具有幂律记忆的动态部门间模型

在这种情况下，部门结构对国民收入的限制() 将由相应特征向量的坐标比例确定.如果主导项将具有增长率, 那么Y（t）的动力学 将由相应的特征向量确定,  坐标有不同的符号。因此，在  必然会有消极成分，这意味着解决方案失去了经济意义[8，p.127]。因此，如果与增长率相关的条款, 这与,  占主导地位。封闭部门间模型的这一特点将该模型与其宏观经济类似模型区分开来，在宏观经济类似模型中，由于对消费增长的需求过高，解决方案是不可接受的。3、具有幂律记忆方程（6）和（8）的动态部门间模型描述了动态部门间模型，假设资本向量I（t）和总产值向量X（t）之间的关系由线性加速器方程（5）给出。方程（5）包含一阶导数。该导数的使用意味着内生变量I（t）在外生变量X（t）变化时的瞬时变化。换言之，时间t的投资由该时间点无穷小邻域内总产值向量的性质决定。因此，加速器方程（5）没有考虑记忆效应。因此，微分方程（6）和（8）实际上只能用来描述经济，在这种经济中，所有的经济学者都有一种即时健忘症。

这种限制大大缩小了描述实际经济过程的部门间模型的范围。在许多情况下，经济主体可能会记住总产值和以前投资的变化历史。因此，忽视记忆效应可能会导致对经济过程的错误描述。为了考虑幂律记忆，我们可以应用非整数阶导数和积分的数学形式[10、11、12、13、14]。文献[15、16、17、18、19]提出了非整数阶边值和带记忆加速器的概念。利用记忆加速器的概念[15，16]，我们可以推广幂律衰退记忆经济过程的动态Leontief模型。为了描述部门间模型中的动态幂律记忆，我们应该使用方程（5）的一般化，它描述了投资向量i（t）和总产值向量X（t）之间的关系。[17，18，19]中提出的非整数阶边际值的概念，允许我们得到带记忆的加速器方程[15，16]。具有幂律记忆的加速器的线性方程具有以下形式    （10） 本文附录中给出了考虑幂律记忆的加速器方程建议形式的解释。在这里是订单的分馏驱动力 [11，12]，其定义如下：  （11） 在哪里  是gamma函数，  是函数X（τ）对时间变量τ的整数阶n的导数：=[α]+1:0<τ<t。

方程（11）假设函数X（τ）具有整数阶到（n-1）阶的导数，这些导数是区间[0，t]上绝对连续的函数。对于α=1，方程式（10）给出了方程式（5）。为了得到易于解释的量的维数，我们可以使用时间t作为无量纲变量。对于部门间动态模型，等式（10）实际上假设了所有经济部门的记忆衰退的统一参数。本文首先考虑均匀衰落参数为0<α<2的动态模型。然后，我们将该模型推广到由向量决定的扇形记忆的情况衰落顺序，其中是第k个经济部门记忆衰退的参数。将方程（10）和（4）代入平衡方程（3），得到分馏微分方程           （12） 方程（12）描述了考虑幂律记忆的动态部门间模型，并推广了方程（6）描述的Leontief模型。对于α=1，方程式（12）的形式为（6）。最终产品（国民收入）的方程可通过使用以下形式的表达式（7）从方程（12）中获得 . 由于矩阵A假定为常数，则替换表达式 在方程（12）中，我们得到          （13） 方程（13）描述了具有幂律记忆的动态部门间模型中最终产物Y（t）的动力学。矩阵  称为全增量资本强度矩阵。让我们考虑总产品和最终产品的封闭动态模型。

封闭模型由方程（12）和（13）描述，非生产性消费为零（C（t）=0）。使用（12），C（t）=0时X（t）总产值的矩阵方程具有分数微分方程的形式      .  （14） 对于α=1，方程式（14）的形式为   .  （15） 使用C（t）=0的（13），我们得到最终产物Y（t）的方程式    ,  （16） 在哪里  是完全增量资本强度的矩阵。方程（14）和（16）描述了具有幂律记忆的封闭动态部门间模型中总产品和最终产品部门结构的动态。闭合模型方程（14）和（16）的解描述了当整个国民收入都指向扩大再生产时，对于给定的A和B，生产部门的极端（极限）技术可能性。方程（14）和（16）是线性分数阶微分方程组。如果完全增量资本强度的矩阵是可逆的，那么方程（14）和（16）可以写成      (17)       （18） 方程（17）和（18）描述了一个具有幂律记忆的闭合部门间动态模型，该模型对所有经济部门都有一个统一的参数。众所周知，分数阶微分方程的解     （19） 对于阶为0<α<1的Caputo分数阶导数（11），以及矩阵   ,可以由表达式表示      （20） 在哪里  是由公式定义的矩阵Mittag-Leffler函数【13，第142页】   .

（21）分数阶微分方程（18）的通解可以写成  （22）其中是矩阵的特征值    , 和 对应的特征向量是否     （23）系数由方程从初始条件确定（24）使用, 我们得到α=1的解（22）的形式为   （25）因此，溶液（22）包含标准闭合跨部门模型的溶液（25），作为对应于α=1的特殊情况。类似地，方程（17）的通解可以写成  （26）其中是矩阵的特征值   ;  向量  是矩阵Ω的变换器；以及系数由初始条件确定（27）使用表达式（7）和解（25），方程（17）的解可以写成    （28）相当于表达式（26），其中.解决方案是Mittag-Leffler函数的线性组合具有不同的特征值.  因此，总的来说，各行业的经济进程动态   , i、 e.对于所有扇区，使用统一参数λ是不可能的。它区分了具有记忆的部门间模型和具有记忆的宏观经济模型，这些模型在[27、28、29、30、31、32、33、34]中进行了讨论。因此，经济动态将随着结构变化而变化。请注意，有记忆的动态部门间模型的解（25）、（26）、（28）与有记忆的宏观经济模型的解之间存在关系[27,28、29、30、31、32、33、34]。

这种关系以及标准模型都基于特征值的存在矩阵的绝对值最高   完全增量资本密集度。同时，矩阵S的IGEN值的所有其他模块不超过,  这是Frobenius Perronnumber。可以选择相应的特征向量，以便其所有坐标都为正。在这种情况下，特征向量, 对应于特征值, 具有不同标志的协调性。这种特征值的存在源于Perron定理【14，p.319】和Frobenius定理【15，p.354-355】。一些根矩阵的特征方程    可能很复杂。因此，每个复杂的根   对应于共轭根   . 每对复共轭根将由解中的一对项表示。在这种情况下，我们有恒速振荡，它等于, 和可变振幅。现在让我们分析一下 对于带内存的跨部门动态模型。为此，我们使用Mittag-Leffler函数的渐近公式在. 使用[25，p.25-26]中的公式（3.4.14）和（3.4.15），我们得到了0<α<2和 方程式        （29）对于λ的实值和具有, 哪里.

（30）对于λ的复值，其中, 我们有    （31）其中   对于0<α<1和   对于1<α<2。因此，对于λ的实值，我们发现带记忆的交叉模型的增长率与特征值不一致矩阵的. 增长率等于这些值   （32）将被解释为有效增长率。对于λ的复值，其中, 动态 由反比性决定而不是指数函数。存在指数行为项时,  条款的分配可以忽略.方程（18）的解（22）是Mittag-Leffler函数的组合使用不同的参数, 对应不同的有效增长率.  暴露（22） 将以, 为此和, 其中θ满足不等式（30）。如果主导项具有有效增长率  ,  （33）其中是矩阵S的Frobenius-Perron数，然后是所有部门最终产品的增长率 倾向于有效技术增长率（33）。在这种情况下，国民收入的部门结构 由特征向量的坐标之间的比例确定, 对应于 . 如果支配词是, 那么Y（t）的动力学 由相应的特征向量定义, 其中坐标有不同的符号。因此，该解Y（t）在 必然会有负面的成分。这意味着解决方案失去了经济意义。

因此，解决方案（22）、（26）、（28），其中占主导地位，在经济上不可接受，这些解决方案没有经济意义。请注意，封闭模型解决方案的这一特点将带记忆的动态部门间模型与带记忆的宏观经济模型区分开来【27、28、29、30、31、32、33、34】，在宏观经济模型中，由于消费增长的巨大需求，解决方案变得不可接受。下表给出了具有幂律记忆的部门间模型和无记忆的标准模型的增长率比较，以获得和0.该表显示，记忆效应的计算可以显著改变动态部门间模型的增长率。同时，与标准模型相比，增长率可以增加或减少。如果全增量资本强度矩阵的Frobenius-Perron数小于1(), 如果我们考虑到记忆效应，相应的增长率可能会大得多。例如，当α=0.2和, 具有内存的模型中的增长率为而不是对于标准型号，即它将是16倍以上。这些结果使我们能够制定以下原则。技术增长率变化原理。对于标准部门间模型的低技术增长率，用衰减参数0<α<1计算记忆效应会导致经济增长率下降，并导致1<α<2的增长率上升。

对于标准部门间模型的高技术增长率，用衰减参数0<α<1计算记忆效应会导致不经济增长的增加，并导致1<α<2的增长率下降。本文最后一节给出了一个说明这一原理的示例。对于1<α<2，分数阶微分方程的通解     （34）对于阶数为1<α<2的Caputo分数导数，可以用以下形式写出[12，p.232]和[25]      （35）其中是双参数矩阵Mittag-Leffler函数【12，第42页】，由以下等式定义 .   （36）对于β=1，函数（36）采用Mittag-Leffler函数（21）的形式，因此.  数字是矩阵的特征值    ,  和  对应的特征向量     （37）系数和由表格中的初始条件确定(38)（39）其中和分别是初始时间t=0时的国民收入和国民收入变化速度。让我们给出两参数Mittag-Leffler函数的渐近公式在.  利用[12，p.43]中的方程（1.8.27）和（1.8.28），我们得到了0<α<2和 公式          （40）对于λ的实值和λ的复值，其中,  哪里.

对于λ的复值，其中, 我们有    （41）渐近公式（40）和（41）允许我们描述 在具有幂律记忆的部门间动态模型中，衰落参数0<α<2.4。具有记忆的开放式动态部门间模型具有幂律记忆的开放式动态部门间模型由非零非生产性消耗（C（t））的方程（12）和（13）描述≠  0).  方程（12）和（13）的解可以通过使用【12、13、21、22】中提出的分数阶微分方程的解来获得。让我们考虑一个具有最终产品（国民收入）向量记忆的开放动态模型。具有幂律记忆的开放模型由矩阵分数微分方程（13）描述。利用矩阵B的可逆性，方程（13）可以改写为           （42）方程（42）是描述开放动态部门间模型的非齐次分数阶微分方程【11，12】。让我们考虑方程（42）所描述的经济模型，该模型考虑了非生产性消费和幂律记忆的动态。分数阶微分方程（42）的通解可以表示为通解之和由齐次方程（18）描述的闭合模型的 非齐次方程（42）的  .  （43）让我们考虑以下形式的非生产性消费C（t）的向量函数    （44）我们假设非生产性消费的组成部分在所有部门都以统一的速度增长。