具有固定调整成本的不可逆投资：一个随机模型

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英文标题：
《Irreversible investment with fixed adjustment costs: a stochastic
  impulse control approach》
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作者：
Salvatore Federico, Mauro Rosestolato, Elisa Tacconi
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider an optimal stochastic impulse control problem over an infinite time horizon motivated by a model of irreversible investment choices with fixed adjustment costs. By employing techniques of viscosity solutions and relying on semiconvexity arguments, we prove that the value function is a classical solution to the associated quasi-variational inequality. This enables us to characterize the structure of the continuation and action regions and construct an optimal control. Finally, we focus on the linear case, discussing, by a numerical analysis, the sensitivity of the solution with respect to the relevant parameters of the problem.
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中文摘要：
我们考虑一个无限时间范围内的最优随机脉冲控制问题，该问题由一个具有固定调整成本的不可逆投资选择模型驱动。利用粘性解技巧，借助半凸变元，我们证明了值函数是相关拟变分不等式的经典解。这使我们能够描述连续区域和动作区域的结构，并构造最优控制。最后，我们将重点放在线性情况下，通过数值分析讨论解对问题相关参数的敏感性。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Irreversible_investment_with_fixed_adjustment_costs:_a_stochastic_impulse_contro.pdf (488.07 KB)

2022-6-2 22:19:08 上传

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关键词：随机模型 不可逆 Mathematical IRREVERSIBLE Optimization

具有固定调整成本的不可逆投资：随机脉冲控制方法Salvatore Federico*Mauro Rosestolato+Elisa Tacconi2019年2月5日摘要我们考虑了有限时间范围内的最优随机脉冲控制问题，其动机是具有固定调整成本的不可逆投资选择模型。利用粘性解技巧，借助半凸变元，证明了值函数是相关拟变分不等式的经典解。这使我们能够描述连续区域和动作区域的结构，并构造最优控制。最后，我们关注线性情况，通过数值分析讨论了解对问题相关参数的敏感性。关键词：脉冲随机最优控制，拟变分不等式，粘性解，不可逆投资，固定成本。A、 硕士学科分类：93E20（最优随机控制）；35Q93（连接控制和优化中的PDE）；35D40（粘度溶液）；35B65（溶液的光滑性和正则性）。J、 E.L.主题分类：C61（优化技术；编程模型；动态分析）；D25（跨期企业选择：投资、能力和融资）；E22（投资；资本；无形资本；能力）。确认。作者衷心感谢副主编和两位匿名推荐人的仔细阅读和非常有价值的评论，这些评论改进了论文的最终版本。他们还感谢乔治·法拉利（GiorgioFerrari）提出了非常宝贵的意见和建议。

Mauro Rosestolato感谢锡耶纳大学政治经济学和统计系2017年3月的盛情款待，以及由基金会和Risparmio Casse Spa协会资助的资助青年调查员培训计划，以支持此次访问。他还感谢ERC 321111公司的财政支持。内容1简介2*Dip。锡耶纳大学政治与统计学院（意大利）。电子邮件：salvatore。federico@unisi.it.+法国巴黎理工学院CMAP。电子邮件：mauro。rosestolato@gmail.com.意大利米兰博科尼大学Dipartmento di Finanza。电子邮件：elisa。tacconi@unibocconi.it.2问题公式53关于值函数的初步结果74动态规划114.1延续和作用域。124.2动态规划原理和粘度解决方案。144.3值函数的规律性。155值函数的显式表达式166最优控制247线性情况下的数值说明277.1数值说明。297.1.1波动性的影响。297.1.2固定成本的影响。30A附录311简介在本文中，我们考虑一个一维随机脉冲最优控制问题，该问题建模了具有固定调整成本的不可逆投资经济问题。设X={Xt}t≥0是一个实值积极过程，代表一个经济指标（如一个国家的GDP、一个企业的生产能力等），规划师/管理者可以对其进行干预。

当不进行干预时，假设过程X根据时间均匀it^o扩散自主演化。另一方面，规划者可以通过选择一系列干预日期{τn}n，对这一过程采取行动，增加其价值≥1和干涉振幅{in}n≥1，in>0（）。因此，控制由偶序列{（τn，in）}n表示≥1： 第一个分量表示干预时间，第二个分量表示干预的大小。控制器的目标是最大化所有容许控制集上的预期总折扣收入“Z∞e-ρtf（Xt）dt-Xn公司≥1e级-ρτn（cin+c）#，其中f是一个奖励函数，c>0和c>0分别表示干预的比例成本和固定成本，ρ>0是一个贴现因子。从建模的角度来看，我们的问题是将文献中已处理的相同问题“扩展”到c>0的情况，即c=0的情况（参见，例如，[63，Ch.4，Sec.5]）。在这方面，它适用于产能扩张的经济问题，尤其是不可逆的投资问题（）。从理论上讲，引入固定控制成本是相关的，因为它导致了一个作为单一控制问题的问题（在最优控制存在的意义上）。实物期权的经济文献中表示，投资是不可逆的，只允许积极干预，即in>0。除【63，Ch.4，Sec.5】外，无固定投资成本的不可逆和可逆投资问题主要在数学经济学文献中处理，无论是在有限期还是在有限期内。我们在其他人中提到，[1、2、4、5、10、11、24、23、28、37、40、42、32、33、38、41、53、55、59、64、70]。一个适定为脉冲控制问题的问题（）。这种变化在理论层面上并非无价。

事实上，引入固定控制成本有两个令人不快的影响。首先，它破坏了目标函数的凹性，即使收益函数是凹的。其次，当用动态规划技术（正如我们所做的）来处理问题时，动态规划方程有一个非局部项，并采用拟变分不等式（QVI，下文）的形式，而在奇异控制情况下，它是一个变分不等式。相关文献。首先，值得注意的是，随机脉冲控制设置已广泛应用于多个应用领域：例如，汇率和利率[21，51，56]，交易成本投资组合优化[34，49，57]，库存和现金管理[12，20，27，30，31，44，45，58，62，67，68，71]，实物期权[47，54]，可靠性理论[7]。最近，研究了随机脉冲控制的博弈，并将其应用于污染[39]。从建模的角度来看，最接近我们的作品可以被认为是[3、6、26、35、49]。在理论方面，从经典书籍【17】开始，有几项工作研究了Rn中与随机脉冲最优控制相关的QVIs。其中，我们提到了最近在扩散环境中的[43]，以及在跳跃扩散环境中的[14，29]。特别是，[17，Ch.4]涉及到索波列夫型溶液，而[43]涉及到粘度溶液。这两个工作证明了一个W2，前性，p<∞, 对于QVI的解，通过经典的Sobolev嵌入，得到了aC正则性。然而，通常不容易通过这种规律性获得关于所谓连续区域和作用区域结构的信息，从而获得关于候选最优控制的信息。如果建立了这种结构，那么可以尝试证明一个验证定理，以证明候选最优控制实际上是最优的。

在一个程式化的一维示例中，[43，Sec.5]成功地利用了[43，Sec.4]中证明的正则性结果来描述当前问题的延续和作用区域的结构，从而使用了这种方法。关于验证，我们需要提及最近的论文【15】，该论文基于随机Perron方法，在相当普遍的情况下提供了非光滑验证，以构建QVI的粘度解；在最后一节中，本文还提供了这些结果在一维问题上的应用，并给出了一个可实现的解决方案。在维一中，基于过度映射和迭代最优停止方案的其他方法已成功应用于随机脉冲控制（见[3，6，35，46]）。最近，这些方法被扩展到了度量空间中的马尔可夫过程（见[25]）；在一维示例中再次显示了对解决方案的完整描述。捐款从方法论的角度来看，我们的工作接近于[43]。与后一种方法一样，我们采用基于粘度溶液的直接分析方法，不采用guess-and-verifyapproach（）。事实上，我们直接提供了必要的最优性条件，通过唯一性，充分描述了解决方案。特别是，我们没有像通常在猜测和验证方法中那样假设平滑原则，但我们直接证明了它（.）。据我们所知，文献中似乎仍然缺少对本文所处理的特定问题的严格分析处理。

需要注意的是，我们的分析得出了一个完整的随机脉冲控制设置，该设置已广泛应用于其他几个应用领域：例如，汇率[21，51]、交易成本投资组合优化[49，57]、库存和现金管理[27，67，68]和实物期权[47，54]。例如，参见[13、27、49、50、57]，在跳跃扩散的更一般背景下，参见[60，Ch.6]，了解猜测和验证方法。当扩散假设为瞬态时，通过基于过度函数的技术（见[66]）也建立了平滑原则。通过识别连续区域和作用区域，可实现对最优控制策略的表征。由于上述基于过度映射的技术非常适合我们的问题（即使在较弱的假设下），因此值得指出的是，我们的贡献是方法论的。众所周知，在随机脉冲控制问题中，最优控制的（可实现的）表征是一项具有挑战性的任务。因此，手头有一种像我们这样的方法是很重要的，这种方法可以推广到多维环境中解决脉冲控制问题。在这方面，值得注意的是：据我们所知，唯一一项通过二维（S，S）规则提供二维解决方案完整图片的研究是最近的论文【16】。那里使用的技术是分析性的，并基于对QVI的研究。

不幸的是，在本文中，作者只能在非常特殊的情况下提供完整的解决方案在存在半凸数据的情况下，我们基于半凸性和粘性性质证明值函数的Cregularity的方法，与[43]不同，可能成功地证明了沿非退化方向的方向正则性结果（在奇异控制上下文中参见[37]）上述方向正则性结果可能足以推导出正确的最优性条件来解决控制问题（在单一控制上下文中再次参见[37]）。目录在第2节中，我们设置了问题。在第三节中，我们陈述了关于值函数v的一些初步结果，特别是我们证明了它是半凸的。在第4节中，我们推导了与v相关的qvia，并表明它在粘度意义上解决了后者。然后，我们证明V在延拓区域（QVI的微分部分保持相等的区域，见下文）中属于类Cin，在整个状态空间中属于类Con（定理4.6，我们的第一个主要结果），从而证明了光滑fit原理。我们证明了后一个结果，仅依赖于v的微凸性，并揭示了粘性上解的性质；与[43]不同，这允许我们避免使用深入的理论结果，如Calderon-Zygmund估计。因此，对于上述参考，从理论角度来看，我们的证明方法更便宜；另一方面，它在很大程度上依赖于保证v的半凸性的假设。在第5节中，我们使用后一种正则性来建立连续区域和作用区域的结构，这是问题的真正未知部分，表明它们都是区间。这使得我们可以显式地将v表示为三变量非线性代数系统的解（Theorem5.11，我们的第二个主要结果）。

在第6节中，根据前一节的结果，我们可以构建一个最优控制策略（定理6.1，我们的第三个主要结果）。后者基于所谓的（S，S）-规则（）：每当状态进程达到最低级别S（“触发器”边界）时，控制器就会动作，并立即将系统置于级别S>S（“目标”边界）上。最后，在第7节中，我们提供了一个数值例子，说明了当X在两个时间间隔之间遵循几何布朗运动动力学时的解，分析了解对波动系数σ和to以及固定成本c的敏感性。这是库存问题经济学文献中的一条众所周知的规则，请参见[8、67、68]。2问题公式我们介绍一些符号。我们设置+：=[0+∞), R+：=[0+∞], R++：=（0+∞).集合R++将是我们控制问题的状态空间。在本文中，我们采用了约定e-∞= 0和inf；=∞. 此外，我们只使用符号∞ 代替+∞ 当涉及正数且不会产生混淆时。最后，符号n将始终表示一个自然数。让(Ohm,F，{Ft}t≥0，P）是一个满足通常条件并支持一维布朗运动W={Wt}t的过滤概率空间≥我们表示F：={Ft}t∈R+，其中我们设置f∞:=_t型∈R+Ft。取b，σ：R→ R满足以下假设2.1。b、 σ：R→ R是Lipschitz连续函数，Lipschitz常数Lb和Lσ分别等于0(-∞, 0），且R++上σ>0。此外，b，σ∈ C（R+）和b，σ在R++上是Lipschitz连续的，Lipschitz常数分别为Lb和Lσ>0。备注2.2。当人们想要改善随机最优控制问题中值函数的半凸性/半凹性时，b，σ是Lipschitz连续的要求是典型的（参见经典参考文献[72，Ch.4，Sec。

4.2]在常规随机控制的情况下；[14] 在脉冲控制方面）。我们使用这个假设，因为正如引言中所述，在我们的方法中，值函数的半凸性的证明将是证明Cregularity的关键一步。设τ为（可能不确定）F-停止时间，ξ为Fτ-可测随机变量。根据标准SDE的Lipschitz系数理论，假设2.1保证存在唯一（不可区分）的F适应过程Zτ，ξ={Zτ，ξt}t≥0在[τ]上有连续轨迹，∞), 使得zτ，ξt=t为0∈ [0，τ）ξ+Ztτb（Zτ，ξs）ds+Ztτσ（Zτ，ξs）dWsP-a.s.，对于t≥ τ.（2.1）此外，通过将[48，Sec.5.2，Prop.2.18]直接改编为随机初始数据，我们得到ξ，ηFτ-可测量的随机变量，ξ≤ ηP-a.s==> Zτ，ξt+τ≤ Zτ，ηt+τP-a.s。，t型≥ 0。（2.2）现在x x x∈ R++。根据（2.2）和假设2.1，Z0，x取R+中的值。由于R++上σ的非退化假设，作为[48，Sec.5.5.C]结果的结果，过程Z0，xis a（时间均匀）在R++上的正则扩散；i、 e.设置τx，y：=输入≥ 0:Z0，xt=yo，一个搭扣{τx，y<∞} > 0y∈ R++。在附录中，我们表明假设2.1保证边界0和+∞ 对于Z0，xin是自然的，这是Feller分类的意义。我们现在介绍一组容许控制及其相应的控制过程。作为一组可容许的控制（即可行的投资策略），我们考虑偶的所有序列的集合i={（τn，in）}n≥因此：（i）{τn}n≥1是R+-值F-停止时间的递增序列，使得τn<τn+1P-a.s.在集合{τn<∞} 安德林→∞τn=∞ P-a.s。；（2.3）（ii）{in}n≥1是一个R++值随机变量序列，使得inis Fτn可测≥ 1.（iii）以下可积条件成立：Xn≥1E英镑-ρτn（in+1）·<∞.