具有固定调整成本的不可逆投资：一个随机模型

（2.4）对于n≥ 1，τn表示干预时间，而in表示相应干预时间τn处的干预大小。条件（2.3）确保在限定的时间间隔内，只执行限定数量的动作。我们允许τn=∞ 定义上，这意味着只采取了有限数量的行动。条件（2.4）确保以下功能定义得到充分定义。我们把空控制称为任何序列{（τn，in）}n≥1使τn=∞ 对于每个≥ 1中的任何一个表示为；。注意，使用相同的符号；对于我们将要定义的控制问题，零控制并不含糊，因为任何零控制都会产生相同的回报。给定控制I∈ I，初始停止时间τ≥ 0和一个随机变量ξ>0 P-a.s.Fτ可测量，我们用Xτ，ξ，I={Xτ，ξ，Ir}r表示∈[0,∞)[τ]上的唯一（直至不可区分）cádlágprocess，∞) 求解SDE（积分形式）Xτ，ξ，It=t为0∈ [0，τ）ξ+Ztτb（Xτ，ξ，Is）ds+Ztτσ（Xτ，ξ，Is）dWs+Xn≥1[τ，r]（τn）·信息∈ [τ,∞)（2.5）如果t=0和ξ≡ x个∈ R++然后我们表示X0，ξ，Iby Xx，I。很容易看出，如果τ是另一个停止时间，那么τ≥ τ、 那么以下流动特性保持真Xτ，ξ，它=Xτ，Xτ，ξ，Iτ0-,它t型≥ τ、 P-a.e。。（2.6）注意，在不可区分的情况下，我们有Xx，；=Z0，x.此外，根据约定设定τ：=0，i：=0，和x-:= x、 我们在n上递归∈ NXx，It=Zτn，Xx，Iτntt型∈ [τn，τn+1），P-a.s。，然后，通过（2.2），我们有以下关于初始数据xx的受控过程的单调性，它≤ Xx，ItP-a.s。，t型≥ 0, 我∈ 我x、 x：0<x≤ x、 （2.7）接下来，我们介绍优化问题。给定ρ>0，f:R++→ R++可测量，c>0，c>0，我们定义了支付函数J byJ（x，I）：=E“Z∞e-ρtf（Xx，It）dt-Xn公司≥1e级-ρτn（cin+c）#，x个∈ R+，我∈ 我

（2.8）我们注意到（2.4）和f从下方有界这一事实确保了J（x，I）得到了很好的定义，并取R中的值∪ {∞}.我们将利用以下关于f的假设。假设2.3。f∈ C（R++；R+），f>0，fis严格下降，f满足以下条件：∞:f级(∞):= 林克斯→∞f（x）=0。最后，在不丧失一般性的情况下，我们假设f（0+）：=limx→0+f（x）=0。注意MB：=usupx∈R++b（x）P+<∞ （2.9）根据假设2.1。以下假设将确保问题的完整性（提案3.2）。假设2.4。ρ>Mb。假设2.1、2.3和2.4将贯穿手稿的其余部分。我们解决的最优控制问题在于最大化函数（2.8）overI∈ I，即，对于每个x∈ R+，我们考虑最大化问题SUPI∈IJ（x，I）。（P） 备注2.5。c>0意味着投资发生时有固定成本。这提供了（P）是一个脉冲控制问题，即在脉冲控制类中可以找到最优控制。如果c=0（仅按比例干预成本），提供最优控制的设置将是更一般的单一控制设置（参见[63，Ch.4]）。对于脉冲控制和奇异控制的比较，我们参考[18]；关于引入固定成本的相关性，我们参考[61]，其中c→ 已调查0。在第7.1.2小节中，我们通过numericaloutputs对该问题进行了评论。我们还注意到，可以考虑更一般的干预成本C:R++→ R+递增且凸，（例如，C（i）=αi+βi+cw，其中α、C>0和β≥ 0). 我们相信，至少对于此类成本函数的可测量子类，该解决方案将描述与我们在这里提供的最终情况相同的结构（即C（i）=ci+C）。

另一方面，我们强调，在许多方面，我们的证明利用了成本的精确结构，而推广似乎并不简单。3关于值函数的初步结果在本节中，我们介绍了与（P）相关的值函数，并建立了它的一些基本性质。我们定义了价值函数v byv（x）：=supI∈IJ（x，I），x个∈ R++。（3.1）我们注意到v是R+-值，假设为2.3v（x）≥ J（x，；）=^v（x）：=E·Z∞e-ρtf（Xx，；t）dt,≥ 0x个∈ R++。（3.2）注意，当f>0（假设2.3）和（2.7）时，^v是不递减的。提案3.1。v表示不减损。证据设0<x≤ x、 由于f>0（见假设2.3），从（2.7）我们得到J（x；I）≤ J（x；I）代表everyI∈ 我这一主张随后将最高法院接管I∈ 我我们用f表示*R++：f上f的Fenchel-Legendre变换*（α） ：=supx∈R++(c)f（x）- αxa，α ∈ R++。（3.3）f的非负性和连续性（见假设2.3）和条件f(∞) = 0（同样假设2.3）保证0≤ f*(α) < ∞ 对于所有x∈ R++。提案3.2。对于所有α∈0，cρ我们有0≤^v（x）≤ v（x）≤f*（α） ρ+αxρ，x个∈ R++（3.4）和Limsupx→∞v（x）x=0。（3.5）证明。事实上，0≤^v≤ v已在（3.2）中注意到。我们展示了剩余的不等式。让x∈ R++和I∈ 我对于R>0，确定停止时间^τR：=infnt≥ 0:Xx，It≥ Ro。注意，由于b∈ 根据假设2.1，C（R++；R）和b（0）=0，中值定理yieldsb（ξ）≤ b（0）+Mbξ=Mbξ，ξ ∈ R、 （3.6）（2.9）中定义了MBI。设τ：=0，设t∈ R++。

将It^o的公式应用于Д（s，Xx，Is）：=e-ρsXx，Is，s∈ [0，^τR），在考虑到Xx是∈ （0，R）表示s∈ [0，^τR），n上的求和∈ N、 使用（3.6）和2.4，我们得到-ρtXx，It∧^τRi=x- ρ中兴通讯-ρsEh[0，^τR]（s）Xx，Isids+中兴通讯-ρsEh[0，^τR]（s）b（Xx，Is）ids+e-ρtE“Xn≥1，τn≤t型∧^τRin#≤x+（Mb- ρ） 中兴通讯-ρsEh[0，^τR]（s）Xx，Isids+e-ρtE“Xn≥1，τn≤t型∧^τRin#≤x+e-ρtE“Xn≥1，τn≤t型∧^τRin#。通过Fatou引理，让R→ ∞ 观察τR→ ∞ P-a.s.，我们得到了-ρtXx，Iti≤ x+e-ρtE“Xn≥1，τn≤锡#。（3.7）通过积分（3.7）右侧的第二项，我们使用Fubini-Tonelli\'sTheorem（因为所有涉及的被积函数都是非负的）E“Z∞~Ae-ρtXn≥1，τn≤锡dt#=E“Xn≥1uZ∞τne-ρ（t-τn）dtPe-ρτnin#=ρE“Xn≥1e级-ρτnin#。（3.8）因此，考虑到（3.7）、（3.8）和（2.4），我们有e·Z∞e-ρtXx，Itdt,≤ρ~Ax+E“Xn≥1e级-ρτnin#！<∞. （3.9）现在让α>0。通过定义f*到（3.9），我们可以写“Z∞e-ρtf（Xx，It）dt-Xn公司≥1e级-ρτn（cin+c）#≤ E“Z∞e-ρtf*（α） +αXx，It'dt-Xn公司≥1e级-ρτn（cin+c）#≤f*（α） ρ+αxρ+uαρ- cPE“Xn≥1e级-ρτnin#。通过I的任意性∈ I，ifα∈0，cρ，后者提供了（3.4）中的最后一个不等式。现在开始α∈ （0，cρ）。根据（3.4），我们有0≤ limsupx公司→∞v（x）x≤ αlim supx→∞v（x）αx≤ αlimsupx→∞f*（α） αρx+ρ=αρ通过α的任意性我们得到（3.5）。假设3.3。以下条件成立。（i） ρ>max(c)B，Ca其中B，关注引理A.3中定义的常数。（ii）对于每个β>0，M（β）：=E·Z∞e-ρtf（Xβ，t）'dt,<∞. （3.10）（iii）对于每个η>0，函数f是[η]上的半凸，∞). 确切地说，存在一个非递增函数K:R++→ R++使得f（λx+（1- λ） y）- λf（x）- (1 - λ） f（y）≤ K（η）λ（1- λ） （y）- x） ，则，λ ∈ [0,1], x、 y型∈ [β,∞). （3.11）（iv）函数Kin（iii）对于每个β>0，^M（β）：=E·Z∞e-ρtK（Xβ，；t）'dt,<∞. （3.12）备注3.4。半凸函数是可以写成凸函数和二次函数之差的函数（参见[26，Prop。

1.1.3]或[72，第4章，第4.2节]）。此外，函数∈ C（[β，∞);R） 用K（η）验证（3.11）：=-2 inf[η，∞)f（再次参见[26，第1.1.3款]）。以下命题表明，幂函数满足假设3.3（ii）–（iv）。提案3.5。让f∈ C（R++；R）使得f>0，f<0，和f（ξ）≤ C（1+|ξ|γ-1） ，f（ξ）≥ -C（1+|ξ|γ-2) ξ ∈ 对于某些C>0和γ，R++（3.13）∈ （0,1），且ρ>Lb（1-γ） +Lσ（1-γ)(2- γ). 然后满足假设3.3（ii）–（iv）。证据让β∈ 并观察到，根据假设2.1，我们有| b（ξ）|≤ Lb |ξ|，|σ（ξ）|≤ Lσ|ξ|ξ ∈ R通过一个类似于命题3.2的prof的本地化过程（现在保持过程Xβ，远离0），我们从It^o的公式中得到-ρt'Xβ，；t’’γ-1i=|β|γ-1+E·中兴通讯-ρs·-ρ′Xβ，；s’’γ-1+ (γ - 1） \'\'Xβ，；s’’γ-2b（Xβ，；s）+（γ- 1)(γ - 2） \'\'Xβ，；s’’γ-3σ（Xβ，s）,ds,≤ |β|γ-1+E·中兴通讯-ρs·-ρ′Xβ，；s’’γ-1+磅（1- γ） \'\'Xβ，；s’’γ-1+Lσ（1- γ)(2 - γ） \'\'Xβ，；s’’γ-1,ds,。然后，假设3.3（ii）遵循（3.13）并将Gronwall引理应用于上述不等式。此外，请注意，由于ξ7→ -C（1+|ξ|γ-2） 为负且不断增加，通过备注3.4和（3.13），我们得出f验证假设3.3（iii）和K（η）：=-2γ(γ - 1)ηγ-2.x个∈ R++。（3.14）最后，与上述类似，我们有-ρt'Xβ，；t’’γ-2i=|β|γ-2+E·中兴通讯-ρs·-ρ′Xβ，；s’’γ-2+ (γ - 2） \'\'Xβ，；s’’γ-3b（Xβ，；s）+（γ- 2)(γ - 3） \'\'Xβ，；s’’γ-4σ（Xβ，s）,ds,≤ |β|γ-2+E·中兴通讯-ρs·-ρ′Xβ，；s’’γ-2+磅（1- γ） \'\'Xβ，；s’’γ-1+Lσ（1- γ)(2 - γ） \'\'Xβ，；s’’γ-1,ds,。然后，假设3.3（iv）来自应用于上述不等式的Gronwall引理和（3.14）中的引理。备注3.6。注意，如果ρ满足假设3.3（i），那么它也满足假设3.5的要求。提案3.7。假设3.3成立。那么v是[β]上的半凸，∞) 对于每个β>0，即每个β>0存在K（β）>0，使得v（λx+（1- λ） y）- λv（x）- (1 - λ） v（y）≤ K（β）λ（1- λ） （十）- y）λ ∈ [0,1], x、 y型∈ [β,∞). （3.15）证明。

固定β>0。设x，y∈ [β,∞) 带x≤ y、 而我∈ 我对于每个λ∈ [0,1]集zλ：=λx+（1）- λ） yand∑λ，x，y，I：=λXx，I+（1- λ） Xy，I。我们写j（zλ，I）- λJ（x，I）- (1- λ） J（y，I）=E·Z∞e-ρtf（Xzλ，It）- λf（Xx，It）- (1 - λ） f（Xy，It）'dt,==E·Z∞e-ρtf（Xzλ，It）- f（λ∑，x，y，It）'dt,+E·Z∞e-ρtf（λ∑，x，y，It）- λf（Xx，It）- (1 - λ） f（Xy，It）'dt'。应用H"older不等式，观察Xβ，；≤ Xzλ，I∧ ∑λ，x，y，I，即fis递减，使用假设3.3（I），并使用引理A.3（ii），我们写下≤ E·Z∞e-ρtf（Xβ，；t）(R)Xzλ，It- ∑λ，x，y，It''''dt,≤uE·Z∞e-ρtf（Xβ，t）'dt'1/2uE·Z∞e-ρt''Xzλ，It- ∑λ，x，y，It''dtP1/2≤ M（β）1/2uE·Z∞e-ρt''Xzλ，It- ∑λ，x，y，It''dtP1/2≤ M（β）1/2uZ∞e-ρtAeBtdtP1/2λ（1- λ） | x- y |=A1/2M（β）（ρ- B） 1/2λ（1- λ） | x- y |。此外，通过假设3.3（i）、（iii）、（iv），再次使用霍尔德不等式和应用引理A.3（i），我们得到了≤ λ(1 - λ） E·Z∞e-ρtK（Xβ，；t）(R)Xy，It- Xx，It‘’’dt,≤ λ(1 - λ） uE·Z∞e-ρtK（Xβ，t）'dt'1/2uE·Z∞e-ρt''Xy，It- Xx，ItPdtP1/2≤ λ(1 - λ） ^M（β）1/2uZ∞e-ρteCtdtP1/2 | x- y |=^M（β）1/2（ρ- C） 1/2λ（1- λ） | x- y |。现在，让δ>0，让I等于v（z）≤ J（z，I）+δ。providev（z）上的不等式- δ - λv（x）- (1 - λ） v（y）≤ J（z，I）- λJ（x，I）- (1- λ） J（y，I）≤ K（β）λ（1- λ） | x- y型|x、 y型≥ β, λ ∈ [0,1]，其中K（β）：=^M（β）（ρ-C） 1/2+A1/2^M（β）（ρ-B） 1/2。然后通过δ的任意性得到（3.15）。鉴于以下结果依赖于v的半凸性，假设3.3将代表本节以及第4、5、6节的其余部分。定义spaceLiploc，c（R++）：=u:R++→ R++，s.t.lim-supx上的R局部Lipschitz连续→∞u（x）x<c.（3.16）我们记得开集上的半凸函数是局部Lipschitz函数。因此，根据命题3.2和3.7，我们有v∈ Liploc，c（R++）。

下一节将使用空间Liploc，c（R++）。4动态规划与我们的动态优化问题相关的动态规划方程是拟变分不等式（参见，例如，[17]）min(c)L u- f、u- M ua=0，（QVI），其中L和M是由L u（x）正式定义的运算符：=ρu（x）- b（x）u（x）-σ（x）u（x），x∈ R++，（4.1）M u（x）：=supi>0{u（x+i）- ci公司- c} ，x∈ R++。（4.2）我们注意到L是一个微分算子，因此它具有局部性质，而M是一个具有非局部性质的函数算子。4.1延续和作用区域在这里，我们定义并研究状态空间R++中延续和作用区域的第一个属性。引理4.1。M将Liploc、c（R++）映射到自身中。证据让u∈ Liploc，c（R++）。然后存在x，ε>0，使得u（x）x- c≤ -ε x个≥ x、 （4.3）乘以（4.3），对于所有i>0，x≥ x、 我们有（x+i）- （ci+c）=（x+i）uu（x+i）x+i- cP+cx- c≤ （c）- ε） 因此，通过取i>0的上确界，M u（x）x≤ c- ε x个≥ x、 这表明limsupx→∞mu（x）x<c。现在我们证明mu在[M]上是Lipschitz连续的-1，M]，每M>0。使用（4.3）可以显示Limsupi→+∞supx公司∈[米-1，M）(c)u（x+i）- cia=-∞. （4.4）SetU（x）：=sup(c)i∈ R++：u（x+i）- ci公司≥ u（x）- 1ax个∈ [米-1，M]。极限（4.4）规定存在R>0，使得u（x）≤ Rx个∈ [米-1，M]。因此，我们有m u（x）=supi∈（0，R）{u（x+i）- ci公司- c}x个∈ [米-1，M]。（4.5）现在，让^L为u |[M]的Lipschitz常数-1，M+R]。那么，如果M-1.≤ x<y≤ M、 0<i≤ R、 我们可以写（x+i）- （ci+c）-^L（y- x）≤ u（y+i）- （ci+c）≤ u（x+i）- （ci+c）+^L（y）- x） 。（4.6）现在，该权利主张以最高法院对i∈ （0，R）打开（4.6）并收回（4.5）。根据v的定义，我们有v（x）≥ v（x+i）- ci公司- ci>0，（4.7）hencev≥ M v.（4.8）我们定义了连续区域C和作用区域A byC：=(c)x∈ R++：M v（x）<v（x）a（延续区）（4.9）A：=R++\\C=(c)x∈ R++：M v（x）=v（x）a（动作区域）。

（4.10）它们将分别代表便于系统自主进化的区域和便于通过使用animpulse进行操作的区域。根据命题3.2和引理4.1，（4.8）的两个成员都是有限连续函数。特别是，在R++中，C是打开的，A是关闭的。对于x∈ A，让我们介绍集合Ξ（x）：=argmaxi>0(c)v（x+i）- ci公司- ca。如果x，则显然Ξ（x）为空∈ C原则上，即使x∈ A，但这不是如下所示的情况。提案4.2。让x∈ A.（i） Ξ（x）不是空的。（ii）对于所有ξ∈ Ξ（x），我们有x+ξ∈ C证据（i） 让x∈ 并取序列{in}n∈N \\{0} R++使得m v（x）≥ v（x+英寸）- cin公司- c≥ M v（x）-nn∈ N \\{0}。（4.11）那么，考虑到limsupi→∞根据命题3.2，v（x+i）x+i=0，并且M v（x）是有限的，我们很容易通过矛盾的方式证明，为了填充（4.11），序列{in}n∈n必须有界。因此，如果必要，通过考虑子序列，我们在→ 我*∈ R+。让我们证明我*> 事实上，通过矛盾假设我*= 根据（4.11），考虑到v是连续的，v（x）=M v（x）为x∈ A，我们得到v（x）=M v（x）≤ v（x）- c、 矛盾。那么我们已经证明我*> 从（4.11）中，我们通过连续性得到M v（x）=v（x+i*)- ci公司*- C索赔如下。（ii）证明的这一部分与[43，第2款]的证明密切相关。为了简洁起见，我们省略了它。注意，作为命题4.2的结果，我们得到了C 6=；。实际上，A=；，thusC=R++；或A 6=；，因此，C 6=；根据提案4.2（ii）。形式上，命题4.2（ii）表示，如果系统处于位置x∈ A：（i）存在最优控制（第（i）部分）；（ii）该最优控制将系统置于C中（第（ii）部分）。

我们将在事后严格核实这一事实。4.2动态规划原理和粘度解v和（QVI）之间的严格联系通过动态规划原理（DPP）。提案4.3。对于每x>0和每F-停止时间τ∈ R+，v（x）=supI∈IE“Zτe-ρsf（Xx，Is）ds-Xn公司≥1，τn≤τe-ρτn（cin+c）+e-ρτv（Xx，Iτ）#。（DPP）证明。我们参考[22]（对于有限视界的情况；我们的公式是时间均匀有限视界问题的常用公式）。这里我们用粘度溶液研究（QVI）。定义4.4（粘度溶液）。让u∈ Liploc，c（R++）。（i） u是（QVI）的粘度亚分辨率，如果为（x，Д）∈ R++×C（R++），使u- ^1在x和u（x）=Д（x）时有一个局部最大值，我们有最小值(c)LД（x）- f（x），u（x）- M u（x）a≤ 0;（ii）u是（QVI）的粘度上解，如果对于每（x，Д）∈ R++×C（R++），使u- ^1在x和u（x）=Д（x）处有局部最小值，我们有最小值(c)LД（x）- f（x），u（x）- M u（x）a≥ 0;（iii）u是（QVI）的粘度溶液，如果它既是（QVI）的粘度亚溶液又是（QVI）的粘度上溶液。提案4.5。值函数v是（QVI）的粘度解。证据上解性质。让x∈ R++和Д∈ C（R++）是这样的- Д在x和v（x）=Д（x）处有一个局部最小值。特别是，v≥ 开启（x）- δ、 x+δ）表示合适的δ∈ （0，x）。在（4.8）中，我们只需要显示LД（x）- f（x）≥ 为此，考虑停车时间τ：=infnt≥ 0：| Xx，；t型- x |>δo，注意，通过轨迹的连续性，P{τ>0}=1。然后，从（DPP）我们得到v（x）≥ E·Zτ∧εe-ρtf（Xx；t）dt+e-ρ(τ∧ε） v（Xx，；τ）∧ε),ε > 0. （4.12）由此，我们推导出Д（x）≥ E·Zτ∧εe-ρtf（Xx；t）dt+e-ρ(τ∧ε） Д（Xx，；τ）∧ε),ε > 0. （4.13）应用Dynkin公式，除以ε，让ε→ 0+，考虑到Xx，；在0和P{τ>ε}中是右连续的→ 1为ε→ 0+，我们得到了期望的不等式。次固结特性。

让x∈ R++和Д∈ C（R++）是这样的- ^1在x和v（x）=Д（x）时具有局部最大值。如果v（x）=M v（x），那么我们就完成了。然后假设v（x）≥ ξ+M v（x）对于某些ξ>0。在这种情况下，我们需要证明LД（x）- f（x）≤ 0、通过矛盾假设LД（x）- f（x）≥ ε > 0. 通过LД的连续性- f和v- M v，鉴于v- Д在x和Д（x）=v（x）处有一个局部最大值，存在δ∈ （0，x/2），以便x个∈ B（x，2δ]（i） L^1（x）- f（x）≥ ε/2（ii）Д（x）≥ v（x）（iii）v（x）- M v（x）≥ ξ/2.（4.14）现在确定停止时间τ：=inf{t≥ 0：| Xx，；t型- x |>δ}，注意P{τ>0}=1。鉴于（4.14）（iii），在区域B（x，2δ）进行投资不是最优的。因此，可以重写（DPP），将I的范围限制在控制集上，使得τ>τ，产生简单的质量v（x）=E·ZτE-ρtf（Xx；t）dt+e-ρτv（Xx，；τ）,。（4.15）最后，我们有（4.15）Dynkin公式和（4.14）（i）–（ii）εE[τ]≤ E·ZτE-ρtLИ（Xx，；t）- f（Xx，；t）'dt,=Д（x）- E·ZτE-ρtf（Xx；t）dt+e-ρτИ（Xx，；τ）,≤ v（x）- E·ZτE-ρtf（Xx；t）dt+e-ρτv（Xx，；τ）,=0。（4.16）这提供了一个矛盾，P{τ>0}=1。4.3值函数的正则性在这里，我们建立了值函数的正则性性质。准确地说，利用命题3.7提供的半凸性和命题4.5提供的粘度特性，我们可以证明它是Con R++类和Con C类。定理4.6。v∈ C（R++；R）TC（C；R）。证据让x∈ R++。由于v在x的邻域中是半凸的（命题3.7），在这样一个高邻域中，它可以写成凸函数和二次函数的差（见Remark3.4）。因此，单侧导数v+（x），v-（x） 存在和v-（十）≤ v+（x）。为了证明v在x是可微的，我们需要证明前面的不等式确实是一个等式。自相矛盾地假设v-（x） <v+（x）。