分数阶导数的经济学解释

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英文标题：
《Economic interpretation of fractional derivatives》
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作者：
Valentina V. Tarasova, Vasily E. Tarasov
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  An economic interpretation of the Caputo derivatives of non-integer orders is proposed. The suggested economic interpretation of the fractional derivatives is based on a generalization of average and marginal values of economic indicators. We formulate an economic interpretation by using the concept of the T-indicator that allows us to describe economic processes with memory. The standard average and marginal values of indicator are special cases of the proposed T-indicator, when the order is equal to zero and one, respectively. The fractional derivatives are interpreted as economic characteristics (indicators) that are intermediate between the standard average and marginal values of indicators.
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中文摘要：
提出了非整数阶Caputo导数的一种经济学解释。分数阶导数的建议经济解释基于对经济指标平均值和边际值的概括。我们通过使用T指标的概念来制定经济解释，这使我们能够用记忆来描述经济过程。当阶数分别等于0和1时，指标的标准平均值和边际值是拟议T指标的特例。分数导数被解释为介于指标的标准平均值和边际值之间的经济特征（指标）。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Classical Analysis and ODEs        经典分析与颂歌
分类描述：Special functions, orthogonal polynomials, harmonic analysis, ODE\'s, differential relations, calculus of variations, approximations, expansions, asymptotics
特殊函数、正交多项式、调和分析、Ode、微分关系、变分法、逼近、展开、渐近
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PDF下载：
--> Economic_interpretation_of_fractional_derivatives.pdf (119.07 KB)

2022-6-2 19:56:28 上传

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关键词：经济学解释 经济学 respectively Differential Quantitative

分数差异及其应用进展。2017 . 第3卷。1号。P、 1-7。内政部：10。18576/pfda/030101分数阶导数的经济学解释Valentina V.TarasovaLomonosov莫斯科国立大学商学院，Lomonosov莫斯科国立大学莫斯科119991，俄罗斯电子邮件：V.V。tarasova@mail.ruVasilyE.俄罗斯罗蒙诺索夫莫斯科国立大学塔拉索夫·斯科贝尔特森核物理研究所，莫斯科119991，电子邮件：tarasov@theory.sinp.msu.ruAbstractAn提出了非整数阶卡普托导数的经济学解释。分数阶导数的建议经济解释基于对经济指标平均值和边际值的概括。我们通过使用T-指标的概念来制定一个经济解释，它允许我们用记忆来描述经济过程。当阶数分别等于0和1时，指标的标准平均值和边际值是拟议T指标的特殊情况。分数导数被解释为介于指标的标准平均值和边际值之间的经济特征（指标）。MSC:26A33JEL:C02；D01PACS:45.10。分数阶导数、经济解释、卡普托导数、边际值、平均值、经济指标1简介非整数阶导数理论是由著名数学家如黎曼、刘维尔、索尼娜、莱特尼科夫、格伦沃尔德、马尔肖、韦尔、里兹、卡普托等提出的。分数阶导数在物理学和力学中有着广泛的应用，因为它允许我们描述以非局域性和幂律型记忆为特征的系统、介质和领域。

最近，分数阶导数和积分被用来描述金融过程[6]-[10]，非局部性经济过程[11]-[13]和记忆性经济过程[14]-[18]。分数导数和积分有不同的解释，如概率解释[24]-[26]、信息解释[27]、几何解释[28]-[30]和[31]-[32]、物理解释[31]-[32]和[33]-[36]。在这篇文章中，我们提出了分数阶导数的经济学解释。2衍生工具的经济意义在考虑非整数阶衍生工具的经济意义之前，我们将讨论第一阶标准衍生工具的经济解释的一些方面。一阶导数的经济含义是，它通过假设其他因素保持不变，描述了与调查因素相关的经济指标的变化强度。指标函数的一阶导数定义了该指标的边际值。边际值显示了决定因素每增加一个单位对应指标的增长。这与速度的物理意义无关（速度的物理意义是单位时间内行驶的路径长度）。在经济学理论中，指标的主要边际价值是边际产品、边际效用、边际成本、边际收入、边际储蓄和消费倾向、边际税率、边际需求等。在经济过程研究中，通常通过计算作为决定因素函数的指标的边际值和平均值来实现。让我们给出指标平均值和边际值的标准定义。

设Y=Y（X）为单值函数，该函数描述了经济指标Y对因子X的依赖性。指标Y的平均值AyxO定义为指标函数Y=Y（X）与因子X的相应值的比率asAYX：=Y（X）X。（1）如果我们有单值可微分函数Y=Y（X），它描述了经济指标Y对系数Y的依赖性，该指标的边际值MyxO定义为函数Y=Y（X）乘以公式Myx=dY（X）dX中的系数X的一阶导数。（2） 众所周知，如果相关性Y=Y（X）与（Y（X）=C·X）成正比，则平均值和边缘值是相同的（MYX=AYX）。定义指标边际值的方程式（2）适用性的最重要条件是，假设指标Y可以表示为因子X的单值函数。一般来说，该假设无效[19，20]，并且Yon X的依赖性不是唯一的，即单值X可能对应于Y的多个不同值。让我们使用我们的文章【20】的结果，给出一个指标Y对因子X的多值依赖性的例子。我们可以将指示剂和系数视为时间t的函数，由方程x（t）=0.001·t给出- 0.2·t+70，（3）Y（t）=0.01·t- 3·t+1400。（4） 该指示器Y对系数X的依赖性如图所示。让我们使用我们的文章【20】的结果，给出指标Y对因子X的多值依赖性的第二个例子。我们可以将指标和系数视为时间t的函数，由方程x（t）=8.2·10给出-9·t- 1.5 · 10-5·t+5.4·10-3吨- 0.58·t+70，（5）Y（t）=7.5·10-6·t- 3.5 · 10-3·t+0.51·t- 24·t+1700。（6） 该指示器Y对系数X的依赖性如图所示。

2、从图1和图2所示的图中可以清楚地看出，在许多情况下，X的值可能对应于Y的不止一个值。如果指标Y对因子X的依赖性不是单值函数，我们不能使用公式（1）和（2）来计算指标的平均值和边际值。然而，可以避免经济分析的这个问题。为此，有必要使用这样一个事实，即指标和fa cto r实际上始终可以被视为时间的单值函数。因此，为了考虑经济指标的平均值和边际值，有必要使用指标Y对因子X的参数依赖性，即单值函数Y=Y（t）和X=X（t），其中参数t是时间。因此，t=t的指标平均值和边际值可以通过方程sayx（t）：=Y（t）X（t）来确定。（7） MYX（T）：=dY（t）/dtdX（t）/dtt=t=dY（t）/dTdX（t）/dT，（8），其中我们假设X（t）6=0，dX（t）/dT 6=0。如果通过排除时间参数t，Y（t）对X（t）的依赖性可以表示为单值可微分函数Y=Y（X），那么表达式（2）和（8）是等效的，因为图1：Y对X的依赖性，由t的方程式（3）和（4）定义∈ [0, 200].值X（t）沿X轴绘制，值Y（t）沿Y轴绘制。链式法则。请注意，或出于此目的，函数X=X（t）是可逆的。在这种情况下，等式（1）和（7）也将等效。在微分演算中，如果变量Y作为参数X的函数，如果这两个变量都是第三个变量t的函数，则将变量Y称为给定参数。在我们的例子中，第三个变量是时间t。

我们强调，如果函数X=X（t）在t=t的邻域中具有逆，且函数X=X（t）和Y=Y（t）具有一阶导数，则公式（8）是一阶参数导数的标准定义。此外，如果dX（t）/dT 6=0，则等式（8）可被视为在时间t=t时，通过系数X=X（t）对指标Y=Y（t）的参数导数o的推广。因此，方程（7）和（8）可用于方程（3）、（4）和/或（5）、（6）给出的参数依赖关系。表达式（1）和（2）不能用于这些依赖项。因此，我们可以说，Y对X的一阶导数的经济解释与边际指标（8）有关。方程式（8）允许我们解释Firsty56 58 60 62 64 66 68X图2：Y对X的依赖性，由方程式（5）和（6）定义t∈ [0, 240].值X（t）沿X轴绘制，值Y（t）沿Y轴绘制。在给定的时间点T=T，每单位因子X的增加，指标r Y的增长导数。应该注意的是，指标函数Y（X）的单值属性被破坏的主要来源和原因之一是经济处理中存在的记忆【19，20】。经济代理人可能会记得指标Y（t）和因子X（t）之前的显著变化。记忆让我们知道，在重复发生类似的变化时，代理可以以与以前不同的方式对这些变化作出反应。因此，对于因子的相似值，该指标将有所不同。

这导致了一个事实，即相同的因子值对应于指标的许多不同值，这被描述为多值函数Y=Y（X）。经济主体的记忆导致这样一个事实，即t=t时的边际指标可以在考虑的t=t之前的特定时间间隔（0，t）上随Y（t）和X（t）的任何变化而变化。由方程式（7）和（8）确定的指标平均值和边际值仅取决于给定时间t=t及其最小邻域。因此，我们可以说，公式（7）和（8）给出的这些指标值的标准定义仅适用于所有经济主体都患有完全健忘症的情况。显然，这种方法不能总是用于经济分析。从数学上讲，这种方法是由使用整数阶导数引起的。在现代数学中，非整数阶导数（整数微分）的概念是众所周知的【1、2、3、4、5】。这个概念在自然科学中被用来描述记忆的过程。最近，非整数阶导数被用来描述金融过程[6、7、8、9、10]和具有记忆的经济过程[14、15、16、17、18]。有各种类型的非整数阶导数。在这篇文章中，我们将考虑Caputo分馏反应。这个导数的一个显著特点是，它对恒常函数的作用为零。在经济分析中使用卡普托导数会为相应指标的函数产生非整数阶边际指标的零值。有左手和右手卡普托导数。

我们将只考虑左侧的不利因素，因为T时的经济过程仅取决于过去该过程的状态变化，对于T<T，T是，右侧的卡普托导数是通过积分T>T的值来确定的。α>0阶的左侧卡普托导数由公式αTf（t）定义：=Γ（n- α） ZTf（n）（t）dt（t- t） α-n+1，（9），其中Γ（z）是伽马函数，T>0，n：=[α]+1，f（n）（T）是时间T时函数f（T）的整数阶n的标准导数。对于α=n的整数值∈ N、 Caputoderivative与N阶标准导数一致，即CDnTf（t）：=dnf（t）dTn，CDTf（t）：=f（t）。（10） 使用左侧的Caputo导数，我们可以定义指标的边际值和平均值概念的一般化，这使我们能够考虑经济过程中记忆的影响。让经济指标Y=Y（t）和决定因素x（t）是时间t的函数∈ [0；T]。然后，时间T=T时的经济T指标，其表征了具有记忆的经济过程，将由方程Myx（α，T）：=CDαTY（T）CDαTX（T），（11）确定，其中CDα是α阶的左侧Caputo导数≥ 0，由表达式（9）定义。参数α≥ 0表示记忆在区间[0，T]上关于指标和因子变化的衰减程度。时间t也可以被视为经济指标的一个因素（X=t），这一点不应被忽视。在这种情况下，T指示符（11）可以写入mMYT（α，T）：=Γ（2- α） Tα-1 CDnTY（t），（12），其中我们使用CdαTt=T1-α/Γ(2 - α) [3].指标（7）的平均值仅考虑指标值和系数a T时间0和T。

指标（8）的边际值考虑了时间点t=t的最小邻域内指标和因子的变化。拟议的经济指标（11）允许我们描述经济过程在特定时间间隔内从所有状态变化的依赖性[0，T]。这个概念考虑了经济指标在时间T的依赖性，而不仅仅是此时的Y（T）和X（T）（T=T）的值。方程式（11）考虑了指标Y（t）和fa cto r X（t）在限定时间间隔[0，t]上的所有变化。让我们考虑α阶T指标（11）的特殊情况，假设存在一个单值函数Y=Y（X）。如果α=0，则T指标（11）确定指标的标准平均值yx（0，T）：=CDTY（T）CDTX（T）=Y（T）X（T）=AYX（T）。（13） 对于α=1，T指标r（11）定义了指标MYX（1，T）的标准边际值：=CDTY（T）CDTX（T）=dY（T）/dTdX（T）/dT=MYX（T），（14）由指数Y=Y（X）的一阶导数乘以系数X确定。从这些方程中，我们可以看出，平均指数（7）和边际指数（8）是α阶拟议T指标（11）的特例≥ 指标（11）概括了平均和边际指标的概念，将这些概念作为特例纳入其中。此外，T指标（11）允许我们不仅考虑经济过程的平均和边际特征，还考虑介于平均值和边际值之间的新特征。建议的T指标包括平均值和边际值的指标中间值的整个范围。请注意，公式（11）可应用于X上的依赖关系Y，由方程式（3）、（4）和/或（5）、（6）给出。

利用这些公式，我们可以计算幂函数α>0阶的Caputo导数，CDαTtβ=Γ（β+1）Γ（β+1- α） Tβ-α、 （β>n- 1，α>n- 1，t>0，（15）CDαTtk=0，（k=0，1，…，n- 1） ，（16）其中n- 1.≤ α<n.3结论因此，可以得出结论，非整数阶导数α的经济解释≥ 0与T指标（11）的概念直接相关。在具有幂型记忆的经济过程中，在时间t=t时，每单位因子X的增加，指数Y的增长可以解释为基导数的增长。参考文献[1]S.G.Samko、A.A.Kilbas、O.I.Marichev，《分数阶和导数的理论与应用》（Gordon and Break，纽约，1993）。[2] V.Kiryakova，《广义分数微积分及其应用》（Longman，Harlow and Wiley，纽约，1994）。[3] A.A.Kilbas、H.M.Srivastava、J.J.Trujillo，《分数微分方程的理论与应用》（Elsevier，阿姆斯特丹，2006）353页。[4] I.Podlubny，《分数微分方程》（圣地亚哥学术出版社，1998年）。[5] D.Valerio，J.J.Trujillo，M.Rivero，J.A.Tenreiro Machado，D.Baleanu，“分数微积分：有用公式的调查”，《欧洲物理杂志》。专题。第222卷。8号。(2013) 1827-1846.[6] E.Scalas、R.Goren Flo、F.Mainar di，“分数微积分和连续时间”，Physica A.第284卷。编号1-4。(2000) 376-384.[7] N.Laskin，“部分市场动力学”，Physica A.第287卷。3号。(2000) 482-492.[8] F.Mainardi，M.Raberto，R.Gor en flo，E.Scalas，“分数微积分和连续时间金融II：等待时间分布”，Physica A.第287卷。编号3-4。(2000) 468-481.（arXiv：cond mat/0006454）[9]R.Goren Flo，F.Mainardi，E.Scalas，M.Raberto，“分数微积分和连续金融III：扩散极限”，摘自：M.Kohlmann，S。