论汇率的奇异控制

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英文标题：
《On the Singular Control of Exchange Rates》
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作者：
Giorgio Ferrari, Tiziano Vargiolu
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Consider the problem of a central bank that wants to manage the exchange rate between its domestic currency and a foreign one. The central bank can purchase and sell the foreign currency, and each intervention on the exchange market leads to a proportional cost whose instantaneous marginal value depends on the current level of the exchange rate. The central bank aims at minimizing the total expected costs of interventions on the exchange market, plus a total expected holding cost. We formulate this problem as an infinite time-horizon stochastic control problem with controls that have paths which are locally of bounded variation. The exchange rate evolves as a general linearly controlled one-dimensional diffusion, and the two nondecreasing processes giving the minimal decomposition of a bounded-variation control model the cumulative amount of foreign currency that has been purchased and sold by the central bank. We provide a complete solution to this problem by finding the explicit expression of the value function and a complete characterization of the optimal control. At each instant of time, the optimally controlled exchange rate is kept within a band whose size is endogenously determined as part of the solution to the problem. We also study the expected exit time from the band, and the sensitivity of the width of the band with respect to the model\'s parameters in the case when the exchange rate evolves (in absence of any intervention) as an Ornstein-Uhlenbeck process, and the marginal costs of controls are constant. The techniques employed in the paper are those of the theory of singular stochastic control and of one-dimensional diffusions.
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中文摘要：
考虑一个中央银行想要管理本国货币和外国货币之间的汇率的问题。中央银行可以买卖外汇，对外汇市场的每次干预都会导致一定比例的成本，其瞬时边际价值取决于当前的汇率水平。央行的目标是将干预外汇市场的总预期成本加上总预期持有成本降到最低。我们将该问题描述为一个具有局部有界变差路径的控制的无限时域随机控制问题。汇率演变为一般线性控制的一维扩散，两个非减损过程给出了有界变化控制模型的最小分解，即中央银行已购买和出售的累计外币金额。通过找到值函数的显式表达式和最优控制的完整特征，我们为这个问题提供了一个完整的解决方案。在每个时刻，最优控制的汇率都保持在一个区间内，该区间的大小是内生确定的，这是问题解决方案的一部分。我们还研究了当汇率演变（在没有任何干预的情况下）为Ornstein-Uhlenbeck过程，且控制的边际成本不变时，预期退出时间和带宽宽度对模型参数的敏感性。本文采用的技术是奇异随机控制理论和一维扩散理论。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-6-2 17:48:32 上传

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关键词：intervention Mathematical Optimization Quantitative proportional

关于汇率的单一控制，吉奥·费拉里（TIZIANO VARGIOLUAbstract）。考虑一个中央银行想要管理本国货币和外国货币之间的汇率的问题。中央银行可以买卖外汇，对外汇市场的每次干预都会导致一定比例的成本，其瞬时边际价值取决于当前的汇率水平。央行的目标是将干预外汇市场的总预期成本加上总预期持有成本降到最低。我们将这个问题描述为一个有限时间范围内的随机控制问题，控制具有局部有界变化的路径。汇率演变为一般线性控制的一维差分，两个非减损过程给出了有界变量控制模型的最小分解——中央银行已购买和出售的累计外汇量。我们通过找到值函数的显式表达式和最优控制的完整特征，提供了该问题的完整解决方案。在每个时刻，最优控制的汇率都保持在一个区间内，该区间的大小是内生确定的，这是问题解决方案的一部分。我们还研究了当汇率演变（在没有任何干预的情况下）为Ornstein-Uhlenbeck过程，且控制的边际成本不变时，预期退出时间和带宽宽度对模型参数的敏感性。

本文采用的技术是奇异随机控制理论和一维效应理论。关键词：奇异随机控制；汇率；目标区域；中央银行；变分不等式；最佳停车。MSC2010受试者分类：93E20、60J60、60G40、91B64、91G30。OR/MS科目分类：动态规划/最优控制；概率：随机模型/应用；概率：差异。1、导言中央银行为了保持对汇率波动的控制不力，可以使用的主要工具之一是适当购买或出售外汇储备。由于对外汇市场的这种干预，在许多情况下，人们可以观察到，两种货币之间的汇率要么保持在给定水平以下/以上，要么保持在给定值（即所谓的中间价）两侧公布的幅度内。类似的汇率制度通常被称为目标区，瑞士、香港和丹麦是采用或采用这种货币政策的国家的突出例子。2011年9月6日，瑞士国家银行（SNB）在一份新闻稿中表示[50]：[…]目前瑞士法郎的大规模高估对瑞士经济构成了严重威胁，并带来了通货膨胀发展的风险。因此，瑞士国家银行（Swiss NationalBank）的目标是大幅持续贬值瑞士法郎。日期：2017年12月7日。2法拉利（Vargiolu）立即生效，它将不再容忍欧元/瑞士法郎汇率低于1.20瑞士法郎的最低汇率。

瑞士央行将在最不确定的情况下强制执行这一最低汇率，并准备无限量购买外币[…]瑞士央行在2015年1月15日之前一直采取这种激进的贬值政策【51，34】，当时瑞士央行只是放弃了其目标区政策，对瑞士法郎/欧元汇率产生了非常明显的影响（见图1.1）。另一方面，2017年1月12日是丹麦中央平价30周年纪念日[37]。实行固定汇率政策的决定是在20世纪80年代丹麦经济陷入危机时作出的。自那以后，丹麦克朗（DKK）被固定在德国马克上，然后，自1999年以来，以这种方式固定在欧元上，克朗的中间价自1987年1月12日以来一直保持不变。中央汇率为7.46038克朗/欧元，允许克朗增加或减少2.25%（即使多年来波动幅度小得多，见图1.2）。最后，以一个非欧洲国家为例，作为对1983年黑色星期六危机的回应，1983年10月17日，香港元（HKD）与美国（USD）挂钩，此后港元/美元汇率与7.80港元/美元的中央汇率挂钩（见图1.3），区间为±0.05港元/美元[52]。图1.1：。绘制2011年至2015年欧元/瑞士法郎汇率图。不清楚（也不清楚公众是否知道）允许汇率波动的区间宽度是根据某种最优标准（例如，社会福利最大化或预期成本最小化）选择的，还是仅根据国际和政治协议确定的。最近几年，经济和数学文献对目标区模型进行了深入研究。特别是，在文献中，我们可以确定两个主要的研究方向。

一方面，许多论文发展了随机模型，旨在解释给定目标区域内的汇率动态（参见[9、18、32、28、33、48]等）。目标区模型在[32]中率先提出，假设“基本”（且未观察到）汇率是布朗运动，该运动在外部给定的上下壁垒下瞬时反映：这本质上定义了一个奇异随机控制问题，其值函数是市场中实际观察到的汇率。虽然在[32]中缺少许多数学细节，但在那篇开创性的论文中，作者发现观测到的汇率在给定的目标区域内是均值回复。在随后的论文中（参见关于汇率的单一控制3图1.2。绘制2008年至2016年欧元/丹麦克朗汇率图+。）86\'               图1.3：。绘制1990年至2017年的港元/美元汇率。e、 g.【9、18、28、33、48】和其中的参考文献），作者假设汇率根据一组自由参数参数化的随机微分方程在外生给定区间内随机波动，并且可能满足反射边界条件，或者在区间边界附近扩散系数消失。然后对参数进行校准，使模型能够拟合汇率数据，例如。

在欧洲货币体系中。另一方面，数学文献中的几篇论文通过将汇率的最优管理问题表述为随机最优控制问题，将目标区的宽度内生化（见[8、12、13、26、39]和其中的参考文献）。在这些文件中，央行旨在调整汇率的不确定性水平，以最小化瞬时汇率水平与给定中间价之间的利差。为了实现这一目标，央行可以购买或出售外币，但每当央行进行干预时，都必须支付干预成本。在这些论文中，这种成本既有比例成分，也有可执行成分，因此导致了优化问题的数学公式，如法拉利、瓦吉奥卢阿双边随机脉冲控制问题（也可能是经典控制对国内利率的干预）。结果表明，最优控制汇率保持在内生确定的水平（即所谓的自由边界）内，干预措施是纯跳跃式的：在最佳时间，汇率从自由边界推至另一阈值水平，这也是内生的，是问题解决方案的一部分。从本质上讲，遵循双边（s，s）政策是最佳选择。然而，仔细观察2011-2015年期间欧元/瑞士法郎的汇率动态，或2008年以来港元/美元的汇率动态，没有发现任何跳跃，但汇率在允许波动的区间边界处持续反弹（见图1.1和1.3）。

这样的观察表明，汇率的最优管理问题在数学上可以更好地描述为一个奇异的随机控制问题，而不是一个脉冲问题。事实上，在奇异随机控制问题中，最优控制通常规定受控状态变量在内生确定水平上的连续反射（参见[20]和[43]中的第八章，了解奇异随机控制的介绍）。在本文中，我们引入了一个有限时间范围内的一维有界变差奇异随机控制问题来模拟汇率的最优管理问题。在我们的模型中，（汇率的对数）是一维It^o-微分，满足线性控制的随机微分方程，具有适当的漂移和波动系数。这样的一般动力学使我们能够涵盖汇率演变为几何布朗运动的经典模型，以及汇率动力学更现实的均值回复行为（参见[44，47]和其中的参考文献）。外币的累计购销金额（作为中央银行的控制变量）是单调过程，适应基础过滤，并满足适当的可积性条件。中央银行旨在选择（累计）购销政策，以最小化总预期贴现成本函数。这是总预期持有成本和干预成本的总和。汇率的瞬时持有成本由一般的非负凸函数来度量。这概括了文献中通常采用的二次成本函数（参见，例如，[8，12]）。

此外，我们假设干预汇率的即时比例成本取决于当前的汇率水平，并且它们是有效平滑的实值函数。我们通过一种猜测和验证的方法来解决这个问题，方法是仔细地利用一维正则微分（参见，例如，[10]）及其过度映射的性质。我们发现，中央银行的最优购销政策由两个阈值（自由边界）决定，这是两个耦合非线性代数方程组的唯一解。最优政策规定，购销的外币数量应尽可能少，以使汇率保持在自由汇率范围内。从数学上讲，最优控制由一个双边Skorokhod反射问题的解给出。值得注意的是，与涉及脉冲控制的模型不同，候选值函数的实际最优性通常只能通过数值方法证明（见[12，13]），在这里，我们能够通过找到值函数和最优控制过程的显式表达式（直至两个自由边界的代数系统的解），提供完整的分析研究。此外，当（对数）交换率（在没有任何干预的情况下）通过Ornstein-Uhlenbeck动力学演化时，我们可以对自由边界进行详细的比较静力学分析。后者使我们能够捕捉到汇率的均值回复行为，即在几项实证研究中观察到的对汇率的单一控制（见[44，47]和其中的参考文献）。特别是，通过假设干预的即时比例成本是恒定的，我们表明，外汇市场越不稳定，中央银行就越不愿意干预。

此外，我们能够从数字上评估预期的退出时间和目标区的退出概率，并将我们的发现与丹麦央行自1987年以来采取的货币政策以及丹麦国家统计局2011-2015年期间采取的货币政策联系起来。本文的贡献是双重的。一方面，我们从建模的角度对文献做出了贡献。事实上，通过引入一个单一的随机控制问题来模拟中央银行面临的汇率最优管理问题，我们能够模拟目标区边界上汇率的持续反映，这似乎在现实中发生（见图1.1和1.3）。从数学的角度来看，我们通过在一个非常普遍的环境中提供有界变分奇异随机控制的显式解决方案做出了贡献，其中状态变量演化为一般的一维微分，并且具有与状态相关的瞬时边际控制成本。据我们所知，文献中还没有类似问题的明确解决方案。可能最接近我们的工作是[36]，其中研究了有限时间范围内的一维有界变差奇异随机控制问题。然而，我们的论文与[36]之间可能会遇到一些主要差异。首先，在[36]中，控制的瞬时边际成本是恒定的。其次，在[36]中，状态动力学（在该文的符号中）是Zt=Xt+Ut- Dt，其中X是一个不受控制的一维正则微分，（U，D）给出了有界变化过程的最小分解。

相反，在我们的论文中，状态变量的动力学以不同的形式给出（见（2.3）），并且，与[36]不同的是，时间t的受控状态过程≥ 0不能写为非受控1和时间t之前施加的累积有界变化控制之和。最后，在[36]中，在障碍政策类别内寻求最优控制，我们在更大类别中获得最优（见下面的定义2.9）。论文的其余部分组织如下。在第2.1节中，我们建立了概率设置，而在第2.2节中，我们引入了汇率最优管理问题，这是我们研究的对象。在第3节中，我们首先证明了一个初步的验证定理，然后构造值函数和最优控制来解决问题。在第4节中，我们假设（对数）汇率是一个OrnsteinUhlenbeck过程，我们提供了自由边界对模型参数的敏感性，并研究了自由边界处的预期命中时间。最后，在附录中，我们收集了本文需要的一些辅助结果。设置和问题公式2.1。概率设置。让(Ohm, F、 P）是一个完全概率空间，Ba一维布朗运动，用F=（Ft）t表示≥0a对B进行调整的右侧连续过滤。我们引入非空集合：={ν：Ohm ×R+→ R+，F-适应，并使t 7→ νtis a.s.（2.1）（局部）有界变差，左连续，s.tν=0}，U：={θ：θ∈ S和t 7→ θtis nondecreating}。（2.2）然后，对于任何ν∈ S、 我们用ξ，η表示∈ U提供ν最小分解的两个过程；也就是说，使得νt=ξt- ηt，t≥ 0,6法拉利、瓦吉奥隆和增量ξt=ξt+-ξtandηt：=ηt+-ηtare支撑在R+的不相交子集上。