随机变量的方差和波动率掉期与期货定价

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英文标题：
《Variance and Volatility Swaps and Futures Pricing for Stochastic
  Volatility Models》
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作者：
Anatoliy Swishchuk, Zijia Wang
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this chapter, we consider volatility swap, variance swap and VIX future pricing under different stochastic volatility models and jump diffusion models which are commonly used in financial market. We use convexity correction approximation technique and Laplace transform method to evaluate volatility strikes and estimate VIX future prices. In empirical study, we use Markov chain Monte Carlo algorithm for model calibration based on S&P 500 historical data, evaluate the effect of adding jumps into asset price processes on volatility derivatives pricing, and compare the performance of different pricing approaches.
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中文摘要：
在本章中，我们考虑了金融市场中常用的不同随机波动率模型和跳扩散模型下的波动率掉期、方差掉期和波动率指数期货定价。我们使用凸性修正近似技术和拉普拉斯变换方法来评估波动率冲击并估计VIX未来价格。在实证研究中，我们基于标准普尔500指数的历史数据，使用马尔可夫链蒙特卡罗算法进行模型校准，评估资产价格过程中加入跳跃对波动性衍生品定价的影响，并比较不同定价方法的性能。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Variance_and_Volatility_Swaps_and_Futures_Pricing_for_Stochastic_Volatility_Models.pdf (362.77 KB)

2022-6-2 17:59:06 上传

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关键词：随机变量 期货定价 波动率 Mathematical Quantitative

随机波动率模型的方差和波动率掉期和未来预测加拿大阿尔伯塔省卡尔加里市西北卡尔加里市卡尔加里大学数学与统计系（Atoliy SwishchukDepartment of Mathematics and Statistics University of Calgary2500 University Drive NWCalgary，Alberta，Canada），T2N 1N4Zijia Wang数学与统计系（Calgary2500 University Drive NWCalgary，Alberta，Canada），T2N 1N4摘要：在本章中，我们考虑波动率掉期，金融市场常用的不同随机波动率模型和跳差模型下的方差掉期和波动率期货定价。我们使用凸性修正近似技术和拉普拉斯变换方法来评估波动率冲击并估计VIX未来价格。在实证研究中，我们使用马尔可夫链蒙特卡罗算法对基于&p500历史数据的模型进行校准，评估在资产价格过程中加入跳跃对波动性衍生品定价的影响，并比较不同定价方法的性能。关键词：方差掉期、波动率掉期、随机波动率、VIX未来、凸性校正、马尔可夫链蒙特卡罗方差和随机波动率模型的波动率掉期在本节中，我们将重点讨论随机波动率模型和带跳跃的随机波动率模型下的方差和波动率掉期定价。这些模型下的连续方差走向可以通过定义找到。然而，平方根函数的非线性特性要求我们在评估连续波动率时应用一些技术。

在以下章节中，我们将使用凸性修正公式来近似波动率打击，为了演示的完整性，还将介绍[Broadie和Jain，2008]中开发的封闭式解决方案。1.1赫斯顿随机波动率模型我们假设所有价格动态都是在风险中性度量下建模的。现在，我们在Hestonstochastic波动率模型下对方差和波动率掉期进行分析。Heston模型【1993】由DST=rStdt+pVtStdWtdVt=κ（θ）给出- Vt）dt+σpVtdWt，（1）中的第一个方程给出了股价St的动态，r是短期利率，√Vtis是股票价格的波动性和方差Vtisa C-I-R过程。κ表示均值回归的速度，θ是方差的长期平均值，σ是方差的波动率。WT和WT是两个相关ρ的标准布朗运动。我们将推导Vt的均值和方差，而不是求出Heston模型的显式解。为此，我们将Vt设为e-κtZtwith Z=V，thendVt=-κe-κtZtdt+e-κtdZt=-κVtdt+e-κtdZt，dzt=κθeκtdt+σeκtpVtdWt，取积分并替换我们得到的zt=θ（eκt- 1） +σZteκspVsdWs+Vand thereforeVt=e-κtZt=θ+（V- θ） e类-κt+σe-κtZteκspVsdWs。（2） 注意，It^o积分的期望值为零，我们得到e（Vt）=e-κtZt=θ+（V- θ） e类-κt.（3）利用它的等轴测性质，我们得到了以下vtv ar（Vt）=σe的方差公式-2κtV ar（中兴通讯κspVsdWs）=σe-2κtE（Zte2κsVsds）=σe-2κtZte2κs（θ+（V- θ） e类-κs）ds=θσ2κ（1- e-2κt）+（V- θ） σκ（e-κt- e-2κt）。（4） 1.1.1 Heston模型的方差交换在Heston随机波动率模型的情况下，连续实现方差由Vc（0，T）=TzTvTt（5）给出，公平连续方差罢工由K给出*var=ETZTVtdt= θ+V- θκT（1- e-κT）。

（6） 1.1.2波动率掉期对于赫斯顿模型（凸性校正方法），已实现波动率通常通过使用（5）中已实现方差定义的平方根和公允连续波动率罢工来计算*沃尔夫·赫斯顿的模型由byK给出*体积=EpRVc（0，T）= EsTZTVtdt. （7） 对于公平连续波动率，点击K*我们有以下定理。定理1。赫斯顿模型下的公平连续波动率罢工可近似如下k*卷≈rθ+V- θκT（1- e-κT）-σe-2κT2κT（五）- θ） （2e2κT- 4eκTκT- 2)θ+V-θκT（1- e-κT）-σe-2κT2κTθ（2eκTκT- 3e2κT+4eκT- 1)θ+V-θκT（1- e-κT）（8） 证明。为了评估赫斯顿模型下的公平离散波动率罢工，我们需要找到实现方差平方根的风险中性预期。Brockhaus和Long【2002】表明，公平波动率为K*volcan可以用Pvc（0，T）aroundE的泰勒展开式来近似RVc（0，T）如下PRVC（0，T）≈量化宽松RVc（0，T）+RVc（0，T）- ERVc（0，T）量化宽松RVc（0，T）-RVc（0，T）- ERVc（0，T）sERVc（0，T）. （9） 在（9）givesK双方的风险中性措施下进行预期*vol=E（pRVc（0，T））≈量化宽松RVc（0，T）-V配置总成RVc（0，T）E（RVc（0，T））.

（10） 因此，公平波动率走向可以用凸性修正公式（10）来近似，该公式只需要找到预期和已实现方差的方差。具体而言，对于赫斯顿模型，实现方差的期望值由（6）给出，而方差可以通过以下步骤找到。从那时起中兴κxpVxdWx·ZseκxpVxdWx=Zt公司∧sE（e2κxVx）dx=θ2κe2κ（t∧s） +V- θκeκ（t∧s）-θ2κ-五、- θκ，（11）从（2）我们得到e（VtVs）=（V+θ）e-κ（t+s）- 2Vθe-κ（t+s）+（Vθ- θ） （e）-κt+e-κs）+θ+σe-κ（t+s）E中兴κxpVxdWx·ZseκxpVxdWx=（五）- θ） e类-κ（t+s）+（Vθ- θ） （e）-κt+e-κs）+θ+σe-κ（t+s）θ2κe2κ（t∧s） +σe-κ（t+s）V- θκeκ（t∧s） +σe-κ（t+s）（θ- 2V）2κ，（12）和，V arTZTVtdt= ETZTVtdt- ETZTVtdt=TZTZTE（VtVs）dsdt- ETZTVtdt. （13） 将（6）和（12）替换为（13）we haveV arTZTVtdt=σe-2κT2κT（五）- θ） （2e2κT- 4eκTκT- 2） +θ（2eκTκT- 3e2κT+4eκT- 1). （14） 根据凸度修正公式（10），我们得到*卷≈量化宽松RVc（0，T）-V配置总成RVc（0，T）E（RVc（0，T））=rθ+V- θκT（1- e-κT）-σe-2κT2κT（五）- θ） （2e2κT- 4eκTκT- 2)θ+V-θκT（1- e-κT）-σe-2κT2κTθ（2eκTκT- 3e2κT+4eκT- 1)θ+V-θκT（1- e-κT）. （15） 1.1.3波动率掉期对于赫斯顿模型（拉普拉斯变换法），使用凸性修正公式来近似公平波动率走向是很方便的，但实现的方差必须在收敛半径内，才能使泰勒展开式中的前三项很好地近似平方根函数。

Broadie和Jain【2008】声称，在Heston随机波动率模型中，平方根函数泰勒展开式中的四阶项不够小，因此凸性校正公式无法很好地估计公平波动率走向。他们没有使用泰勒展开，而是考虑以下平方根函数公式√x个=√πZ∞1.- e-sxsds，（16），通过对（16）两边的期望，并使用Fubini的理论，我们得到了(√x）=√πZ∞1.- E（E-sx）sds。（17） 定理2。对于赫斯顿随机波动率模型，公平连续波动率罢工由K给出*vol=E（pRVc（0，T））=√πZ∞1.- E（E-sRVc（0，T））sds，（18），其中（e-sRVc（0，T））=经验值A（T，s）- B（T，s）V, （19） A（T，s）=2κθσlog2γ（s）eT（γ（s）+κ）（γ（s）+κ）（eTγ（s）- 1） +2γ（s）,B（T，s）=2s（eTγ（s）- 1） T（γ（s）+κ）（eTγ（s）- 1） +2Tγ（s），γ（s）=rκ+2σsT。有关更多详细信息，请参见[Brodie and Jain，2008，Prop.3.1，第774页]。上述连续实现方差的拉普拉斯变换公式可通过使用费曼-卡克公式进行调整【凯恩斯，2004年】。1.1.4赫斯顿模型的数值示例为了更好地理解赫斯顿模型下的掉期定价，我们提供以下数值示例。我们选择第2.2节（见表1）中实证研究中评估的值作为赫斯顿模型参数，该模型参数是根据2015年1月13日至2017年1月13日期间标普500指数的历史数据，通过马尔科夫链蒙特卡罗算法进行评估的（详情请参阅第2.2.1节）。

Heston\'smodel arer中的参数估计=-0.0018, κ = 0.8519, θ = 0.1574, σ = 0.2403, ρ = -0.8740，V=0.0093。因此，标准普尔500指数一年期方差掉期的公允连续方差履约风险*var=θ+V- θκT（1- e-κT）=0.1574+0.0093- 0.15740.8519 · 1(1 - e-0.8519·1)≈ 0.0577，（20）根据凸性修正公式isK得出的相关公平连续波动率罢工*卷≈√0.0577-0.2403e-2·0.85192·0.8519(0.0093 - 0.1574）（2e2·0.8519- 4e0.8519·0.8519- 2)0.0577-0.2403e-2·0.85192·0.85190.1574（2e0.8519·0.8519- 3e2·0.8519+4e0.8519- 1)0.0577≈ 0.3012. （21）现在，我们使用第二种方法——从拉普拉斯变换发展而来的闭式解来评估相关的连续波动性冲击。根据定理2，我们得到γ（s）=rκ+2σsT=√0.8519+2·0.2403s，A（T，s）=2κθσlog2γ（s）eT（γ（s）+κ）（γ（s）+κ）（eTγ（s）- 1） +2γ（s）=2·0.8519·0.15740.2403log2γ（s）eγ（s）+0.8519（γ（s）+0.8519）（eγ（s）- 1） +2γ（s）,B（T，s）=2s（eTγ（s）- 1） T（γ（s）+κ）（eTγ（s）- 1） +2Tγ（s）=2s（eγ（s）- 1） （γ（s）+0.8519）（eγ（s）- 1） +2γ（s），E（E-sRVc（0，T））=经验值A（T，s）-B（T，s）V= 经验值A（T，s）-B（T，s）·0.0093,因此，通过拉普拉斯变换方法isK评估的公允连续波动率打击*卷=√πZ∞1.- E（E-sRVc（0，T））十二烷基硫酸钠≈ 0.1202.1.2默顿跳跃扩散模型在本节中，我们考虑了遵循默顿跳跃扩散模型的基础资产价格动态-t=（r- λm）dt+σdWt+dJt（22），其中Jt=PNti=1（Yi- 1） 是强度为λ的复合泊松过程。易~ 日志-正常（a，b）表示价格的跳跃大小，E（Yi-1） =m当参数由公式ea+b=m+1关联时。此外，当跳跃发生在时间τi时，我们得到S（τ+i）=S（τ-i） 易[？]。对于可由（22）建模的资产，价格差异来自两个部分：价格过程的差异和价格的跳跃。

因此，Merton跳跃扩散模型中[0，T]上的连续实现方差可以表示为RVC（0，T）=TZTσdt+TN（T）Xi=1（ln（Yi））, （23）和公平连续差异罢工isK*var=ERVc（0，T）=TZTσdt+TEN（T）Xi=1（ln（Yi））= σ+λ（a+b），（24），这取决于波动率参数σ以及跳跃大小的分布。为了评估默顿跳差模型中的连续波动率冲击，我们可以使用凸性校正方法或拉普拉斯变换。定理3。从凸性修正公式（10）中，我们得到了默顿跳跃Dif usionmodelK中公平连续波动率走向的以下近似值*卷≈pσ+λ（a+b）-λ（a+6ab+3b）8Tσ+λ（a+b）. （25）证明。自V ar起RVc（0，T）= V配置总成TZTσdt+TN（T）Xi=1（ln（Yi））= V配置总成TN（T）Xi=1（ln（Yi））=T·λT·E（（ln（Yi））=λ（a+6ab+3b）T，（26）将（24）和（26）代入凸性修正公式，我们得到*卷≈量化宽松RVc（0，T）-V配置总成RVc（0，T）E（RVc（0，T））=pσ+λ（a+b）-λ（a+6ab+3b）8Tσ+λ（a+b）. （27）定理4。通过应用拉普拉斯变换方法，我们对默顿跳跃扩散模型K中的公平连续波动率打击进行了以下评估*vol=E（pRVc（0，T））=√πZ∞1.- E（E-sRVc（0，T））sds，（28），其中（e-sRVc（0，T））=经验值- sσ+λT经验值(-saT+2sb）q1+2sbT- 1..证据SinceRVc（0，T）=σ+TN（T）Xi=1（ln（Yi））,andln（彝语）~ N（a，b），我们有经验值- s（σ+TN（T）Xi=1（ln（Yi）））= e-sσEE经验值{-sTN（T）Xi=1（ln（Yi））}N（T）=N= e-sσ∞Xn=1（λT）ne-λTn！E经验值{-sTN（T）Xi=1（ln（Yi））}= 经验值- sσ+λT经验值(-saT+2sb）q1+2sbT- 1..更多详情请参见【Brodie and Jain，2008年，第771页第3.1号提案和第774页第5.1号提案】。1.2.1默顿模型的数值示例现在，我们提供默顿模型的数值示例。根据2015年1月13日至2017年1月13日期间标普500指数的历史数据，通过MCMC算法对参数进行评估。

设λ=0.0038，a=-0.0001，b=0.05，r=-0.0044, σ = 0.1.然后，到期日为一年的方差掉期的公平连续方差罢工*var=σ+λ（a+b）≈ 0.0102.利用定理3，我们对公平连续波动率strikek进行了以下评估*卷≈pσ+λ（a+b）-λ（a+6ab+3b）8Tσ+λ（a+b）≈ 0.097，根据拉普拉斯变换方法isK评估的波动率冲击*vol=E（pRVc（0，T））=√πZ∞1.- E（E-sRVc（0，T））十二烷基硫酸钠=√πZ∞1.- 经验值- sσ+λT经验值(-saT+2sb）q1+2sbT- 1.十二烷基硫酸钠≈ 0.0246.1.3贝茨跳跃扩散模型1996年，贝茨[1996]将赫斯顿和默顿的模型结合起来，提出了跳跃随机波动模型，如下所示-t=（r- λm）dt+pVtdWt+dJt，dVt=κ（θ- Vt）dt+σpVtdWt，（29），其中参数的含义与Heston的随机波动率模型（1）中的含义相同，JT是一个复合泊松过程，与Merton跳跃扩散模型（22）中的性质相同。此外，我们假设跳跃过程和布朗运动是独立的。与默顿的跳跃差异模型（22）类似，价格的差异来自价格过程的差异和价格的跳跃。因此，贝茨跳跃扩散模型中[0，T]上的连续实现方差isRVc（0，T）=TZTVtdt+TN（T）Xi=1（ln（Yi））, （30）和公平连续差异罢工isK*var=ERVc（0，T）= ETZTVtdt+TE公司N（T）Xi=1（ln（Yi））= θ+V- θκT（1- e-κT）+λ（a+b）。（31）现在，我们使用凸性校正方法和拉普拉斯变换方法来评估贝茨跳跃扩散模型中的连续波动性打击。定理5。

从凸性修正公式（10）中，我们得到了贝茨跳变差模型下公平连续波动率罢工的以下近似值*卷≈量化宽松RVc（0，T）-V配置总成TRTVtdtE（RVc（0，T））-V配置总成TPN（T）i=1（ln（Yi））E（RVc（0，T））.（32）其中E（RVc（0，T））和V arTRTVtdt分别由（31）和（14）给出，和v arTN（T）Xi=1（ln（Yi））=λT·（a+6ab+3b）。证据SinceRVc（0，T）=TZTVtdt+TN（T）Xi=1（ln（Yi））,通过使用凸性修正公式，我们得到了*卷≈量化宽松RVc（0，T）-V配置总成RVc（0，T）E（RVc（0，T））=量化宽松RVc（0，T）-V配置总成TRTVtdtE（RVc（0，T））-V配置总成TPN（T）i=1（ln（Yi））E（RVc（0，T））,andV配置总成TN（T）Xi=1（ln（Yi））=T·λT·E（（ln（Yi））=λ（a+6ab+3b）T。定理6。通过应用拉普拉斯变换方法，我们对贝茨跳跃扩散模型K的公平连续波动率冲击进行了以下评估*vol=E（pRVc（0，T））=√πZ∞1.- E（E-sRVc（0，T））sds，（33），其中（e-sRVc（0，T））=E（E-sTRTVtdt）·E（E-sTPN（T）i=1（ln Yi））=expA（T，s）-B（T，s）V+λT经验值(-saT+2sb）q1+2sbT- 1..A（T，s）和B（T，s）由（19）给出。更多详情请参见【Brodie and Jain，2008年，第774页，第5.1号提案】。1.3.1贝茨模型的数值示例现在，我们提供了贝茨模型的数值示例。根据2015年1月13日至2017年1月13日期间标普500指数的历史数据，通过MCMC算法对参数进行评估。让r=-0.0044, κ = 0.8269, θ = 0.1793, σ = 0.2916, ρ = -0.8734，λ=0.0038，a=-0.0001，b=0.05，V=0.0103。