具有固定调整成本的不可逆投资：一个随机模型

关于{τn<∞},从中我们得到liminfε→0+e-ρτεn≥ e-ρτnP-a.s。。（6.1）定义Yε：=输入≥ 0:Z0，St- εZ0，St+t'≤ s、 然后τεn+1- εn~ 所有n的Yε≥ 1、观察Yε随ε趋于0+而增加。设Y：=limε→0+Yε。自S起-εS>S需要Yε>0，尤其是>0。然后，我们可以使用（6.1）和下面第一个不等式中的Fatou引理，ElbE-ρτn+1≤ lim infε→0+Ehe-ρτεn+1i=lim infε→0+Ehe-ρ（τεn+1-τεn）e-ρτεni=lim infε→0+EhEhe-ρ（τεn+1-τεn）e-ρτεn''Fτεnii=lim infε→0+Ehe-ρ（τεn+1-τεn）iEhe-ρτεni'=lim infε→0+Ehe-ρYεiEhe-ρτεni'（感应）=liminfε→0+Ehe-ρYεi'nEhe-ρτεi≤Ehe公司-ρYi\'n.（6.2）n的求和≥ 1并考虑到-ρY]<1，从（6.2）我们得到“Xn≥1e级-ρτn+1#<∞. （6.3）条件（2.3）和（2.4）均遵循（6.3），因此控制*是可以接受的。最优性。设置X*:= Xx，I*. 我们观察到，在（3.4）、（3.7）和（6.3）中，我们有limt→∞Ehe公司-ρTv（X*T） i=0。（6.4）让T>0，并设置τ：=0-. 观察定义X*∈ [s+∞) 回想一下，L v=f onC=（s，∞). 适用于所有n∈ N我们将It^o的公式应用于v（X*) 区间内[τn∧ T、 τn+1∧ T） 。注意，vis以[s]为界，∞) 根据命题5.10，soE·Zτn+1∧Tτn∧电视（X*t） dWt,=0n∈ N、 因此，考虑It^o公式中的期望值，并考虑L v（X*) = f（X*),我们找到他了-ρ（τn+1∧T） v（X）*（τn+1∧T）-)我- Ehe公司-ρ（τn∧T） v（X）*τn∧T） i=-E·Zτn+1∧Tτn∧Te公司-ρtf（X*t） dt,，n∈ N、 （6.5）现在乘以力矩ω∈ Ohm, n≥ 1，并假设τn（ω）≤ T、 通过定义in（ω）并考虑X*τ-n（ω）∈ A我们有（参见推论4.7、命题4.2（i）和命题5.10（i）中S的定义）in（ω）=argmaxi>0nv（X*τ-n（ω）+i）- ci公司- 因此，考虑到M v（X*τ-n（ω））=v（X*τ-n（ω）），我们有-ρτn（ω）v（X*τn（ω））- e-ρτnv（X*τn（ω）-) = e-ρτn（ω）（cin（ω）+c）。

（6.6）因此，对于所有n≥ 1、Ehe-ρ（τn∧T） v（X）*τn∧T）- v（X）*（τn∧T）-)\'i==Ehe-ρ（τn∧T） !v（X）*T）- v（X）*T-)c{τn>T}i+ElbE-ρτn（cin+c）1{τn≤T} ·。（6.7）使用（6.5）和（6.7），我们可以为N写≥ 1、Ehe-ρ（τN+1∧T） v（X）*τN+1∧T） 我- v（x）=NXn=0Ehe-ρ（τn+1∧T） v（X）*τn+1∧T）- e-ρ（τn∧T） v（X）*τn∧T） i=NXn=0Ehe-ρ（τn+1∧T） v（X）*τn+1∧T）- v（X）*（τn+1∧T）-)\'i+NXn=0Ehe-ρ（τn+1∧T） v（X）*（τn+1∧T）-) - e-ρ（τn∧T） v（X）*τn∧T） i=NXn=0Ehe-ρ（τn+1∧T） !v（X）*T）- v（X）*T-)c{τn+1>T}i+ElbE-ρτn+1（cin+1+c）1{τn+1≤T} ·'-NXn=0E·Zτn+1∧Tτn∧Te公司-ρtf（X*t） dt,。通过达到极限N→ ∞ 利用（2.3），我们得到-ρTv（X*T） 我- v（x）+E·中兴通讯-ρtf（X*t） dt,=∞Xn=0Ehe-ρ（τn+1∧T） !v（X）*T）- v（X）*T-)c{τn+1>T}i+ElbE-ρτn+1（cin+1+c）1{τn+1≤T} ·'。我们现在开始行动→∞, 在左侧的第一个加数上使用（6.4），在左侧的第三个加数上使用单调收敛，在右侧使用Fatou引理。我们获得-v（x）+E·Z∞e-ρtf（X*t） dt,≥∞Xn=0E英镑-ρτn+1（cin+1+c）·，（6.8），表明*是最佳的。图1：值函数和S的示意图- s规则。7线性案例的数值说明在前面的章节中，我们通过三元（A、s、s）中非线性代数系统（5.39）的唯一解来描述动态优化问题的解决方案。在本节中，我们专门研究当参考过程Z遵循几何布朗运动动力学时，即当b（x）：=νx，σ（x）：=σx，带ν∈ R、 σ>0，当f（x）=xγγ时，0<γ<1，假设ρ>ν+。（7.1）这样，假设2.1、5.2、2.4、2.3、3.3（ii）–（iv）就满足了（）。在本例中，我们得到了Д（x）=xm，其中m是特征方程ρ的负根- νm-σm（m- 1） =0与L u=0相关，即m=u-νσP-su-νσP+2ρσ，（7.2）和^v（x）=Cγxγ，Cγ：=uρ- νγ +γ(1 - γ)σP-1.（7.3）没有固定成本的问题，即。

当c=0时，在【63，第4.5节】中的奇异控制设置中进行研究（正确设置以获得最优控制的存在，请参见备注2.5）。在这种情况下，实际上，如果x>0，我们应该考虑b（x）=νx，否则，我们应该考虑b（x）=0，σ也是如此，以满足假设2.1。但这并不重要，因为我们的受控进程位于R++。数值函数v和最佳反射边界s在【63，Th.4.5.7】中通过代数系统进行了表征。在我们的符号中，如果s=uc（m- 1） Cγ（m- γ)Pγ-1，B=Cγ（1- γ） m（m- 1） sγ-m、 （7.4）我们作出假设5.5；在本例中，后者的读数为asc<C1-γcγ1-γuγ- 1P. （7.5）此外，假设3.3（i）将解读为ρ>max(c)4 |ν|+6σ，2 |ν|+2σa=4 |ν|+6σ。然而，如下所示，在这里所考虑的线性齐次情况下，我们不需要做出这样的假设：我们可以利用受控过程对初始数据的线性依赖性和f的齐次性来显示命题3.7中所述的一般情况下的半凸性结果。因此，本文的其他结果在没有进一步假设的情况下成立。事实上，注意到术语{in}n≥1进入Xx的动态，i编辑形式，我们有Xx，它- Xy，It=Xx，；t型- Xy，；t=（x- y） e（ν-σ） t+σWt，我∈ 我x、 y型∈ R++，（7.6），我们可以用它来证明以下结果。提案7.1。在上述框架中，对于每个λ∈ [0，1]，每x，y≥ ε>0v（λx+（1- λ） y）- λv（x）- (1 - λ） v（y）≤ λ(1 - λ)(1 - γ） C类-1γεγ-2（y- x） 。证据设0<ξ≤ ξ.

那么，对于合适的η，η∈ [ξ，ξ]根据拉格朗日定理，我们有f（λξ+（1- λ)ξ) - λf（ξ）- (1 - λ） f（ξ）=- λ[f（ξ）- f（ξ+（1- λ)(ξ- ξ))] - (1 - λ） [f（ξ）- f（ξ+λ（ξ- ξ))]=λ(1 - λ） f（η）（ξ）- ξ) - λ(1 - λ） f（η）（ξ）- ξ)=λ(1 - λ） －f（η）- f（η）c（ξ）- ξ)≤λ(1 - λ） | f（ξ）|（ξ- ξ)=λ(1 - λ)(1 - γ)ξγ-2(ξ- ξ).（7.7）现在设0<ε≤ x个≤ y、 λ∈ [0,1]，并设置z：=λx+（1- λ） y.设δ>0，设Iδ∈ I是v（z）的δ-最优控制。然后，使用（7.7），Xx，I≥ Xx，；，回顾（7.6），我们得到v（λx+（1- λ） y）- δ - λv（x）- (1 - λ） v（y）≤ J（z，Iδ）- λJ（x，Iδ）- (1 - λ） J（y，Iδ）=E·Z+∞e-ρtf（Xz，Iδt）- λf（Xx，Iδt）- (1 - λ） f（Xy，Iδt）'dt,≤λ(1 - λ)(1 - γ） E·Z+∞e-ρt（Xx，Iδt）γ-2（Xy，Iδt- Xx，Iδt）dt,≤λ(1 - λ)(1 - γ） E·Z+∞e-ρt（Xx，；t）γ-2（Xy，；t- Xx，；t） dt,=λ（1- λ)(1 - γ） C类-1γxγ-2（y- x）≤ λ(1 - λ)(1 - γ） C类-1γεγ-2（y- x） ，索赔。7.1数值说明我们对求解非线性系统的解进行了数值分析（5.39）。在图2中，我们提供了参数设置如下时值函数及其导数的图片：ρ=0.08，ν=-0.07，σ=0.25，c=1，c=10，γ=0.5。用这些entries求解（5.39）并用ν（x）=xm，其中m由（7.2）给出，得到（B，s，s）=（97.0479，8.7492，56.9930）。0 s 20 40 s 6060v（s）100v（s）1400 s 20 40 s 600,5v’（s）=v’（s）=c01,5图2：值函数（上图）及其导数（下图）在本节的其余部分，我们以数值方式讨论解决方案，说明参数变化如何影响值函数以及描述最优控制的触发器和目标边界s，s（）。7.1.1挥发性的影响在表1中，我们报告了不同挥发性σ值的相关值。

其他参数设置如下：ρ=0.08，ν=-0.07，γ=0.5，c=1，c=10。表1：作为σ函数的解。σB s s s- s v（0）v（s）v（s）1%349.2820 14.6488 69.1073 54.4584 68.2325 82.8813 147.33985%313.6460 14.2670 68.4774 54.2104 68.0298 82.2968 146.507210%238.6460 13.2168 66.6426 53.4258 67.3856 80.6024 144.028215%172.6459 11.8029 63.9264 52.1235 66.2914 78.0943 140.217820%126.9781 10.2646 60.60 6291 50.3644 64.7453 75.0099 135.374325%97.0479 8.7492 56.9930 48.2438 62.7645 71.5137 129.757530%77.1043 7.335853.2006 45.8648 60.3826 67.7184 123.5832施加相同参数值绘制的图3表示触发水平s，目标对ν的负值进行模拟，将其视为折旧系数。为了简洁起见，我们省略了对ν正值进行的模拟，因为输出显示出与负ν相同的均衡行为。级别S及其差异S- s作为波动率σ的函数。图表和表格显示，当不确定性增加时，行动区域A缩小，投资规模S- S收缩。第一个效应在不可逆投资的经济文献中是众所周知的，不固定成本作为等待投资的价值：不确定性的增加导致投资推迟（见[52]）。

我们可以看到，在固定成本的情况下，最优投资的规模也受到不确定性增加的负面影响。σ0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.351015s（σ）σ0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.35055606570S（σ）σ0,01 0.05 0,1 0,15 0,2 0,25 03455055间隔长度（s，s）图3：触发水平s、目标水平s和差值s- s作为σ的函数。7.1.2固定成本的影响在表2中，当其他参数设置如下：σ=0.1，ρ=0.08，ν=-0.07，γ=0.5，c=1。在对应于c=0的路径中，报告了相应奇异控制问题的输出，根据（7.4）（）表示的s和B值计算。可以观察到，收敛为c→ 0+相当慢；这与[61]的理论结果一致，在我们的案例中，理论结果表明，v（·；c）c（0+）=-∞.表2：作为c.cB s s函数的解决方案- s v（0）v（s）v（s）0 577.5165 41.6233 41.6233 0 83.2470 124.8703 124.87030.01 573.1240 38.6466 44.5649 5.9182 83.1362 121.7828 127.71100.5 519.9311 30.6195 52.1522 21.5328 81.5607 112.1802 134.21291 487.9211 27.7903 54.7042 26.9139 80.4620 108.2523 136.166310 238.6460 13.2168 66.6426 53.425 8 67.3856 80.6024 144.028230 57.6611 4.2696 72.3953 68.1257 44.7847 49.0543 147.180050 7.9037 1.0275 73.782672.7551 24.1040 25.1315 147.8866在这种情况下，最优控制包括边界处的反射政策；换句话说，区间[s，s]在单态{s}={s}中退化。图4以相同的参数值绘制，显示了随着C的增加，actionregion A收缩，投资规模S- s展开。

这两种影响都是可以预期的：第一种是等待投资价值的对应物，现在是相对于固定投资成本，而不是相对于不确定性；第二种情况表明，固定成本的增加导致投资频率降低，然后在进行投资时提供更大的投资规模。c110 20 30 50 60051015s（c1）c110 20 30 50 606668707274S（c1）c110 20 50 6050607070808间隔长度（s，s）图4：触发电平s、目标电平s和差值s- s作为c.A附录命题A.1的函数。在假设2.1下，边界0和+∞ 对于扩散Z0，x.Proof，在费勒分类的意义上是自然的。很明显+∞ 不可接近，因为Z0、XD不会在限定时间内爆炸。它表明0不可访问，即isx∈ R++==> Z0，xt>0 P-a.s。t型≥ 0; （A.1）0和+∞ 不是入口，那是↓0P{τx，y<t}=0，limx↑∞P{τx，y<t}=0，t、 y型∈ R++。（A.2）为此，我们引入了扩散Z0的速度度量m，x转换为自然尺度（见【19，第16.81号提案，第16.83条】）。对于乘法常数，我们有m（d y）=σ（y）eRy2b（ξ）σ（ξ）dξd y，y∈ R++。假设2.1意味着对于某些C，C>0，我们有| b（ξ）|≤ Cξ和σ（ξ）≤ 每ξ的Cξ∈ R+。根据【19，第16.43号提案】我们计算y（d y）。我们有酵素（d y）≥Z2yσ（y）eRy-2Cξσ（ξ）dξd y.集合F（y）：=Ry-2Cξσ（ξ）dξ。我们有z2yσ（y）eRy-2Cξσ（ξ）dξd y=-CZF（y）eF（y）d y=-C·eF（1）- 石灰→0+eF（y）,=-C·1- 石灰→0+eRy-2Cξσ（ξ）dξ,=-C·1- 伊莱米→0+Ry2CCξdξ,=+∞.这表明，【19，第16.43款】（A.1）成立，0不是入口，即（A.2）中的第一个限制成立，是【19，第16.45款（A）】的结果。最后，让我们展示一下+∞ 不是入口，即（A.2）中的第二个限制保持不变。在这种情况下，根据[19，Prop。

16.45（b）]我们认为+∞ym（d y）和见，使用与上述相同的计算，它等于+∞. 根据上述结果，我们得出结论+∞ 不是入口。备注A.2。该性质（A.1）可以推广到随机初始数据的情况。设τ为（可能是有限的）F-停止时间，设ξ为Fτ-可测随机变量，显然我们在定律Zτ，ξt+τ=Z0，xt'x=ξ中具有等式。通过（A.1），则得出ξFτ-可测随机变量，ξ>0 P-A.s==> Zτ，ξt+τ>0 P-a.s.{τ<∞}, t型≥ 0.（A.3）引理A.3。让我∈ I、x、y∈ R++。（i） 我们有| Xx，是- Xy，是| i≤ |x个- y | eCtt型≥ 0，（A.4），其中C:=4Lb+6Lσ。（ii）对于每个λ∈ [0,1]和x，y∈ R++，定义zλ：=λx+（1- λ） y.ThenE·''Xzλ，It- λXx，It- (1 - λ） Xy，It‘’’184≤ Aλ（1- λ） | x- y | eBtλ ∈ [0,1], t型≥ 0，（A.5），其中A>0且B：=2Lb+2Lσ+~Lb.验证。（i） 我们将其公式应用于| Xx，i-Xy，I |然后-在标准本地化过程后，重新设置停止时间，以使随机积分项为鞅，并充分定义和确定所有其他期望；例如，参见命题3.2的证明-我们采用期望值。我们也使用假设2.1得到，呃| Xx，它- Xy，It | i=| x- y |+4EZt（Xx，Iu- Xy，Iu）（b（Xx，Iu）- b（Xy，Iu））du+6EZt（Xx，Iu- Xy，Iu）（σ（Xx，Iu）- σ（Xy，Iu））du≤ |x个- y |+（4Lb+6Lσ）ZtEh | Xx，Iu- Xy，Iu | idu。这一主张遵循Gronwall不等式。（ii）定义∑λ，x，y，I：=λXx，I+（1-λ） Xy，I。我们将其公式应用于过程（Xzλ，I-∑λ，x，y，I），然后-在标准本地化过程后，使用停止时间，使随机积分项为鞅，并且所有其他期望都得到了很好的定义和确定；参见示例。

命题3.2的证明-取期望值，也使用假设2.1，Eh（Xzλ，It- ∑λ，x，y，It）i=2ZtEh（Xzλ，Iu- ∑λ，x，y，Iu）b（Xzλ，Iu）- λb（Xx，Iu）- (1 - λ） b（Xy，Iu）'idu+中兴通讯·∑（Xzλ，Iu）- λσ（Xx，Iu）- (1 - λ） σ（Xy，Iu）'du≤2ZtEh | Xzλ，Iu- ∑λ，x，y，Iu |·| b（Xzλ，Iu）- b（λ∑，x，y，Iu）| idu+2ZtEh | Xzλ，Iu- ∑λ，x，y，Iu |·| b（∑λ，x，y，Iu）- λb（Xt，ξ，Iu）- (1 - λ） b（Xt，ξ，Iu）| idu+2ZtEh |σ（Xzλ，Iu）- σ（λ∑，x，y，Iu）| idu+2ZtEh |σ（λ∑，x，y，Iu）- λσ（Xx，Iu）- (1 - λ） σ（Xy，Iu）| idu≤2磅+Lσ、ZtEh | Xzλ、Iu- ∑λ，x，y，Iu | idu+2ZtEh | Xzλ，Iu- ∑λ，x，y，Iu |·| b（∑λ，x，y，Iu）- λb（Xt，ξ，Iu）- (1 - λ） b（Xt，ξ，Iu）| idu+2ZtEh |σ（λ∑，x，y，Iu）- λσ（Xx，Iu）- (1 - λ） σ（Xy，Iu）| idu。（A.6）通过进行与[72，p.188]中相同的计算，以获得[72，p.188，公式（4.22）和（4.23）]，我们得到了| b（λx+（1- λ） x）- λb（x）- (1 - λ） b（x）|≤Lbλ（1- λ） | x- x个|x、 x个∈ R++，（A.7）|σ（λx+（1- λ） x）- λσ（x）- (1 - λ） σ（x）|≤Lσλ（1- λ） | x- x个|x、 x个∈ R++，（A.8），其中▄Lb，▄Lσ如假设2.1所示。然后，通过使用（A.6）中的（A.7）和（A.8），我们得到了| Xzλ，是- ∑λ，x，y，为| i≤2磅+Lσ、ZtEh | Xzλ、Iu- ∑λ，x，y，Iu | idu+2λ（1- λ） LbZtEh | Xzλ，Iu- ∑λ，x，y，Iu |·| Xx，Iu- Xy，Iu | idu+2λ（1- λ） LσZtEh | Xx，Iu- Xy，Iu | idu。（A.9）使用不等式2λ（1- λ） ab公司≤ a+λ（1- λ） b类a、 b类∈ R、 （A.4）到（A.9），我们得到了h | Xzλ，它- ∑λ，x，y，It | i≤-2Lb+2Lσ+~LbcZtEh | Xzλ，Iu- ∑λ，x，y，Iu | idu+λ（1- λ） （￠Lb+2￠Lσ）ZtEh | Xx，Iu- Xy，Iu | idu≤-2Lb+2Lσ+~LbcZtEh | Xzλ，Iu- ∑λ，x，y，Iu | idu+（￠Lb+2Lσ）λ（1- λ） ZteCu | x- y | du≤-2Lb+2Lσ+~LbcZtEh | Xzλ，Iu- ∑λ，x，y，Iu | idu+～Lb+2～LσC（eCt- 1)λ(1 - λ） | x- y |，其中Cis是（A.4）的常数。我们以Gronwall不等式得出结论。参考文献[1]A.B.Abel和J.C.Eberly，“具有成本可逆性的最优投资”，《经济学研究评论》，第63卷，（1996），第581-593页。[2] R.A"id、S.Federico、H.Pham和B.Villeneuve，“具有建设时间和不确定性的明确投资规则”。J、 经济。发电机。《控制51》（2015），第240-256页。[3] L.H。

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