有持仓限制的交易策略

美国农业部国家农业统计局（National Agricultural Statistics Service）2016年报告称：“美国玉米种植者产量为151亿蒲式耳，比2015年增长11%，https://www.nass.usda.gov/Newsroom/2017/01_12_2017.php.This为3.835亿公吨：单月限额为≈ 美国2016年玉米产量的1%。传奇人物杰西·利弗莫尔（JesseLivermore）可以“垄断美国小麦市场”的“浪漫”已经成为过去。一份合同5000蒲式耳，≈ 127吨，两辆漏斗车。玉米期货涨跌的详细信息见【103】。定理3.2。有S=（2W+1）n-1 Wi、j的唯一位置和策略≤ W，i=1，n个记号，W0，j=Wn，j=0。证据Wjis中的第n个坐标为零。剩余的n- 1个坐标为2W+1个独立坐标-W-1, 0, 1, . . . , W因此，唯一组合和Wjis的数量S=（2W+1）n-根据定理3.1，相应的唯一策略的数量Ujis是相同的。位置wj0，j=Wn，j=0，| Wi，j |≤ W，i∈ [1，n]，j∈ [1，S=（2W+1）n-1] 以及相应的策略Ujare W和U。例如：W=1，n=3产生九对WjT<-> UjT：（0，0，0）<->（0，0，0）什么都不做；(1, 0, 0) <-> (1, -1, 0), (-1, 0, 0) <-> (-1, 1, 0); (1, 1, 0) <->(1, 0, -1), (-1.-1, 0) <-> (-1, 0, 1); (0, 1, 0) <-> (0, 1, -1), (0, -1, 0) <-> (0, -1, 1);(1, -1, 0) <-> (1, -2, 1), (-1, 1, 0) <-> (-1, 2, -1).定理3.3。策略U的样本平均P L不依赖于价格P，而是等于aP L=-P（2W+1）n-1j=1Tabs（Uj）（2W+1）n-1.证明。定理3.2给出的策略数为奇数（2W+1）n-单无所为策略d.n.s的P L=0。剩余的偶数形成两组（2W+1）n-1.-1每种策略：不为所动的策略-Uj。根据方程1，P L（Uj）+P L(-Uj）=-2标签（Uj）+Cn | Wn |）=-2标签（Uj）。平均得出aP L。

从市场的角度来看，如果U被应用，无论是谁应用的，那么-U也已应用，P L（U）6=-P L公司(-U）。对贸易商来说，总结果为负是对行业的一种支付。这表示了负非零和对策的已知性质。定理3.4。有n（2W+1）n-1 W和U.Proof中的位置和动作。根据定理3.2，位置和策略的数量为（2W+1）n-1、各有n个坐标。独特的位置和策略由j索引∈ [1，（2W+1）n-1] ，产生n（2W+1）n-1Wi，jand-Ui，j，i∈ [1，n]。j、 W0，j=Wn，j=0，U1，j=W1，j-W0，j=W1，j，Un，j=Wn，j-西尼罗河-1，j=-西尼罗河-1，j。我∈ [1，n-1] ，Wi数，j=Wl∈ [-W、 W]，l∈ [1，2W+1]相等。统一性源于位置的独立性，定理3.2。那么，U1的数量，j=W1，jandUn，j=-西尼罗河-1，所有策略中的每种作业都是（2W+1）n-12W+1=（2W+1）n-2、职位是国家职能。动作是过渡功能。不执行任何操作Ui，j=0不会更改状态Wi-1，j→ 这对交易员来说既不是亏损，也不是盈利，也不会向行业付款。定理3.5。有n（2W+1）n-2在U.Proof中不执行任何操作#（U1，j=0）+（Un，j=0）=2（2W+1）n-2和i∈ [2，n- 1] ，每个由（2W+1）n表示-2战略。Ui，j=0，如果它不改变WI-1，j.因此，对于产生（n）的每个子集，只有一个不执行任何操作- 2） （2W+1）n-2、i=1和i=n的相加总计n（2W+1）n-2.定理3.6。有2nW（2W+1）n-2美国认证的交易。n（2W+1）n-1.- n（2W+1）n-2=2nW（2W+1）n-2.市场宇宙。图4描述了ESM17的n=134909个刻度。低分辨率和离散性隐藏了一些。具有| Wi，j |的策略数≤ 1是3。太阳质量为1.99×10kghttp://solar-center.stanford.edu/vitalstats.html.在光球层中，氢的质量占73.46%。

其原子质量为1.67×10-27千克https://en.wikipedia.org/wiki/Unified_atomic_mass_unit.如果分数对整个恒星有效，则氢原子数为0.7346×1.99×101.67×10-27≈ 8.8×10. 后者与2017年4月10日周一交易的ESM17潜在策略数量相比微不足道，这使得定理3.3中的aP L公式不可靠。定理3.6中的公式对交易数量（而非美元）具有稳健性。的分布-2瓦≤ Ui，j≤ 2W不均匀。例如，对于W=1，n=3：#（Ui=-2） =1，#（Ui=-1） =8，#（Ui=0）=9，#（Ui=1）=8，#（Ui=2）=1。定理3.4和3.5给出了动作总数27和#（Ui=0）=9。计算美元需要动作的分布。4动作分布有4W+1动作类型m∈ [-2W，2W]，如果W0，j=Wn，j=0，| Wi，j |≤ W不采取任何行动的频率p（m=0，W，n）=n（2W+1）n-2n（2W+1）n-1=2W+1依赖于n，定理3.4，3.5。为了猜测m 6=0的公式，作者编写了一个C++程序，为（2W+1）n保留了内存-1大小为n的位置向量各使用std：：vector<std：：vector<int>>，std：：vector<T>：：reserve。每个整数[0，（2W+1）n-1.-1] 除以n-通过模2W+1返回余数[0，2W]，“向后推”，std：：vector<int>：：push\\u back，toa对应向量，执行1次。将W fits值减至[-W、 W]。第n个零被“推回”到每个向量。std：：相邻的\\u差分计算自己的“整数向量向量”中的操作，简化了m的计数操作。对于w=3，m=-3，它报告（n，count）：（1，0），（2，2），（3，18），（4154），（51274），（610290），（781634）。对于m=0，计数与定理3.5一致。“猜测”是将计数除以2W+1，得出因子的商和幂：2=14×7-1, 18 = 18 × 7, 154 = 22 × 7, 1274 = 26 × 7,10290 = 30 × 7, 81634 = 34 × 7. 商与n呈线性关系。

“猜测公式”为（4n+6）（2W+1）n-3、公式不适用于n=1的单d.n.s.“猜测公式”见表1。表1：猜测计数公式，n∈ [2, 9].W m计数和-2（n- 2） ×（2W+1）n-3-1（2n+2）×（2W+1）n-31 0 n×（2W+1）n-2=3n×（2W+1）n-39n×（2W+1）n-3=n×3n-11（2n+2）×（2W+1）n-32（n- 2） ×（2W+1）n-3-4（n- 2） ×（2W+1）n-3-3（2n- 4） ×（2W+1）n-3-2（3n+4）×（2W+1）n-3-1（4n+2）×（2W+1）n-32 0 n×（2W+1）n-2=5n×（2W+1）n-325n×（2W+1）n-3=n×5n-11（4n+2）×（2W+1）n-32（3n+4）×（2W+1）n-33（2n- 4） ×（2W+1）n-34（n- 2） ×（2W+1）n-3-6（n- 2） ×（2W+1）n-3-5（2n- 4） ×（2W+1）n-3-4（3n- 6） ×（2W+1）n-3-3（4n+6）×（2W+1）n-3-2（5n+4）×（2W+1）n-3-1（6n+2）×（2W+1）n-33 0 n×（2W+1）n-2=7n×（2W+1）n-349n×（2W+1）n-3=n×7n-11（6n+2）×（2W+1）n-32（5n+4）×（2W+1）n-33（4n+6）×（2W+1）n-34（3n- 6） ×（2W+1）n-35（2n- 4） ×（2W+1）n-36（n- 2） ×（2W+1）n-3这些公式是a线b（m，W）×n+a（m，W）和（2W+1）n的乘积-3、分布对称。对于m 6=0，频率取决于n butlimn→∞p（m，W，n）=limn→∞（b（m，W）×n+a（m，W））×（2W+1）n-3n×（2W+1）n-1=b（m，W）×n+a（m，W）n×（2W+1）=b（m，W）（2W+1）没有。a（m=0，W）=0。b（m，W）=2W+1- |m |，其中m∈ [-2W，2W]，满足表1中的所有公式。a（m，W）从n=2获得，其中第二个、最后一个位置为零，第一个动作| U1，j |≤ W对于| m |的策略和反转计数为2≤ W，使a（m，W）=2 | m |，W<m |时为零≤ 2W，yieldinga（m，W）=2 | m |- 2（2W+1）。

联合公式面积={m：| m |≤ W}，B={m:W<m |≤ 2W}；CountA（m，W，n）=[（2W+1）n- （n）- 2） | m |]（2W+1）n-3.CountB（m，W，n）=CountA（m，W，n）- 2（2W+1）n-2==[（2W+1）n- （n）- 2） | m |- 2（2W+1）]（2W+1）n-3.pA（m，W，n）=CountA（m，W，n）n（2W+1）n-1=2W+1-（n）- 2） | m | n（2W+1）；pB（m，W，n）=计数B（m，W，n）n（2W+1）=pA（m，W，n）-n（2W+1）。（2） 这两个计数“包含”表1中的所有公式，再现8×（5+9+13）=216个C++实验值，并满足定理3.5，sincePi=ni=0i=Pi=ni=1i=n（n+1），Pi=2ni=n+1i=Pi=2ni=1i-Pi=ni=1i=n（3n+1），m=WXm=-W计数=n（2W+1）n-1.- （n）- 2） W（W+1）（2W+1）n-3.m级=-W-1Xm=-2W计数B+m=2WXm=W+1CountB=2m=2WXm=W+1CountB==（Wn+W n- 2瓦- 2W）（2W+1）n-3.m=WXm=-W计数+2m=2WXm=W+1CountB=n（2W+1）n-1、证明。弗拉基米尔·阿诺德（Vladimir Arnold）回忆起他的老师安德烈·科尔莫戈罗夫（AndreyKolmogorov）（VS的翻译）的话：“不要在我的流体力学成就中寻找数学意义……我并没有从最初的公理或定义中获得它们（正如物理学家所说，从“第一原则”中获得）：我的结果没有得到证实，但有效，这更重要！”C++实验使作者确信了公式2的正确性，并对科尔莫戈罗夫的话表示钦佩。然而，Anderzej Pelc的“为什么我们相信定理？”[84]“按下”键，在没有证据的情况下不发布公式。作者无法使用数学归纳法从n移动到n+1。生成函数需要系数，这是一个恶性循环。但是按构造、位置[-W、 W]均匀分布在矩阵中n个记号×[S=（2W+1）n-1] 前1…中的战略，n- 1行位置=W=W1,1W1,2。W1，S。西尼罗河-1,1Wn-1,2. . . 西尼罗河-1，S0 0。

0除第n行外，每行有（2W+1）n-12W+1=（2W+1）n-每种类型的2个位置。这些动作是Ui、j=Wi、j列中的相邻差异- Wi公司-1，jActions=U=U1,1=W1,1- 0 . . . U1，S=W1，S- 0U2,1=W2,1- W1,1。U2，S=W2，N- W1，S。联合国-1,1=Wn-1,1- 西尼罗河-2,1. . . 联合国-1，S=Wn-1，S- 西尼罗河-2，太阳，1=0- 西尼罗河-1,1. . . Un，S=0- 西尼罗河-1，S所有单个跃迁的矩阵（2W+1）×（2W+1）-W-W+1。0 . . . W- 1瓦- - -- - - -- - - -- -- - - -- -- - - -- - - ---W→ 0 1 . . . W2瓦- 1 2W-W+1→ -1 0 . . . W- 1.2瓦- 1··· → . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0→ -W-W+1。0 . . . W- 1瓦···→ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .W- 1.→ -2W+1-2W+2。-W+1。0 1W→ -2瓦-2W+1。-W-1 0应用于刻度[1，n-2]. 由于记号位置的一致性[1，n-1] ，每个（2W+1）n-2类型，从记号开始移动[1，n-2] ，更改为（2W+1）n-2类型：2 W+1个操作将职位类型从[-W、 W]。从一种类型到另一种类型的转换次数为（2W+1）n-22W+1=（2W+1）n-因此，一种类型m的动作次数∈ [-2W，2W]是对角线2W+1的长度- |m |。对于刻度[1，n- 2] 这将产生（n- 2） （2W+1- |m |）单个动作，必须乘以（2W+1）n-3、总数为CountB=[（2W+1）n-（n）-2） | m|-2（2W+1）]（2W+1）n-3、剩余过渡0→ 1，（n）- 1) → n添加2（2W+1）（2W+1）n-3仅针对m的操作∈ [-W、 W]。将其添加到CountByields CountA，完成了新离散分布下一个定理的证明。定理4.1。

公式2给出了作用m在U中的分布。对于n=4，W=1，转置矩阵的图示为WT=-1.-1.-1 00 -1.-1 01 -1.-1 0-1 0 -1 00 0 -1 01 0 -1 0-1 1 -1 00 1 -1 01 1 -1 0-1.-1 0 00 -1 0 01 -1 0 0-1 0 0 00 0 0 01 0 0 0-1 1 0 00 1 0 01 1 0 0-1.-1 1 00 -1 1 01 -1 1 0-1 0 1 00 0 1 01 0 1 0-1 1 1 00 1 1 01 1 1 0, UT公司=-1 0 0 10 -1 0 11 -2 0 1-1 1 -1 10 0 -1 11 -1.-1 1-1 2 -2 10 1 -2 11 0 -2 1-1 0 1 00 -1 1 01 -2 1 0-1 1 0 00 0 0 01 -1 0 0-1 2 -1 00 1 -1 01 0 -1 0-1 0 2 -10-1 2 -11-2 2 -1.-1 1 1 -10 0 1 -11-1 1 -1.-1 2 0 -10 1 0 -11 0 0 -1..图6绘制了作用sp（m，W=1，n=4）的相应概率质量函数PMF，以及W=1和其他n的PMF，说明了极限分布。这些分布是离散的，直线只用于增强点的可见性。n=81900是标准普尔500指数E-Mini Futures交易时段的秒数，表示每秒一笔交易的频率。n=81900000对应于每秒1000次交易的假设情况。图7显示了持仓限制W=10和不同刻度数策略的PMF。根据合同C（2W+1）n支付给行业的固定成本美元-1每次应用的策略可以使用分布的对称性作为加权作用进行计算，然后除以（2W+1）n-1获取图6：位置限制为±1合同的策略的行动概率质量函数。

使用Microsoft Excel打印。$=Cm=WXm=-W | m | CountA+m=-W-1Xm=-2W | m | CountB+m=2WXm=W+1 | m | CountB！=2Cm=WXm=1mCountA+m=2WXm=W+1mCountB！=2Cm=2WXm=1mCountA！- W（2W+1）（3W+1）（2W+1）n-3!= 2CW（2W+1）n-2.（2W+1）n-（n）- 2） （4W+1）- （3W+1）= 2CW（W+1）（2W+1）（2W+1）n-32n- 1，aP L=-2CW（W+1）（2n- 1） 3（2W+1）≡-CP（2W+1）n-1j=1abs（Uj）（2W+1）n-1.（3）SincePi=ni=1i=n（n+1）（2n+1），W（W+1）（2W+1）可被3和6整除。最后一个等式是一个恒等式，其中左侧是微不足道的，右侧是图7：位置限制为±10个合约的策略的行动概率质量函数。使用Microsoft Excel打印。可以“耗尽”任何计算机。产生极端行业收益的战略。最小零增益仅由一种策略产生-d.n.s.只有两种策略产生最大增益2CW（n-1） 每个。事实上，最大作用将多头反转为空头，反之亦然，极端位置：W→ -W或-W→ W这可以在检查中完成[2，n- 1]. 刻度1和n加在一起的最大值为2CW。分配功能。根据尤金·卢卡奇（Eugene Lukacs）[71，第5-6页，第17页]，任何纯离散分布都可以写成F（x）=Pjpjε（x）的形式- ξj），其中x，pj，ξjare real，pj满足pj≥ 0，Pjpj=1，ε（x）=0，如果x<01，如果x≥ 0.F（x）的ξjare不连续点。pjis the saltus atξj.让我们列举类型m∈ [-2W，2W]乘以j=m+2W+1，其中ξj=j- 2瓦- 1=m，pA=pA（m，W，n），pB=pB（m，W，n）来自方程式2。那么，F（x）isF（x）=j=4W+1Xj=1pjε（x- ξj）=j=4W+1Xj=1pjε（x- j+2W+1）==m=-W-1Xm=-2WpBε（x- m） +m=WXm=-WpAε（x- m） +m=2WXm=W+1pBε（x- m） =2W+1m=2WXm=-2Wε（x- m）-n- 2n（2W+1）m=2WXm=-2W | m |ε（x- m）-n（2W+1）m=-W-1Xm=-2Wε（x- m） +m=2WXm=W+1ε（x- m） ！。（4） 特征函数f（t）=R∞-∞eitxdF（x），i=√-1，对于纯离散分布，减至f（t）=Pjpjeitξj之和[71，p。

17] 产量f（t）=2W+1m=2WXm=-2Weitm公司-n- 2n（2W+1）m=2WXm=-2W | m | eitm-n（2W+1）m=-W-1Xm=-2Weitm+m=2WXm=W+1eitm！。（5） 函数为实且为偶数f(-t） =f（t），因为在和中，公式只包含对e-ix+eix=2 cos（x）。这确保了分布是对称的【71，第30页，定理3.1.2】，图6、7。因此，f（t）=1+2Pm=2Wm=1cos（tm）2W+1-2（n- 2） Pm=2Wm=1m cos（tm）n（2W+1）-Pm=2Wm=W+1cos（tm）n（2W+1）。（6） 时刻。我们计算阶数s=1的起始力矩，如果存在，则使用[44，p.69，引理2，方程11]αs=is[dsdtsf（t）]t=0，使用[44，p.69，方程13]us=is[dsdtseitαf（t）]t=0的中心动量。示例f（t）=-2Pm=2Wm=1m sin（tm）2W+1+2（n- 2） Pm=2Wm=1msin（tm）n（2W+1）+Pm=2Wm=W+1m sin（tm）n（2W+1），平均值=α=f（0）i=0。（7） f（t）=-2Pm=2Wm=1mcos（tm）2W+1+2（n- 2） Pm=2Wm=1mcos（tm）n（2W+1）+Pm=2Wm=W+1mcos（tm）n（2W+1），α=-f（0）=Pm=2Wm=1m2W+1-2（n- 2） Pm=2Wm=1mn（2W+1）-Pm=2Wm=W+1mn（2W+1）=2W（4W+1）-2（n- 2） 西尼罗河-2W（7W+1）3n=2W（W+1）（n- 1） 3n，方差=u=α- α=2W（W+1）（n- 1） 第3条。（8） 让我们证明sdtscos（mt）=mscos（mt+πs），这对于计算高阶矩很有用。归纳基础：对于s=0，1，2，它是正确的cos（mt），-m sin（mt），-MCO（mt）。假设2<s是正确的。那么，对于s+1，它是ms+1cos（mt+π（s+1））=ms+1[cos（mt）cos（πs+π）-sin（mt）sin（πs+π）]=ms+1[-cos（mt）sin（πs）- sin（mt）cos（πs）]=-ms+1sin（mt+πs）。显式微分产生相同的结果：ddtmscos（mt+πs）=-ms+1sin（mt+πs）。导入步骤已完成。我们得到dsdtsf（t）t=0=DSDT2W+1+2 cos（πs）Pm=2Wm=1ms2W+1-2（n- 2） cos（πs）Pm=2Wm=1ms+1n（2W+1）-4 cos（πs）Pm=2Wm=W+1msn（2W+1）；DSDT2W+1=2W+1对于s=0或0<s为0。（9）对于奇数1，右侧为零≤ s=2q+1，q=0，1，因为cos（πs）=cos（πq+π）=-sin（πq）=0是公共乘数。

因此，奇数开始和中心，由于α=0，矩为零，与m=0左右的s（m，W，n）对称性一致，见[20，p.183，15.8偏斜度和过量度量]。动作在时间i片中的分布。公式2计算U切片中的动作m，i=1，n、 S=（2W+1）n-1策略可解释为时间i切片，分为两组1）i=1，n；2） i=2，n-1、在1和n切片中，每个动作m∈ [-W、 W]具有（2W+1）n-12W+1=（2W+1）n-2入口。在第二组的每个片中，每个动作m∈ [-2W，2W]发生计数B（m，W，n）n-2=[（2W+1）n-（n）-2） | m|-2（2W+1）]（2W+1）n-3个-2=（2W+1- |m |）（2W+1）n-3次。检查：Pm=2Wm=-2W（2W+1-|m |）（2W+1）n-3=（2W+1）n-3[（2W+1）（4W+1）- 2W（2W+1）]=（2W+1）n-1、需要的金额如下：i=1，n：j=SXj=1Ui，j=0；i=1，n：j=SXj=1 | Ui，j |=m=WXm=-宽|米|（2W+1）n-2=W（W+1）（2W+1）n-2.i=1，n：j=SXj=1Ui，j=m=WXm=-Wm（2W+1）n-2=W（W+1）（2W+1）n-1.i=2，n- 1：j=SXj=1 | Ui，j |=m=2WXm=-2W | m |（2W+1- |m |）（2W+1）n-3==2（2W+1）n-3（2W+1）m=2WXm=1m-m=2WXm=1m==4W（W+1）（2W+1）n-2.i=2，n- 1：j=SXj=1Ui，j=m=2WXm=-2Wm（2W+1- |m |）（2W+1）n-3==2（2W+1）n-3（2W+1）m=2WXm=1m-m=2WXm=1m！==2（2W+1）n-3.W（2W+1）（4W+1）-（2W）（2W+1）==2W（W+1）（2W+1）n-1.（10）定理4.2。i、 l∈ [1，n-1] ，Pj=Sj=1Wi，jWl，j=W（W+1）（2W+1）n-1δi，l，其中Kroneckerδi，l=0，如果i 6=l1，如果i=l。如果i=n，则和为零∨ l=不合格。在1片中，每个位置[-W、 W]重复（2W+1）n-2次。因为我们考虑S=（2W+1）n-1位置的唯一向量，对于n>2，任何与（2W+1）n相关-3每种类型的位置l[-W、 W]在2片中。这些值为零：Pl=Wl=-WWl（2W+1）n-3=W（2W+1）n-3Pl=Wl=-Wl=0。Wis选择任意，使结论对任何[-W、 W）]：Pj=Sj=1W1，jW2，j=0。