具有违约传染的风险敏感投资组合优化

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英文标题：
《Risk Sensitive Portfolio Optimization with Default Contagion and
  Regime-Switching》
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作者：
Lijun Bo, Huafu Liao and Xiang Yu
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We study an open problem of risk-sensitive portfolio allocation in a regime-switching credit market with default contagion. The state space of the Markovian regime-switching process is assumed to be a countably infinite set. To characterize the value function, we investigate the corresponding recursive infinite-dimensional nonlinear dynamical programming equations (DPEs) based on default states. We propose to work in the following procedure: Applying the theory of monotone dynamical system, we first establish the existence and uniqueness of classical solutions to the recursive DPEs by a truncation argument in the finite state space. The associated optimal feedback strategy is characterized by developing a rigorous verification theorem. Building upon results in the first stage, we construct a sequence of approximating risk sensitive control problems with finite states and prove that the resulting smooth value functions will converge to the classical solution of the original system of DPEs. The construction and approximation of the optimal feedback strategy for the original problem are also thoroughly discussed.
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中文摘要：
我们研究了一个存在违约传染的制度转换信贷市场中风险敏感投资组合配置的开放性问题。假设马尔可夫机制转换过程的状态空间是一个可数无限集。为了刻画值函数，我们研究了相应的基于默认状态的递归无限维非线性动态规划方程（DPE）。我们建议按照以下步骤进行工作：应用单调动力系统理论，首先在有限状态空间中通过截断变元建立递归DPE经典解的存在唯一性。相关的最优反馈策略的特点是发展了一个严格的验证定理。在第一阶段的结果的基础上，我们构造了一个具有有限状态的近似风险敏感控制问题序列，并证明了所得到的光滑值函数将收敛于原始DPEs系统的经典解。对原问题最优反馈策略的构造和逼近进行了深入的讨论。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Risk_Sensitive_Portfolio_Optimization_with_Default_Contagion_and_Regime-Switching.pdf (420.32 KB)

2022-6-2 18:48:37 上传

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关键词：投资组合优化 投资组合 Optimization Verification Quantitative

违约传染与制度变迁的风险敏感投资组合优化李俊波*廖华富+项羽2018年10月25日摘要我们研究了违约传染的制度转换信贷市场中风险敏感投资组合配置的开放性问题。马尔可夫政权转换过程的状态空间被假设为一个可数有限集。为了刻画值函数，我们研究了相应的基于默认状态的有限维递归非线性动态规划方程（DPE）。我们建议按照以下步骤进行工作：应用单调动力系统理论，我们首先通过有限状态空间中的截断变元建立递归DPE经典解的存在唯一性。相关的最优反馈策略的特点是发展了一个严格的验证定理。在第一阶段的结果基础上，我们构建了一个具有有限状态的近似风险敏感控制问题序列，并证明得到的平滑值函数将收敛于原始DPEs系统的经典解。对原问题最优反馈策略的构造和逼近也进行了深入的讨论。AMS 2000科目分类：3E20、60J20。关键词和短语：违约传染；制度转换；可数有限状态；风险敏感控制；递归动态规划方程；验证定理。1引言金融数学界的一个最终目标是使用易于处理的概率或随机模型来描述复杂的投资环境。例如，市场趋势通常由一些随机因素描述，如马尔可夫链。

特别是，所谓的制度转换模型被广泛接受，通常被提议用来捕捉宏观经济体系转型或宏观调控对市场行为的影响。例如，Ang和Bekaert[2]的实证结果表明，存在两种以不同波动水平为特征的制度。众所周知，由制度转换过程调节的违约事件会对投资组合中幸存证券的困境状态产生影响。更具体地说，Giesecke等人通过150多年来对公司债券市场的实证研究，提出存在三种对应于高、中、低违约风险的制度。卡波尼（Capponi）和菲格罗亚-欧佩兹（Figueroa-L'opez）[12]研究了基于违约证券的终端财富的经典效用最大化问题，卡波尼（Capponi）、菲格罗亚-欧佩兹（Figueroa-L'opez）和尼森（Nisen）[13]获得了脆弱未定权益无轨道价格过程的泊松级数表示。*电子邮件：lijunbo@ustc.edu.cn，中国科学技术大学数学科学学院，中国安徽省合肥市，230026；中国科学院吴文俊凯数学实验室，中国安徽省合肥市，230026。+电子邮件：lh FLhf@mail.ustc.edu.cn，中国科学技术大学数学科学学院，安徽合肥，230026，中国电子邮箱：xiang。yu@polyu.edu.hk，香港理工大学应用数学系，香港九龙红磡。另一方面，考虑可违约标的资产的重要性吸引了大量的关注，尤其是在一些全球金融危机导致系统性失败之后。

最近的一些发展将单一可违约证券的早期模型扩展到投资组合分配的违约传染效应。对这些相互传染影响的研究打开了一扇大门，为一些经验难题提供了可能的答案，如信贷敏感资产价格的高市值变化。例如，卡夫和斯特芬森[22]讨论了可违约债券的传染效应。Callegaro、Jeanblanc和Runggaldier[11]考虑了一个具有多个可违约资产的n最优投资问题，该问题取决于一个特别观察到的外部因素过程。Jiao、Kharroubi和Pha m【21】研究了允许多次跳跃和默认事件的模型。最近，Bo和Capponi[9]研究了电力公用事业投资者的最优投资组合问题，该投资者在信用违约掉期和货币市场之间分配财富，通过相互作用的违约强度对传染风险进行建模。除了著名的默顿效用最大化模型外，最近几年投资组合管理中对风险敏感随机控制标准的兴趣越来越大，参见Davis和Lleo【16】，了解风险敏感资产管理的理论和实践概述。在一个典型的风险敏感投资组合优化问题中，投资者通过衡量波动性来最大化投资组合的长期增长率。特别是，通过引入衡量标准的变化和所谓的风险敏感参数，可以将终端财富的经典效用最大化转化为风险敏感控制标准，该参数表征了投资者的风险容忍度，参见Bielecki和Pliska【6】以及Nagai和Peng【24】。

我们将仅列举大量文献中的一小部分，例如，风险敏感标准可以与Bielecki和Pliska提出的Markowitz均值-方差优化的动态版本相联系[6]，Fleming[17]和最近Bayraktar和Yao[5]利用BSDEs和弱动态编程原理对零和随机微分博弈进行的微分博弈。Hansen等人[20]进一步将风险敏感目标与稳健标准联系起来，其中扰动以相对熵为特征。Bayraktar和Cohen[4]后来研究了终身破产概率问题的风险敏感控制版本。尽管已有许多关于风险敏感控制、信贷风险最优投资和制度转换的研究，但在违约风险和制度转换两种情况下，ris k敏感por tfolio分配仍然是一个普遍存在的问题。我们的论文旨在填补这一空白，并考虑一个有趣的案例，即违约传染效应可能取决于制度状态，可能在很多情况下。对于最近的一些相关工作，值得注意的是，在具有独立制度状态的违约自由市场中，Andruszkiewicz、Davis和Lleo[1]研究了风险敏感资产最大化问题解的存在性和唯一性，并提供了最优价值函数的常微分方程，该函数可以通过数值有效地求解。同时，Das、Goswami和Rana[15]考虑了arisk敏感的投资组合优化问题，将多只股票建模为多维跳跃差分，其系数由年龄相关的半马尔可夫过程调节。

他们还建立了相应HJB方程经典解的存在性和唯一性。在理论随机控制的背景下，我们还注意到Kumar和Pal[23]推导了一类具有近似单调成本的纯跳跃过程风险敏感控制问题的动态规划原理。为了模拟混合差异，Nguyen和Yin【25】提出了一种具有可数有限状态的切换差异系统。得到了具有过去依赖切换的杂交扩散问题解的存在唯一性。回到具有随机因素的金融市场的实际实施，经常使用制度转换模型或连续时间马尔可夫链来近似与时间相关的市场参数或因素的动态。参数或因子的连续状态空间通常被离散化，从而导致近似马尔可夫链的有限状态（参见Ang a和Timmermann[3]）。这主要促使我们在这项工作中考虑可数政体国家，并表明这种技术困难最终可以通过与有限国家对应方的适当近似来调和。因此，我们对制度转换的分析结论可能为具有de故障和随机因素过程的风险敏感投资组合优化的数值处理提供理论基础。我们的贡献是双重的。从建模角度来看，可以认为相关股票受到信贷事件的影响，尤其是可违约股票的动态，即赎回、波动性和违约强度系数，都取决于宏观经济制度。

由于违约可能会连续发生，违约蔓延的建模意义在于，存续名称的违约强度会同时受到其他股票违约事件以及当前制度状态的影响。我们模型中的这种情况使我们能够分析投资者风险敏感性、制度变化和股票违约传染的共同复杂性。从数学角度来看，所得到的动态规划方程（DPE）可以视为默认状态下的有限维非线性动力系统。递归的深度等于投资组合中的股票数量。我们研究这种新型递归动态系统的方法可以总结为以下方案：首先，建议运行状态切换过程的可数有限状态空间，并只考虑具有有限状态空间的递归DPE。其次，对于有限状态情况，基于向后递归分析递归DPE解的存在性和唯一性，即从所有股票默认的状态到所有股票都存在的状态。值得注意的是，证券或控制变量的交易策略没有受到任何有界约束的加强，如Andruszkiewicz、Davis和Lleo【1】和Kumar a和Pal【23】。作为代价，HJB动力系统的非线性不是全局Lipschitz连续的。为了克服这一新挑战，我们开发了一种截断技术，通过证明一个基于Smith[26]所述单调动力系统理论的比较定理。然后，通过证明截断系统的解具有与截断水平无关的一致（严格正）下界，我们建立了递归DPE的唯一经典解。

这也使我们能够在验证定理中描述最优容许反馈交易策略。接下来，当状态被重新设定为可数有限时，有限状态下的结果可用于构建一个将风险敏感控制问题近似为原始问题的序列，并获得优雅的统一估计，从而得出相关平滑值函数序列将成功收敛于原始递归DPE的经典解的结论。我们还通过在一些严格的验证定理中探索最优反馈策略的可能构造和近似，对现有文献做出了贡献。论文的其余部分组织如下。第2节描述了违约传染和制度转换的信贷市场模型。第3节阐述了风险敏感随机控制问题，并介绍了相应的DPE。在第4节中，我们分析了递归有限维DPE的经典全局解的存在性和唯一性，并发展了严格的验证定理。为了完整性，附录A中给出了一些辅助结果和证明。2模型考虑了由N≥ 1可违约股票和无风险货币市场基于给定的完全过滤概率空间(Ohm, G、 G，P）。设Y=（Y（t））t∈[0，T]是一个区域切换过程，稍后将精确介绍。全球平衡过滤G=F∨ H由所有P-null集扩充，满足通常条件。过滤F=（Ft）t∈[0，T]由状态切换过程Y和与n无关的d共同生成≥ 1维布朗运动，用W=（Wj（t）表示；j=1，d）t型∈[0，T]。我们使用 表示Transpose运算符。

投资的时间范围由T>0给出。货币市场账户B（t）的价格过程满足dB（t）=r（Y（t））B（t）dt，其中r（Y（t））≥ 0是由制度转换过程Y调整的利率。过滤H由N维默认指标过程Z=（Zj（t）生成；j=1，N） t型∈[0，T]取S中的值：={0，1}N。默认指标过程Z通过τj：=inf{T链接到N个默认股票的默认时间≥ 0; Zj（t）=1}对于j=1，N、 过滤H=（Ht）t∈[0，T]定义为HT=WNj=1σ（Zj（s）；s≤ t） 。因此，H包含在终端时间T之前有关默认事件的所有信息。以下各小节详细说明了市场模型。2.1状态切换过程状态切换过程由连续时间（保守）马尔可夫链Y=（Y（t））t描述∈[0，T]与可数状态空间Z+：=N\\{0}={1，2，…}。马氏链Y的生成元由Q矩阵Q=（qij）ij给出∈Z+。这就产生了qii≤ 0表示i∈ Z+，qij≥ 0表示6=j，和P∞i的j=1qij=0∈ Z+（即Pj6=iqij=-奇福一号∈ Z+。2.2信用风险模型制度转换过程和默认指标过程的联合过程（Y，Z）是状态spa c e Z+×S上的马尔科夫过程。此外，在时间t，默认指标过程从状态Z（t）：=（Z（t），Zj公司-1（t），Zj（t），Zj+1（t），其中义务人j对相邻状态Zj（t）有效（Zj（t）=0）：=（Z（t），Zj公司-1（t），1- Zj（t），Zj+1（t），其中债务人j以严格正随机利率λj（Y（t），Z（t））违约。我们假设Y和Z，ZN不会同时跳转。因此，如果投资组合中的任何其他股票违约（传染效应），或者如果存在制度缺陷，第j个股票的违约强度可能会发生变化。

因此，我们的默认模型属于Frey和Backhaus提出的一类丰富的相互作用强度模型。我们设置λ（i，z）=（λj（i，z）；j=1，N）对于（i，z）∈ Z+×S.2.3价格过程N个可违约股票的价格过程用向量过程▄P=（▄Pj（t）表示；j=1，N）t型∈[0，T]。这里，第j种股票的价格过程为，t∈ [0，T]，~Pj（T）=（1）- Zj（t））Pj（t），j=1，N、 （2.1）式中，P=（Pj（t）；j=1，N）t型∈[0，T]表示N只股票的违约前价格。特别是，第j个股票的价格由pr e-违约价格Pj（t）给出，直至τj-, 并在默认时间跳到0，此后τjand保持为0。N个可违约股票的违约前价格过程P被假定为满足fydP（t）=diag（P（t））[（u（Y（t））+λ（Y（t），Z（t）））dt+σ（Y（t））dW（t）]，（2.2），其中，diag（P（t））是具有对角元素Pi（t）的对角N×N维矩阵。为每个人∈ Z+，向量u（i）是RN值列向量，σ（i）是RN×d值矩阵，因此σ（i）σ（i）为正定义。根据公式s（2.1），（2.2）和分部积分，可预测股票的价格动态满足dP（t）=diag（P（t））[u（Y（t））dt+σ（Y（t））dW（t）- dM（t）]。（2.3）此处，M=（Mj（t）；j=1，N）t型∈[0，T]是纯跳跃G=（Gt）T∈[0，T]-由mj（T）给出的鞅：=Zj（T）-Zt公司∧τjλj（Y（s），Z（s））ds，t∈ [0，T]。（2.4）通过Bo和Capponi【10】中默认指示符过程Z的构造，可以看出W也是一个G-布朗运动，使用Bieleckian和Rutkowski【7】第6章第6.1.1节中的条件（M.2a）。3动态优化问题在这种情况下，我们正式推导了与风险敏感随机控制问题相关的动态规划方程（DPE）。我们首先在第3.1节中以等效形式重新表述风险敏感投资组合优化问题。