具有违约传染的风险敏感投资组合优化

根据命题4.2和引理4.5，对于t∈ [0，T]，~π（n，*)（t） ：=诊断（（1- Zj（t-))Nj=1）Φ（Y（t-), Z（t-), x（n）（t））1{t≤τn}属于▄Un∩U，并且进一步满足Дn（t，i，z）=Eπ（n，*),θt，i，z“expθZT∧τtntL（△π（n，*)（s） ；Y（s），Z（s））ds！#。（4.76）引理4.7给出了极限→∞kx（n）（t）-x个*（t） t的k=0∈ 【0，T】，P-a.s.，whe re x*（t） ：=（Д）*（t，Y（t-), Zj（t-)); j=0，1，N） 。我们确定了可预测的过程▄π*（t） ：=诊断（（1- Zj（t-))Nj=1）Φ（Y（t-), Z（t-), x个*（t） ）对于t∈ [0，T]。通过引理4.9和Φ（i，z，·）的连续性，我们得到了limn→∞π（n，*)（t） =▄π*（t） 堡垒∈ [0，T]，a.s.此外，它保持tJ（|π（n，*); t、 i，z）=E|π（n，*),θt，i，z“expθZTtL（|π（n，*)（s） ；Y（s），Z（s））ds！#=E|π（n，*),θt，i，z“expθZT∧τtntL（△π（n，*)（s） ；Y（s），Z（s））ds+θZTT∧τtnL（0；Y（s），Z（s））ds#≤ E|π（n，*),θt，i，z“expθZT∧τtntL（△π（n，*)（s） ；Y（s），Z（s））ds！#=^1n（t，i，z）。命题4.4则得出*（t、i、z）≤ J（|π（n，*); t、 i，z）≤ ^1n（t，i，z）For n∈ Z+。此验证文件→∞J（|π（n，*); t、 i，z）=Д*（t，i，z）表示（t，i，z）∈ [0，T]×Z+×S，a.S.使用引理4.7。提案4.5。让条件（C.1）保持不变。然后，最优反馈策略∧π*（4.75）给出的值是允许的，即|π*∈美国认证。在条件（C.1）下，不难验证是否存在一个常数C>0，例如L（π；i，z）≥ -C代表所有（π，i，z）∈ U×Z+×S。由于提案4.4，我们得到了*（t，i，z）=inf▄π∈~UE▄π，θt，i，z“expθZTtL（▄π（s）；Y（s），z（s））ds#≥ inf▄π∈UE▄π，θt，i，z“exp-θZTtCds！#=ex p公司-θC（T- t）,对于（t，i，z）∈ [0，T]×Z+×S。因此，对于T∈ [0，T]，x*（t） =（^1）*（t，Y（t-), Zj（t-)); j=0，1，N） （）∈ [e]-θC（T-t） ，1]N+1。（4.77）Φ（i，z，x）的连续性：=arg minπ∈U▄H（π；i，z，x）给出▄π*（t） 对于t∈ [0，T]被某个常数C>0一致地限定。此外，一阶条件得出，对于所有j=1。

，N，ifZj（t-) = 0,(1 - ~π*j（t））-θ-1=“（uj（Y（t-)) - r（Y（t-))) -θ1 +θNXi=1（σ（Y）（t-))σ（Y（t-)))ji▄π*i（t）+θλj（Y（t-), Z（t-))#φ*（t，Y（t-), Z（t-))λj（Y（t-), Z（t-))φ*（t，Y（t-), Zj（t-))≤C、 （4.78），其中我们使用了条件（C.1）和（4.77）。注意▄π*如果Zj（t），则j（t）=0-) = 1，则￠π*也以1为界。这意味着广义的Novikov条件在有限状态下成立，因此∧π*是可以接受的。上述验证结果（命题4.4和命题4.5）可视为动态规划方程的唯一结果。在条件（C.1）下，我们还可以对策略序列∧π（n，*)到最优策略π*目标函数J的中间值（见（3.11）），由EMMA 4.11给出。让n∈ Z+。在条件（C.1）下，对于（t，i，z）∈ [0，T]×Dn×S，存在一个常数C>0，它与n无关，因此J（|π（n，*); t、 i，z）- J（￠π）(*); t、 i，z）≤ C1.-nXj=1a（n）ij（T- t）.这里是a（n）ij（T- t） =δij+（t- t） qij+P∞k=1P1≤l、 ，。。。，lk公司≤n（T）-t） k+1（k+1）！qilqll···qlkj。证据根据命题4.5，J（|π（n，*); t、 i，z）→ φ*（t，i，z）=J（|π）*; t、 i，z）作为n→ ∞. 另一方面，可以证明存在常数γ∈ （0，1）和C>0，使得∧π*（t）∈ [-C、 1个- γ] 对于所有t∈ [0，T]，a.s.然后，使用（3.5），可以得出*（t） ；Y（t），Z（t））≤ C、 t的a.s∈ [0，T]。这里是一个正常数。

因此，通过注意∧π*∈联合国，我们有*（t，i，z）=E|π*,θt，i，z“expθZTtL（|π*（s） ；Y（s），Z（s））ds#≥ E▄π*,θt，i，z“expθZTtL（|π*（s） ；Y（s），Z（s））ds！{τtn>T}#=Eπ*,θt，i，z“expθZT∧τtntL（￠π）*（s） ；Y（s），Z（s））ds！{τtn>T}#=Eπ*,θt，i，z“expθZT∧τtntL（￠π）*（s） ；Y（s），Z（s））ds#- E▄π*,θt，i，z“expθZT∧τtntL（￠π）*（s） ；Y（s），Z（s））ds！{τtn≤T}#≥ ^1n（t，i，z）- E▄π*,θt，i，zheθC（t∧τtn-t） {τtn≤T}i≥ ^1n（t，i，z）- CP▄π*,θt，i，z（τtn≤ 式中，C：=eθCTandДn（T，i，z）在命题4.3中定义。使用给定的不等式*（t、i、z）≤J（|π（n，*); t、 i，z）≤ 在引理4.10的证明中，在条件（C.1）下，我们得出J（|π（n，*); t、 i，z）- J（￠π）(*); t、 i，z）= J（|π（n，*); t、 i，z）- φ*（t、i、z）≤ ^1n（t，i，z）- φ*（t、i、z）≤ CP▄π*,θt，i，z（τtn≤ T）。注意，根据命题4.5，Y也是一个马尔可夫链，在P∧π下，生成元Q=（qij）*,θt，i，z，然后P∏*,θt，i，z（τtn≤ T）→ 0作为n→ ∞. 另一方面，τtn是（Y（n）（s））s的吸收时间∈其生成器由（4.46）给出为Angiven。因此，使用[7]第11章中的第11.2.3节，我们也可以得到P|π*,θt，i，z（τtn≤ T）=1-Pnj=1a（n）ij（T- t） 。这就完成了证明。接下来，我们提供一个示例，其中误差估计值为1-Pnj=1a（n）ij（T- t） 在引理4.11中，允许一个闭式for m重新呈现。让我们考虑一下Q给出的以下特定生成器=-1.n-1n。-1.n-1n。-1.n-1n。n-1.-1..那么，对于任何l≤ n、 Pnj=1qlj=Pn-1j=1j- 1 =-1n-1、因此≤ n、 nXj=1a（n）ij（T- t）=∞Xk=0（T- t） kk！-1n-1.k=e-T-田纳西州-因此，对于（t，i，z）∈ [0，T]×Dn×S，我们有显式的误差估计J（|π（n，*); t、 i，z）- J（￠π）(*); t、 i，z）≤ C1.- e-T-田纳西州-1.,其中，C>0与n无关。备注4.1。

这里还值得一提的是，本文中使用的方法可以用于处理状态切换过程Y是一个时间非齐次马尔可夫链的情况，其时间依赖生成器由Q（t）=（qij（t））i，j给出∈Z+表示t∈ [0，T]。这里，为t∈ [0，T]，qii（T）≤ 0对于i∈ Z+，qij（t）≥ 0表示i 6=j，和p∞对于i，j=1qij（t）=0∈ Z+（即Pj6=iqij（t）=-qii（t）代表i∈ Z+。也适用于i，j∈ Z+，t→ qij（t）在[0，t]上是连续的，且有限和pj∈Z+qij（t）在t中一致收敛∈ [0，T]。感谢：Bo博士获得了gr ANT1471254中国自然科学基金会和QYZDB-SSW-SYS009中国科学院前沿科学重点研究项目的资助。十、 Yu得到了Hong Kong早期职业计划资助人grant 25302116的支持。作者要感谢两位匿名推荐人的仔细阅读和有益的评论，以改进本文的陈述。A辅助L emmasLemma A.1。设函数Φ（x）：[0，∞)N+1→ R在x的每个分量中都是凹的。假设存在sx，x*, x个∈ [0, ∞)N+1使x<< x个*<< x、 设{x（n）}n≥1. [0, ∞)N+1满意度X*≤ x（n）表示n≥ 1和limn→∞x（n）=x*. 然后limn→∞Φ（x（n））=Φ（x*).证据由于引理中的给定条件，存在n≥ 1 s uch该x*≤ x（n）≤ x代表所有N≥ n、 对于每个n≥ n、 存在一个向量λ（n）∈ [0，1]N+1满足极限→∞λ（n）=0，使得x（n）k=λ（n）kxk+（1- λ（n）k）x*k或k=1，N+1。因此，可以得出Φ（x（n））=Φλ（n）x+（1- λ（n））x*, λ（n）x+（1- λ（n））x*, . . . , λ（k）N+1xN+1+（1- λ（n）n+1）x*N+1≥λ（n）Φx、 λ（n）x+（1- λ（n））x*, . . . , λ（k）N+1xN+1+（1- λ（n）n+1）x*N+1+ (1 - λ（n））Φx个*, λ（n）x+（1- λ（n））x*, . . . , λ（k）N+1xN+1+（1- λ（n）n+1）x*N+1≥λ（n）λ（n）Φx、 x，λ（n）n+1xN+1+（1- λ（n）n+1）x*N+1+ λ（n）（1- λ（n））Φx、 x个*, . . . , λ（k）N+1xN+1+（1- λ（n）n+1）x*N+1+ (1 - λ（n））λ（n）Φx、 x个*, . . .

，λ（k）N+1xN+1+（1- λ（n）n+1）x*N+1+ (1 - λ（n））（1- λ（n））Φx个*, x个*, . . . , λ（k）N+1xN+1+（1- λ（n）n+1）x*N+1≥Φ（x*)N+1Yk=1（1- λ（n）k）+∑（n）。（A.1）我们观察到，∑（n）中的每一项都有一个或多个乘法器，其形式为λ（n）kf或k=1，N+1。作为limn→∞λ（n）k=0，k=1，N+1，因此∑（N）→ 0作为n→ ∞. 根据（A.1）可知，lim infn→∞Φ（x（n））≥ Φ（x*). 类似地，作为x（n）≥ x个*>> x代表所有n∈ N、 存在一个向量∧（N）∈ [0，1]N+1满足极限→∞λ（n）=0，因此x*k=△λ（n）kxk+（1-λ（n）k）x（n）k功=1，N+1。利用（A.1）证明中的类似参数，我们推导出Φ（x*) ≥ Φ（x（n））n+1Yk=1（1-§λ（n）k）+∑（n），（A.2），其中∑（n）中的每一项都有一个或多个形式为λ（n）k，k=1，N+1。不等式（A.2）给出了tΦ（x*) ≥ lim支持→∞Φ（x（n））。将上述两个不等式相加，我们得到limn→∞Φ（x（n））=Φ（x*), 这就完成了证明。引理A.2。让函数Φ（x）：[0，∞)N+1→ [0, ∞) x的每个分量都是凹的。那么，对于任何α，β∈ [0, ∞)N+1满足α≤ β、 存在常数C=C（α，β）>0，使得0≤ Φ（x）≤ C代表所有α≤ x个≤ β.证据对于任何α≤ x个≤ β，其中α，β∈ [0, ∞)N+1，存在一个向量ν∈ (0, ∞)N+1等于β<< ν. 这意味着存在λ∈ [0，1]N+1使βk=λkxk+（1-λk）νk，k=1，N+1。Asα≤ x个≤ β << ν、 存在δ>0，因此1≥ λk=νk-βkνk-xk公司≥νk-βkνk-αk≥ δ. 利用Φ（x）的凹性，我们得到Φ（β）=Φ（λx+（1- λ） ν，λx+（1- λ)ν, . . . , λN+1xN+1+（1- λN+1）νN+1）≥Φ（x）N+1Yk=1λk+X1≤j<j<<jk<N+11≤k≤N+1（1- λj）×···×（1）- λjk）λjk+1×···×λjNΦ（Cj…jk）≥对于某些Cj，δN+1Φ（x），（A.3）。。。jk公司∈ [0, ∞)N+1和{jk+1，…，jN+1}={1，…，N+1}\\{j，…，jk}。因此，我们已经证明引理的说法成立。参考文献[1]G.Andruszkiewicz、M.H.Davis和S。

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