具有固定调整成本的不可逆投资：一个随机模型

然后我们可以构造一个函数序列{νn}n∈NC（R++），这样，对于每n∈ N、 ДN（x）=v（x），ДN≤ v、 νn（x）=v-（x） +v+（x），Дn（x）≥ n、 然后，Lаn（x）- f（x）→ -∞ 作为n→ ∞, 这是不可能的，因为根据命题4.5，v是（QVI）的粘度上解。因此它必须是v-（x） =v+（x）。通过x的任意性，这表明v在R++上是可微的。通过半凸性，我们推导出v∈ C（R++）（见[65，定理25.5]）。事实是v∈ C（C；R）遵循标准本地化参数：在每个间隔（a，b）中 C函数v是线性方程L u的粘度解- f=0，边界条件u（a）=v（a），u（b）=v（b）。通过L在（a，b）上的一致椭圆度（参见，例如，[36，Ch.6]），该方程允许在C（（a，b）中存在唯一解；R） ，也必须是粘度溶液。通过Dirichlet边界条件下上述线性方程粘性解的唯一性，我们得出结论，v与经典解重合，因此v∈ C（（a，b）；R） 。因为C是开放的，所以这个定理后面是（a，b）的任意性。推论4.7。对于每个x，我们有（i）v（x+ζ）=c∈ A.ζ ∈ Ξ（x）。（ii）v（x）=c，对于每x∈ A.证据证明与[43，引理5.2]中的证明相同，为了简洁起见，我们跳过它。推论4.7（i）将在下一节中用于描述最佳目标点，即连续区域中的点，当系统到达作用区域时，该点是放置系统的最佳位置。5值函数的显式表达式在本节中，我们刻画了C、A和v直到齐次ODEL=0的递减解和三个代数方程的非线性系统的解。引理5.1。A不包含任何形式为[A，∞), 大于0时。尤其是C 6=；。证据自相矛盾地假设存在a>0，这样a [a，∞).

然后，根据Emma 4.7（ii），我们得到v（x）=c（x- a） +v（a），x个≥ a、 这与命题3.2相矛盾。另一方面，我们也应该有v（x）=M v（x），x个≥ a、 所以它必须是bec（x- a） +v（a）=supi>0(c)c（x+i- a） +v（a）- ci公司- cax个≥ a、 这是不可能的，因为c>0。以下假设确保动作区域是一个间隔。假设5.2。b | R+为凹面。引理5.3。假设5.2成立。那么A是一个区间。证据由于A是闭合的，因此足以表明不存在点x，x∈ R++，x<x，这样x，x∈ A和（x，x） C通过自相矛盾的论证，我们假设这样的观点是存在的。给定x∈ （x，x），集合j：=i-（十）- x） 对于每个i>0。然后，回顾x∈ 那么v（x）>M v（x），那么x∈ 因此v（x）=M v（x），我们可以写ev（x）>M v（x）=supi>0(c)v（x+i）- ci公司- ca≥ supi>x-x(c)v（x+i）- ci公司- ca=supj>0(c)v（x+j）- cj公司- ca+c（x- x） =v（x）+c（x- x） ，则，x个∈ （x，x）。因此（x）- v（x）>c（x- x）x个∈ （x，x）。（5.1）由于命题4.2（i），我们有for some for some y>x，y∈ C，v（x）=v（y）- c（y- x）- c、 （5.2）另一方面，v≥ M v意味着v（x）≥ v（y）- c（y- x）- cx个∈ （x，y）。（5.3）结合（5.2）和（5.3）我们得到v（x）- v（x）≥ c（x- x）x个∈ （x，y）。（5.4）然后（5.1）和（5.4）表示函数Д（x）=v（x）+c（x- x） ，x∈ R++，是指ν（x）=v（x）和v-ν在x处有一个局部最小值。由于v是粘度上解to（QVI），这意味着ρv（x）- cb（x）≥ f（x）。（5.5）现在，根据（5.1），存在ξ∈ （x，x）使得v（ξ）<c.Lety：=sup(c)x∈ [x，ξ）：v（x）≥ ca。上述定义为x∈ 因此，根据推论4.7（ii），我们得到了v（x）=c。此外，根据vand的连续性，通过定义ywe havey<ξ<x，v（y）=c，v（x）<cx个∈ （y，ξ）。（5.6）因此，考虑到v在（x，ξ）中是两次可微的，因为该区间包含在C中，从（5.6）和vwe的连续性可以看出v（y）=C，v（y）≤ 0

（5.7）等式L v=f在y的经典意义上成立，因此（5.7）需要ρv（y）- cb（y）≤ f（y）。（5.8）结合（5.5）和（5.8），我们得到ρ（v（x）- v（y））- c（b（x）- b（y））≥ f（x）- f（y）。（5.9）另一方面，考虑（5.1）x=y，然后将其与（5.9）结合，我们得到ρc（x- y）- c（b（x）- b（y））>f（x）- f（y）（5.10）现在，作为x∈ A，按（5.2）我们有v（y）- c（y- x）- c=supy>x(c)v（y）- c（y- x）- ca。（5.11）函数v在y处是二次可微的∈ C，so（5.11）yieldsv（y）=C，v（y）≤ 因此，等式v（y）=f（y）产生不等式ρv（y）- cb（y）≤ f（y）。（5.12）结合（5.12）和（5.5），我们得到ρ（v（y）- v（x））- c（b（y）- b（x））≤ f（y）- f（x）。（5.13）另一方面，从（5.11）我们得到v（y）- v（x）≥ c（y- x） 。（5.14）那么，从（5.13）和（5.14）我们得到ρc（y- x）- c（b（y）- b（x））≤ f（y）- f（x）。（5.15）总之，请注意（5.10）和（5.15）与R的严格凹度不兼容++→ R、 x 7→ f（x）+cb（x）- ρcx，根据假设2.3和5.2得出。在假设5.2下，引理5.1和引理5.3提供了（i）C=R++或（ii） r、 s，0≤ r<s<∞ : C=（0，r）∪ （s），∞).（5.16）上述情况（i）对应于延续区域侵犯所有状态空间的情况，并且不便于采取行动。如果（ii）操作区域不为空，并且当系统到达该区域时，可以方便地执行操作。考虑R++上的齐次模型u=0。（5.17）根据【19，Th.16.69】，其通解的公式为：Aψ+BД，A，B∈ R、 式中，ψ、Д分别是（5.17）和（0和）的唯一严格递增和严格递减解（直到一个乘法常数）∞ 这些基本解满足以下边界条件ψ（0+）：=limx→0+ψ（x）=0，Д（0+）：=limx→0+Д（x）=+∞, 林克斯→∞ψ（x）=+∞, 林克斯→∞ν（x）=0。

（5.18）这些函数的其他属性见【19，第16.11节】。另一方面，（3.2）中定义的函数^v是具有atmost线性增长的函数类中R++对非齐次常微分方程L u=f的唯一解（参见[19，Th.16.72]：实际上，在引用的结果中，函数f需要有界，但在我们的上下文中，证明在具有最多线性增长的函数类中也有效）。因此，每个经典解tol u=f，在I上 R++，（5.19），其中I是一个开放区间，必须具有形式u=Aψ+BД+^v。因此，根据命题4.5和定理4.6，值函数v根据（5.16）的两种可能性在经典意义下求解（5.19），如果（I）在R++上必须存在实数A，B，使得v=^v+Aψ+BД；（5.20）在情况（ii）中，必须存在实数Ar，Br，As，Bs（v=^v+Arψ+BrДon（0，r），v=^v+Asψ+BsДon（s，∞).（5.21）提案5.4。假设5.2成立。根据（5.16）中的（i）和（ii）情况，我们分别得出：-如果（i）情况成立，则v≡^v，因此A=B=0 in（5.20）；-如果案例（ii）成立，则limx→∞（v（x）-^v（x））=0，As=Br=0，Ar，Bs≥ 0英寸（5.21）。证据假设情况（i）成立。当C=R++上的L v=f时，通过标准本地化程序，我们得到（例如，见命题3.2的证明）v（x）=e·Zte-ρsf（Xx，；s）ds,+Ehe-ρtv（Xx，；t）it型∈ R+。（5.22）我们通过了极限t→ ∞ 在右手边的第一个加数上使用单调收敛定理。对于第二个加数，我们使用（3.4）和（3.7）与I=；写入0≤ Ehe公司-ρtv（Xx，；t）i≤ e-ρtf*（α） ρ+αρxα ∈ （0，cρ）。然后0≤ limsupt公司→∞Ehe公司-ρtv（Xx，；t）i≤αρxα ∈ （0，cρ）。通过α的任意性，我们可以得出limt→∞Ehe公司-ρtv（Xx，；t）i=0。Hencev（x）=E·Z∞e-ρsf（Xx，s）ds,。（5.23）通过定义^v和不等式v≥^v，这证明了这一说法。现在假设情况（ii）成立。

对于每个x>s集τx：=infnt≥ 0:Xx，；t型≤ 所以像∞ 是Z0的自然边界，x=Xx，；，（A.2）我们有limx→∞P{τx≥ M} =1M>0。（5.24）如果0<x<x，则乘以（2.7），I=；我们获得P-a.s.，Xx，；t型≤ Xx，；t对于所有t≥ 0，所以我们还有τx≤ τxP-a.s。。如果{xn}n∈Nis序列发散至∞, 然后我们有了Limn→∞τxn=∞ P-a.s。。（5.25）当L v=f开启时，∞), 对于（5.22），我们得到v（xn）=E·Zτxn∧te公司-ρζf（Xxn，；ζ）dζ,+Ehe-ρ（τxn∧t） v（Xxn；t）∧τxn）it型∈ R+，n∈ N、 （5.26）因此，{τxn<t}和{τxn}上的分裂≥ t} 右侧的第二个加数，v（xn）=E·Zτxn∧te公司-ρζf（Xxn，；ζ）dζ,+Eh{τxn≥t} e类-ρtv（Xxn，；t）i+Eh{τxn<t}e-ρ（τxn∧t） v（Xxn；t）∧τxn）i≤ E·Zτxn∧te公司-ρζf（Xxn，；ζ）dζ,+Eh{τxn≥t} e类-ρtv（Xxn，；t）i+E[E-ρτxn{τxn<t}]v（s）。对于所有t≥ 现在我们通过极限t→ ∞ 通过使用与获得（5.23）相同的参数，我们得到了v（xn）≤ E·Zτxne-ρζf（Xxn，；ζ）dζ+E[E-ρτxn{τxn<∞}]五（s）。然后，^v的定义提供了v（xn）- E【E】-ρτxn{τxn<∞}]五（s）≤^v（xn）- E·{τxn<∞}Z∞τxne-ρζf（Xxn，；ζ）dζ,≤^v（xn）。使用（5.25）并回顾v≥^v，我们得出结论limn→∞（v（xn）-^v（xn））=0。因为序列{xn}n∈我们认为这是任意的→∞（v（x）-^v（x））=0。（5.27）从（5.18）和（5.27）中，我们得到As=0和Bs≥ 0.最后，由于v≥^v和v在（0，r）中是有限的，从（5.18）我们得到Ar≥ 0和Br=0。设置^v*（z） ：=supx>0^v（x）- zxa，z∈ R++。我们将引入一个假设，要求CI不要太大，同时保证作用区域不是空的，并且延续和作用区域区域的结构=（0，s）和C=（s），∞) 对于某些s>0。在这种良好的结构下，当系统位于给定阈值以下时，可以方便地执行操作，当系统位于该阈值以上时，它可以自主进化。此后，我们将此称为阈值触发边界。假设5.5。

c<^v*（c） 。以下结果提供了一种明确检查假设5.5有效性的方法。提案5.6。设f（x）≥ K xγ对于某些K>0，γ∈ （0，1），并设置K：=γKρ+γLb+γ（1-γ） Lσ。然后是^v*（c） =K1- γγcK'γγ-1.证明。让x∈ R++。通过类似于命题3.2证明的本地化过程，我们从It^o的公式中得到-ρt′Xx，；t’’γi=xγ+E·Zte-ρs·-ρXx，；scγ+γXx，；scγ-1b（Xx，；s）+γ（γ- 1） !Xx，；scγ-2σ（Xx，；s）,ds,≥ xγ+E·中兴通讯-ρs·-ρXx，；scγ- 磅（1- γ） !Xx，；scγ-Lσγ（1- γ） !Xx，；scγ,ds,。然后我们得到了他-ρt～Xx，；tcγi≥ xγe-（ρ+γLb+γ（1-γ） Lσ）t，t型∈ R+。根据这一点和对f的假设，我们得到了^v（x）≥Kρ+γLb+γ（1- γ） Lσxγ=Kγxγ，x个∈ R++。因此，^v*（c） ：=supx>0^v（x）- cxa≥ supx>0Kγxγ- cx=K1- γγcK'γγ-1.提案5.7。假设5.2和5.5成立。然后存在s>0，使得C=（s，∞)因此，A=（0，s）.证明。首先，请注意，当^v满足（3.4）时，它遵循^v*在R++上是有限的。考虑到这一点V≥^v和该^v是不减损的，我们有limx→0+v（x）≥ 林克斯→0+M v（x）≥ 林克斯→0+M^v（x）=limx→0+supi>0(c)v（x+i）- ci公司- ca≥ 林克斯→0+supi>0(c)v（i）- ci公司- ca=^v*（c）- c> 0。（5.28）现在通过矛盾假设（0，r） C，对于某些r>0。根据命题5.4，我们得到v（x）=^v（x）+Arψ（x），x∈ （0，r），对于某些Ar≥ 那么，当ψ（0+）=0时，我们必须有v（0+）=v（0+）=0。后者与（5.28）相矛盾，因此我们得出结论。根据假设5.2和5.5，由命题5.7和命题5.4建立的C和A的结构为v提供了以下结构：对于某些B=Bs≥ 0v（x）=（BД（x）+^v（x），如果x∈ （s），∞),BД（s）+^v（s）- c（s）- x） ，如果x∈ （0，s），（5.29）引理5.8。假设5.2成立。让a≥ 0并让u∈ C（（a，∞);R） 在（a，∞).如果x∈ （a），∞) 是u的局部最小点，则u（x）>0，且uin（x）没有局部最大点，∞).证据

As b，σ，f∈ C（R++；R），从ρu（x）=b（x）u（x）+σ（x）u（x）+f（x），x个∈ （a），∞), （5.30）我们获得u∈ C（（a，∞);R） ，即u∈ C（（a，∞);R） 。我们微分（5.30）得到ρu（x）=b（x）u（x）+b（x）u（x）+σ（x）u（x）+σ（x）u（x）+f（x），x个∈ （a），∞). （5.31）让x∈ （a），∞) 是u的局部最小点。然后u（x）=0和u（x）≥ 0所以，通过（5.31），我们有ρu（x）≥ b（x）u（x）+f（x）。（5.32）注意，从（5.32）中，使用假设2.3和2.4，我们得到u（x）>0。现在，通过矛盾来论证，假设x∈ （十），∞) 是u的局部最大点。然后u（x）=0和u（x）≤ 通过（5.31），我们得到ρu（x）≤ b（x）u（x）+f（x）。（5.33）在不丧失一般性的情况下，我们可以假设u（x）≤ u（x）。（5.34）将（5.32）和（5.33）结合起来，考虑到fis严格递减，我们得到（ρ- b（x））u（x）≤ f（x）<f（x）≤ (ρ - b（x））u（x）。（5.35）现在，根据假设5.2，我们有b（x）≥ b（x）。因此，u（x）>0和（5.35）产生（ρ- b（x））u（x）<（ρ- b（x））u（x）。（5.36）根据假设2.4，我们得到ρ- b（x）>0。因此，从（5.36）我们得到u（x）<u（x），与（5.34）相矛盾。回想一下，函数Д：O→ R、 若φ（λx+（1），则表示开区间为O的拟凹- λ） x）>最小值（x），Д（x）ax、 x个∈ O、，λ ∈ (0,1).严格拟凹函数可以描述为在点x的左侧严格递增、严格递减或严格递增的函数*∈ O并严格递减x的右边*.引理5.9。假设5.2成立。让a≥ 0，让u∈ C（（a，∞);R） 在（a，∞), 假设liminfx→∞u（x）≤ 0。那么ui是严格拟凹的。证据根据[9，命题3.24]，足以证明UDOE不允许任何本地最小值。自相矛盾地论证并假设x∈ （a），∞) 引理5.8的证明表明，u（x）>0。因此，由于liminfx→∞u（x）≤ 0，必须存在局部最大点x∈ （十），∞).

这与引理5.8相矛盾，我们得出结论。提案5.10。假设5.2和5.5成立。（i） 存在唯一的S∈ C=（s，∞) 使得v（S）=c.（ii）存在（唯一的）x*∈ （s，s）使得vis在（s，x）中严格增加*] 在[x]中严格递减*,∞).（iii）limx→∞v（x）=0。证据（i） 推论4.7（i）和命题4.2（i）证明了S的存在性∈ C=（s，∞) 这样v（S）=c。关于唯一性，首先观察v是否满足引理5.9的要求（用a=S替换v），其中Liminfx→∞v（x）≤ 0（5.37）保持（3.4）。那么v（s）=cby推论4.7（ii）的事实产生了唯一性。（ii）通过（5.29）我们得到v（s）=c。通过（i）以上我们得到v（s）=c，v（x）6=c，每个x∈ （s，s）。接下来是引理5.9。（iii）紧接着是von[x]的单调性*,+∞), （5.37）和提案3.1，其中规定≥ 0定理5.11。假设5.2和5.5成立。如果x，则值函数的形式为v（x）=（BД（x）+^v（x∈ （s），∞),BД（S）+^v（S）- c（S）- x）- c、 如果x∈ （0，s），（5.38）和三元组（B，s，s）是系统在R+×R++中的唯一解决方案（i） BД（s）+^v（s）=BД（s）+^v（s）- c（S）- s）- c、 （ii）BД（s）+^v（s）=c，（iii）BД（s）+^v（s）=c.（5.39）证明。考虑（5.29）。v在（s）上的表达式，∞) 在（5.38）和（5.29）中是相同的。关于v在（0，s）上的表达式，我们注意到，通过定义Ξ（s）、命题4.2、推论4.7和命题5.10（i），我们有0<s- s=argmaxi>0(c)v（s+i）- ci公司- ca。（5.40）自s∈ A，我们有v（s）=[M v]（s）；所以，从（5.40）我们得到v（s）=v（s）- c（S）- s）- c、 从中我们得到了（5.38）中v在（0，s）上的表达式。

然后（5.39）中的三个方程分别通过在s处施加v的连续性，在s处施加平滑t（作为v∈ C（R++；R）），以及命题5.10（i）定义S的条件。为了证明（5.39）在R++×R++中有唯一解，我们考虑函数h（^B，x）=^BД（x）+^v（x），（^B，x）∈ R++×R++。对于每个^B≥ 0，L h（^B，·）=0，在R++和liminfx中→∞hx（^B，x）≤ 0乘以（3.4）和（5.18）。引理5.9hx（^B，·）是严格拟凹；因此，至多存在两种解决方案^s，^s到hx（^B，·）=cinR++。如果存在这样的解，我们有h（^B，·）- c> 0开（^s∧^S，^S∨^S）。因此，如果（^B，^s，^s）∈ R+×R++求解（5.39），然后（5.39）（i）屈服强度0<c=[^B^（^S）+^v（^S）]- [^B^（^s）+^v（^s）]- cs（^S-^s）=Z^s^s（hx（^B，r）- c） dr.此力^s=^s∧^S，^S=^S∨^S，^S 6=^S。通过上面的论证，我们可以看到，如果（B，S，S）和（B，S，S）是R++×R++中（5.39）的两个不同解，我们需要S<S，S<S，和b6=B。现在，通过矛盾，假设（B，S，S）和（B，S，S）是R++（5.39）的两个不同解。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设B<B。回想一下，Д是严格递减的，我们有hx（B，·）>hx（B，·）。（5.41）后一个不等式，引理5.9和（5.39）（ii）-（iii）提供（s，s） （s，s），hx（B，·）- c> 0开（s，s）。（5.42）然后，我们可以使用（5.41）-（5.42）和（5.39）（i）写入，0=c- c=（h（B，S）- h（B，s）- c（S）- s） （）-（h（B，S）- h（B，s）- c（S）- s） ）=ZSs（hx（B，ξ）- c） dξ-ZSs（hx（B，ξ）- c） dξ≥ZSs（hx（B，ξ）- hx（B，ξ））dξ>0，这是一个矛盾。6最优控制在本节中，通过定理6.1，我们通过递归规则描述了问题的最优控制结构。在经济文献中，请参阅导言中有关相关I操作的段落开头的关于快速脉冲控制的一系列论文，以及[16]——这一规则被称为（S，S）-规则。

非正式地说，下面定理6.1中严格规定的这一规则可以描述如下：点s作为最佳触发边界：当状态变量处于s级或低于该级（即，它在动作区域A内）时，控制器动作点S用作最佳目标边界：当控制器动作时，她/他这样做是为了将状态变量置于S级∈ C.o当状态变量位于区域C中时，控制器让其自主进化，而不采取任何行动，直到退出该区域。这样的规则通过以下结构变得严格。让x∈ R++，并考虑控件i*= {（τn，in）}n≥1定义如下：τ:=如果x，则为0≤ s、 infnt公司≥ 0:Z0，xt≤ soif x>s，i：=（s- 如果τ=0，则为x（即x≤ 0），S- 如果τ>0（即x>s），则为s，然后，对于n递归≥ 1.τn+1：=τn+影响>0：Zτn，Sτn+t≤ soifτn<∞∞ otherwisein+1：=S- s、 注意，对于P-a.e.ω∈ {τn<∞}, 通过R的连续性+→ R、 t 7→ Zτn，Sτn+t（ω），由于S>S，我们有τn+1（ω）>τn（ω）。定理6.1（最优控制）。假设5.2和5.5成立。让x∈ R++并考虑控件I*= {（τn，in）}n≥1如上所述。那么我*∈ 对于从x开始的问题，它是最优的，即J（x，I*) = v（x）。证据可采性。如上所述，τn<τn+1P-a.s.{τn<∞}. 此外，对于每个n≥ 1，inis常数；因此，作为一个随机变量，它是平凡的Fτn-可测的。现在，对于固定ε>0- εS>S，确定辅助序列{τεn}n≥1按τε计算的停止时间：=如果x，则为0≤ 辛夫特≥ 0:Z0，xt- εZ0，xt+t'≤ sif x>砂τεn+1：=τεn+inft≥ 0:Zτεn，Sτεn+t- εZτεn，Sτεn+t+t'≤ 稳定部队n≥ 1、我们注意到τεnifite和τεn+1>τεnP-a.s。。此外，随机变量{τεn+1- τεn}n≥1均匀分布和τεn+1-τε与Fτεn无关。最后，它可以通过归纳atlimε进行验证→0+τεn=τnP-a.s。