论汇率的奇异控制

即使在δ=0.02的不太严重的情况下，我们也会发现m仍在目标区内，但非常接近较低的阈值。通过再次使用第4.2节中的结果，我们也可以在这种情况下估计目标区的预期汇率退出时间，并将结果绘制在图4.2.2.01 2.02 2.03 2.042.050.20.40.60.81.01.2中。从目标区域的平均退出时间（年），作为汇率初始值x（对数）的函数，θ- m=0.02。正如预期的那样，这里我们注意到了一个明显的不对称性：长期平均值仍然是m’2.01，但目标区域现在不是围绕它对称的。因此，如果（对数）汇率从x=m开始，则目标区的预期退出时间（即央行被迫干预之前）为q（2.01）=0.23，即大约3个月（而不是之前的30多年）。然而，如果我们从x>2.01开始，那么这个过程将很有可能恢复到其平均值m，这需要一些时间，然后它将在到达目标区域的一个边界之前花费大约3个月的时间。这种回归长期平均值的预期时间（以及从目标区域的预期退出时间）是任何x的初始（对数）汇率水平x的递增函数≤ xo’2.048。让exchangerate进程从值x开始≥ xo，则更有可能从b退出目标区域*, 预期退出时间开始减少。我们还可以看到，在这样一个临界水平上，我们有q（2.048）’1.26；i、 e.从XO开始，预计退出时间最长，约为1年零3个月。在图4.3中，我们从*作为初始状态x的函数，我们可以看到，达到“钉住”的概率a*对于（对数）汇率x<2.045的任何初始值，基本上等于1。

对于更高的值，这样的概率开始下降，直到接近xo的临界点（实际上，略高于2.05），此时更有可能从b离开目标区域*而不是从*.5、结论性意见本文研究了中央银行面临的汇率最优管理问题。我们将其表述为一个通过有界变化过程线性控制的一维扩散的有限时间范围奇异随机控制问题。我们已经提供了汇率单数控制的明确表达式312.01 2.02 2.03 2.042.050.20.40.60.81.0图4.3。退出目标区域的概率*（蓝色）和来自b*（红色），当θ- m=0.02。价值函数，以及最优控制的完整表征。在每个时刻，最优控制的汇率都保持在一个最优区间（连续区域），其边界（所谓的自由边界）是内生确定的，作为问题解决方案的一部分。当（对数）汇率（在没有任何干预的情况下）演变为Ornstein-Uhlenbeck过程时，提供了自由边界的详细比较静态分析。这一动态反映了在几项实证研究中观察到的汇率均值回复行为（见[44，47]和其中的参考文献）。此外，它允许中央银行在其成本函数h和干预成本ci中设定目标，这可能与这种外汇动态形成对比。例如，如果h的最小值非常接近汇率动态的长期平均值，则不会发生这种情况：在这种情况下，汇率在连续区域内以高概率自然保持不变。

这一事实可以解释为[32]中引入的“targetzone”，例如，它适用于丹麦和香港货币[37，52]。相反，如果汇率的长期平均值远未达到h的最小值，甚至在连续区域之外更糟，那么汇率很可能会比其他汇率更频繁地触及连续区域的一个边界。这种现象通常被称为“钉住”高于或低于给定阈值的汇率，在2011年至2015年期间，瑞士法郎兑欧元的动态中观察到了这种现象【50，51】。值得对我们的模型及其可能的扩展发表几点评论。首先，值得注意的是，鉴于其普遍性，本文研究的控制问题在其他情况下也可能是一个合理的模型，例如，对于部分可逆的容量扩张问题（参见[17]、[22]等），对于库存的优化管理（参见[24]的早期工作），用于不确定风况下飞机的自动巡航控制【15】，或用于稳定基金的优化管理【25】。第二，我们对汇率控制的研究有几个可能的方向可以扩展。尤其值得一提的是，开发一个数学模型，将两个（或更多）中央银行之间的战略互动考虑在内，以管理32辆法拉利、瓦吉奥卢特（VARGIOLUthe）的汇率（另请参见[1]，了解最近在这方面的贡献）。

这将导致一个具有挑战性的带有奇异控制的非零和随机博弈，我们留给未来的研究。感谢德国研究基金会（DFG）通过合作研究中心1283提供的财政支持“从分析、随机及其应用中的随机性和低规则性中驯服不确定性和利益”，第一作者对此表示感谢。由于“ACRI青年研究员培训计划”（YITP-QFW2017）提供的资金，这项工作的一部分是在第一作者访问帕多瓦大学数学系时完成的。附录A引理A.1。在假设2.5下，ψ=bψ，且-φ=bφ，其中bψ和bφ是ODE（LbX）的严格递增和严格递减基本解- （r）- u））f=0，对于在速率r下杀死的Bx- u( · ).证据我们只需重复[6]中引理4.3证明的第二部分中的论点（另见[2]中的定理9）。在假设2.1下，标准差分显示ψ和φ求解ODE（A-1）（LbX- （r）- u））f=0。此外，对于任何x∈ I有φ（x）ψ（x）- φ（x）ψ（x）=2rWbS（x）6=0，因此前一个ODE的任何解f必须是f（x）=cψ（x）+cφ（x）的形式。

此外，请注意，在假设2.1和2.3下，可以应用[3]的推论1，因为φ和ψ是严格凸的。因此，我们发现对于所有``和所有x∈ (`, `)  我我们可以写-Rbτ（r-u（bXs））dsi=f（x）f（`）+f（x）f（`），其中bτ：=inf{t≥ 0:bXt/∈ （`，`）}，bPx-a.s.，和f（x）：=φ（`）ψ（`）ψ（x）- φ（x）和f（x）：=ψ（x）-ψ（`）φ（`）φ（x）是（A-1）的基本解，当nbx在`和`处终止时。注意到lim`↓xψ（`）/φ（`）=0和lim`↑xφ（`）/ψ（`）=0，根据x的要求边界行为，假设2.5意味着lim`↓Xbexe公司-Rbτ（r-u（bXs））dsi=ψ（x）ψ（`），andlim`↑Xbexe公司-Rbτ（r-u（bXs））dsi=φ（x）φ（`）。因此，ψ和-φ是（A-1）的基本解，对于以r速率杀死的bx- u( · ).也就是说，ψ=bψ和-φ=bφ。公式（2.26）的证明假设2.1保证流量x 7→ Xx；0,0是a.s.连续、递增且可区分的任何t≥ 0（参见，例如，【41】，第V.7章）。确定过程，如单一汇率控制33，Yt=Xx；0,0吨/x、 t型≥ 0，通过普通微分，我们发现Y满足度dyt=u（Xx；0,0t）Ytdt+σ（Xx；0,0t）YtdBt，Y=1，因此Y=eRtu（Xx；0,0s）dsZt，其中指数鞅（Zt）t≥0已在方程式（2.6）中定义。如备注2.2所示，考虑X0,0在测量Px下的动力学，以及Bx在测量Px下的动力学。通过拉东-尼科德姆导数Zt：=dQxdPx | fta定义一个新的度量值qxth，注意Girsanov定理意味着过程bbt：=Bt-Ztσ（X0,0s）ds是Qx下的标准布朗运动。现在开始f∈ C（I），且Rf和Br定义良好。然后，通过微分（2.21），我们得到（Rf）（x）=ExZ∞e-rtYtf（X0,0t）dt= EQxZ∞e-Rt（r-u（X0,0s））dsf（X0,0t）dt.因此，我们通过观察该定律（X0,0）得出结论Qx）=定律（bXbPx）和召回（2.22）。参考文献[1]A-d，R.，Basei，M.，Callegaro，G.，Campi，L.，Vargiolu，T.（2017）。

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