具有违约传染的风险敏感投资组合优化

（4.14）这得出，对于所有π（k）∈ {π（k）∈ U（k）；kπ（k）k≥ C} a和所有x≥ εen，我们从（4.13）和（4.14）推导出/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）（1- π（k）j）-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） xi≥ H（k）（π（k）；i） xi≥ H（k）（π（k）；i） ε≥ εθ(1 +θ)δπ（k）-θu（k）（i）- r（i）eN-k+Xj公司/∈{j，…，jk}λ（k）j（i）π（k）.我们将根据ε>0 asC（ε）选择另一个正常数：=C+vuutC+εθ（2+θ）δCXj/∈{j，…，jk}λ（k）j（i）。那么，对于所有π（k）∈ {π ∈ U（k）；kπk≥ C（ε）}和所有x≥ εen，它表示xj/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）（1- π（k）j）-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） xi≥ CXj公司/∈{j，…，jk}λ（k）j（i）。（4.15）通过（4.12），我们得到了G（k）i（t，x）≤ CPj公司/∈{j，…，jk}λ（k）j（i）表示所有（t，x）∈ [0，T]×Rn。因此，从（4.15）得出g（k）i（t，x）=infπ（k）∈U（k）Xj公司/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）（1- π（k）j）-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） xi（4.16）=infπ（k）∈{π∈U（k）：kπk≤C（ε）}Xj公司/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）（1- π（k）j）-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） xi.根据（4.16），它认为g（k）i（t，x）=infπ（k）∈{π∈U（k）：kπk≤C（ε）}（Xj/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）（1- π（k）j）-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） yi+H（k）（π（k）；i） （xi）- yi））≤ infπ（k）∈{π∈U（k）：kπk≤C（ε）}（Xj/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）（1- π（k）j）-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） yi）+C（ε）| xi- yi |=G（k）i（t，y）+C（ε）| xi- 易|。（4.17）此处，正常数C（ε）=maxi=1，。。。，nC（i）（ε），其中i∈ Dn，C（i）（ε）：=supπ（k）∈{π∈U（k）：kπk≤C（ε）}H（k）（π（k）；i） 。（4.18）请注意，上述常数C（i）（ε）为非负的，且对每个i都是有限的∈ Dn。通过（4.17），我们得到| G（k）i（t，x）- G（k）i（t，y）|≤ C（ε）kx- yk表示任意x，y∈ RN满足x，y≥ εenwithε>0，这完成了引理的证明。我们继续研究动力系统（4.7）全局（经典）解的存在性和唯一性。为此，我们准备了以下两类动力学系统与Smith[26]中引入的K型条件的比较结果：引理4.4。

设gκ（t）=（gκi（t）；i=1，n）κ=1时，2分别满足以下动力系统[0，T]ddtg（t）=f（t，g（t））+~f（t，g（t）），in（0，t）；g（0）=ξ，ddtg（t）=f（t，g（t）），in（0，t）；g（0）=ξ。这里，函数f（t，x），~f（t，x）：[0，t]×Rn→ r假设为Lipschitz连续w.r.t.x∈ RMT均匀分布在t中∈ [0，T]。函数f（t，·）满足每个t的t type K条件∈ [0，T]（即，对于任何x，y∈ RNX令人满意≤ y和xi=yi对于某些i=1，n、 它认为fi（t，x）≤每个t的fi（t，y）∈ [0，T]）。如果▄f（t，x）≥ 0表示（t，x）∈ [0，T]×Rnandξ≥ ξ、 当g（t）≥ 所有t的g（t）∈ [0，T]。证据当p＞0时，设g（p）（t）=（g（p）1i（t）；i=1，n）是以下动态系统的解决方案：ddtg（p）（t）=f（t，g（p）（t））+~f（t，g（p）（t））+pen、 in（0，T）；g（p）（0）=ξ+pen、 （4.19）那么∈ （0，T），它保持kg（p）（T）- g（t）k≤千克（p）（0）- g（0）k+Ztf（s，g（p）（s））- f（s，g（s））ds+Ztf（s，g（p）（s））-f（s，g（s））ds+pZtkenkds≤1+Tpkenk+（C+～C）Ztg（p）（s）- g（s）ds。这里，C>0和▄C>0是f（t，x）和▄f（t，x）的Lipschitz常数系数，有效。TheGronwall引理得出g（p）（t）→ g（t）表示所有t∈ [0，T]作为p→ ∞. 我们声称g（p）（t）>> g（t）表示所有t∈ [0，T]。假设索赔不成立，那么g（p）（0）>> g（0）和g（p）（t），g（t）在[0，t]上是连续的，意味着存在一个t∈ （0，T）使得g（p）（s）≥ g（s）在s上∈ [0，t]和g（p）1i（t）=某些i的g2i（t）∈ {1，…，n}。

因为当t>0时，g（p）（t），g（t）在（0，t）上是不同的，因此，ddtg（p）1i（t）t=t=lim→0g（p）1i（t）- g（p）1i（t- )≤ lim→0g2i（t）- g2i（t- ）=ddtg2i（t）t=t。另一方面，由于f（t，·）满足每个t的K型条件∈ [0，T]和▄f（T，x）≥ 0表示所有（t，x）∈ [0，T]×Rn，对于上述i，我们还有thatdtg（p）1i（T）t=t=fi（t，g（p）1i（t））+~fi（t，g（p）（t））+p>fi（t，g（p）1i（t））≥ fi（t，g（t））=ddtg2i（t）t=t.（4.20）我们得到一个矛盾，因此g（p）（t）>> g（t）表示所有t∈ [0，T]。因此，它认为g（t）≥ g（t）表示所有t∈ [0，T]通过将p传递给单位。现在，我们准备给出以下等式（4.7）正（经典）解的存在唯一性结果。定理4.1。对于每个k=0，1，N- 1，假设DPE（4.1）允许正唯一（经典）解ν（k+1），j（t）在t上∈ 对于j，[0，T]/∈ {j，…，jk}。然后，在t上存在唯一的正（经典）解ν（k）（t）∈ （4.1）的[0，T]，在默认状态z=0j，。。。，jk（即，等式（4.7）采用唯一正（经典）解）。证据对于任何常数a∈ （0，1），让我们考虑由滴滴涕Д（k）a（t）+a（k）Д（k）a（t）+G（k）a（t，Д（k）a（t））=0，in【0，t】；Д（k）a（t）=en。（4.21）此处Д（k）a（t）=（Д（k）a（t，i）；i=1，…，n）是向量值解，n×n维矩阵A（k）由（4.8）给出。向量值函数G（k）a（t，x）定义为：G（k）a（t，x）：=G（k）（t，x∨ aen，（t，x）∈ [0，T]×Rn。（4.22）由于引理4.3，存在一个正常数C=C（a），它只依赖于a>0，例如，对于所有t∈ [0，T]，G（k）a（t，x）- G（k）a（t，y）≤ Ckx公司- yk，x，y∈ Rn，（4.23）即G（k）a（t，x）是全局Lipschitz连续w.r.t.x∈ RMT均匀分布在t中∈ [0，T]。通过倒转时间，让我们考虑一下（k）a（t）：=Д（k）a（t- t） 对于t∈ [0，T]。

那么，|（k）a（t）满足以下动力系统：滴滴涕（k）a（t）=a（k）（k）a（t）+G（k）a（t- t、 ИИ（k）a（t）），in（0，t）；И（k）a（0）=en、 （4.24）根据全局Lipschitz连续性条件（4.23），对于每个∈ （0，1），可以得出系统（4.24）在[0，t]上有唯一（经典）解（k）a（t）。为了应用引理4.4，我们将上述系统（4.24）写成以下形式：滴滴涕（k）a（t）=f（k）（（k）a（t））+f（k）a（t，（k）a（t）），in（0，t]；（k）a（0）=en。（4.25）这里，Lipschitz连续函数f（k）（x）=（f（k）i（x）；i=1，n）和▄f（k）a（t，x）=（▄f（k）a，i（t，x）；i=1，n）on（t，x）∈ [0，T]×r分别由f（k）i（x）=nXj=1qijxj给出-θr（i）+Xj/∈{j，…，jk}h（k）j（i）xi- βi{| xi |∨ 1} ，~f（k）a，i（t，x）=G（k）a（t- t、 x）+βi{| xi |∨ 1} ，i=1，n、 （4.26）i的正常数βifor∈ Dn由βi=- infπ（k）∈U（k）H（k）（π（k）；i） ，（4.27）其中，对于i∈ Dn，H（k）（π（k）；i） 定义见（4.10）。不难看出，β是每个i的非负有限常数∈ Dnusing（4.10）。通过递归假设，即ν（k+1），j（t）>> 对于j，在[0，T]上为0/∈ {j，…，jk}，对于任何a∈ （0，1），对于每个i∈ Dn和所有（t，x）∈ [0，T]×Rn，G（k）i（T- t、 x个∨ aen）=infπ（k）∈U（k）Xj公司/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（T- t、 i）（1- π（k）j）-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） （xi）∨ （a）≥{xi∨ a} infπ（k）∈U（k）H（k）（π（k）；（一）≥ -βi{| xi |∨ 1}.（4.28）因此，从（4.26）可以得出，对于所有（t，x）∈ [0，T]×Rn，~f（k）a，i（T，x）=G（k）i（T- t、 x个∨ aen）+βi{| xi |∨ 1} ≥ 0，i∈ Dn。（4.29）我们接下来验证向量值函数f（k）（x）=（f（k）i（x）；i=1，n）（4.26）给出的是K型。也就是说，我们需要验证，对于任何x，y∈ RNX令人满意≤ y和xi=yi对于某些i=1，n、 它认为f（k）i（x）≤ f（k）i（y）。事实上，在（4.26）之前，我们有t，对于任何x，y∈ RNX令人满意≤ y和xi=yi对于某些i=1。

，n，f（k）i（x）=nXj=1qijxj-θr（i）+Xj/∈{j，…，jk}λ（k）j（i）xi- βi{| xi |∨ 1} =qiixi-θr（i）+Xj/∈{j，…，jk}λ（k）j（i）xi- βi{| xi |∨ 1} +Xj6=iqijxj=qiiyi-θr（i）+Xj/∈{j，…，jk}λ（k）j（i）易- βi{| yi |∨ 1} +Xj6=iqijxj≤ qiiyi公司-θr（i）+Xj/∈{j，…，jk}λ（k）j（i）易- βi{| yi |∨ 1} +Xj6=iqijj=f（k）i（y），（4.30），其中我们使用了一个事实，即对于所有j 6=i，qij≥ 0，因为Qn=（qij）n×nis是马尔可夫链Y的生成器，而hencePj6=iqijxj≤Pj6=所有x的IQIJYJJ≤ y、 因此，利用Smith[26]第3章的命题1.1和引理4.1，我们推断如下动力系统ddtψ（k）（t）=f（k）（ψ（k）（t）），in（0，t）；ψ（k）（0）=en（4.31）允许唯一（经典）解ψ（k）（t）=（ψ（k）i（t）；i=1，n）在t上∈ [0，T]，而且我还认为ψ（k）（T）>> t为0∈ [0，T]。设ε（k）：=mini=1，。。。，n输入∈[0，T]ψ（k）i（T）. （4.32）ψ（k）（t）在t中的连续性∈ [0，T]和ψ（k）（T）>> 所有t的0∈ [0，T]导致ε（k）>0。另一方面，从（4.29）可以看出，向量值函数f（k）a（t，x）≥ [0，T]×Rn上的0。由于向量值函数f（k）（x）也是由（4.30）证明的k型函数，我们可以将引理4.4应用于动力系统（4.25）和（4.31），并导出（k）a（t）≥ ψ（k）（t）≥ ε（k）en， t型∈ [0，T]，（4.33）表示为￠（k）a（0）=ψ（k）（0）=en。注意，上面（4.32）给出的正常数ε（k）与常数a无关∈ （0，1）。因此，我们可以选择∈ （0，ε（k）∧ 1） 它认为g（k）a（T- t、 И（k）a（t））=G（k）（t- t、 И（k）a（t）∨ aen）=G（k）（T- t、 在[0，t]上的ИИ（k）a（t））。由（4.24）和∈ （0，ε（k）∧ 1） ，则得出￠Д（k）a（t）≥ ε（k）enon[0，T]是动力学系统（4.7）的唯一（经典）解，定理的证明是完整的。

作为定理4.1的一个重要含义，我们在下一个命题中对现有文献的主要贡献之一是对最优策略π（k）的表征∈ U（k）在默认状态z=0j，。。。，jk其中k=0，1，N- 1、提案4.1。对于每个k=0，1，N- 1，假设DPE（4.1）允许正唯一（经典）解ν（k+1），t上的j（t）∈ 对于j，[0，T]/∈ {j，…，jk}。设Д（k）（t）=（Д（k）（t，i）；i=1，n）是DPE（4.7）的唯一（经典）解决方案。然后，给出了唯一的最优反馈策略π（k，*)= π（k，*)（t，i）对于（t，i）∈ [0，T]×dn，由π（k，*)=π（k，*)（t，i）（4.34）=arg minπ（k）∈U（k）Xj公司/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）1.- π（k）j-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） ^1（k）（t，i）= arg最小π（k）∈{π∈U（k）：kπk≤C} （Xj/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）1.- π（k）j-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） ν（k）（t，i）），对于某些正常数C>0。证据让我们首先重新调用等式（4.7），即：。，滴滴涕Д（k）（t）=- A（k）Д（k）（t）- G（k）（t，ν（k）（t）），in[0，t]；Д（k）（t）=en。上述理论4.1表明，上述动力系统在[0，t]上存在唯一的正（经典）解Д（k）（t），此外，还有Д（k）（t）≥ ε（k）e对于所有t∈ [0，T]。此处ε（k）>0由（4.32）给出。因此，通过（4.16），我们得到，存在一个正常数C（ε（k）），它依赖于ε（k）>0，因此，对于每个∈ Dn，G（k）i（t，Д（k）（t，i））=infπ（k）∈{π∈U（k）：kπk≤C（ε（k））}（Xj/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）（1- π（k）j）-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） ^1（k）（t，i））。这里，对于Each i=1，n、 函数G（k）i（t，x）on（t，x）∈ [0，T]×Rn由（4.9）给出。对于每个i=1，n、 ν（k+1），t上的j（t，i）∈ [0，T]是（4.1）的正（经典）解的第i个元素，在默认状态z=0j，。。。，jk，jfor j/∈ {j，…，jk}。回想一下函数h（k）（π（k）；i） 对于（π（k），i）∈ U（k）×dn由（4.10）给出。

那么，这并不难看出，对于每个人来说∈ D和固定t∈ [0，T]，h（k）（π（k），i）：=Xj/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）（1- π（k）j）-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） ν（k）（t，i）在π（k）中是连续且严格共凸的∈\'U（k）。还要注意，spa c e{π（k）∈\'\'U（k）；kπ（k）k≤C（ε（k））} 注册护士-kis紧凑型。因此，存在唯一的最佳π（k，*)= π（k，*)（t，i）∈\'U（k）。此外，值得注意的是，h（k）（π（k），i）=+∞ 当π（k）时∈\'\'U（k）\\U（k）而h（k）（π（k），i）<+∞ 对于所有π（k）∈ U（k）。因此，我们实际上得到了最佳π（k，*)= π（k，*)（t，i）∈通过取C=C（ε（k）），U（k）承认代表（4.34），从而完成命题的证明。作为我们的主要结果之一，我们最终在下一个命题中提出并证明了制度转换过程Y的单位空间的验证定理。提案4.2。设Д（t，z）=（Д（t，i，z）；我∈ Dn）带（t，z）∈ [0，T]×S是PE（4.1）的唯一解决方案。对于（t，i，z）∈ [0，T]×Dn×S，定义π*（t，i，z）：=诊断（（1- zj）Nj=1）arg最小π∈UHπ; i、 z，（Д（t，i，zj）；j=0，1，N）, （4.35）式中，H（π；i，z，’f（z））由（3.16）给出。设∧π*= (~π*（t） ）t∈[0，T]带∧π*（t） ：=π*（t，Y（t-), Z（t-)).然后▄π*∈是最佳反馈策略，即-θlog E▄π*,θt，i，z“expθZTtL（|π*（s） ；Y（s），Z（s））ds#=\'V（t，i，z）=-θlogД（t，i，z）。（4.36）证明。根据命题4.1，可以得出∧π*是一个有界且可预测的过程，取值为onU。我们接下来证明∧π*与1的距离很小。事实上，对于固定值（i、z、x）∈ Dn×S×（0，∞)N+1，我们得到▄H（π；i，z，x）是严格凸x w.r.t.π∈ U，因此Φ（i，z，x）：=arg minπ∈UH（π；i，z，x）定义良好。注意Φ（i，z，·）映射（0，∞)N+1到U，满足一阶条件小时πj（Φ（i，z，x）；i、 z，x）=0，对于j=1，N、 然后，隐式函数orem得出Φ（i，z，x）在x中是连续的。

，N，如果Zj（t-) = 0，一阶条件给出（1- ~π*j（t））-θ-1=uj（Y（t-)) - r（Y（t-))-θ1 +θNXi=1σ（Y（t-))σ（Y（t-))ji▄π*i（t）+θλj（Y（t-), Z（t-))^1（t，Y（t-), Z（t-))λj（Y（t-), Z（t-))^1（t，Y（t-), Zj（t-)). （4.37）因为对于ll（i，z）∈ Dn×S，Д（·，i，z）有一个严格的正下界，使用（4.33）。与命题4.1一起，可以得出结论，存在一个常数c>0，从而支持∈[0，T]（1- ~π*j（t））-θ-1.≤ C对于所有j=1，N、 因此，估计值（4.37）得出|π*与1一致有界。因此，以下广义Novikov条件成立：E经验值θZTσ（Y（t））~π*（t）dt+NXj=1ZT(1 - ~π*j（t））-θ- 1.λj（Y（t），Z（t））dt< +∞.（4.38）上述Novikov条件（4.38）意味着∧π*是可以接受的。我们接下来证明（4.36）。NotingthatД（t，z）=（Д（t，i，z）；我∈ Dn）带（t，z）∈ [0，T]×S是（4.1）的唯一经典解。注意，存在一个常数CL=CL（n，i，z）>0，使得L（π；i，z）>-CLfor（π，i，z）∈ m的U×Dn×S≥ 1，设置Lm（π；i，z）：=L（π；i，z）∧ m、 然后Lm有界且Lm（π；i，z）↑ L（π；i，z）asm→ ∞. 因此，对于任何可接受的策略∧π∈~U，It^o的公式给出，对于0≤ t<s≤ T，E|π，θT，i，z^1（s，Y（s），Z（s））expθZstLm（∧π（u）；Y（u），Z（u））du= Д（t，i，z）+Eπ，θt，i，z“ZstexpθZutLm（|π（v）；Y（v），Z（v））dv×(^1（u、Y（u）、Z（u））t+Xl6=Y（u）qY（u）l（Д（u，l，Z（u））- Д（u，Y（u），Z（u）））+~Hπ（u）；Y（u），Z（u），（ν（t，Y（u），Zj（u））；j=0，1，N）)du#+E∧π，θt，i，z“ZstexpθZutLm（|π（v）；Y（v），Z（v））dvД（u，Y（u），Z（u））×（Lm- 五十） （|π（u）；Y（u），Z（u））du#≥ Д（t，i，z）+Eπ，θt，i，z“ZstexpθZutLm（|π（v）；Y（v），Z（v））dvД（u，Y（u），Z（u））×（Lm- 五十） （|π（u）；Y（u），Z（u））du#。（4.39）在上面的最后一个不等式中，表达式中的积分项为负。

另一方面，请注意，ν是有界的且为正的，该积分也承认，对于某些常数CД>0，Zstexp，P|π，θt，i，z-a.sθZutLm（|π（v）；Y（v），Z（v））dv^1（u，Y（u），Z（u））（Lm- 五十） （|π（u）；Y（u），Z（u））du≥ -CИZstexpθZut[L（∧π（v）；Y（v），Z（v））+CL]dv[L（￠π（u）；Y（u），Z（u））+CL]du=2CДθ1.- eθCL（s-t） 经验值θZstL（∧π（u）；Y（u），Z（u））du.取上面的s=T。然后，从支配收敛定理出发，得出e|π，θt，i，z“Д（t，Y（t），z（t））e xpθZTtL（|π（u）；Y（u），z（u））du#≥ ^1（t，i，z）。（4.40）注意，Д（T，i，z）=1 in（4.40），我们得到该inf|π∈UE π，θt，i，z“expθZTtL（Pπ（u）；Y（u），z（u））du#≥ ^1（t，i，z）。（4.41）另一方面，从（4.39）和（4.35）可以看出，对于0≤ t<s≤ T，E|π*,θt，i，z“expθZTtL（|π*（u） ；Y（u），Z（u））du！#=^1（t，i，z）。（4.42）因为π*允许，即|π*∈U，我们从（4.42）中推断出Д（t，i，z）≥ inf▄π∈把（4.41）和（4.43）结合起来，我们得到了（t，i，z）=inf∧π∈UEπ，θt，i，z“expθZTtL（∧π（u）；Y（u），z（u））du！#。（4.44）上述等式等于Д（t，i，z）=e-θ′V（t，i，z）由于（3.11）。因此，等式（4.42）与（4.4 4）一起意味着（4.36）成立，从而结束了证明。4.2区域切换过程的可计数状态情况本节重点讨论当马尔可夫链Y的状态空间为可数单元集Z+={1，2，…}时，原始DPE（3.15）和相应验证定理的经典解的存在性。在有限状态下使用的截断方法不适用于Z+情况。相反，我们应建立一个序列，用有限状态集Dn=Dn适当近似风险敏感控制问题∪n的{0}∈ Z+。

基于第n4.1节有限状态下的结果，并通过建立有效的统一估计，我们可以得出所需的结论，即与上述近似控制问题相对应的光滑值函数会收敛到（3.15）的经典解，其中可数有限集Z+，因为n变为整数。对于固定的n，调用Dn={1，2，…，n}∈ Z+。我们将体制转换过程Y的截断对应物定义为：对于t∈ [0，T]，Y（n）（T）：=Y（T）1{τn>T}，τtn：=inf{s≥ t；Y（s）/∈ Dn}，（4.45），其中τn：=τnN∈ Z+。按照惯例，我们设置inf = +∞. 然后，过程Y（n）=（Y（n）（t））t∈[0，T]是具有有限状态空间Dn的连续时间马尔可夫链。这里0被理解为吸收态。因此，Y（n）的发生器可以由以下n+1维方形矩阵确定：An：=0 0 . . . 0q（n）q。q1nq（n）q。q2n。。。。。。。。。。。。q（n）n0qn1。qnn型, （4.46），其中q（n）m0=-Pni=1qmi=Pi6=m，所有m的i>Nqmif∈ Dn。因此，Y（n）是保守的。这里qijfori，j=1，n与第2.1小节中给出的相同。由于0是一个吸收态，因此我们在此状态下对模型系数的范围值进行了估计。更精确地说，我们设置r（0）=0，u（0）=0，λ（0，z）=θe为所有人∈ S、 和σ（0）σ（0）=2+θ英寸。这里是N维单位矩阵。然后，根据（3.5）和泰勒展开式，L（π；0，z）=kπk+PNj=1（1- zj）[（1- πj）-θ- 1.-θπj]≥ 0表示所有（π，z）∈ 接下来，我们将介绍近似风险敏感控制问题，其中状态切换过程取Dn值。为此，定义Unas可接受的控制集U，但regimeswitch过程Y替换为Y（n）。