论汇率的奇异控制

注意，通过这种方式，函数u自动连续ata和b。为了确定四个未知常数A、b、A和b，我们假设u∈ 然后我们找到四个方程的非线性系统aψ（a）+Bφ（a）+（Rh）（a）=（bR bc）（a），（3.13）aψ（a）+Bφ（a）+（Rh）（a）=（bR bc）（a），（3.14）aψ（B）+Bφ（B）+（Rh）（B）=-（bR bc）（b），（3.15）Aψ（b）+bφ（b）+（Rh）（b）=-（bR bc）（b）。（3.16）求解（3.13）–（3.14）关于A和B，并使用（2.26），简单但繁琐的代数和ψ=Bψ和φ=-bφ（参见附录中的引理A.1）给定A=bφ（A）[bR（h- bc）]（a）-bφ（a）[bR（h- bc）]（a）bφ（a）bψ（a）-bφ（a）bψ（a），（3.17）b=bψ（a）[bR（h- bc）]（a）-bψ（a）[bR（h- bc）]（a）bφ（a）bψ（a）-bφ（a）bψ（a）。（3.18）从（3.15）–（3.16）开始的类似计算revealA=bφ（b）[bR（h+bc）]（b）-bφ（b）[bR（h+bc）]（b）bφ（b）bψ（b）-bφ（b）bψ（b），b=bψ（b）[bR（h+bc）]（b）-bψ（b）[bR（h+bc）]（b）bφ（b）bψ（b）-bφ（b）bψ（b）。回顾（2.14），我们可以写出A=I（A）=I（b）和b=J（A）=J（b），其中I（A）：=w“bφ（A）bS（A）[bR（h- bc）]（a）-bφ（a）bS（a）[bR（h- bc）]（a）#，I（b）：=w“bφ（b）bS（b）[bR（h+bc）]（b）-bφ（b）bS（b）[bR（h+bc）]（b）#，J（a）：=w“bψ（a）bS（a）[bR（h- bc）]（a）-bψ（a）bS（a）[bR（h- bc）]（a）#，J（b）：=w“bψ（b）bS（b）[bR（h+bc）]（b）-bψ（b）bS（b）[bR（h+bc）]（b）#，关于汇率的单数控制15，使a和b的系统读si（a）- I（b）=0，J（a）- J（b）=0。我们现在作出以下长期假设。假设3.2。一个有那个极限→xJi（x）=0=limx→xIi（x），i=1，2。根据（2.15）–（2.18），后者本质上是对br（h）增长的要求- bc）和BR（h+bc）及其衍生物。

假设3.2则意味着对于任何x∈ I（3.19）Ii（x）=-ZxxIi（z）dz，Ji（x）=ZxxJi（z）dz，i=1，2。现在请注意，对于任何函数f∈ C（I），标准差异，以及LbXbS=0和（LbX- （r）- u））g=0表示g=bψ，bφ，屈服强度（3.20）ddx“f（x）bS（x）bφ（x）-bφ（x）bS（x）f（x）#=bφ（x）bm（x）（LbX- （r）- u（x）））f（x）和（3.21）ddx“f（x）bS（x）bψ（x）-bψ（x）bS（x）f（x）#=bψ（x）bm（x）（LbX- （r）- u（x）））f（x）。因此，使用（3.19），我们得到I（a）=I（b）等于（3.22）Zxah（z）- bc（z）bm（z）bφ（z）dz=Zxbh（z）+bc（z）bm（z）bφ（z）dz，而J（a）=J（b）等于（3.23）Zaxh（z）- bc（z）bm（z）bψ（z）dz=Zbxh（z）+bc（z）bm（z）bψ（z）dz。由于我们正在寻找解决方案（a*, b*) （3.22）和（3.23）中的一部分*< b*, 我们可以在formZba中重写它们h（z）- bc（z）bm（z）bφ（z）dz=Zxbbc（z）+bc（z）bm（z）bφ（z）dz，（3.24）Zbah（z）+bc（z）bm（z）bψ（z）dz=-扎克斯bc（z）+bc（z）bm（z）bψ（z）dz。（3.25）提案3.3。回想假设2.7-（ii）中的ex、exas。然后存在一对独特的夫妇（a*, b*) ∈ I×I这样*< ex<ex<b*求解方程组（3.24）和（3.25）。证据第1步。我们从证明存在开始。假设2.7，请注意（3.24）和（3.25）的右侧分别为严格负值和严格正值。对于a、b∈ 我定义了两个函数k（a；b）：=Zbah（z）- bc（z）bm（z）bφ（z）dz，K（b；a）：=Zbah（z）+bc（z）bm（z）bψ（z）dz。16法拉利，Vargiolu，适用于给定和固定的a∈ 一、 设b>a∨ 注意积分中值定理存在ξ∈ （a）∨ ex，y）使得K（b；a）=K（a∨ 前任；a） +Zba∨前任h（z）+bc（z）bm（z）bψ（z）dz=K（a∨ 前任；（a）+h（ξ）+bc（ξ）Zba公司∨exr公司- u（z）r- u（z）bm（z）bψ（z）dz（3.26）≥ K（a）∨ 前任；（a）+h（ξ）+bc（ξ）·r+L“bψ（b）bS（b）-bψ（a∨ ex）bS（a）∨ ex）#，在最后一步中，我们使用了（2.27），h（ξ）+bc（ξ）>0，以及-L≤ u（·）<r，根据假设2.1和2.3。

因为（2.18），并且再次因为h（ξ）+bc（ξ）>0，我们从（3.26）中得到↑xK（b；a）=+∞, 对于任何givena∈ 一、 另一方面，根据假设2.7，一个hasK（ex；a）=Zexah（z）+bc（z）bm（z）bψ（z）dz< 如果a<ex，≤ 如果为，则为0≥ 此外，K（a；a）=0和K（b；a）=h（b）+bc（b）b>a时，bm（b）bψ（b）>0∨ 因此，对于任何给定的∈ 一、 b 7的连续性与严格单调性→ K（b；a）on（a∨ ex，x），存在唯一的y*（a）∈ （a）∨ 例如，x），使（3.25）满足。类似地，对于固定b∈ 一、 采取<ex∧ b、 对于合适的ξ∈ （a，ex∧ b） 一项发现（a；b）≤ K（ex∧ b（b）+h（ξ）- bc（ξ）·r+L“bφ（ex∧ b） bS（ex∧ （b）-bφ（a）bS（a）#。（3.27）因此，我们得出结论，对于任何给定和固定的b∈ 一、 利马↓xK（a；b）=-∞, 因为x对于bx（参见（2.18））和h（ξ）是自然的- bc（ξ）<0。另一方面，K（b；b）=0，K（ex；b）=Zbexh（z）- bc（z）bm（z）bφ（z）dz=> 如果b>ex，则为0，≥ 如果为b，则为0≤ ex和K（a；b）=-h（a）+bc（a）bm（a）bφ（a）<0，对于a<ex∧ b、 综合所有这些因素，我们发现∈ 存在唯一的x*（b）∈ （x，ex∧ b） 使（3.24）满足要求。

由于ex<exby假设，我们清楚地知道，如果一对（a*, b*) ∈ 我知道*:= x个*（b）*) 和b*= y*（a）*) 存在，则*< ex<ex<b*.为了证明确实存在这样一对夫妇（a*, b*), letΘ（b）：=Zbx*（b）h（z）+bc（z）bm（z）bψ（z）dz+Zx*（b） x个bc（z）+bc（z）bm（z）bψ（z）dz，注意因为x*（ex）<ex<假设外显子具有2.7Θ（ex）=Zexx*（ex）h（z）+bc（z）bm（z）bψ（z）dz+Zx*（ex）xbc（z）+bc（z）bm（z）bψ（z）dz<0。另一方面，对于b>exand，对于适当的ξ∈ （ex，b）我们通过积分中值定理Θ（b）>Zexx*（b）h（z）+bc（z）bm（z）bψ（z）dz+Zbexh（z）+bc（z）bm（z）bψ（z）dz+Zexxbc（z）+bc（z）bm（z）bψ（z）dz≥Zexx公司h（z）+bc（z）bm（z）bψ（z）dz+Zexxbc（z）+bc（z）bm（z）bψ（z）dz+h（ξ）+bc（ξ）Zbexbm（z）r- u（z）r- u（z）bψ（z）dz≥Zexx公司h（z）+bc（z）bm（z）bψ（z）dz+Zexxbc（z）+bc（z）bm（z）bψ（z）dz+h（ξ）+bc（ξ）r+L“bψ（b）bS（b）-bψ（ex）bS（ex）#。在这里，我们通过假设2.7，等式（2.27）使用了I上的bc+bc<0，以及-L≤ u（·）<r，根据假设2.1和2.3。由于（2.18），且自h（ξ）+bc（ξ）>0起，我们从前面的方程中发现↑xΘ（b）=+∞. 此外，b 7→ Θ（b）是连续的（从b 7开始→ x个*（b） 因此存在b*∈ I解Θ（b）=0，该值为b*> 因此，也存在*= x个*（b）*) 这样（a*, b*) ∈ （x，ex）×（ex，x）求解系统（3.24）–（3.25）。第2步。我们现在证明这对夫妇（a*, b*) 在域（x，ex）×（ex，x）中确实是唯一的。

对于x*（b） ，b∈ 一、 和y*（a） ，a∈ 一、 隐函数定理给出（x*)（b） =h（b）+bc（b）h（x*（b） （）- bc（x*（b） ）·bm（b）bφ（b）bm（x*（b） ）bφ（x*（b） ），（y*)（a） =h（a）- bc（a）h（y）*（a） ）+bc（y*（a） ）·bm（a）bψ（a）bm（y*（a） bψ（y*（a） ）。因为我们在步骤1中已经知道存在一个解决方案（a*, b*) 属于（x，ex）×（ex，x），我们可以研究这些区间中先前导数的符号。根据假设2.7，我们有（x*)（b） <0表示b∈ （ex，x）和（y）*)（a） <0表示∈ （x，ex），在回顾x*（b） <exand y*（a） >例如，在交叉点b*= y*（a）*) 和a*= x个*（b）*), 我们有（x*)（b）*) =h（b*) + bc（b*)h（a*) - bc（a*)·bm（b*)bψ（b*)bm（a*)bψ（a*)·bψ（a*)bψ（b*)·bφ（b*)bφ（a*)=（y）*)（a）*)·bψ（a*)bψ（b*)·bφ（b*)bφ（a*).18法拉利，VARGIOLUSince（y*)（a）*) < 0和bψ（a*)bψ（b*)·bφ（b*)bφ（a*)< 1（通过bψ和bφ的严格单调性），我们得到（x*)（b）*) >（y）*)（a）*), 或等效（y*)（a）*) >（十）*)（b）*)= [（x*)-1] （a）*).加上x的严格单调性*（·）和y*（·）在（x，ex）和（ex，x）中，后者表明交点确实是唯一的。现在，使用（A，B，A*, b*) 如上所述，我们将候选值函数定义为（3.28）u（x）：=Aψ（A*) + Bφ（a*) + （右侧）（a*) +Za公司*xc（y）dy，x∈ （x，a*],Aψ（x）+Bφ（x）+（Rh）（x），x∈ （a）*, b*),Aψ（b*) + Bφ（B*) + （右侧）（b*) +Zxb公司*c（y）dy，x∈ [b]*, x） 。3.3. 价值函数与最优控制。在本节中，我们证明了在第3.2节（参见上文（3.28））中构造的函数u与值函数（2.32）一致，并且我们提供了最优控制ν？。定理3.4。（3.28）中定义的函数是HJBequation（3.1）的经典解。此外，存在K>0使得| u（x）|≤ K1+| x |γ+1, 式中γ≥ 1是ci的增长系数，i=1，2（见假设2.7-（ii））。证据证明分为几个步骤。第1步。按构造，u∈ C（x，x）。

此外，使用假设2.7-（ii）的增长要求onci，i=1，2，可以从（3.28）中得出，对于所有x∈ I | u（x）|≤ K1+Za*x个∧一*|c（y）| dy+Zx∨b*b*|c（y）| dy≤ K1+| x |γ+1.第2步。我们在这里展示九、- ru（x）+h（x）≥ 0表示所有x∈ 一、 对于x的构造等式，这显然是正确的∈ （a）*, b*), 现在我们证明它也适用于x∈ （x，a*]. 类似的论点也可以用来证明九、- ru（x）+h（x）≥ x为0∈ [b]*, x） 。首先我们重写Aψ（A*) + Bφ（a*) + （右侧）（a*) 以更紧密的形式。请注意，自-通过附录中的引理A.1，bφ=φ，bψ=ψ，因为（bRh）=（Rh），我们可以从（3.17）–（3.18）Aψ（A*) + Bφ（a*) =φ（a*)ψ（a）*) - φ（a*)ψ（a）*)··hψ（a*)φ（a*)（右侧）（a*) - ψ（a）*)φ（a*)（bR bc）（a）*) - ψ（a）*)φ（a*)（右侧）（a*)++ ψ（a）*)φ（a*)（bR bc）（a）*) + φ（a*)ψ（a）*)（右侧）（a*) - φ（a*)ψ（a）*)（bR bc）（a）*)-- φ（a*)ψ（a）*)（Rrh）（a）*) + φ（a*)ψ（a）*)（bR bc）（a）*)i、 关于汇率的奇异控制19然后安排条件并注意到W S（x）=φ（x）ψ（x）- ψ（x）φ（x），x∈ 一、 我们从前面的方程中发现aψ（a*) + Bφ（a*) =Wφ（a*)ψ（a）*) - φ（a*)ψ（a）*)·（3.29）·h- S（a）*)（右侧）（a*) - （bR bc）（a）*)+ S（a）*)（右侧）（a*) - （bR bc）（a）*)i、 然后使用S（x）=-2u（x）σ（x）S（x），且f（x）=-2u（x）σ（x）f（x）+2rσ（x）f（x）对于f=φ，ψ，我们从（3.29）Aψ（A*) + Bφ（a*) = -r·（3.30）·hσ（a*)（右侧）（a*) + u（a*)（右侧）（a*) -σ（a*)（bR bc）（a）*) + u（a*)（bR bc）（a）*)i、 由于预解满足（cf.（2.25））σ（x）（Rh）（x）+u（x）（Rh）（x）=r（Rh）（x）- h（x），x∈ 一、 因为（bR bc）=-cby（2.31），我们从（3.30）的简单代数得出结论，（3.31）Aψ（A*) + Bφ（a*) + （右侧）（a*) =rh（a*) - u（a*)c（a*) -σ（a*)c（a*).因此（cf.（3.28））（3.32）u（x）=Za*xc（y）dy+rhh（a*) - u（a*)c（a*) -σ（a*)c（a*)i、 x个∈ （x，a*].由于（3.32），我们现在可以轻松地检查九、- r） u+h≥ 0开（x，a*].

事实上，自从*< ex，我们有任何x≤ 一*那个-Za公司*x个h（y）-LbX公司- （r）- u（y））c（y）dy公司≥ 但是，通过部件进行的集成会产生0≤ -Za公司*x个h（y）-LbX公司- （r）- u（y））c（y）dy=h（x）- h（a*) +σ（a*)c（a*) -σ（x）c（x）+u（a*)c（a*) - u（x）c（x）- rZa公司*xc（y）dy=h（x）-σ（x）c（x）- u（x）c（x）- rZa公司*xc（y）dy- rhrh（a*) -σ（a*)c（a*) - u（a*)c（a*)我=九、- ru（x）+h（x）在（x，a）上*], 在最后一步中回顾（3.32）时。因此九、- ru（x）+h（x）≥ 0开（x，a*].第3步。为了总结证据，我们还需要证明-c≤ u≤ con（a）*, b*), 因为我们已经通过构造知道u=-con（x，a*] u=con20法拉利，瓦吉奥鲁*, x） 。我们在这里证明≥ -con（a）*, b*). 类似于以下所述的论点也表明≤ con（a）*, b*).通过构造，（3.28）的函数u解出（LX-r） u=-h on（a*, b*). 考虑到u、u和σ的规律性（参见假设2.1），我们可以区分之前关于x的方程（a*, b*), 发现我们解决了LbX公司- （r）- u（x））u（x）=-h（x），x∈ （a）*, b*),连同边界条件u（a*) = -c（a*) 和u（b*) = c（b*).现在，以x为例∈ （a）*, b*), 确定两个停车时间τa*:= inf{t≥ 0 | bXt≤ 一*}, τb*:= inf{t≥ 0 | bXt≥ b*},bPx公司- a、 然后，利用Feynman-Kac公式和Bx的强Markov性质，我们可以写出Eu（x）=bExe-Rτa*∧τb*（r）-u（bXu））duw（bXτa*∧τb*) +Zτa*∧τb*e-卢比（r-u（bXu））duh（bXs）ds=（bRh）（x）-贝克斯河-Rτa*（r）-u（bXu））du（bRh+c）（bXτa*)1{τa*<τb*}我-贝克斯河-Rτb*（r）-u（bXu））du（bRh- c） （bXτb*)1{τa*>τb*}i=（bRh）（x）- （bRh+c）（a）*)贝克斯河-Rτa*（r）-u（bXu））du{τa*<τb*}我- （bRh- c） （b）*)贝克斯河-Rτb*（r）-u（bXu））du{τa*>τb*}i、 召回时（2.22）。

因为函数bf（x）：=bψ（x）bφ（x），x∈ 一、 严格正且严格递增（通过bψ和bφ的严格单调性），我们可以应用[16]中的引理2.3来计算上述最后两个期望，然后写出u（x）bφ（x）=（bRh）（x）bφ（x）-（bRh）（a）*) + c（a*)bφ（a*)·“bF（b*) -bF（x）bF（b*) -bF（a*)#-（bRh）（b）*) - c（b*)bφ（b*)·“bF（x）-bF（a*)bF（b*) -bF（a*)#.后一个方程立即表示bw（x）：=u（x）+c（x）bφ（x）=（bRh）（x）+c（x）bφ（x）-（bRh）（a）*) + c（a*)bφ（a*)·“bF（b*) -bF（x）bF（b*) -bF（a*)#-（bRh）（b）*) - c（b*)bφ（b*)·“bF（x）-bF（a*)bF（b*) -bF（a*)#.（3.33）我们现在要展示bw≥ 0开（a*, b*) 因为这显然等同于提供u≥ -con此间隔。明确bw（a*) = 0，根据标准差异，一个人也可以得到bw（a*) = 自u（a）起为0*) + c（a*) = 还有，到（3.33），我们得到了bw（b*) = （c（b*) + c（b*))/bφ（b*) > 0，其中最后一个不等式是由假设2.7和bφ的正性引起的。如果我们现在能证明bw≥ 0开（a*, b*), 然后我们得到bw（x）≥ bw（a*) = 0对于任意x∈ （a）*, b*), 因此，u≥ -con（a）*, b*). 回顾（2.31），我们可以对汇率的单一控制21重写（3.33）asbw（x）=[bR（h- bc）]（x）bφ（x）-[bR（h- bc）]（a*)bφ（a*)·“bF（b*) -bF（x）bF（b*) -bF（a*)#-[bR（h+bc）]（x）bφ（b*)·“bF（x）-bF（a*)bF（b*) -bF（a*)#.（3.34）然后我们可以使用（3.34）中的（2.24）和（2.20），对x进行标准差分，并使用以下事实：*和b*满足（3.22）–（3.23）以在somealgebrabw（x）=-wbF（x）Zxa*h（z）- bc（z）bφ（z）bm（z）dz=：-wbF（x）Q（x）。（3.35）在（3.35）中引入的函数Q为Q（a*) = 此外，由于假设2.7，我们得到了（3.36）Q（x）=h（x）- bc（x）bφ（x）bm（x）< 0，x<ex，=0，x=ex，>0，x>ex，并且对于任何x，Q（x）<0∈ （a）*, ex]。

我们现在有两种情况：（i）存在性*这样Q（`）=0（注意，如果它存在，这样一个点是唯一的，由（ex，x）上Q（·）的严格单调性决定）；或（ii）Q（x）≤ 0表示任意x∈ （a）*, b*).在案例（ii）中，我们立即从（3.35）中得出以下结论：≥ 0开（a*, b*), 因此，u≥ -con（a）*, b*).另一方面，如果我们是案例（i），那么通过（3.35），我们可以看到点`也是bw的唯一驻点。事实上，这是bw的最大值，因为可以很容易地从（3.35）中导出bw（`）=-w-1bF（`）Q（`）<0，其中最后一个不等式是因为Q（`）=0，但Q（`）>0。然而，由于我们知道bw（a*) = 0和bw（b*) > 0，我们得出结论，同样在（ii）情况下，在（a）上bw>0*, b*), 因此，u≥ -con（a）*, b*).第4步。结合前面步骤的结果完成证明。给定x∈ 一、 让ν？使ν？=ξ?-η?式中（ξ？，η？）是解决以下双重Skorokhod反射问题的一对非减量过程SP（a*, b*; x） 查找（ξ，η）∈ U×U.s.t。Xx，ξ，ηt∈ [答*, b*], P-a.s.对于t>0，ZT{Xx，ξ，ηt>a*}dξt=0，P-a.s.对于任何t>0，ZT{Xx，ξ，ηt<b*}dηt=0，对于任何t>0的情况，P-a.s。（3.37）根据假设2.1，问题SP（a*, b*; x） 允许唯一的路径解（参见，例如，【46】中的定理4.1）。此外，t 7→ ξ?tand t 7→ η?皮重连续，一部分可能在振幅（a）的时间零点跳动*- x） +和（x- b*)+, 分别地它还支持{dξ？t}∩ 支持{dη？t}=. 下面，我们设置ξ？=0 = η?a、 s.，和，为了简化符号，X？：=Xξ？，η?, Px-a.s.提案3.5。让x∈ I和let（ξ？，η？）求解SP（a*, b*; x） 。然后过程ν？：=ξ?- η?是容许控制。22法拉利，VARGIOLUProof。显然是ν？∈ S、 为了证明ν？的可接受性？，我们必须验证定义2.9的要求。从X开始？t型∈ [答*, b*]  对于所有t>0和X？=x个∈ 一、 我们有σI=+∞ Px-a.s。

此外，很容易看出定义2.9的（b）和（c）也已完成。因此，仍需证明定义2.9-（a）也是令人满意的。由（2.29）和（ξ？，η？）求解SP（a*, b*; x） 我们有Z∞e-rt | c（X？t）|o dξ？t型=Z（a*-x） +| c（x+z）| dz+| c（a*)|前任Z∞e-rtdξc，？t型,（3.38）我们使用{a*} 是对R+，dξc，？的度量的支持，？，由ξ？的连续部分诱导？。cyields（3.39）Z（a）的连续性*-x） +| c（x+z）| dz≤ （a）*- x） +最大值∈[0，（a*-x） +]| c（x+u）|<∞.此外，正如在[42]引理2.1的证明中所述（具体见其中的方程式（2.16）–（2.17）），我们得到（3.40）ExZ∞e-rtdξc，？t型< ∞.因为类似的参数适用于Ex[R∞e-rt | c（X？t）|dη？t] ，通过结合（3.39）、（3.40）和（3.38），我们得出结论，定义2.9-（a）的要求是正确的，因此，ν？∈ A（x）。定理3.6。Let（ξ？，η？）求解SP（a*, b*; x） ，ν？使得ν？=ξ?- η?, 和u asin（3.28）。那么I和ν上的u=v？最适合（2.32）。证据必须检查是否满足定理3.1的条件。根据定理3.4，（3.28）中的函数u是HJB方程（3.1）的经典解，它是| u（x）|≤ K1+| x |γ+1, 对于某些K>0，其中γ≥ 1是ci的增长系数，i=1，2（见假设2.7-（ii））。此外，ν？这是X吗？t型∈ [答*, b*] =x个∈ 一：九、- ru（x）+h（x）=0a.e.t和a.s。；过程（3.3）是σ和u连续的F-鞅；满足（3.4）中的条件是因为（ξ？，η？）求解SP（a*, b*; x） ，并且{x∈ I:u（x）=-c（x）}=（x，a*] 和{x∈ I:u（x）=c（x）}=[b*, x） 。HenceTheorem 3.1适用，这就完成了证明。3.4. 具有最佳停止游戏的链接。以下命题提供了值函数导数的概率表示。