引入，现在在单一随机控制文献中很常见（参见[35]）。关于持有成本h和比例成本ci，我们假设如下。假设2.7。（i） h：R→ [0, +∞) 属于C（I）；（ii）对于任何i=1，2，ci:R→ R属于C（I）。此外，设置bci：=（LbX-（r）- u））ci，i=1，2，我们有-bc（x）+h（x）< 0，x<ex，=0，x=ex，>0，x>ex，bc（x）+h（x）< 0，x<ex，=0，x=ex，>0，x>ex，对于某些ex，ex，使得x<ex<ex<x。此外，c（x）+c（x）>0，x∈ 一、 bc（x）+bc（x）<0，x∈ 一、 表达式（2.31）ci（x）=-贝克斯Z∞e-卢比（r-u（bXu））dubci（bXs）ds= -（bR bci）（x），x∈ 一、 这是真的。最后，存在Ki＞0和γ≥ 1使得| ci（x）|≤ Ki（1+| x |γ），x∈ 一、 备注2.8。（1） 本文的所有结果也适用于较弱的正则性条件ci，i=1，2；即，如果ci∈ W2，∞loc（I）。后者相当于Sobolev\'sembeddings（参见，例如，Ch。

假设，对于anyi=1，2，ci与I.（2）中局部有界的二阶导数连续可微，很容易验证，例如，h（x）=（x-θ), θ ∈ R、 和ci（x）=所有x的ci>0∈ 我满足假设2.7。（3） 值得注意的是，（2.31）本质上是一个可积条件。事实上，如果Trasversity条件限制→+∞贝克斯河-Rt（r-u（bXs））dsci（bXt）i=0，i=1，2，保持true和bexZ∞e-卢比（r-u（bXu））du | bci（bXs）| ds< ∞,关于汇率的奇异控制11，然后应用Dynkin公式（达到标准本地化参数）得出（2.31）。以下定义描述了可接受控制的类别。定义2.9。对于任何x∈ 我我们说ν∈ S是一个可容许的控制，并且wewriteν∈ A（x），如果Xx，ξ，ηt∈ 对于所有t>0（即σI=+∞ Px-a.s.）和以下内容成立：（a）ExZ∞e-rs | c（Xξ，ηs）|⊕ dξs+Z∞e-rs | c（Xξ，ηs）| dηs< +∞;（b） Ex公司Z∞e-rsh（Xξ，ηs）ds< +∞;（c） Exhsupt公司≥0e-rt | Xξ，ηt | 1+γi<+∞ （对于γ，如假设2.7-（ii））。央行旨在选择一个可接受的ν？使总预期成本（2.28）最小化；也就是说，它旨在求解（2.32）v（x）：=infν∈A（x）Jx（ν），x∈ 一、 问题（2.32）以奇异随机控制问题的形式出现（参见，例如，【43】的介绍）；也就是说，控制过程诱导的R+上的（随机）测度相对于Lebesgue测度可能是奇异的。3、解决问题3.1。初步验证定理。在本节中，我们证明了Verifitiontherem，它提供了一组有效条件，在这些条件下，候选值函数和候选控制过程确实是最优的。

为此，我们注意到，根据奇异随机控制的经典理论（例如，参见[20]的第八章），我们期望v能够识别出Hamilton-JacobiBellman（HJB）方程（3.1）minn的合适解九、- ru（x）+h（x），c（x）- u（x），u（x）+c（x）o=0，x∈ 一、 事实上，后者的形式是具有状态相关梯度约束的变分不等式。定理3.1（验证定理）。假设假设2.7成立，假设Hamilton-Jacobi-Bellman方程（3.1）允许C解u:I→ r如| u（x）|≤ K（1+| x | 1+γ），x∈ 一、 对于某些K>0，其中γ≥ 1是ci的增长系数，i=1，2（见假设2.7-（ii））。那么一个有u≤ 此外，给定初始条件x∈ 一、 还假设存在bν∈ A（x）使得提供其最小分解的过程bξ和bη为（3.2）Xx，bξ，bηt∈nx公司∈ 一：九、- ru（x）+h（x）=0o，Lebesgue-a.e.P-a.s.，过程（3.3）中兴通讯-rsσ（Xx；bξ，bηs）u（Xx；bξ，bηs）dBst型≥0是F-鞅，12法拉利，瓦吉奥卢安（3.4）ZT公司u（Xx，bξ，bηt）+c（Xx，bξ，bηt）⊕ dbξt=0，ZTc（Xx，bξ，bηt）- u（Xx，bξ，bηt） dbηt=0，对于所有t≥ 0 P-a.s.则I上的u=v，bν是（2.32）的最佳值。证据证明分两步进行。我们首先证明≤ v在I上，然后是u≥ v在I上，bν对于（2.32）是最佳的。第1步。让x∈ I和ν∈ A（x）。自u起∈ C（I）我们可以将半鞅的It^o-Meyer\'s公式（见[38]，第278-301页）应用于过程（e-rtu（Xx，ξ，ηt））t≥0在任意时间间隔[0，T]上，T>0。

然后，回顾ξc和ηc分别是ξ和η的连续部分，我们得到u（x）=e-rTu（Xx；ξ，ηT）-中兴通讯-卢比（LX- r） u（Xx；ξ，ηs）ds- Mx；ξ、 ηT-中兴通讯-rsu（Xx；ξ，ηs）dξcs+中兴通讯-rsu（Xx；ξ，ηs）dηcs（3.5）-X0≤s<Te-卢比u（Xx；ξ，ηs+）- u（Xx；ξ，ηs）,我们有setMx；ξ、 ηT：=中兴通讯-rsσ（Xx；ξ，ηs）u（Xx；ξ，ηs）dBs。由于过程ξ和η在R+的不相交子集上跳跃，我们可以写0≤s<Te-rs（u（Xs+）-u（Xs））=X0≤s<Te-卢比Zξsu（Xx；ξ，ηs+z）dz-Zηsu（Xx；ξ，ηs-z） dz公司,因为（LX- r） u型≥ -h和-c≤ u≤ con I by（3.1），我们从（3.5）到u（x）≤ e-rTu（Xx；ξ，ηT）+中兴通讯-rsh（Xx；ξ，ηs）ds- Mx；ξ、 ηT+中兴通讯-rsc（Xx；ξ，ηs）⊕ dξs+中兴通讯-rsc（Xx；ξ，ηs） dηs，（3.6）在回顾（2.29）和（2.30）时。假设所有x∈ I一个有| u（x）|≤ K（1+| x |γ+1），因此我们可以写出一些K>0的thatu（x）≤ e-rTK公司1+| Xx；ξ、 ηT |γ+1e-rT+中兴通讯-rsh（Xx；ξ，ηs）ds- Mx；ξ、 ηT+中兴通讯-rsc（Xx；ξ，ηs）⊕ dξs+中兴通讯-rsc（Xx；ξ，ηs） dηs≤ e-rTK公司1+支持≥0e-rt | Xx；ξ、 ηt |γ+1+中兴通讯-rsh（Xx；ξ，ηs）ds- Mx；ξ、 ηT（3.7）+中兴通讯-rsc（Xx；ξ，ηs）⊕ dξs+中兴通讯-rsc（Xx；ξ，ηs） dηs。关于汇率的奇异控制13，从前面的方程中我们得到，对于所有T>0，Mx；ξ、 ηT≤ - u（x）+K1+支持≥0e-rt | Xx；ξ、 ηt |γ+1++Z∞e-rs | c（Xx；ξ，ηs）|⊕ dξs+Z∞e-rs | c（Xx；ξ，ηs）| dηsso表示Mx；ξ、 ηT∈ L（P）通过ν的可容许性（参见定义（2.9））；因此，（Mx；ξ，ηT）T≥0isa子鞅。然后，在（3.7）中加入期望值，我们有（x）≤ e-rTExhK公司1+支持≥0e-rt | Xx；ξ、 ηt |γ+1i+Ex中兴通讯-rsh（Xx；ξ，ηs）ds+中兴通讯-卢比c（Xx；ξ，ηs）⊕ dξs+c（Xx；ξ，ηs） dηs以极限为T↑ +∞, 利用ν可容许的事实（参见定义2.9），通过支配收敛定理，我们得到u（x）≤ Jx（ν）。因为后者适用于任何x∈ I和ν∈ A（x）我们得出结论，u≤ v on I.步骤2。让我们再来一次x∈ 给定并固定，并取满足（3.2）、（3.3）和（3.4）的容许bν。

那么所有导致（3.6）的不等式都变成了等式，并且我们得到的期望u（x）=Exe-rTu（Xx；bξ，bηT）+中兴通讯-rsh（Xx；bξ，bηs）ds+（3.8）+中兴通讯-rsc（Xx；bξ，bηs）⊕ dbξs+中兴通讯-rsc（Xx；bξ，bηs） dbηs.假设我们有，对于任何x∈ 一、 u（x）≥ -K（1+| x | 1+γ），所以我们可以通过写u（x）从（3.8）继续≥ - e-rTExhK公司1+支持≥0e-rt | Xx；bξ，bηt |γ+1i+Ex中兴通讯-rsh（Xx；bξ，bηs）ds+（3.9）+中兴通讯-rsc（Xx；bξ，bηs）⊕ dbξs+中兴通讯-rsc（Xx；bξ，bηs） dbηs.根据bν的可容许性（见定义2.9），我们可以将限值取为T↑ ∞, 对（3.9）右侧的第二个期望调用支配收敛定理，最后发现u（x）≥ 前任Z∞e-rsh（Xx；bξ，bηs）ds+Z∞e-rsc（Xx；bξ，bηs）⊕ dbξs+Z∞e-rsc（Xx；bξ，bηs） dbηs.因此u（x）≥ Jx（bν）≥ v（x）。将这个不等式与u≤ 在Ib步骤1中，我们得出结论，I上的u=v，bν是最优的。3.2. 构建候选解决方案。我们在此构造HJBequation（3.1）的一个解。特别是，考虑到问题的结构，我们推测存在两个需要确定的常量触发值，例如a和b，这样x个∈ 一：九、- ru（x）+h（x）=0= （a，b），以及（3.10）x个∈ I:u（x）=-c（x）= （x，a），以及x个∈ I：u（x）=c（x）= 根据这个猜想，我们从解ODE（3.11）（LX）开始- r） u（x）+h（x）=014法拉利，VARGIOLUin（a，b） 一、 对于一些a<b。回顾（2.25），方程（3.11）的通解为（3.12）u（x）=Aψ（x）+Bφ（x）+（Rh）（x），x∈ （a，b），对于某些a，b∈ R、 此外，关于（3.10），对于任何x，我们设置u（x）=Aψ（A）+Bφ（A）+（Rh）（A）+Zaxc（y）dy∈ （x，a），andu（x）=aψ（b）+bφ（b）+（Rh）（b）+Zxbc（y）dyfor any x∈ [b，x）。