具有幂律记忆的动态部门间模型

对于r=0，我们有.式（44）中C（t）的方程（42）的特解由以下表达式给出         （45）其中   是完全增量资本强度的矩阵。对于 具有幂律记忆的开放动态部门间模型的通解可以用以下形式表示             （46）其中是矩阵的特征值    ,  和  是对应的特征向量(   ), 系数根据初始条件确定（对于案例) 根据公式      （47）如果C（0）=0，则解（46）与解（22）一致，条件（47）变为（24）。对于1<α<2的具有幂律记忆的开放模型（42）的解，也可以类似地获得，即，对于具有1<α<2记忆的闭合模型（18），使用解（35）和条件（38），（39）。为了得到开放模型的解，我们应该找到特征值矩阵∧和相应的特征向量. 然后我们应该设定非生产性消费的增长率r，并求出系数的值, 对应于代数方程组（47）中给定的增长率r。没有记忆的标准模型假设r不能超过技术增长率，因为矩阵r·S的生产率条件给出了不等式[26]和[3，第130页]。如果, 那么Y（t）比包含. 矩阵r·Sis是非生产的，因此向量将具有负组件。由于某些组件是负的，那么我们得到向量Y（t）的负分量，这意味着这个解没有经济意义。

因此，经济上可解释的国民收入解决方案存在的必要条件是.  在具有记忆的模型中，所有扇区的记忆衰落参数都是一致的，条件不会改变。5、具有部门记忆的部门间模型在本文的前几节中，我们假设了所有经济部门记忆的统一参数。一般来说，不同扇区的参数可能具有不同的记忆衰落。在这种情况下，该模型可以称为具有部门记忆的部门间模型。存储器的阻尼将由衰减向量确定. 为了描述具有不同幂律存储器衰落参数的扇区的动态特性，我们可以使用非整数阶的矩阵微分。例如，我们可以使用对角矩阵运算符  （48）其中该矩阵的元素是运算符 , 哪里是第k个经济部门的衰退参数。对于具有两个扇区的动态模型，运算符（48）可以写成   （49）算符（49）对最终乘积的向量Y（t）的作用由表达式给出   （50）具有部门记忆的闭合部门间动态模型，其特征是不同部门的衰落参数不同，可用矩阵分数微分方程描述     （51）其中    方程（51）的解不能用以下形式表示：   . 可在以下表格中找到     （52）其中    是MittagLeffler函数（21）的平方对角矩阵。

对于双扇区模型，矩阵函数 可以用以下格式编写     （53）很容易检查矩阵函数的性质 , 由方程给出      （54）使用（54），向量Y必须满足方程        （55）为了方程（55）适用于非平凡向量Y，矩阵    为单数，即其行列式应等于零：    . 对于theroots特征方程的    , 我们可以找到非零向量使用方程式（55）。因此，分数阶微分方程（51）的通解 对于所有k=1，…，n可以写在  （56）在分量形式中，方程式（56）可以写成  ,  （57）其中是矩阵的特征值    ,  和 是对应的特征向量    系数由初始条件确定（58）t=0时的方程式（56）给出了（58），因为 , 其中，E是第n阶单位对角矩阵。使用（29）计算λ的实际值，我们发现增长率由值决定   （59）被解释为第k部门的有效增长率。与案例（32）相反，有效增长率的变化并不等同于标准模型。因此，在增长率的有序序列中,  当我们考虑到记忆效应时，顺序可以改变。溶液（56）中 具有最大实部的项, 为此θ满足不等式（30）。

如果主导项具有有效增长率  ,  （60）在哪里是矩阵S的Frobenius Perron数，则所有部门的最终产品（国民收入）增长率将趋向于.  国民收入的部门结构将由特征向量坐标之间的比例确定矩阵∧的 .请注意，不同部门和不同价值观的有效增长率可能不同。有效增长率相等的条件可以用方程表示  （61）本案 对于所有k=1，…，n，分数阶微分方程的通解     （62）利用矩阵，可以写出1阶<α<2的Caputo分数导数（48）[12，p。

232]as      （63）其中     是两个参数Mittag-Leffler函数的平方对角矩阵（36）。如果部分内存衰减参数属于间隔, 参数的另一部分在范围内, 那么在解决方案（63）中，将缺少对于.具有部门记忆和非零非生产性消费（C（t））的开放动态部门间模型≠ 0）由矩阵分数阶微分方程描述           （64）分数阶微分方程（64）的通解可以表示为通解之和 由齐次方程（56）描述的闭合模型的 非齐次方程（64）的  .  （65）让我们考虑以下形式的非生产性消费C（t）的向量函数    （66）其中 是平方对角矩阵，并且是向量，定义了初始时间t=0时各部门的非生产性消费。这里我们不限制向量C（t）的成分具有相同的恒定增长率。向量C（t）的分量具有以下形式 ,  哪里是第k部门非生产性消费的增长率。因此，表达式给出了方程（64）的特解         （67）其中  是完全增量资本强度的矩阵，以及是非生产性消费增长率的矩阵。

如果 对于k=1，…，n，具有部门记忆的开放动态部门间模型的通解可以写成             （68）其中是矩阵的特征值    ,  和 是对应的特征向量    系数已确定（针对该情况 对于所有k=1，…，n），根据初始条件      （69）对于R=R·E，条件（69）采用标准形式（47）。对于  对于所有k=1，…，n，具有部门记忆的开放模型的解与具有 对于所有k=1，…，n，下表给出了具有部门记忆的部门间模型和无记忆的标准模型的增长率比较，以获得和0.该表显示，在动态部门间模型的框架内，部门记忆的核算可以显著改变经济及其部门的增长率。同时，与无记忆的标准intersectoralmodel相比，增长率可以增加或减少。利用这些结果，我们可以得出以下原理。支配权变更原则。在部门间经济动态中，衰退部门记忆的影响可以改变经济部门的主导行为。例如，根据这一原则, 标准模型的具有幂律部门记忆的模型。下一节将提供更详细的示例来说明这一原理（请参见示例3）。6.

带记忆的部门间模型的例子为了说明，我们给出了求解低记忆幂次的封闭动态部门间模型的数值例子。最终产品和总产品动态模型的解决方案将通过两个经济部门的例子加以说明。对于计算，我们使用了Maple计算机代数软件包。示例1。我们将矩阵A和B定义为      （70）逆矩阵和矩阵   由表达式表示       （71）那么这些矩阵的乘积具有以下形式       (72)     .  （73）对于矩阵（72）和（73），方程式（17）和（18）的形式如下      (74)      （75）其中0<α<1。矩阵（72）和（73）的特征方程具有以下形式        (76)        （77）得出二次方程     (78)    （79）特征方程（78）和（79）的根是数字 （80）其中, . 因此，我们得到了特征向量的方程       (81)       （82）其中k=1、2和取值（80）。方程（81）和（82）的解给出了IGenvector  (83)  （84）使用Maple计算机代数软件包获得特征向量（83）和（84）的坐标。

系数可使用以下形式的方程式（24）从初始条件中导出     （85）让我们使用表格中最终产品的初始条件  （86）那么带有向量（83）的线性方程组（85）的形式为          （87）代数方程组（87）有解  和. 因此，我们得到了第一和第二部门最终产品的功能              （88）使用,  我们可以看到，解决方案（88）在初始时间（t=0）给出了第一和第二部门的最终产品 这与初始条件（86）一致。对于α=1，溶液（88）的形式为                  （89）我们使用物业的地方.对于总产值的向量X（t），系数由初始条件确定     （90）其中和由表达式（84）定义。

让我们考虑一下表格中grossproduct的初始条件  （91）那么带有向量（84）和（91）的方程组（90）的形式为          （92）求解这个线性方程组，我们得到 和.使用Maple获得第一和第二部门的总产值函数，我们得到                （93）对于α=1，解（93）写为指数的线性组合               （94）求矩阵的Frobenius-Perron数   完全增量资本密集度。使用矩阵（70），我们得到     .   （95）我们看到矩阵S是正的。使用Maple软件包，我们得到矩阵（95）的特征值   （96）因此，Frobenius Perron数等于.  相应的特征值, 它描述了无记忆标准模型（α=1）的技术增长率  （97）我们可以看到. 在具有幂律记忆的封闭部门间模型（74）、（75）中，增长率由有效技术增长率决定   .

特征值（97）对应于特征向量, 它决定了向量Y（t）的结构。应注意，表达式（89）和（93）的第二项包含函数 ,  其值的下降速度比第一项的值快  增加。因此，（89）和（93）的第二项可以在很长的时间间隔内忽略。在这种情况下，经济部门的最终产品（国民收入）将由以下等式描述     （98）这些部门的总产值将由方程式描述     （99）因此，国民收入增长率及其部门结构迅速接近和,  分别地国内生产总值和部门结构的增长速度正在快速接近和, 分别地因此，对于本例，我们可以得出以下结论。（a） 每个部门的国民收入过程用两个术语描述，并使用Mittag-Leffler函数[25]；（b） 这两个部门的总产品和最终产品的第二项功能由快速递减的过程描述，因此在长时间间隔内可以忽略；（c） 衰落参数的单位值对应于无记忆的标准模型。示例2。让我们考虑以下形式的矩阵A和B      （100）矩阵A采用与示例1中相同的系数值。