论汇率的奇异控制

这一结果在下一节进行比较静力学分析时起着重要作用。提案3.7。设v为（2.32）的值函数。那么对于任何x∈ I其中有（3.41）v（x）=infτsupσbJx（τ，σ）=supσinfτbJx（τ，σ），其中τ，σ，I=1，2是BF停止时间，bJx（τ，σ）：=bExZτ∧σe-卢比（r-u（bXu））duh（bXs）ds- e-Rσ（R-u（bXu））duc（bXσ）1{σ<τ}+e-Rτ（R-u（bXu））duc（bXτ）1{τ<σ}.（3.42）关于汇率的单一控制23此外，对于任何x∈ 一、 BF停止时间对（τ*, σ*) 由（3.43）τ给出*:= inf{t≥ 0:bXt≥ b*} 和σ*:= inf{t≥ 0:bXt≤ 一*},bPx公司- a、 s.形成鞍点；即bJx（τ*, σ) ≤bJx（τ*, σ*) ≤bJx（τ，σ*),对于任何一对BF停止时间（τ，σ）。证据我们只提供了一个证明的草图，因为它的论点很标准。从定理3.6中，我们知道v=I上的u，u如（3.28）所示。自v起∈ C（I），thenv∈ C（I）。此外，很容易从（3.28）检查vis在I上的局部有界性；也就是说，v∈ W2，∞loc（I）。此外，（3.44）LbX公司-（r）-u（x））v（x）+h（x）=0和-c（x）≤ v（x）≤ （a）上的c（x）*, b*),（3.45）v（x）=-c（x）<c（x）和LbX公司- （r）- u（x））v（x）+h（x）≤ 0开（x，a*],（3.46）v（x）=c（x）>-c（x）和LbX公司- （r）- u（x））v（x）+h（x）≥ [b]上的0*, x） 。（3.44）中的第一个等式很容易遵循，注意到（LX- r） 对于任何x，v（x）+h（x）=0∈ （a）*, b*), 通过对这样一个关于x的方程进行微分。另一方面，涉及（LbX）的不等式- （r）- u）v+hin（3.45）和in（3.46）遵循假设2.7-（ii），以及以下事实（x，a*]  （x，ex）和[b*, x） （例如，x）。给定任意BF停止时间τ，将其广义版本^o\'slemma（参见，例如，[40]中的定理10.4.1）应用于过程（e-Rt（r-u（bXu））duv（bXt））t≥0在区间[0，τ∧ σ*] 产量v（x）≤bJx（τ，σ*), 使用时（3.44）-（3.46）。

另一方面，再次将It^o引理推广到过程（e-Rt（r-u（bXu））duv（bXt））t≥0，但现在在区间[0，τ*∧ σ] 对于任意BF停止时间σ，采用（3.44）-（3.46）给出v（x）≥bJx（τ*, σ). 最后，在过程（e）上使用广义It^o引理-Rt（r-u（bXu））duv（bXt））t≥0在区间[0，τ*∧ σ*] 我们发现v（x）=bJx（τ*, σ*) 通过（3.44）。因此（3.41）成立，而（3.43）中定义的BF停止时间形成了一个鞍点。前面的命题表明，vequals是最优停止的零和博弈（所谓的Dynkin博弈，参见[19]）的值函数。此外，触发最优控制的边界也决定了最优停止博弈中的鞍点。这种发现与已知的有界变量控制问题和最优停止的零和博弈之间的关系是一致的（参见，例如，[23]、[31]和[45]）。4、具有平均回复（对数）汇率的案例研究在本节中，我们假设在（2.3）中，一个具有u（x）=ρ（m- x） ，对于某些ρ>0和m∈ R、 σ（x）=σ>0；也就是说，对于给定的ν=ξ- η ∈ S、 （对数）交换率xx；ξ、 η是一个线性控制的均值回复过程，动力学（4.1）dXt=ρ（m- Xt）dt+σdBt+dξt- dηt，X=X∈ R、 在没有干预的情况下（即ν≡ 0），该规范是最简单的动力学，它以很高的概率将X保持在给定（合适）区域内，实证研究（参见，例如，[9，47]）得出结论，它很好地描述了世界主要国家之间的几种汇率。24法拉利，VARGIOLUIn这一节我们还取瞬时成本ci，i=1，2，这样ci（x）≡ cifor所有x∈ R、 我们指定了一个二次持有成本函数，其形式为h（x；θ）=（x- θ).参数θ>0表示所谓的参考目标，也可以看作是中间价的对数（在[32]中首次引入）。

函数H惩罚（对数）汇率偏离该值的任何位移。我们注意到，对于（4.1）中的X，对于所有X，σ（X）=0∈ 一、 因此，（2.4）的过程bx是（4.2）dbXt=ρ（m）的唯一强解-bXt）dt+σdbBt，X=X∈ R、 其中bb是标准布朗运动。此外，因为r- u（x）=r+ρ，特征方程（2.12）读取σf+ρ（m- x） f级- （r+ρ）u=0，r>0，并且已知它允许两个线性独立的正解（参见[27]，第280页）（4.3）bφ（x）：=eρ（x-m） 2σD-r+ρρ（十）- m） σp2ρ和（4.4）bψ（x）：=eρ（x-m） 2σD-r+ρρ-（十）- m） σp2ρ,分别是严格递减和严格递增。在（4.3）和（4.4）中，Dα是α阶圆柱函数，由（例如，参见第八章第8.3节第119页等式（3））Dα（x）：=e给出-xΓ(-α） Z∞t型-α-1e级-t型-xtdt，Re（α）<0，（4.5），其中Γ（·）是欧拉伽马函数。在此设置中，很容易看到自由边界的两个方程a*和b*（参见（3.24）和（3.25））readZbaz- θ+（r+ρ）cbm（z）bφ（z）dz=-（r+ρ）（c+c）Z∞bbm（z）bφ（z）dz，（4.6）Zbaz- θ - （r+ρ）cbm（z）bψ（z）dz=（r+ρ）（c+c）Za-∞bm（z）bψ（z）dz，（4.7），其中bmis由（2.13）给出。在下一节中，我们将研究最佳边界a的依赖关系*和b*关于模型参数m、σ、c、c和θ。4.1. 比较静力学结果。在下文中，我们将经常使用符号A*（·），b*（·）和v（x；·）来强调*, b*对于给定的参数。对于接下来的一些结果（即命题4.1、4.3和4.4），在（3.41）中给出的V的表示起着重要作用。提案4.1。最佳干预边界a*和b*在长期均衡水平m中下降；也就是说，m 7→ 一*（m） 和m 7→ b*（m） 正在减少。证据

用Bxx表示；当平衡值为ism时，（4.2）的唯一强解∈ R、 注意，m 7→bXx；对于所有t>0的情况，mtis a.s.增加。然后，从x 7开始→ h（x）关于汇率的单数控制，25是增加的，我们有≥ mthat v（x；m）≥ v（x；m）乘以（3.41）。因此，对于所有m≥ mwe havea公司*（m） =sup{x∈ R | v（x；m）≤ -c}≤ sup{x∈ R | v（x；m）≤ -c} =a*（m） ，b*（m） =inf{x∈ R | v（x；m）≥ c}≤ inf{x∈ R | v（x；m）≥ c} =b*（m） ；也就是说，m 7→ 一*（m） 和m 7→ b*（m） 正在减少。提案4.2。外汇市场波动越大，央行就越不愿意干预。也就是说，最佳干预边界a*和b*a等于σ7→ 一*（σ） 正在减小，σ7→ b*（σ） 正在增加。证据我们借用了文献[36]中定理6.1的证明中的论点（另见文献[3]中的第3节）。让x∈ 一、 用Xσ表示ν（4.1）的解≡ 0，对于挥发系数σ>0。Letσ≥ σ、 对于i=1，2表示v（i）值函数（2.32），当基础受控过程用波动率σi求解（4.1），用LXσi表示与（非受控）扩散Xσi相关的最小生成元，用LbXσi表示与波动率σi求解（4.2）相关的最小生成元*土地b*i、 i=1，2是与值函数v（i），i=1，2相关的最佳控制边界。然后，回想一下值函数等于（3.28）中给出的函数，并将其用于任何i=1，2（参见（3.31）），（4.8）v（i）（a*i） =r[h（a*（一）- u（a*i） c]，v（i）（b*i） =r[h（b*i） +u（b*i） c]，待查找LXσ- rv（2）（x）+h（x）：=h（x）- h（a*) + c（r+ρ）（x- 一*), x个∈ （x，a*],σ- σ） ddxv（2）（x），x∈ （a）*, b*),h（x）- h（b*) - c（r+ρ）（x- b*), x个∈ [b]*, x） 。现在我们证明了出现在后一个方程右侧的所有项都是非负的。

一方面，h（x）-h（a*)+c（r+ρ）（x-一*) =Za公司*x个-h（z）+LbXσ-（r+ρ）cdz公司≥ 0，x∈ （x，a*],andh（x）- h（b*) - c（r+ρ）（x- b*) =Zxb公司*h（z）+LbXσ- （r+ρ）cdz公司≥ 0，x∈ [b]*, x） 。其中，最后的不等式是由于假设2.7和*< ex<ex<b*.另一方面，我们注意到，由于ci（x）=所有x的cif∈ 一、 x 7的凸性→ h（x；θ）和动力学的线性（4.1）意味着函数Jx（ν）在（x，ν）中同时是凸的，且容许控制集是凸的。因此，v（2）（λx+（1- λ） x）≤ λJx（ν）+（1- λ） Jx（ν），对于所有x，x∈ 一、 ν∈ A（x），ν∈ A（x）和λ∈ [0, 1]. 因此v（2）在I上是凸的，这一事实反过来产生σ- σ） ddxv（2）（x）≥ 0，x∈ （a）*, b*),自σ起≥ σ.26法拉利，VARGIOLUIt因此从前面的考虑中得出（LXσ- r） v（2）（x）+h（x）≥ 0对于所有x∈ 一、 此外，因为v（2）是σ=σ时的值函数，所以我们也有Ddxv（2）∈ [-c、 和| v（2）（x）|≤ I上的K（1+| x |γ），对于某些K>0，对于γ≥ 1 asin假设2.7。因此，在定理3.1证明的步骤1中，我们可以证明v（2）≤ v（1）关于I。由于上一个不等式，我们现在可以证明*≥ 一*. 我们遵循一个矛盾方案，我们假设*< 一*. 然后注意到*< 一*< 使用（4.8）和假设2.7-（ii），我们得到（回忆一下这里的u（x）=ρ（m- x） ，x∈ R） 五（2）（a）*) =rh（a*) - u（a*)c=rh（a*) + （ra*- u（a*))c- 加利福尼亚州*>rh（a*) + （ra*- u（a*))c- 加利福尼亚州*= 五（1）（a）*) - c（a*- 一*) = 五（1）（a）*).后一个不等式与v（2）相矛盾≤ v（1）在I上，因此表明a*≥ 一*.可以使用类似的参数来获得b*≥ b*. 提案4.3。最佳干预边界a*和b*是这样的c7→一*（c） 正在减少，c7→ b*（c） 正在增加。此外，c7→ 一*（c） 正在减少和C7→ b*（c） 正在增加。证据

从（3.41）和（3.42）很容易看出C7→ v（x；c）+cis增加，c7→ v（x；c）- cis递减C7→ v（x；c）正在减小，c7→ v（x；c）正在增加。现在开始c>c。然后*（c） =sup{x∈ R | v（x；c）+c≤ 0} ≤ sup{x∈ R | v（x；c）+c≤ 0}=a*（c） ，b*（c） =inf{x∈ R | v（x；c）≥ c}≥ inf{x∈ R | v（x；c）≥ c} =b*（c） 。因此c7→ 一*（c） 正在减少，c7→ b*（c） 正在增加。类似地，现在取c>cwe havea*（c） =sup{x∈ R | v（x；c）≤ -c}≤ sup{x∈ R | v（x；c）≤ -c} =a*（c） ，b*（c） =inf{x∈ R | v（x；c）- c≥ 0} ≥ inf{x∈ R | v（x；c）- c≥ 0}=b*（c） ；i、 e.，c7→ 一*（c） 正在减少，c7→ b*（c） 正在增加。提案4.4。最佳干预边界a*和b*θ7→一*（θ） 和θ7→ b*（θ） 正在增加。证据我们注意到θ7→ h（x；θ）在减小。从（3.41）可以得出θ7→ v（x；θ）也在减小，因此对于所有θ>θ，我们有一个*（θ） =sup{x∈ R | v（x；θ）≤ -c}≤ sup{x∈ R | v（x；θ）≤ -c} =a*（θ） ，b*（θ） =inf{x∈ R | v（x；θ）≥ c}≤ inf{x∈ R | v（x；θ）≥ c} =b*(θ).因此，θ7→ 一*（θ） 和θ7→ b*（θ） 都在增加，因此当目标水平θ增加时，无干预区域（a*, b*) 向更高的值移动。备注4.5。注意，前面的单调性结果可以很容易地推广到更一般的微分情况。例如，假设比较原则“a la Yamada Watanabe”（参见，例如，[30]中的命题5.2.18）适用于差异（2.4），则死亡率r- u（·）正在减少（即x 7→ u（x）是凸的），并且持有成本函数是凸的，可以证明边界相对于漂移系数是单调递减的。此外，正如在[36]中定理6.1的证明中所述，我们可以证明关于汇率奇异控制27状态相关波动系数的一般边界的单调性。

然而，我们决定为奥恩斯坦-乌伦贝克（Ornstein-Uhlenbeck）过程制定本节的研究，因为这可能是捕捉一些经济体经验观察到的汇率均值回复行为的最简单的差别（见[44、47、48]和其中的参考文献）。4.2. 从目标区域的预期退出时间。上述Ornstein-Uhlenbeck模型的最大优点之一是，许多关于退出时间和概率的量都是以闭合形式已知的。我们的分析基于【14，附录B】中包含的结果。回顾最优控制过程X？，确定退出时间（a*, b*) asτ（a*,b*):= inf{t>0:X？t/∈ （a）*, b*)},注意Px{τ（a*,b*)< ∞} = 1代表所有x∈ R、 确实，如果x/∈ （a）*, b*) 然后明确τ（a*,b*)= 另一方面，如果x∈ （a）*, b*) 那么最优控制ν？这就是ν吗？t型≡ 0表示任何t≤ τ（a*,b*), （未控制的）Ornstein-Uhlenbeck过程正反复出现。还有px{Xτ（a*,b*)= 一*} =Zb公司*xexpρ（y- m） σdyZb公司*一*经验值ρ（y- m） σdy=Z√2ρσ（b*-m）√2ρσ（x-m） eydyZ公司√2ρσ（b*-m）√2ρσ（a*-m） eydy，（4.9）Px{Xτ（a*,b*)= b*} =Zxa公司*经验值ρ（y- m） σdyZb公司*一*经验值ρ（y- m） σdy=Z√2ρσ（x-m）√2ρσ（a*-m） eydyZ公司√2ρσ（b*-m）√2ρσ（a*-m） 艾迪。（4.10）此外，我们知道函数q（x）：=Ex[τ（a*,b*)], x个∈ （a）*, b*), 满足边值微分问题lxq+1=0，q（a）=q（b）=0，其解为（4.11）q（x）=a+BZ√2ρσ（x-m）√2ρσ（a*-m） ewdw公司-ρZ√2ρσ（b*-m）√2ρσ（y-m） ewZ公司√2ρσ（b*-m） 我们-udu dw，常数a和b由a=ρZ决定√2ρσ（b*-m）√2ρσ（a*-m） ewZ公司√2ρσ（b*-m） 我们-udu dw，B=-亚利桑那州√2ρσ（b*-m）√2ρσ（a*-m） ewdw。由于前面的结果，我们可以通过数值计算汇率离开目标区域之前的平均时间，即到下一个中央银行存款的平均时间。这将在下一节中完成。4.3. 数值结果。

现在，我们提出了前一个模型的可能实现，该模型是为模仿丹麦克朗/欧元汇率而定制的。由于30年来似乎没有必要从丹麦央行进行干预，我们可以安全地假设，长期平均值对应于中间价的对数，达到7.46038丹麦克朗/欧元。记住方程式28中的Ornstein-Uhlenbeck过程，VARGIOLU（4.1）表示汇率的对数，因此我们让m=θ=log 7.46038=2.00961=\'2.01；Ornstein-Uhlenbeck动力学的其他合理参数可能为ρ=0.001，σ=0.015。考虑到当前经济中的利率，r的合理值可能为r=0.5%=0.005。上述数值是丹麦和欧洲经济体的特征，仍然没有反映丹麦央行的政策，而是在三个参数θ、cand和c中执行。我们将参数SUP收集到表1中。rσρθm0.005 0.015 0.001 2.01 2.01表1。数值示例的参数值。为了从中间价中找到±2.25%的已知干预阈值，我们必须实施以下反问题：找到c，c，利用上述参数，最佳的*和b*地区*= 日志7.46038（1- 0.0225）=1.98685，b*= log 7.46038（1+0.0225）=2.03186考虑到我们问题的（近似）对称性，我们搜索c=c=：c。从命题4.3的单调性结果中，我们知道，通过增加（减少）公共比例成本c，连续区域（a*, b*)将扩大（缩小）：这是一个积极的迹象，表明我们的反问题可以有唯一的解决方案。考虑到这一点，我们搜索c=c=c，例如*, b*] \' [米- 0.0225，m+0.0225]。

我们开始检查c=1，然后继续降低c值，直到找到我们的区域：结果如表2所示。c、a*b*一*- m b级*- m1 1.93729 2.08193-0.07232 0.072320.5 1.95302 2.0662 -0.0565905 0.05659050.1 1.97703 2.04218 -0.0325786 0.03257860.05 1.98383 2.03539 -0.0257803 0.02578030.04 1.98569 2.03352 -0.0239155 0.02391550.0351.98674 2.03247 -0.0228658 0.02286580.034 1.98696 2.03225 -0.0226442 0.02264420.0335 1.98707 2.03214 -0.0225317 0.02253170.033 1.98719 2.03202 -0.0224182 0.02241820.03 1.98789 2.03132 -0.021712 0.021712表2。各种固定成本的最佳延续区域（即目标区域）c=c=c。因此，考虑到表1中的参数值，如果我们让c=c=0.0335，我们发现最佳*和b*很好地近似于丹麦中央银行自1987年1月12日起采用的目标区边界【37】。通过使用第4.2节中的结果，我们还可以计算汇率从目标区域的预期退出时间。事实上*, b*) = （1.98707，2.03214），方程（4.11）可绘制为初始（对数）汇率x的函数。该图如下图4.1所示。自对数（1+0.0225）=0.02225“0.0225”-0.02276 = - 日志（1- 0.0225），关于单一汇率控制291.99 2.00 2.01 2.02 2.0351015202530图4.1。从目标区域的平均退出时间（年），作为汇率初始值x（对数）的函数。我们可以看到，当偏离中间价为零时，即x=log 7.46038’2.01时，获得了（如预期的）最大预期时间，并且随着汇率接近目标区边界而减少。这一最长预期时间约为31.11年，也是中央银行触发干预之前的预期时间。

这一结论与观察到的现象完全一致，即丹麦央行自过去30年以来无需干预，就可以将丹麦克朗/欧元汇率保持在目标区域内[37]。我们现在尝试在这组参数上重现2011-2015年期间瑞士法郎/欧元汇率中观察到的“钉住”现象（见图1.1和[50，51]）。其背后的经济直觉是，央行将干预利率，使其高于（或低于）某一阈值，即使利率的不可控动态将使其超过该阈值。这可以在当前框架中轻松实现，只需将θ更改为不同于m的值。由于命题4.4的单调性结果，这将修改连续区域的宽度（a*, b*). 例如，在前面的框架中，我们让θ=m+δ表示δ≥ 0，那么我们预计*和b*增加了。事实上，通过保持所有其他参数不变，我们可以在表3中找到结果。δ = θ - 文学硕士*b*一*- m b级*- m0 1.98707 2.03214-0.02253 0.02253170.01 1.99709 2.04215 -0.01251 0.03254660.02 2.0071 2.05217 -0.00250 0.04256150.032.01712 2.06218 0.00751 0.0525764表3。中间价θ与非受控汇率长期平均值m的各种偏差的最佳连续区域（即目标区域）。我们可以观察到，通过增加θ，目标区域（a*, b*) 增加。特别是，必须将θ增加δ=0.03（记住，m’2.01，这将等于不到汇率相对增加的2%），以使汇率的长期平均值超出目标区域（事实上，在这种情况下，法拉利、瓦吉奥卢韦的m=2.01<a*= 2.01712<b*= 2.06218).