具有违约传染的风险敏感投资组合优化

相应的DPE将在第3.2.3.1节投资组合优化问题的公式中推导和分析。让我们首先介绍风险敏感投资组合优化问题的设置和公式。要塞∈ [0，T]，让φB（T）表示无风险资产的股份数量，让φj（T）表示投资者在T时持有的第j只股票的股份数量。由此产生的财富过程由xφ（t）=NXj=1φj（t）~Pj（t）+φB（t）B（t），t给出∈ [0，T]。使用股票的价格表示（2.1），上述财富过程可以重写为：Xφ（t）=NXj=1φj（t）（1- Zj（t））Pj（t）+φB（t）B（t），t∈ [0，T]。对于给定的正财富过程，我们可以将投资于股票和货币市场账户的财富份额考虑如下：对于j=1，N、 让我们定义▄πj（t）=φj（t）▄Pj（t-)Xφ（t-)和∧πB（t）=1- π（t）eN，式中|π（t）=（|πi（t）；i=1，N）, 嗯=1, 1, . . . , 1 |{z}N个. 注意到当第j只股票违约时，第j只股票的价格跳到零，投资者在该股票中持有的财富份额在违约后为零。尤其是，以下等式保持|πj（t）=（1-Zj（t-))对于j=1，…，πj（t），N、 因此，自我融资条件导致财富动态的形式如下：X|π（0）=X∈ R+：=（0，∞), anddX▄π（t）=X▄π（t-)π（t）诊断（￠P（t-))-1d▄P（t）+X▄π（t）（1- π（t）eN）dB（t）B（t）（3.1）=X￠π（t）r（Y（t））+π（t）（u（Y（t））- r（Y（t））eN）dt+X|π（t-)π（t）[σ（Y（t））dW（t）- dM（t）]。接下来，我们将介绍本文中使用的所有容许控制集的定义。定义3.1。容许控制集U是一类G-可预测反馈策略∧π（t）=（∧πj（t）；j=1，N）, t型∈ [0，T]，由▄πj（T）=πj（T，X▄π（T）给出-), Y（t-), Z（t-)) 这样，SDE（3.1）允许X∧π（0）=X的唯一正（强）解∈ R+（即。

反馈策略∧π（t）应取U中的值：=(-∞, 1） N）。此外，控制|π=（|π（t））t∈需要[0，T]才能使正过程ΓИπ，θ=（ΓИπ，θ（T））T∈[0，T]后来由（3.6）定义为P-鞅。我们将证明ΓΓπ的鞅性质*,θ为候选最优策略∧π*通过验证第4节中的广义Novikov条件。我们考虑以下风险敏感目标功能。对于▄π∈U，并给定初始值（X（0），Y（0），Z（0））=（X，i，Z）∈ R+×Z+×S，wede finej（△π；T，x，i，Z）：=-θlog E经验值-θlog X￠π（T）= -θlog Eh（X∧π（T））-θi.（3.2）投资者的目标是最大化所有策略的目标函数J∏∈~U.让我们只关注θ∈ (0, ∞) 对于风险敏感的投资者。情况θ∈ (-2，0）被忽略，因为它与实践中较少考虑的风险寻求行为有关。现有文献（例如，见Bielecki和Pliska[6]）考虑了在存在市场风险的情况下动态资产配置的目标函数（3.2），然而，在违约风险和体制转换的背景下，这仍然是一个悬而未决的问题，这激发了我们对该项目的研究。在我们的例子中，Bieleckian和Pliska[6]中的等式（1.1）可以理解为：对于θclo se到0，J（|π；T，x，y，z）=E日志X▄π（T）-θVar对数（X￠π（T））+ o（θ），（3.3），其中o（θ）w通常取决于终端地平线T。那么J（△π；T，x，y，z）可以解释为投资者财富的增长率减去与化利率方差成比例的惩罚项，误差与θ成比例。这在风险敏感控制问题和稳健决策规则之间建立了联系。

风险敏感的投资者希望设计一个决策规则，以防止增长率与预期的大幅偏差，并通过选择更高的参数θ值来实现这一点。接下来，我们将目标函数写成积分准则的指数（类似于toNagai和Peng[24]，以及Capponi等人[14]），这将便于分析动态规划方程。对于所有▄π∈~U，解SDE（3.1）的财富过程由x▄π（T）=x exp（ZT）给出r（Y（s））+π（s） （u（Y（s））- r（Y（s））eN）ds+ZT▄π（s） σ（Y（s））dW（s）-ZT公司σ（Y（s））π（s）ds+NXj=1ZTlog（1- πj（s））dMj（s）+NXj=1ZT∧τjλj（Y（s），Z（s））~πj（s）+对数（1- ~πj（s））ds），并持续X▄π（T）-θ=x-θΓИπ，θ（T）expθZTL（Γπ（s）；Y（s），Z（s））ds！，（3.4）式中，对于（π，i，z）∈ U×Z+×S，风险敏感函数L（π；i，Z）由L（π；i，Z）定义：=-r（一）- π（u（i）- r（i）eN）+1 +θσ（i）π-NXj=1（1- zj）θ+πj-θ(1 - πj）-θλj（i，z）。（3.5）这里，正密度过程由，t给出∈ [0，T]，ΓИπ，θ（T）：=E（πИπ，θ）T，（3.6）πИπ，θ（T）：=-θZt￠π（s）σ（Y（s））dW（s）+NXj=1Zt{（1- ~πj（s））-θ- 1} dMj（s），其中E（·）表示随机指数。As▄π∈U，我们有ΓИπ，θ=（ΓИπ，θ（t））t∈[0，T]是一个P-鞅。因此，我们可以确定dP￠π，θdP给出的测量值的以下变化Gt=ΓИπ，θ（t），t∈ [0，T]，（3.7），其中W|π，θ（T）：=W（T）+θZtσ（Y（s））~π（s）ds，t∈ [0，T]（3.8）是一个d维布朗运动，而在P|π，θ下，对于j=1，N、 它认为m|π，θj（t）：=Zj（t）-Zt公司∧τj（1- ~πj（s））-θλj（Y（s），Z（s））ds，t∈ [0，T]（3.9）是一种马丁酒。P|π，θ的定义使我们能够以指数形式重写上述风险敏感目标函数（3.2）。

从（3.4）中，我们推导出j（|π；T，x，i，z）=-θlog EX▄π（T）-θ= -θlog E“x-θΓИπ，θ（T）expθZTL（Γπ（s）；Y（s），Z（s））ds！#=日志x-θlog Eπ，θ“expθZTL（△π（s）；Y（s），Z（s））ds！#=：log x+’J（△π；T，i，Z）。这里E△π，θ表示（3.7）定义的w.r.T.P△π，θ的期望值。由于J和△J之间的关系，我们原来的问题相当于在△π上最大化△J∈~U。因此，我们可以将风险敏感控制问题的值函数重新定义为：V（T，i，z）=sup▄π∈~U'J（~π；T，i，z）=-θinf￠π∈Ulog E▄π，θ“expθZTL（▄π（s）；Y（s），Z（s））ds！#，（3.10）表示（i，Z）∈ Z+×S.3.2动态规划方程在本节中，我们将首先使用Bir ge等人[8]中的启发式参数推导出由值函数（3.10）满足的动态规划方程（DPE）。下一步将推迟，以证明DPE的解确实与严格验证定理中风险敏感控制问题的值函数一致。Let（t，i，z）∈ [0，T]×Z+×S和定义V（T，i，Z）：=-θinf￠π∈~Ulog J（~π；t，i，z）：=-θinf￠π∈<<Ulog E<<π，θt，i，z>>expθZTtL（<<π（s）；Y（s），z（s））ds！#，，（3.11），其中E>>π，θt，i，z[·]：=E>>π，θ[·Y（t）=i，z（t）=z）。这会产生关系V（t，i，z）=V（0，i，z）。对于0≤ t<s≤ T，动态规划原理导致V（T，i，z）=-θinf￠π∈~Ulog E ~π，θt，i，z经验值-θ′V（s，Y（s），Z（s））+θZstL（△π（u）；Y（u），Z（u））du.使用Birge et a l.[8]中的启发式参数，我们得到了以下DPE，即“V”，即所有（t，i，z）∈ [0，T）×Z+×S，0=？V（t，i，z）t型-θXl6=iqil经验值-θ？V（t、l、z）-？V（t，i，z）- 1.+ supπ∈UHπ; i、 z，（(R)V（t，i，zj）；j=0，1，N）（3.12）终端条件V（T，i，z）=0表示所有（i，z）∈ Z+×S。

在上述等式中，函数定义为，for（π，I，z）∈ U×Z+×S，H（π；i，Z，’f（Z））：=-θNXj=1经验值-θ（f（zj）- f（z））- 1.(1 - zj）（1- πj）-θλj（i，z）+r（i）+π（u（i）- r（i）eN）-1 +θσ（i）π+NXj=1θ+πj-θ(1 - πj）-θ(1 - zj）λj（i，z）。（3.13）此处'f（z）=（f（zj）；j=0，1，N） 对于任何可测函数f（z）。上面，我们使用了符号zj：=（z，…，zj-1, 1 - zj，zj+1，zN）对于z∈ S、 等式（3.12）实际上是DPE的递归系统。我们考虑由φ（t，i，z）给出的解的以下Cole-Hopf变换：=exp-θ′V（t，i，z）, （t、i、z）∈ [0，T]×Z+×S.（3.14），然后^1（t、i、z）t=-θИ（t，i，z）？V（t，i，z）t对于（t，i，z）∈ [0，T]×Z+×S。将其插入式（3.12），我们得到0=^1（t、i、z）t+Xl6=iqil[Д（t，l，z）- ν（t，i，z）]+infπ∈UHπ; i、 z，（Д（t，i，zj）；j=0，1，N）（3.15）终端条件Д（T，i，z）=1表示所有（i，z）∈ Z+×S。在Above方程中，函数由H（π；i，Z，’f（Z））定义：=(-θr（i）-θπ（u（i）- r（i）eN）+θ1 +θσ（i）π（3.16）+NXj=1-1.-θπj(1 - zj）λj（i，z））f（z）+NXj=1f（zj）（1- zj）（1- πj）-θλj（i，z）。4主要结果和验证理论我们用两步程序分析了DPEs递归系统（3.15）全局解的存在性。首先，我们研究了当马尔可夫链Y在有限状态空间中取值时，方程（3.15）作为动力系统经典解的存在唯一性。其次，我们利用近似参数研究了有限状态下的可数情形。让我们介绍一些在本节中经常使用的符号。让n∈ Z+。福尔克斯∈ Rn，我们写x=（x，…，xn）. 对于任意x，y∈ Rn，我们写x≤ y如果xi≤ Yi对于所有i=1，n、 如果x写入x<y≤ 存在一些i∈ {1，…，n}这样xi<yi。特别是，x<< yif xi<yif all i=1。。。，n

回想一下，eNdenotes是一个N维列向量，它的所有entries都是1。对于gene ral默认状态z∈ S、 我们在此介绍一种基因ral默认状态表示Z=0j，。。。，指数j6=···6=属于{1，…，N}，和k的jk∈ {0，1，…，N}。这样的向量是通过复制条目j，零向量的jk为1，即zj=···=zjk=1，对于j，zj=0/∈ {j，…，jk}（如果k=0，我们设置z=0j，…，jk=0）。显然是0j，。。。，jN=eN、 4.1区域切换过程的有限状态情况在本节中，我们研究区域切换过程Y定义在Dn={1，…，N}给定的有限状态空间上的情况。此处n∈ Z+是一个固定数字。马尔可夫链Y的相应Q矩阵由Qn=（qij）i，j给出∈DnsatisfyingPj∈Dnqij=0表示i∈ Dnand qij≥ 当i 6=j时为0。值得注意的是，qij，i，j∈ D此处可能不同于第2.1小节中给出的内容。尽管有轻微的符号滥用，我们仍然使用qijhere只是为了方便。设Д（t，z）：=（Д（t，i，z）；i=1，n）是（t，z）解的列向量∈ [0，T]×S。然后，我们可以将等式（3.15）改写为以下动力系统：^1（t，z）t+Qn+diag（ν（z））Д（t，z）+G（t，Д（t，z），z）=0，t∈ [0，T）×S；Д（T，z）=en，对于所有z∈ S、 （4.1）这里，函数G（t，x，z）=（Gi（t，x，z）的向量；i=1，n）由给出，对于每个i∈ Dnand（t、x、z）∈ [0，T]×Rn×S，Gi（T，x，z）=infπ∈U（NXj=1Д（t，i，zj）（1- zj）（1- πj）-θλj（i，z）（4.2）+θ(1 +θ)σ（i）π-θπ（u（i）- r（i）eN）-θNXj=1πj（1- zj）λj（i，z）xi）。系数ν（z）=（νi（z）的向量；i=1，n）对于z∈ S由给出，对于每个i∈ Dn，νi（z）=-θr（i）-NXj=1（1- zj）λj（i，z）。（4.3）根据默认状态z=0j，…，调用（4.1）给出的递归系统，。。。，jk公司∈ S（其中k=0，1，…，N）。

可解性实际上可以在默认状态下以递归形式进行分析。因此，我们分析系统的策略基于递归过程，从默认状态z=e开始N（即，所有股票都已默认），并向后进入默认状态z=0（即，所有股票都处于活动状态）。（i） k=N（即所有股票都已违约）。在这种默认状态下，投资者显然不会投资股票，因此在这种情况下，s股票的最优分数策略由π给出*= · · · = π*根据定义3.1，N=0。Let^1（t，eN） =（^1（t，i，eN） ；i=1，n）. 作为一个序列，动力系统（4.1）可以写成滴滴涕（t，eN） =- A（N）Д（t，eN） ，in[0，T）；Д（T，eN） =英语。（4.4）系数A（N）的矩阵：=Qn+diag（ν（eN） ）。为了建立上述动力系统（4.4）的唯一正解，我们需要以下辅助结果。引理4.1。设g（t）=（gi（t）；i=1，n）满足以下动力系统：ddtg（t）=Bg（t）in（0，t）；g（0）=ξ。如果B=（bij）n×nsatis fies bij≥ 0表示i 6=j和ξ>> 0，那么我们有g（t）>> 0表示所有t∈ [0，T]。证据定义f（x）=x的Bx∈ 注册护士。根据命题1。【26】中第3章第1节，需要验证→ K型RNI，即任何x、y∈ RNX令人满意≤ y和xi=yi对于某些i=1，n、 那么它认为fi（x）≤ fi（y）。请注意，bij≥ 0表示所有i 6=j。那么，我们得到了fi（x）=（Bx）i=nXj=1bijxj=biixi+nXj=1，j6=ibijxj=biiyi+nXj=1，j6=ibijxj≤ biiyi+nXj=1，j6=ibijyj=fi（y），（4.5），因此f是K型的。因此，我们完成了引理的证明。下一个结果是前一个引理的结果。引理4.2。

动力系统（4.4）允许唯一的解，该解由ν（t，e）给出N） =eA（N）（T-t） 恩=∞Xi=0（A（N））i（T- t） ii！en，t∈ [0，T]，（4.6），其中n×n维矩阵A（n）=Qn+diag（ν（eN） ）=Qn-θdiag（r），r=（r（i）；i=1，n）. 此外，它认为Д（t，eN）>> 0表示所有t∈ [0，T]。证据解的表示法Д（t，eN） （4.6）给出的是显而易见的。请注意，en>> 0和QIJ≥ 0表示所有i 6=j，因为Qn=（qij）n×nis是马尔可夫链的生成器。然后为了证明Д（t，eN）>> 0表示所有t∈ [0，T]，使用引理4.1，可以验证[A（N）]ij≥ 0表示所有i 6=j。然而，对于所有i 6=j，验证了引理4.1中给出的条件，这意味着N）>> 0表示所有t∈ [0，T]。接下来我们考虑z=0j的一般默认情况，。。。，0的JK≤ k≤ N- 1，即股票J，jk已默认，但股票{jk+1，…，jN}：={1，…，N}\\{j，…，jk}仍然有效。然后我们有（ii）因为股票j，jk默认，股票的最优分数策略j，jk由π（k，*)j=0表示j∈ {j，…，jk}根据定义3.1。设Д（k）（t）=（Д（t，i，0j，…，jk）；i=1，n）λ（k）j（i）=j的λj（i，0j，…，jk）/∈ {j，…，jk}和i=1，n、 然后，对应于该默认cas e的相应DPE（4.1）由以下公式给出滴滴涕Д（k）（t）=- A（k）Д（k）（t）- G（k）（t，Д（k）（t）），in[0，t）；Д（k）（t）=en。（4.7）这里，n×n维矩阵A（k）由A（k）=diag给出-θr（i）-Xj公司/∈{j，…，jk}λ（k）j（i）；i=1，n+ Qn。（4.8）系数G（k）（t，x）=（G（k）i（t，x）；i=1，n）对于（t，x）∈ [0，T]×Rn由，fori给出∈ Dn，G（k）i（t，x）：=infπ（k）∈U（k）Xj公司/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）1.- π（k）j-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） xi.

（4.9）式中，对于（π（k），i）∈ U（k）×Dn，函数H（k）由H（k）（π（k）给出；i） ：=θ1 +θσ（k）（i）π（k）-θ（π（k））u（k）（i）- r（i）eN-k-θXj/∈{j，…，jk}π（k）jλ（k）j（i）。（4.10）该州的政策空间为U（k）=(-∞, 1） N个-k、 和Д（k+1），j（t，i）：=Д（t，i，0j，…，jk，j）forj/∈ {j，…，jk}对应于默认状态z=0j，…，下等式（4.1）的正解向量的第i个元素，。。。，这里，对于每个i=1，n、 我们还使用了符号：π（k）=（π（k）j；j/∈ {j，…，jk}）, θ（k）（i）=（θj（i）；j/∈ {j，…，jk}）, σ（k）（i）=（σjκ（i）；j/∈{j，…，jk}，κ∈ {1，…，d}），和u（k）（i）=（uj（i）；j/∈ {j，…，jk}）.从（4.9）给出的G（k）i（t，x）的表达式可以看出，t∈ 默认状态z=0j时DPE（4.1）的[0，T]，。。。，jk实际上取决于解ν（k+1），j（t）取决于t∈ 默认状态z=0j时DPE（4.1）的[0，T]，。。。，jk，jfor j/∈ {j，…，jk}。特别是当k=N时- 1，解Д（k+1），j（t）=Д（t，eN）>> 0对应于（4.1）在默认状态z=eN（即k=N）下的解，该解由引理4.2获得。这建议我们根据默认状态z=0j，…，向后递归地解决DPE（4.1），。。。，jk。因此，为了研究动力系统（4.7）正（经典）解的存在性和唯一性，我们首先假设（4.1）在t∈ 对于j，[0，T]/∈ {j，…，jk}。我们可以首先得到G（k）（t，x）的估计值，这在下面的引理中给出。引理4.3。对于每个k=0，1，N- 1，假设DPE（4.1）在t上有一个正的唯一（经典）解ν（k+1），j（t）∈ 对于j，[0，T]/∈ {j，…，jk}。

那么，对于任何x，y∈ Rnsatisfyingx，y≥ εen当ε>0时，存在一个正常数C=C（ε），它只取决于ε>0，因此G（k）（t，x）- G（k）（t，y）≤ C kx- yk。（4.11）这里k·k表示欧几里得范数。证据必须证明，对于每个i=1，n、 | G（k）i（t，x）- G（k）i（t，y）|≤ C（ε）kx- 任何x、y的yk∈ RN满足x，y≥ εenwithε>0，其中C（ε）>0与时间t无关。根据递归假设，ν（k+1），j（t）在t上∈ [0，T]是（4.1）forj的唯一正（经典al）溶液/∈ {j，…，jk}。然后，它在[0，T]上是连续的，这意味着存在一个与T无关的常数C>0∈[0，T]kИ（k+1），j（T）k≤ C或j/∈ {j，…，jk}。因此，通过（4.9），对于所有i，由于H（k）（0；i）=0∈ Dnusing（4.10），因此，对于所有（t，x）∈ [0，T]×Rn，G（k）i（T，x）≤Xj公司/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）（1- π（k）j）-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） xiπ（k）=0=Xj/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）λ（k）j（i）≤ CXj公司/∈{j，…，jk}λ（k）j（i）。（4.12）另一方面，作为σ（k）（i）σ（k）（i）为正定义，存在一个正常数δ>0，因此σ（k）（i）π（k）k≥ 所有i的δkπ（k）kF∈ Dn。因此，以下估计成立：H（k）（π（k）；（一）≥θ(1 +θ)δπ（k）-θu（k）（i）- r（i）eN-k+Xj公司/∈{j，…，jk}λ（k）j（i）π（k）. （4.13）我们接下来取定义的正常数asC：=2u（k）（i）- r（i）eN-k+Pj公司/∈{j，…，jk}λ（k）j（i）（1+θ）δ。对于所有π（k）∈ {π（k）∈ U（k）；kπ（k）k≥ C} ，它认为h（k）（π（k）；（一）≥ 0，i∈ Dn。