随机变量的方差和波动率掉期与期货定价

然后，对于到期日为一年的isK的方差掉期，公平的连续方差罢工*var=θ+V- θκT（1- e-κT）+λ（a+b）≈ 0.0645.根据凸性修正公式isK评估的公平波动率罢工*vol=qERVc（0，T）-V配置总成TRTVtdtE（RVc（0，T））-V配置总成TPN（T）i=1（ln（Yi））E（RVc（0，T））≈√0.0645--0.01190.0645-0.000030.0645≈ 0.3445.根据定理9 isK给出的拉普拉斯变换方法评估的公平波动率打击*卷=√πZ∞1.- E（E-sRVc（0，T））十二烷基硫酸钠=√πZ∞1.- 经验值A（T，s）-B（T，s）V+λT经验值(-saT+2sb）q1+2sbT- 1.十二烷基硫酸钠≈ 0.1312.1.4 L'evy基于Heston模型1.4.1α-稳定分布和L'evy过程在概率论中，如果随机样本的两个独立副本的线性组合具有相同的分布，直到位置和尺度参数，则称分布为稳定。具体而言，对称α稳定分布随机变量的特征函数具有以下形式φ（u）=eiδu-σ| u |α，其中α∈ （0，2）是决定分布形状的特征指数（稳定性参数），δ∈ (-∞, ∞) 是位置参数和σ∈ (0, ∞) 是分散度，它测量分布的宽度。对于0<α≤ 1，δ是中值，而对于1<α≤ 2，δ是平均值。如果δ=0，σ=1，则对称α稳定分布称为标准分布。关于对称α稳定分布的更多细节，可以参考[？]。然而，除了L'evy（α=1/2）、Cauchy（α=1）和Gaussian（α=2）分布之外，一般α稳定分布不存在封闭形式的表达式。此外，对于α稳定分布的非高斯族，只存在小于α的阶矩。

δ=0的分数低阶矩由| X | p=D（p，α）σp/α给出，其中D（p，α）=pΓ（p+1）Γ（1-pα）α√πΓ(1 -p） Γ（·）是伽马分布。对称α稳定分布的一个重要特征是，α越小，α稳定密度的尾部越重。厚尾特性使分布适合于建模本质上具有脉冲性的噪声，例如电价或波动性（参见【Swishchuk，2009】）。定义2.1.2 Letα∈ （0，2），α稳定的L'evy过程LTI是一个过程，使得Lha是严格的α稳定分布（即，L≡ 对于某些α，Sα（σ，β，δ）∈ (0, 2] \\ {1}, σ ∈ R+，β∈ [-1，1]，δ=0或α=1，σ∈ R+，β=0，δ∈ R） 。如果Lissymmetricα-stable（即L≡ 对于某些α，Sα（σ，0，0）∈ (0, 2], σ ∈ R+。Ltis（Tt）t∈如果LTI为常数，则R+-适应[Tt-, Tt+]对于任何t∈ R+。α稳定的L'evy过程是唯一自相似的L'evy过程，如L（at）定律=a1/αL（t），a≥ 它们要么是布朗运动，要么是纯跳跃。对于1<α<2，我们有E（Lt）=δt，其中δ是α稳定分布的位置参数。有关α-stableL'evy过程性质的更多详细信息，请参阅【Swishchuk，2009】。1.4.2由L'evy过程驱动的随机微分方程的时间变化法让Lαa.s.表示所有真实可测Ft适应过程a（t，ω）的族Ohm × [0, +∞), 每T>0，ZT | a（T，ω）|αdt<+∞ a、 s。。现在我们考虑以下形式的随机微分方程dx（t）=a（t，X（t-))dL（t），其中L（t）是α稳定的L'evy过程。定理7。让a∈ Lαa.s.使得T（u）：=Ru | a |αdt→ +∞ a、 美国asu→ +∞.

如果^T（T）：=inf{u:T（u）>T}且^Ft=F^T（T），则时变随机积分^L（T）=R^T（T）adL（T）是一个^Ftα稳定的L'evy过程，其中L（T）是Ft适应的α稳定L'evy过程。因此，对于每一个>0，RtadL=^L（T（T））a.s.，即，关于α-稳定L'evy过程的随机积分只是另一个具有随机变化时间尺度的α-稳定L'evy过程。更多详情参见[罗辛斯基和沃伊辛斯基，1986年]。1.4.3基于Heston模型的列维方差掉期假设基础资产的价格和方差满足以下模型DST=rStdt+pVtStdWtdVt=κ（θ- Vt）dt+σpVtdLt，（34），其中参数的含义与（1）中的相同，而wt和lt是独立的布朗运动和α稳定的L'evy过程，其中α∈ （0，2）。通过使用与第5.1节中相同的方法和时间变化方法【Swishchuk，2009】，我们得到了第二个SDEVt=θ+e的以下解-κt五、- θ+^L（^Tt）（35）式中，^L（^Tt）=Ztσeκspvsdls，^Tt=σαZt[eκ^Ts（V- θ+^L（^Ts））+θe2κ^Ts]α/2ds。因此，公平连续方差为K*var=ERVc（0，T）由byK提供*var=ETZTVtdt= ETZTθ+e-κt五、- θ+^L（^Tt）dt公司（F ubinis T heorem）=TZTθ+e-κt五、- θ+E^L（^Tt）dt=θ+（1- e-κT）（κV- κθ+δ）κT-δe-κTκ。（36）然而，对于α稳定分布的非高斯族，仅存在小于α的阶矩，这意味着我们无法评估已实现方差RVc（0，T）的方差。因此，凸性校正方法无法用于在基于L'evy的Heston模型下确定连续的挥发度。1.4.4基于L'evy的Heston模型的数值示例假设资产价格的动态可以如（34）中所示建模，其中提取的L'evy过程是对称的α-稳定（即β=δ=0），u=-0.0018, κ =0.8519, θ = 0.1574, σ = 0.2403, ρ = -0.8740，V=0.0093。

然后，给出了到期日为一年的方差掉期的即时连续方差罢工*var=θ+（1- e-κT）（κV- κθ+δ）κT-δe-κTκ=0.1574+（1- e-0.8519)(0.8519 · 0.0093 - 0.8519 · 0.1574)0.8519≈ 0.0577，这与赫斯顿模型数值示例中的方差走向相同。在第1.1.4.2节波动率期货定价中，我们将考虑一种交易量很大的波动率衍生工具——波动率期货。我们将根据赫斯顿和贝茨的模型对波动率指数期货进行定价，并通过比较预计的未来价格与市场未来价格，使用不同的方法评估不同模型的定价性能。2.1波动率未来芝加哥期权交易所（CBOE）于1993年推出的波动率指数（VIX）被视为衡量股市波动性的关键指标。最初的芝加哥期权交易所波动率指数旨在衡量市场对货币标准普尔100指数期权价格30天隐含波动率的预期。2003年，芝加哥期权交易所（CBOE）与高盛（Goldman Sachs）共同更新了波动率指数（VIX），以反映衡量预期波动率的新方法，该方法基于标准普尔500指数（SPX），并通过平均SPX看跌期权和看涨期权的加权价格来估计预期波动率。CBOE于2004年3月24日推出了首个交易所交易的VIX期货合约，并在两年后推出了VIX期权。波动率指数期权和期货的交易非常活跃，自推出以来仅10年内，每天就增长到80多万份合约。

参见CBOE白皮书【CBOE，2014】中所述的【CBOE，2014】，VIX计算中使用的广义公式为VIXT=τXiKiKierτQ（Ki）-τ（FK- 1)×100，（37）式中，τ=，Ki是计算中第i个缺钱期权的执行价格，F是时间t的远期指数水平，Q（Ki）表示时间t的缺钱期权的中间报价，Kis是远期指数水平以下的首次出击，r是到期的无风险利率τ。从数学上讲，（2.1）可以被认为是[t，t+τ][Lin，2007]上向前积分的简单离散化，即VIXt=ξτEtZt+τtVsds+ ξ×100，（38）其中vt是瞬时方差，E（X）是风险中性概率测度下的期望值，Et（X）：=E（X | Ft），ξ和ξ是由价格动态确定的系数（有关系数的更多详细信息，请参见【Lin，2007】中的附录A）。VIX平方的表达式也可以根据对数合同的风险中性预期给出【Zhu and Lian，2011】VIXt=-τEtln（St+τSterτ）× 100. （39）Carr和Wu【2006】表明，在风险中性测度下，波动率指数期货的价格是一个鞅，到期日为T的波动率指数期货合约的价值为T isF（T）=E（VIXT）。（40）2.1.1赫斯顿模型下的波动率指数期货定价假设标准普尔500指数的动态可以近似于赫斯顿的波动率模型，如（1）所示，其中ξ=1，ξ=0。因此，在这种情况下，VIX的平方为Vixt=τEtZt+τtVsds= 100×θ+Vt- θκτ(1 - e-κτ), （41）和到期日为T isF（T）=E（VIXT）=100×E的波动率指数期货合约的现值rθ+VT- θκτ(1 - e-κτ). （42）现在我们分别使用凸性修正公式和拉普拉斯变换方法来计算F（T）。定理8。

应用凸性修正公式（10）到（42），我们对VIX期货合约的值F（T）有以下近似值≈ 100 ×rθ-θ(1 -e-κτ)κτ+1 - e-κτκτ·E（VT）-(1 - e-κτ）V ar（VT）8κτθ -θ(1-e-κτ)κτ+1-e-κτκτ·E（VT）3/2, （43）式中，e（VT）=θ+（V- θ） e类-κTandV ar（VT）=θσ2κ（1- e-2κT）+（V- θ） σκ（e-κT- e-2κT）。（44）证明。通过应用凸性修正公式，我们得到f（T）=100×Erθ+VT- θκτ(1 - e-κτ)≈ 100 ×重新θ+VT- θκτ(1 - e-κτ)-V配置总成θ+VT-θκτ(1 - e-κτ)E（θ+VT-θκτ(1 - e-κτ))= 100 ×rθ-θ(1 -e-κτ)κτ+1 - e-κτκτ·E（VT）-(1 - e-κτ）V ar（VT）8κτθ -θ(1-e-κτ)κτ+1-e-κτκτ·E（VT）3/2.Zhu和Lian[2011]考虑了标准普尔500指数的一般模型，该模型将随机波动性和资产价格和波动过程的同时跳跃结合起来。他们通过求解反向部分积分微分方程（PIDE），找到了波动率指数期货的封闭式定价公式。现在，我们通过修改[Zhu and Lian，2011]中的结果，给出了theHeston随机波动率模型的以下封闭式定价公式。定理9。假设标准普尔500指数的动态由Hestonstochastic波动率模型（1）给出，到期日为T的波动率指数期货的价格为T（T，V）=√πZ∞1.- e-100sBf(-100sA；T、 V）s3/2ds，（45），其中=1- e-κτκτ，B=θ（1-1.- e-κτκτ），f（φ；T，V）是随机变量vt的矩母函数，由f（φ；T，V）=eC（φ，T）+D（φ，T）VwithC（φ，T）给出=-2κθσ·ln1+σφ2κ（e-κT- 1)andD（φ，T）=2κφσφ+（2κ- σφ）eκT.更多详情参见【Zhu and Lain，2011】。2.1.2贝茨模型下的波动率指数期货定价在本节中，我们推导了贝茨模型（29）中波动率指数期货的现值，其中ξ=1，ξ=2λ（m- a） 。

根据VIX平方（38）的定义，我们得到了VIX=τEtZt+τtVsds+ 2λ（m- （a）× 100= 100×θ+Vt- θκτ(1 - e-κτ）+2λ（m- （a）, （46）以及到期日为T isF（T）=E（VIXT）=100×E的波动率指数期货合约的现值rθ+VT- θκτ(1 - e-κτ）+2λ（m- （a）. （47）我们再次使用凸性修正公式和拉普拉斯变换方法来计算（47）中的F（T）。定理10。通过使用凸性修正公式（10），我们得到了贝茨模型中VIX期货合约值F（T）的以下近似值≈ 100 ×rθ-θ(1 -e-κτ)κτ+1 - e-κτκτ·E（VT）+2λ（m- （a）-(1 - e-κτ）V ar（VT）8κτθ -θ(1-e-κτ)κτ+1-e-κτκτ·E（VT）+2λ（m- （a）3/2, （48）其中E（VT）和V ar（VT）与（44）中的相同。证据利用凸性修正公式，我们得到f（T）=100×Erθ+VT- θκτ(1 - e-κτ）+2λ（m- （a）≈ 100 ×重新θ+VT- θκτ(1 - e-κτ）+2λ（m- （a）-V配置总成θ+VT-θκτ(1 - e-κτ）+2λ（m- （a）E（θ+VT-θκτ(1 - e-κτ））+2λ（m- （a）(49)= 100 ×rθ-θ(1 -e-κτ)κτ+1 - e-κτκτ·E（VT）+2λ（m- （a）-(1 - e-κτ）V ar（VT）8κτθ -θ(1-e-κτ)κτ+1-e-κτκτ·E（VT）+2λ（m- （a）3/2.定理11。

假设标准普尔500指数的动态由Batesjump模型给出，那么到期日为T的波动率指数期货的价格由f（T，V）给出=√πZ∞1.- e-100sBf(-100sA；T、 V）s3/2ds，（50），其中=1- e-κτκτ，B=θ（1-1.- e-κτκτ）+2λ（m- a） ，f（φ；T，V）是随机变量vt的矩母函数，由f（φ；T，V）=eC（φ，T）+D（φ，T）VwithC（φ，T）给出=-2κθσ·ln1+σφ2κ（e-κT- 1)andD（φ，T）=2κφσφ+（2κ- σφ）eκT.更多详情参见【朱和廉，2011】。2.2实证研究在这一部分中，我们将使用标准普尔500指数的历史数据和上一节得出的定价公式对波动率指数期货进行定价，并通过比较波动率指数期货的估计价格和市场价格来评估定价表现。2.2.1校准已表明，马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）算法在许多方面优于其他一些校准方法。其稳定性、计算效率、检测跳跃的能力等优点【Cape等人，2015年】使其适合于我们的情况下的参数估计。在本节中，我们使用MCMC算法从2015年1月13日至2017年1月13日期间的标准普尔500指数历史数据估计模型参数。在我们的研究中，我们使用【Cape等人，2015年】和【Johannes和Polson，2006年】中提供的方法，使用Gibbs采样器进行参数估计，并使用Metropolis-Hasting算法模拟方差过程Vt。我们使用作者在【Cape等人，2015年】中提供的R软件包进行MCMC校准。校准程序分别应用于Heston和Bates的模型。

选择以下参数作为优先分布参数，r~ N（0，1），κ~ N（0，1），θ~ N（0，1），ψ：=ρσ~ N（0，Ohm),Ohm := σ(1 - ρ) ~ IG（2，），λ~ β（2，40），a~ N（0，1），b~ IG（5.0，0.2）。MCMC算法的初始值是在可能的情况下根据观测数据选择的，或者在不可能进行更多教育估计的情况下根据随机分配选择的（见[Cape等人，2015年]）。因此，选择了以下初始值：r（0）=0.1，κ（0）=5，θ（0）=0.0225，Ohm = 0.02,ψ(0)~ N0,Ohm(0),λ(0)~ β（2，40），a（0）=0，b2（0）=0.1。在我们的模拟之后，我们放弃了前3000次运行作为“老化”周期，并使用最后8000次迭代来估计模型参数。各参数后验分布的平均值以及分布图的标准偏差报告。算法运行10次，记录每次运行后的参数值，然后根据10次运行计算平均值。每次运行20分钟，完全用ofR统计语言完成，使用预先定义的随机数生成例程。表1总结了从MCMC模拟中获得的结果。与其他已发布的结果一样，例如【Cape等人，2015年】【Zhu and Lian，2011年】，瞬时波动率和收益率之间存在着强烈的负相关，并且这种相关性甚至比已观察到的其他相关性更强。λ的估计表明跳跃很少发生，参数Heston Batesr-0.0018-0.0044(0.0794) (0.0824)κ 0.8519 0.8269(0.7590) (0.7239)θ 0.1574 0.1793(0.2939) (0.2959)σ 0.2403 0.2916(0.0768) (0.0384)ρ -0.8740-0.8734（0.0478）（0.0439）λ0.0038（0.0027）a-0.0001（0.9985）b0.0500（0.0294）表1：估计参数的平均值和标准偏差，每年大约观察一次跳跃。尽管Cape等人。

[2015]指出，我们使用的MCMC算法很难检测到跳跃。在2008年末等高波动时期，标准普尔500指数在我们选择的时期相对稳定。2.2.2波动率指数期货定价绩效比较研究在本节中，我们以波动率指数期货市场价格为基准，比较了Heston和Bates模型在凸性修正近似和闭式解定价公式下的定价绩效。根据【Habtemicael和SenGupta，2017年】中的研究，我们采用了估计VIX未来价格的“拟合优度”度量：绝对百分比误差（APE）、平均绝对误差（AAE）、平均相对百分比误差（ARPE）、均方根误差（RMSE）和剩余标准误差（RSE），其中，APE=平均价格扩展数据点|市场价格-模型价格|数据点，AAE=扩展数据点|市场价格-模型价格|数据点，ARPE=数据点X数据点|市场价格-模型价格|数据点，RMSE=vuutXdata点|市场价格-模型价格|数据点，RSE=rSSEn- k、 其中，SSE是平方误差之和，n是观测值的数量，k是要估计的参数数量。通过使用表1中报告的估计参数，我们计算了2017年1月13日不同到期日的波动率指数期货价格。表2列出了APE、AAE、ARPE、RMSE和RSE的值。从表2中，我们可以得出一些关于定价绩效的结论。所有这五种不同的定价绩效衡量标准表明，对于Heston和Bates的模型，从封闭式解估计的VIX期货价格通常比从凸度修正近似估计的VIX期货价格更准确。然而，在Heston模型中，凸修正方法优于短期期货的闭式解方法。