具有幂律记忆的动态部门间模型

矩阵  和逆矩阵由表达式给出         （101）那么这些矩阵的乘积的形式为      .  （102）方程式（18）和矩阵（102）的形式如下      （103）其中我们假设0<α<1。矩阵（102）的特征方程如下所示       （104）特征方程（104）的根是数字  （105）特征向量的对应方程有表格       （106）其中k=1，2，以及由（105）给出。方程（106）的解是IGenvector  （107）使用Maple软件包获得特征向量（107）的坐标。系数可以从以下形式的初始条件（86）导出          （108）系统（110）具有解决方案 和.因此，第一和第二部门最终产品（国民收入）的功能由表达式给出              （109）对比例1的（109）和（88），我们可以看到第一项发生了一些变化。特别是，  （110）与此同时，第二任期已占主导地位。有效技术增长率为  . 向量Y（t）的第二个分量迅速达到零，然后迅速减小。

因此，我们可以得出结论，对于无记忆的标准模型和具有幂律记忆的模型，带矩阵（100）的闭合模型的解给出了不可接受的结果。示例3。让我们考虑两个部门的部门间模型，其中这些部门的内存加载参数不相同。我们考虑矩阵      （111）其中矩阵A采用相同的系数，如示例1所示。矩阵   和由表达式给出      (112)     （113）那么矩阵（112）和（113）的乘积具有以下形式      .   （114）方程式（18）和矩阵（102）的形式如下       （115）其中,    和一般来说矩阵（114）的特征方程如下所示        （116）特征方程（116）的根是数字  （117）特征向量的对应方程有表格        （118）其中由值（117）和k=1，2定义。

方程（118）的解是特征向量   （119）系数由初始     （120）我们考虑形式中最终乘积向量的初始条件  （121）那么方程组（120）和向量（119）的形式为          （122）通过求解方程组（122），我们得到  和. 因此，第一和第二部门的最终产品（国民收入）由表达式给出              （123）用于, 方程式（123）描述了标准模型，因为.求矩阵的Frobenius-Perron数   完全增量资本密集度。使用（111），我们得到     .  （124）使用Maple软件包，我们获得了该矩阵的特征值  （125）因此，Frobenius Perron数等于.  相应的特征值, 它描述了无记忆标准模型（α=1）的技术增长率  （126）特征值（126）对应于特征向量,  它决定了向量Y（t）的结构。在具有幂律记忆的部门间模型中，增长率由有效技术增长率（60）决定，其形式为  .

（127）同时，对于第二部门，有效增长率（59）等于    （128）用于 和, 我们得到了价值观   (129)   （130）因此，对于本例，我们可以得出以下结论。（a） 对于标准技术增长率，我们有不平等.  因此，没有记忆的标准部门间模型给出了不可接受的结果。这种说法是由轨道的主导地位引起的  在,  这导致向量Y（t）的第二个分量迅速达到零，然后迅速减小。（b） 对于具有部门记忆的部门间模型，我们有反向不等式.  这种具有部门幂律记忆的部门模型基于与标准模型中相同的矩阵A和B，给出了经济意义上可接受的结果。这种说法是基于弹道的优势  在, 向量Y（t）的两个分量都以（129）的速率增加。（c） 因此，很明显，将部门记忆纳入带矩阵的部门间模型（111）可能会导致优势的改变。这意味着记忆效应可能会导致与标准模型相比有质的不同结果。根据所提出的支配变化原理，部门记忆效应可以改变经济部门的支配行为。结论记忆效应在金融[35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46、47、48]和经济学[27、28、29、30、31、32、33、34]中起着重要作用。

忽视非经济模型的记忆效应，可能会导致宏观经济模型[27、28、29、30、31、32、33、34]和部门间动态模型的结果失真。因此，研究经济增长和构建合适的经济模型应该考虑经济过程对记忆效应的可能依赖性。本文提出的方法可作为应用具有投入产出平衡矩阵的动态部门间模型描述具有幂律记忆的经济过程的理论和方法学基础。在本文中，我们证明了将记忆效应纳入动态部门间模型可以在直接材料成本、生产增量资本强度和完全增量资本强度的矩阵相同的情况下，得到定性的新结果。拟议的经济动力学方法使我们能够建立更充分的跨部门经济动力学模型。这种方法考虑到经济主体可能会记住经济过程（内生和外生变量）变化的故事，并且经济主体在做出经济决策时可以考虑这些变化。

此外，我们认为记忆衰退的参数可以作为经济政策中增加经济增长的控制参数以及对实体经济的影响。附录：动态记忆和分数计算在标准动态Leontief模型中，假设总产出的累积和增长之间的关系，即该模型忽略了时间延迟和记忆效应。为了考虑记忆效应，我们可以通过以下等式描述资本投资的向量I（t）对总产值的向量X（t）的依赖性    （A1）       （A2）其中  和  是函数，称为记忆函数（或线性响应函数），以及 是整数阶n的导数≥方程式（A1）允许我们描述相对于总产值的时间延迟和记忆效应。方程式（A2）描述了与资本投资相关的延迟和记忆效应。对于没有动态内存的进程，内存函数用以下形式的Dirac delta函数表示      ,  哪里    是Diracdelta函数。记忆缺失意味着内生变量仅在时间t时刻由非内生变量X（t）决定。我们可以说，实现了对因子变化历史的瞬时遗忘。替换      , n=1的方程式（A1）和（A2）给出了经济加速器的方程式（5  它描述了没有动态内存和时间延迟的进程。在这种情况下，对于每次t，该过程仅通过当前状态将经济过程的后续状态序列连接到前一状态。

如果记忆函数M（t–τ）的形式为M（t）=M·δ（t–t），那么方程（A1）和（A2）可以写成一个加速器方程，它是t周期的固定时间延迟，其中滞后t的时间常数是给定的正整数。我们可以考虑满足归一化条件的记忆函数M（t–τ）  （A3）在这种情况下，函数M（t，τ）=M（t–τ）通常称为加权函数[49，p.26]。满足规范化条件的记忆函数M（t）通常用于描述具有连续分布滞后的经济过程[49，p.25]。时滞（lag）的存在与过程以有限速度发生的事实有关，经济因素的变化不会导致依赖于它的指标发生即时变化。如果正常化条件（A3）成立，经济过程将在所有州进行，不会有任何损失。在这种情况下，我们说记忆函数描述了完整的（理想的）记忆。应该指出的是，幂律在经济和金融领域发挥着重要作用【50，51】。为了描述具有幂律衰减记忆的经济过程，我们可以使用以下形式的记忆函数  ,  （A4）  ,  （A5）其中 是γ函数，β和γ是表征幂律衰落的参数，t>τ。这里m（β）和m（γ）是有维数的正实数和, 它们通常具有易于解释的数量维度。

为了简化，我们假设这些数字等于一。将记忆函数（A4）替换为方程（A1），得到α>0阶分数阶积分和微分方程  ,  （A6）其中  , n： =[α]+1，和是α阶的左侧Caputo分数阶导数≥变量t>0时为0[第12页，第92页]。此Caputo分数导数由方程式定义  （A7）其中 是Gamma函数，t>0，且 是整数阶n的导数：=[α]+1相对于τ。假设函数X（τ）具有高达（n-1）阶的导数，这是区间[0，t]上的绝对连续函数。将记忆函数（A5）替换为方程（A2），得到α>0阶分数阶积分和微分方程  ,  （A8）其中是阶的左侧Riemann-Liouville积分>时间变量为0。该积分由以下等式定义【12，第69-70页】     （A9）假设函数I（t）在区间（0，t）上是可测量的，并且它必须满足条件.  众所周知，Caputo导数与RiemannLiouville积分相反【12，p.96】。换句话说，对于任何连续函数,  广义牛顿-莱布尼兹公式,, 满足【12，第95页】中公式2.4.32的要求。因此，Caputo分数导数的作用方程式（A8）给出  ,  （A10）其中  , 和是α阶的左侧Caputo分数阶导数（A7）≥变量t为0。

我们可以看到方程（A6）和（A10）在α>0阶的解释下是相同的。方程式（A6）和（A10）描述了具有α阶幂律记忆的同一经济加速器≥因此，我们有一个方程，可以描述关于总产值和资本投资的幂律记忆。参考文献1。《1919-1939年美国经济结构：均衡分析的实证应用》。第二版。纽约：牛津大学出版社，1951年。282页，第2页。Leontief W.W.投入产出经济学。第二版。纽约：牛津大学出版社，1986年3月。Granberg A.G.国民经济动态模型。莫斯科：Ekonomika，1985年。240页[俄语]。4、波克罗夫斯基V.N.《经济动力学：社会生产理论》。第二版。多德雷赫特：斯普林格出版社，2012年。200页，内政部：10.1007/978-94-007-2096-15。Volterra V.《泛函理论与积分微分方程》。多佛，2005年。299页，第6页。长记忆时间序列：计量经济学高级教材。由P.M.Robinson编辑。牛津：牛津大学出版社，2003年。382页，第7页。Teyssiere G.、Kirman A.P.《经济学的长期记忆》。柏林，海德堡：Springer Verlag，2007年。390页，第8页。塔拉索夫V.E.《分数动力学：分数微积分在粒子、场和介质动力学中的应用》。纽约：斯普林格出版社，2010年。505页，内政部：10.1007/978-3-64214003-79。Tarasova V.V.，Tarasov V.E.经济过程遗传性标准和记忆效应//Molodoj Uchenyj[年轻科学家]。2016年第14号（118）。P、 396-399。[俄语]。Samko S.G.、Kilbas A.A.、Marichev O.I.《分数阶积分和导数理论与应用》。纽约：Gordon and Break，1993年。1006页，第11页。Podlubny I.分数阶微分方程。圣地亚哥：学术出版社，1998年。

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