粗糙波动率模型的多因子逼近

然后，存在唯一的强非负解Vn=（Vnt）t≤t每个n的随机Volterra方程（3.5）≥ 1、由于（3.2）的唯一性，我们根据n个状态变量（Vn，i）1得到Vn是一个马尔可夫过程≤我≤n我们称之为Vn的因子。此外，由于VN非负，它可以模拟方差过程。这导致了对多因素随机波动率模型的以下定义。定义3.2。（多因素随机波动率模型）。我们定义了以下多因素随机波动率模型序列（Sn，Vn）=（Snt，Vnt）t≤Tas唯一的R×R+值强解ofdSnt=SntpVntdWt，Vnt=gn（t）+nXi=1cniVn，it，with dvn，it=(-γniVn，it- λVnt）dt+σ（Vnt）dBt，Vn，i=0，Sn=S>0，在滤波概率空间上(Ohm, F、 P，F），其中F是二维布朗运动的正则滤波（W，W⊥) B=ρW+p1- ρW⊥带ρ∈ [-1, 1]. 此处，权重（cni）1≤我≤nand平均回复（γni）1≤我≤nare正，σ：R 7→ R是η-H–σ（0）=0，η∈ [1/2，1]和（3.3）给出的GNI，即GN（t）=V+ZtKn（t- s） θ（s）ds，具有非负初始方差V、如（3.4）所定义的核KND和非负终止函数θ：[0，T]7→ R满足（2.1）。注意，（Sn，Vn）的强存在性和唯一性来自定理3.1。该模型是具有n+1状态变量的马尔可夫模型，这些状态变量是现货价格n和方差过程的因子Vn，ifor i∈ {1，…，n}。3.2分数核的近似依赖于（3.5），我们可以将过程Vn视为V的近似，解（1.2），通过平滑分数核K（t）=tH-Γ（H+1/2）为Kn（t）=Pni=1cnie-γ硝基。直观地说，当n变为in-finity时，我们需要选择Knclose到K，所以（Vn）n≥1接近V。受[5]的启发，我们在本节中给出了权重（cni）1的条件≤我≤nand均值回归项0<γn<。。。

<γnn以便以下收敛kkn- Kk2，T→ 0，当n进入单位时保持不变，其中k·k2是通常的L（[0，T]，R）范数。Let（ηni）0≤我≤nbe辅助平均值回归项，使得ηn=0和ηni-1.≤ γni≤ ηnifor i∈ {1，…，n}。将K写成（1.3）中u的拉普拉斯变换，我们得到了thatkKn- Kk2，T≤Z∞ηnnke-γ（·）k2，Tu（dγ）+nXi=1Jni，其中Jni=kcnie-γni（·）-Rηniηni-1e级-γ（·）u（dγ）k2，T。我们首先处理第一项Z∞ηnnke-γ（·）k2，Tu（dγ）=Z∞ηnns1- e-2γT2γu（dγ）≤HΓ（H+1/2）Γ（1/2- H）√（ηnn）-H、 此外，通过选择Cni=Zηniηni-1u（dγ），γni=cniZηniηni-1γu（dγ），i∈ {1，…，n}，（3.6）并使用二阶泰勒-拉格朗日不等式，我们得到cnie公司-γnit-Zηniηni-1e级-γtu（dγ）≤tZηniηni-1(γ - γni）u（dγ），t∈ [0，T]。（3.7）因此，nXi=1Jni≤T5/2√nXi=1Zηniηni-1（γni- γ） u（dγ）。这导致以下不平等kkn- Kk2，T≤ f（2）n（ηi）0≤我≤n,式中，f（2）是由f（2）n（（ηni）1）定义的辅助平均回归的函数≤我≤n） =T√nXi=1Zηniηni-1(γ -γni）u（dγ）+HΓ（H+1/2）Γ（1/2- H）√（ηnn）-H、 （3.8）因此，我们在以下权重和均值回复选择下，得到了分数核的收敛性。假设3.1。我们假设权重和平均回归由（3.6）给出，例如ηn=0<ηn<…<ηnn和ηnn→ ∞,nXi=1Zηniηni-1（γni- γ） u（dγ）→ 0，（3.9），因为n等于单位。提案3.3。固定（cni）1≤我≤nand（γni）1≤我≤假设3.1中的nas和Kngiven by（3.4），对于所有n≥ 1、然后，（Kn）n≥1在L[0，T]中收敛到分数核K（T）=tH-1/2Γ（H+）asn进入单位。存在多种辅助因素选择，以满足条件（3.9）。例如，假设每个i的ηni=iπ∈ {0，…，n}使得πn>0。它由nxi=1Zηniηni得出-1(γ - γi）u（dγ）≤ πnZηnnu（dγ）=（1/2- H） Γ（H+1/2）Γ（1/2- H） π-Hnn公司-H、 ηnn=nπn满足（3.9）→ ∞, π-Hnn公司-H→ 0，因为n趋于完整。

在这种情况下，kKn- Kk2，T≤HΓ（H+1/2）Γ（1/2- H）√（ηnn）-H+HT√10(1/2 - H） πn（ηnn）-H对于πn=n，这个上界是最小的-T√10(1 - 2H）5- 2小时, （3.10）和KKN- Kk2，T≤ 中国-4H，其中chi是一个可以显式计算的正常数，它只取决于Hurst参数H∈ (0, 1/2).备注3.4。注意，命题3.3中的核近似可以很容易地扩展到形式k（t）=Z的任何核∞e-γtu（dγ），其中u是非负度量，因此z∞(1 ∧ γ-1/2）u（dγ）<∞.3.3收敛结果我们现在假设多因素随机波动性模型（Sn，Vn）的权重和均值回归满足假设3.1。由于命题3.3，对于大n，平滑核Knis接近分数核。因为Vn满足随机Volterra方程（3.5），Vn必须接近V，因此通过传递到极限，（Sn，Vn）n≥1当n变大时，应收敛到定义2.1的粗糙波动率模型（S，V）。这是下一个定理的目标，这是本文的主要结果。定理3.5。Let（Sn，Vn）n≥1根据定义3.2建立的一系列多因素随机波动率模型。然后，在假设3.1下，族（Sn，Vn）n≥1对于统一拓扑结构而言是严格的，任何点限制（S，V）都是定义2.1给出的粗糙波动率模型。定理3.5说明了（Sn，Vn）n定律的收敛性≥当分数随机积分方程（1.2）允许唯一的弱解时。

为了证明定理3.5（见下文第5.2节），在下一小节中建立了d维随机Volterra方程更一般的稳定性结果。3.4随机Volterra方程的稳定性如上所述，定理3.5依赖于研究更一般的二维随机Volterra方程的稳定性，其形式为xt=g（t）+ZtK（t- s） b（Xs）ds+ZtK（t- s） σ（Xs）dWs，t∈ [0，T]，（3.11），其中b:Rd→ Rd，σ：Rd→ Rd×mare连续且满足线性增长条件，K∈ L（[0，T]，Rd×d）允许第一类预解L，见附录a.2，W是某个过滤概率空间上的m维布朗运动(Ohm, F、 F，P）。摘自附录中的命题B.1，g:[0，T]7→ RDK和K∈ L（[0，T]，Rd×d）应满足消耗B.1，即| g（T+h）- g（t）|+Zh | K（s）| ds+ZT-h | K（h+s）- K（s）| ds≤ Ch2γ，（3.12）对于任何t，h≥ 0带t+h≤ 对于某些正常数C和γ，保证（3.11）的连续解X的弱存在性。更准确地说，我们考虑序列Xn=（Xnt）t≤核为Kn的tochastic-Volterra方程（3.11）的连续弱解∈ L（[0，T]，Rd×d）在某些过滤概率空间上，允许第一类解(Ohmn、 Fn，Fn，Pn），Xnt=gn（t）+ZtKn（t- s） b（Xns）ds+ZtKn（t- s） σ（Xns）dWns，t∈ [0，T]，带gn:[0，T]7→ Rd和KN每n满足（3.12）≥ （3.11）的稳定性意味着解族（Xn）n定律的收敛性≥1当n变大时，（Kn，gn）接近（K，g），极限过程X为（3.11）的解。通过验证序列（Xn）n的Kolmogorov紧度准则，建立了这种收敛性≥1、当n中的gnand和Knsatisfy（3.12）在以下意义上一致时，得到。假设3.2。

存在正常数γ和C，因此SUPN≥1.|gn（t+h）- gn（t）|+Zh | Kn（s）| ds+ZT-h | Kn（h+s）- Kn（s）| ds≤ Ch2γ，对于任何t，h≥ 0带t+h≤ T，以下结果（其证明推迟到下面的第5.1节）说明了（Xn）n的收敛性≥1至（3.11）的解决方案。定理3.6。假设zt | K（s）- Kn（s）| ds-→ 0，gn（t）-→ g（t），对于任何t∈ [0，T]当n变为单位时。然后，在假设3.2下，序列（Xn）n≥1对于均匀拓扑是紧的，任何点极限X都是随机Volterra方程（3.11）的解。4粗糙赫斯顿模型的特例[11,13]中介绍的粗糙赫斯顿模型是定义2.1的粗糙波动率模型的特例，σ（x）=ν√x对于某些正参数ν，isdSt=StpVtdWt，S>0，Vt=g（t）+ZtK（t- s）-λVsds+νpVsdBs,式中，K（t）=tH-Γ（H+1/2）表示分数核，g由（3.1）给出。除了准确再现历史波动率和隐含波动率外，rough Heston模型还根据分数Riccati方程的解显示了对数价格特征函数的闭合公式，允许快速定价和校准，见【10】。更准确地说，如[1，11，13]所示，l（t，z）=E经验值z日志（St/S）由EXP给定ZtF（z，ψ（t- s、 z）g（s）ds, （4.1）其中ψ（·，z）是分数Riccati方程ψ（t，z）=ZtK（t）的唯一连续解- s） F（z，ψ（s，z））ds，t∈ [0，T]，（4.2），F（z，x）=（z- z） +（ρνz- λ） x+νx和z∈ C使<（z）∈ [0, 1]. 与经典情况不同，H=1/2，（4.2）没有显式解。然而，例如，它可以通过[7、8、9、11]中开发的Adam方案进行数值求解。在本节中，我们展示了应用于粗糙Heston模型的多因子近似产生了另一种自然的数值格式，用于求解分数Riccati方程。

此外，我们还将证明该格式在有显式误差的情况下的收敛性。4.1分数Riccati方程的多因素方案我们考虑定义3.2的多因素近似（Sn，Vn），σ（x）=ν√x、 其中，因子n的数量较大，即isdSnt=SntpVntdWt，Vnt=gn（t）+nXi=1cniVn，it，with dvn，it=(-γniVn，it- λVnt）dt+νpVntdBt，Vn，i=0，Sn=S。回想一下（3.3）给出的GNI，当n变大时，它逐点收敛到g，见引理5.1。我们将（Sn，Vn）的动力学写成Volterra-Heston模型，其中平滑的kernel-Kngiven由（3.4）得到，如下所示：dsnt=SntpVntdWt，Vnt=gn（t）-ZtKn（t- s） λVnsds+ZtKn（t- s） νpVnsdBs。在[1，2]中，对数价格（4.1）的特征函数公式被推广到Volterra-Heston模型的一般类。特别地，Ln（t，z）=E经验值z日志（Snt/S）由EXP给定ZtF（z，ψn（t- s、 z）gn（s）ds, （4.3）其中ψn（·，z）是Riccati-Volterra方程ψn（t，z）=ZtKn（t）的唯一连续解- s） F（z，ψn（s，z））ds，t∈ [0，T]，（4.4）对于每个z∈ C<（z）∈ [0, 1].由于在几篇著作[1，2，22]中建立的粗糙赫斯顿模型的弱唯一性，以及定理3.5，（Sn，Vn）n≥1当n趋于完整时，一致拓扑的定律收敛到（S，V）。特别地，Ln（t，z）逐点收敛到L（t，z）。因此，我们期望ψn（·，z）接近分数Riccati方程（4.2）的解。这是下一个定理的主题，其证明报告在下面的第5.3节。定理4.1。存在一个正常数C，对于任何a∈ [0，1]，b∈ R和N≥ 1，支持∈[0，T]|ψn（T，a+ib）- ψ（t，a+ib）|≤ C（1+b）ZT | Kn（s）- K（s）| ds，其中ψ（·，a+ib）（分别ψn（·，a+ib））表示RiccatiVolterra方程（4.2）（分别为。

(4.4)).依赖（Kn）n的L-收敛≥1到K在假设3.1下，见命题3.3，我们有（ψn（·z））n的一致收敛性≥[0，T]上的1至ψ（·，z）。因此，定理4.1为分数Riccati解（4.2）的计算提出了一种新的数值方法，其中给出了显式误差。实际上，setψn，i（t，z）=Zte-γni（t-s） F（z，ψn（s，z））ds，i∈ {1，…，n}。那么，ψn（t，z）=nXi=1cniψn，i（t，z），和（ψn，i（·，z））1≤我≤求解以下n维普通Riccati方程组tψn，i（t，z）=-γniψn，i（t，z）+F（z，ψn（t，z）），ψn，i（0，z）=0，i∈ {1，…，n}。（4.5）因此，（4.5）可以通过通常的有限差分方法进行数值求解，从而得到ψn（·，z）作为分数Riccati解的近似值。4.2数值说明在本节中，我们考虑具有以下参数λ=0.3，ρ=-0.7，ν=0.3，H=0.1，V=0.02，θ≡ 0.02.讨论了多因子近似序列（Sn，Vn）n的精度≥1as与相应的Riccati-Volterra解（ψn（·，z））n一样好≥1，对于不同的权重选择（cni）1≤我≤nand平均回复（γni）1≤我≤n、 这是通过对特征函数公式（4.3）进行傅里叶逆变换，对不同数量的因子n、到期日T和对数货币度k的隐含波动率σn（k，T）进行首次计算来实现的，例如，参见[6，20]。第二步，我们将σn（k，T）与粗糙赫斯顿模型的隐含波动率σ（k，T）进行比较。我们还比较了Riccati-Volterra解ψn（T，z）与分数解ψ（T，z）。请注意，Riccati-Volterra解ψn（·，z）是通过使用经典有限差分格式数值求解一维Riccati方程（4.5）来计算的。该方案的复杂性为O（n×nt） ，其中n这是用于该格式的时间步数，而用于计算ψ（·，z）的Adam格式的复杂性为O（nt） 。

在以下数字插图中，我们t=200。为了保证收敛性，权重和均值回归必须满足假设3.1，尤其是就辅助均值回归（ηni）0而言，其形式应为（3.6）≤我≤不满意（3.9）。例如，可以fixηni=iπn，i∈ {0，…，n}，（4.6），其中π由（3.10）定义，如之前第3.2节所述。对于这个特定的选择，图1显示了相对误差的减少ψn（T，ib）-ψ（T，ib）ψ（T，ib）b的不同值接近零。图1：相对误差ψn（T，ib）-ψ（T，ib）ψ（T，ib）作为（4.6）下b的函数，以及T=1的不同数量的因子n。我们还在下面的图2中观察到，对于许多因子n，多因子近似的隐含波动率σn（k，T）接近σ（k，T）≥ 20、请注意，围绕金钱的近似值更准确。图2：隐含波动率σn（k，T）作为（4.6）下对数货币度k的函数，以及T=1的不同数量的因子n。为了获得更精确的收敛性，我们可以最小化上界f（2）n（（ηni）0≤我≤n） kKn的-Kk2，Tde定义于（3.8）。因此，我们选择（ηni）0≤我≤成为约束最小化问题的解inf（ηni）i∈Enf（2）n（（ηni）0≤我≤n） ，（4.7），其中En={（ηni）0≤我≤n0=ηn<ηn<…<ηnn}。图3：相对误差ψn（T，ib）-ψ（T，ib）ψ（T，ib）作为（4.7）下b的函数，以及T=1的不同数量的因子n。我们从图3中注意到，相对误差|ψn（T，ib）-ψ（T，ib）ψ（T，ib）|在因子选择（4.7）下较小。事实上，Volterra近似ψn（T，ib）现在更接近分馏liccati解ψ（T，ib），尤其是对于少量因子。然而，当n较大时，近似的精度似乎接近（4.6）下的精度。

例如，当nn=500时，在（4.6）和（4.7）下的相对误差都在1%左右。图4：隐含波动率σn（k，T）作为（4.7）下对数货币度k的函数，以及T=1的不同数量的因子n。同样，我们在图4中观察到，隐含波动率近似值σn（k，T）的准确性在（4.7）下更令人满意，尤其是对于少数因素。定理4.1指出ψn（·，z）的收敛实际上取决于Kn和K之间的L（[0，T]，R）-误差。与第3.2节的计算类似，我们可以证明，ZT | Kn（s）- K（s）| ds≤ f（1）n（（ηni）0≤我≤n） ，式中f（1）n（（ηni）0≤我≤n） =TnXi=1Zηniηni-1(γ - γni）u（dγ）+Γ（H+3/2）Γ（1/2- H） （ηnn）-H-.这导致选择（ηni）0≤我≤约束极小化问题的一种解法inf（ηni）i∈Enf（1）n（（ηni）0≤我≤n） 。（4.8）很容易证明此类辅助均值回归（ηni）0≤我≤nsatisfy（3.9），因此满足假设3.1。图5：相对误差ψn（T，ib）-ψ（T，ib）ψ（T，ib）作为（4.8）下b的函数，以及T=1的不同数量的因子n。图6：隐含波动率σn（k，T）作为（4.8）下对数货币度k的函数，以及T=1的不同数量的因子n。图5和图6显示了与图3和图4中对应的因子选择（4.7）类似的结果。事实上，我们在实践中注意到，最小化问题（4.7）的解与（4.8）中的解非常接近。4.3买入价格误差的上限使用傅立叶变换方法，我们还可以提供买入价格Cn（k，T）=E[（SnT）之间的误差- 瑞典克朗）+]在多因素模型中，同一CALL的价格c（k，T）=E[（ST- 瑞典克朗）+]在粗略的赫斯顿模型中。

然而，出于技术原因，该界限是为了修正多因素近似值（Sn，Vn）n而获得的≥1定义3.2，其中（3.3）最初给出的函数GN更新为GN（t）=ZtKn（t- s）Vs公司-H-Γ(1/2 - H） +θ（s）ds，（4.9），其中Knis分数核的平滑近似值（3.4）。注意，Vnis的强存在性和唯一性仍然直接来自命题B.3，其非负性来自定理B.4以及附录中的备注B.5和B.6。尽管GN满足（4.9），（Vn）n≥1可以不紧，对应的现货价格（Sn）n≥1如以下建议所示。提案4.2。Let（Sn，Vn）n≥1是定义3.2中的多因素赫斯顿模型序列，σ（x）=ν√x和GN由（4.9）给出。然后，在假设3.1下，（Sn，R·Vnsds）n≥1统一拓扑的定律收敛于（S，R·Vsds），其中（S，V）是定义2.1中的粗糙Heston模型，σ（x）=ν√x、 请注意，特征函数（4.3）仍然有效。利用定理4.1和aFourier变换方法，我们得到了看涨期权价格的一个显式误差。我们参考下面第5.5节的证明。注意，定理B.4在这里用于平滑核Kn，B（x）=-λx和GN由（4.9）定义。事实上，Vn=0，而Vm可能为正。提案4.3。设C（k，T）为到期日T>0且对数货币性k的粗糙Heston模型中的看涨期权价格∈ R、 我们用Cn（k，T）表示定义3.2的多因素Heston模型中的看涨期权价格，因此国民总收入由（4.9）给出。如果|ρ|<1，则存在一个正常数c>0，使得| c（k，T）- Cn（k，T）|≤ 捷克克朗（s）- Kn（s）| ds，n≥ 1.5证明在本节中，我们使用卷积符号和附录A的预解定义。我们用c表示任何与变量t、h和nand无关的正常数，这些变量可能因行而异。