粗糙波动率模型的多因子逼近

对于任何h∈ R、 我们将使用符号hto表示右移位的半群算子，定义如下高频：t 7→ 对于任何函数f，我们首先证明定理3.6，它是定理3.5的组成部分。然后，我们转向第4节中包含的结果的顶部，这些结果涉及到Rougheston模型的特殊情况。5.1定理3.6（Xn）n的权重的证明≥1： 我们首先表明，对于任何p≥ 2，supn≥1中断≤TE[| Xnt | p]<∞. （5.1）由于提案B.1，我们已经有了SUPT≤TE[| Xnt | p]<∞. （5.2）利用（b，σ）和（5.2）的线性增长以及Jensen和BDG不等式，我们得到[| Xnt | p]≤ csupt公司≤T | gn（T）| p+ZT | Kn（s）| dsp-1Zt | Kn（t- s） |（1+E[| Xns | p]）ds）！。根据假设3.2和（gn（0），RT | Kn（s）| ds）n的收敛性≥1，支持≤T | gn（T）| pandRT | Kn（s）| ds在n中一致有界。这导致脚趾[| Xnt | p]≤ c1+Zt | Kn（t- s） | E[| Xns | p]ds）.通过附录引理A.4中的Gr¨onwall型不等式，我们推导出E[| Xnt | p]≤ c1+ZtEnc（s）ds）≤ c1+ZTEnc（s）ds）,其中Enc∈ L（[0，T]，R）是| Kn |与参数c的正则预解式，在附录A.3中定义，最后一个不等式来自于R·Enc（s）ds不随推论c.2递减的事实。L（[0，T]，R）中| Kn |到| K |的收敛意味着Enc到| K |的正则预解式的收敛，参数c在L（[0，T]，R）中，参见[16，定理2.3.1]。因此，RTEnc（s）ds在n上一致有界，从而得到（5.1）。我们现在证明（Xn）n≥1显示Kolmogorov紧密性标准。事实上，利用（b，σ）和（5.1）的线性增长以及Jensen和BDG不等式，我们得到，对于任何p≥ 2和t，h≥ 0，使t+h≤ T，E[| Xnt+h-Xnt | p]≤ c|gn（t+h）-gn（t）| p+ZT公司-h | Kn（h+s）-Kn（s）| dsp/2+Zh | Kn（s）| dsp/2.因此，假设3.2导致toE[| Xnt+h- Xnt | p]≤ chpγ，因此达到（Xn）n的紧密度≥1用于统一拓扑。（Xn）n的收敛性≥1： 设Mnt=Rtσ（Xns）dWns。

当hMnit=Rtσ*（Xns）ds，（hMni）n≥1是紧的，因此我们得到（Mn）n的紧度≥1根据【18，定理VI-4.13】。设（X，M）=（Xt，Mt）t≤Tbe（Xn，Mn）n的可能极限点≥1、由于[18，TheoremVI-6.26]，M是一个局部鞅，且必要的极限为Ztσσ*（Xs）ds，t∈ [0，T]。此外，设置Ynt=Rtb（Xns）ds+Mnt，附录中的Associativity属性（A.1）产生（L* Xn）t=（L* gn）（t）+L*（千牛- K）*dYn公司t+Ynt，（5.3），其中L是附录A.2中定义的第一类K的解算式。利用Skorokhodrepresentation定理，构造了一个支持（Xn，Mn）n拷贝序列的概率空间≥1几乎可以肯定的是，当n进入单位时，它沿子序列一致收敛于[0，T]到（X，M）的副本。我们对这些副本保持相同的标记。因此，我们有SUPT∈[0，T]| Xnt- Xt |→ 0，支持∈[0，T]| Mnt- Mt |→ 0，几乎可以肯定，因为n等于单位。依赖于b的连续性和线性增长性以及支配收敛定理，对于任何t∈ [0，T]（L* Xn）t→ （L）* 十） t，Ztb（Xns）ds→Ztb（Xs）ds，几乎可以肯定的是，n到单位。此外，对于每个t∈ [0，T]（L* gn）（t）→ （L）* g） （t）的一致有界性和支配收敛定理。最后是Jensen不等式，E[|（L* （（Kn- K）*dYn））t |]≤ c支持≤TE[|（（Kn- K）*dYn）t |]。根据（5.1）和（b，σ）的线性增长，我们推导出≤TE[|（（Kn- K）*dYn）t |]≤ cZT | Kn（s）- K（s）| ds，当n较大时，其变为零。因此，我们将n发送到（5.3）中的单位，并获得以下几乎可以肯定的等式，对于每个t∈ [0，T]，（L* 十） t=（L* g） （t）+Ztb（Xs）ds+Mt.（5.4）还记得hMi=R·∑σ*（Xs）ds。

因此，根据[23，定理V-3.9]，存在一个多维布朗运动W，使得mt=Ztσ（Xs）dWs，t∈ [0，T]。（5.4）中的过程是连续的，我们几乎可以肯定地推断，（L* 十） t=（L* g） （t）+Ztb（Xs）ds+Ztσ（Xs）dWs，t∈ [0，T]。我们用K进行卷积，并使用附录中的缔合性属性（A.1），几乎可以肯定地得到，ZtXsds=Ztg（s）ds+ZtZsK（s）- u） （b（Xu）du+σ（Xu）dWu）ds，t∈ [0，T]。最后，很容易看出上述过程是可微分的，我们得出结论，X是随机Volterra方程（3.11）的解，通过取导数。5.2定理3.5的证明一旦证明（Vn）n的紧性，就很容易得到定理3.5≥1对于均匀拓扑，任何极限点V都是分数阶随机积分方程（1.2）的解。这是定理3.6的直接结果，通过将d=m=1，g和gn分别设置为（3.1）和（3.3），b（x）=-λx，K为分数核，Kn（t）=Pni=1cnie-γNitts平滑近似。假设3.1，（Kn）n≥1在L（[0，T]，R）中收敛到分数核，见命题3.3。因此，留下来显示（gn）n的逐点收敛≥[0，T]上的1至g和（Kn，gn）n≥1满意度假设3.2。引理5.1（gn的收敛）。定义：[0，T]7→ R和g：[0，T]7→ R分别为（3.1）和（3.3），θ：[0，T]7→ R满意度（2.1）。在假设（3.1）下，我们有∈ [0，T]gn（T）→ g（t），因为n趋于完整。证据由于θ满足度（2.1），足以表明对于每个t∈ [0，T]Zt（T- s）--ε| Kn（s）- 当n变大时，K（s）| ds（5.5）收敛到零，对于某些ε>0和Kngiven by（3.4）。使用K的表示作为（1.3）中u的拉普拉斯变换，我们得到（5.5）由zt（t）限定- s）--εZ∞ηnne-γsu（dγ）ds+nXi=1Zt（t- s）--ε| cnie-γnis-Zηniηni-1e级-γsu（dγ）| ds。

（5.6）（5.6）中的第一项根据主导收敛理论收敛到零，因为ηnn趋于完整，见假设3.1。使用泰勒-拉格朗日不等式（3.7），第二项（5.6）由zt（t）控制- s）--εsdsnXi=1Zηniηni-1(γ - γni）u（dγ），由于假设3.1，该值变为零。引理5.2（KN满足假设3.2）。在假设3.1下，存在C>0，对于任何t，h≥ 0带t+h≤ T、supn≥1.ZT公司-h | Kn（h+s）- Kn（s）| ds+Zh | Kn（s）| ds≤ Ch2H，其中定义为（3.4）。证据我们首先证明对于任何t，h≥ 0带t+h≤ TZh | Kn（s）| ds≤ ch2H。（5.7）事实上，我们知道当K（t）=tH-Γ（H+1/2）。这样就足够了- Kk2，h≤ chH，其中k·k2，hs代表通常的L（[0，h]，R）范数。根据（1.3）给出的K的拉普拉斯变换表示，我们得到了kkn- Kk2，h≤Z∞ηnnke-γ（·）k2，hu（dγ）+nXi=1Jni，h，其中Jni，h=kcnie-γni（·）-Rηniηni-1e级-γ（·）u（dγ）k2，h。我们首先界定第一项Z∞ηnnke-γ（·）k2，hu（dγ）≤Z∞s1级- e-2γh2γu（dγ）=hHΓ（H+1/2）Γ（1/2- H）√Z∞s1级- e-2γγγ-H-dγ。如第3.2节所述，我们使用泰勒-拉格朗日不等式（3.7）得出nxi=1Jni，h≤√hnXi=1Zηniηni-1(γ - γni）u（dγ）。使用的有界性Pni=1Rηniηni-1(γ - γni）u（dγ）n≥1根据假设3.1，我们推断（5.7）。我们现在证明-h | Kn（h+s）- Kn（s）| ds≤ ch2H。（5.8）同样地，展示(港币- 香港）- （千牛- K） k2，T-h类≤ chH，与前面的计算类似，我们得到(港币- 香港）- （千牛- K） k2，T-h类≤Z∞ηnnke-γ(·)- e-γ（h+·）k2，T-hu（dγ）+nXi=1eJni，h，带ejni，h=kcni（e-γni（·）- e-γni（h+·））-Rηniηni-1（e）-γ(·)- e-γ（h+·））u（dγ）k2，T-h、 注意，Z∞ηnnke-γ(·)- e-γ（h+·）k2，T-hu（dγ）=Z∞ηnn（1- e-γh）s1- e-2γ（T-h） 2γu（dγ）≤ cZ公司∞(1 - e-γh）γ-H-1dγ≤ chH公司。此外，fix h，t>0，setχ（γ）=e-γt- e-γ（t+h）。二阶导数读数χ（γ）=htγe-γt1- e-γhγh- 他-γ（t+h）- 2te-γ（t+h）, γ > 0.

（5.9）因为x 7→ xe公司-x和x 7→1.-e-xxare有界函数在（0，∞), 存在C>0，与t，h无关∈ [0，T]使得|χ（γ）|≤ Ch，γ>0。二阶泰勒-拉格朗日公式得出| cni（e-γnit- e-γni（t+h））-Zηniηni-1（e）-γt- e-γ（t+h））u（dγ）|≤ChZηniηni-1(γ - γni）u（dγ）。ThusnXi=1eJni，h≤ChnXi=1Zηniηni-1(γ - γni）u（dγ）。最后，（5.8）源自Pni=1Rηniηni-1(γ -γni）u（dγ）n≥1根据假设3.1。引理5.3（GN满足假设3.2）。定义：[0，T]7→ R乘以（3.3），θ：[0，T]7→ R满意度（2.1）。在假设3.1下，对于每个ε>0，存在Cε>0，这样对于任何t，h≥ 0带t+h≤ Tsupn公司≥1 | gn（t）- gn（t+h）|≤ CεhH-ε.证据由于θ满足度（2.1），足以证明，对于每个固定ε>0，存在大于0这样的支持≥1Zh（h- s）--ε| Kn（s）| ds≤ ChH公司-ε、 （5.10）和SUPN≥1Zt（t- s）--ε| Kn（s）- Kn（h+s）| ds≤ ChH公司-ε、 （5.11）对于任何t，h≥ 0带t+h≤ T（5.10）满足分数核的要求，就足以建立zh（h- s）--ε| Kn（s）- K（s）| ds≤ chH公司-ε.在引理5.1的证明中，证明了zh（h- s）--ε| Kn（s）- K（s）| Ds以（5.6）为界，即isZh（h- s）--εZ∞ηnne-γsu（dγ）ds+nXi=1Zh（h- s）--ε| cnie-γnis-Zηniηni-1e级-γsu（dγ）| ds。第一学期以ZH（h）为主- s）--εZ∞e-γsu（dγ）ds=hH-εB（1/2- ε、 H+1/2）B（1/2- H、 H+1/2），其中B是通常的Beta函数。此外，由于（3.7）和假设3.1，我们得到nxi=1Zh（h- s）--ε| cnie-γnis-Zηniηni-1e级-γsu（dγ）| ds≤ 中国-ε、 屈服（5.10）。

同样，我们通过显示zt（t）得到（5.11- s）--ε|（Kn（s）- hKn（s））- （K（s）-香港（s））| ds≤ chH公司-ε.通过与前面类似的计算并使用（5.9），我们得到了zt（t- s）--ε|（Kn（s）- hKn（s））- （K（s）-香港（s）| DSI由CZT（t）主导- s）-εZ∞ηnn（1- e-γh）e-γsu（dγ）ds+hnXi=1Zηniηni-1(γ - γni）u（dγ）！。第一项以zt（t）为界- s）-εZ∞(1 - e-γh）e-γsu（dγ）ds=Zt（t- s）-ε（K（s）- K（h+s））ds≤ chH公司-ε、 假设3.1导致（5.11）。5.3定理4.1一致有界性的证明：我们首先展示了唯一连续解（ψn（·，a+ib））n的一致有界性≥第1页，共4.4页。提案5.4。对于固定的T>0，存在C>0，因此≥1中断∈[0，T]|ψn（T，a+ib）|≤ C1+b,对于任何a∈ [0、1]和b∈ R、 证明。设z=a+ib，首先注意<（ψn（·，z））是非正的，因为它用连续系数χ=Kn解以下线性Volterra方程*f级+ρν<（z）- λ+ν<（ψn（·z））χ,其中f=一- 一- (1 - ρ） b类-（ρb+νψn（·，z））连续非正，见定理C.1。同样地，<（ψ（·，z））也是非正的。此外，观察ψn（·，z）以连续系数χ=Kn求解以下线性Volterra方程*（z）- z） +（ρνz- λ+νψn（·，z））χ,以及<ρνz-λ+νψn（·，z）≤ ν - λ.因此，推论C.4导致中断∈[0，T]|ψn（T，z）|≤|z- z | ZTEnν-λ（s）ds，其中Enν-λ表示带参数ν的KNW的正则预解式- λ、 见附录A.3。该预解式在L（[0，T]，R）中收敛，因为KN在L（[0，T]，R）中收敛到K，参见[16，定理2.3.1]。因此，（RTEnν-λ（s）ds）n≥1是有界的，这就结束了证明。定理4.1的证明结束：设z=a+ib，回想一下ψn（·，z）=Kn* F（z，ψn（·，z））；ψ（·，z）=K* F（z，ψ（·，z））。带F（z，x）=z- z+ （ρνz-λ） x+νx。因此，对于t∈ [0，T]，ψ（T，z）- ψn（t，z）=hn（t，z）+K*F（z，ψ（·，z））- F（z，ψn（·，z））（t） ，hn（·，z）=（Kn- K）* F（z，ψn（·，z））。

由于命题5.4，我们得到了一个正常数C的存在性，即supn≥1中断∈[0，T]| hn（T，a+ib）|≤ C（1+b）ZT | Kn（s）- K（s）| ds，（5.12）对于任何b∈ R和a∈ [0, 1]. 此外，注意（ψ- ψn- hn）（·，z）是下列线性Volterra方程的解，其连续系数χ=K*ρνz-λ+ν（ψ+ψn）（·，z）（χ+hn（·，z））,注意ρνz的实部- λ+ν（ψ+ψn）（·，z）由ν控制- λ，因为<（ψ（·，z））和<（ψn（·，z））是非正的。推论C.4和（5.12）的应用结束了证明。5.4命题证明4.2我们考虑每个n≥ 1，（Sn，Vn）由定义3.2中的多因素Heston模型定义，σ（x）=ν√x、 （R·Vnsds、R·pVnsdWs、R·pVnsdBs）n的紧密性≥1： 由于进程r·Vnsds是非减量的，因此足以表明≥1E【ZTVntdt】<∞, （5.13）以获得均匀拓扑的紧密性。回顾该支持∈[0，T]E[Vnt]<∞ 从附录中的提案B.1中，我们得到ZtpVnsdBs= 然后用Fubini定理[Vnt]=gn（t）+nXi=1cniE[Vn，it]，其中e[Vn，it]=Zt(-γniE【Vn，is】- λE[Vns]）ds。因此t 7→ E【Vnt】解出以下线性Volterra方程χ（t）=ZtKn（t- s）-λχ（s）+θ（s）+Vs-H-Γ(1/2 - H） 哦！ds，带Kngiven by（3.4）。附录中的定理A.3导致toE【Vnt】=ZtEnλ（t- s） θ（s）+Vs-H-Γ(- H） 哦！ds，然后根据Fubini定理Zt公司-sEnλ（u）duθ（s）+Vs-H-Γ(- H） 哦！ds，其中Enλ是带参数λ的KNW的标准预解式，见附录A.3。因为（Kn）n≥1收敛到L（[0，T]，R）中的分数核K，我们得到了L（[0，T]，R）中的Enλ收敛到带参数λ的K的正则预解式，参见[16，定理2.3.1]。特别是由于附录中的推论C.2，RtEnλ（s）ds在t中一致有界∈ [0，T]和n≥ 1.

这导致（5.13），然后导致（R·Vnsds、R·pVnsdWs、R·pVnsdBs）n的紧密性≥1根据【18，定理VI-4.13】。（Sn，R·Vnsds）n的收敛性≥1： 我们设置Mn，1t=rtpvnsdw和Mn，2t=RtpVnsdBs。用（X，M，M）表示紧族（R·Vnsds，Mn，1，Mn，2）n的子序列的一致拓扑的定律极限≥随机Fubini定理的一个应用，见[24]，yieldsZtVnsds=ZtZt-s（Kn（u）- K（u））dudYns+ZtK（t- s） Ynsds，t∈ [0，T]，（5.14），其中Ynt=Rt（s-H-VΓ（1/2-H） +θ（s）-λVns）ds+νMn，2t。因为（Yn）n≥1一致拓扑的定律收敛到Y=（Yt）t≤t由Yt=Rt（s）驱动-H-VΓ(-H） +θ（s））ds-λXt+νMt，我们还得到了（R·K（·- s） Ynsds）n≥1或K（·）- s） Ysds。此外，对于anyt∈ [0，T]，ZtZt公司-s（Kn（u）- K（u））dus-H-VΓ(- H） +θ（s）-λVns！ds公司以zt | Kn（s）为界- K（s）| dsZt（s-H-VΓ(- H） +θ（s））ds+λZtVnsds！，由于（R·Vnsds）n的收敛性，一致拓扑在法律上收敛到零≥1与提案3.3一起。最后，E“ZtZt公司-s（Kn（u）- K（u））dudMn，2s#≤ cZT（Kn（s）- K（s））dsEZtVnsds公司,由于（5.13）和命题3.3，该值变为零。因此，通过达到（5.14）中的极限，我们得到xt=ZtK（t- s） Ysds，适用于任何t∈ [0，T]，几乎可以肯定。如果过程是连续的，等式在[0，T]上成立。然后，通过随机Fubini定理，我们推导出X=R·Vsds，其中V是由vt=ZtK（t）定义的连续过程- s） dYs=V+ZtK（t- s） （θ（s）- λVs）ds+νZtK（t- s） dMs。此外，因为（Mn，1，Mn，2）是带括号的鞅1 ρρ 1,[18，定理VI-6.26]暗示（M，M）是一个具有以下括号z·Vsds的局部鞅1 ρρ 1.根据[23，定理V-3.9]，存在一个二维布朗运动（fW，eB），其中dhfW，eBit=ρdt，使得Mt=ZtpVsdfWs，Mt=ZtpVsdeBs，t∈ [0，T]。特别是V是定义2.1中的分数阶随机积分方程的解，σ（x）=ν√x。

因为Sn=exp（Mn，1-我们推导了（Sn，R·Vnsds）n的收敛性≥1至极限点（S，R·VSD），显示定义的粗略赫斯顿动力学2.1。这种动力学的唯一性，见[1，2，22]，使我们能够得出结论（Sn，Vn）n≥1具有唯一的极限点，因此收敛到粗糙的赫斯顿动力学。5.5命题4.3的证明我们使用Lewis-Fourier反演方法，见【20】，来编写Cn（k，T）- C（k，T）=Sek2πZb∈重新-ibkb+L（T，+ib）- Ln（T，+ib）数据库。因此，| Cn（k，T）- C（k，T）|≤ Sek2πZb∈Rb型+L（T，+ib）- Ln（T，+ib）数据库。（5.15）因为L（T，z）和Ln（T，z）分别满足公式（4.1）和（4.3），其中g和gng由g（T）=ZtK（T）给出-s）Vs公司-H-Γ(1/2 - H） +θ（s）ds，gn（t）=ZtKn（t-s）Vs公司-H-Γ(1/2 - H） +θ（s）ds，ψ（·，z）和ψn（·，z）分别求解（4.2）和（4.4），我们利用富比尼定理推导出l（T，z）=expZTψ（T- s、 z）Vs公司-H-Γ(1/2 - H） +θ（s）ds！，（5.16）和ln（T，z）=expZTψn（T- s、 z）Vs公司-H-Γ(1/2 - H） +θ（s）ds！，（5.17）z=1/2+ib。因此，根据指数函数的局部Lipschitz性质，需要找到<（ψn（·，z））的上界，以便从（5.15）中获得调用价格的错误。这是下一段的目的。<（ψn（·，z））的上界：我们用φnη（·，b）表示满足以下Riccati-Volterra方程φnη（·，b）=Kn的唯一连续函数*-b+ηφnη（·，b）+νφnη（·，b）,带b≥ 0和η，ν∈ R、 提案5.5。固定b、t≥ 0和η∈ R、 功能b 7→ φnη（t，b）和t 7→ φnη（t，b）在R+上不增加。此外，φnη（t，b）≤1.-q1+2bν（RtEnη（s）ds）νRtEnη（s）ds，t>0，其中Enη是KN的标准预解式，参数η在附录A.3中定义。证据b 7的声称单调性→ φnη（t，b）直接从定理C.1中获得。现在考虑h，b>0。

很容易看出这一点hφnη（·，b）求解以下Volterra方程hφnη（b，t）=tKn* F（φnη（·，b））（h）+千牛* F级(hφnη（·，b））（t） F（b，x）=-b+ηx+νx。注意t→ -tKn* F（φnη（·，b））（h）∈ GK，附录C中定义，得益于定理C.1。φnη（·，b）- hφnη（·，b）是以下具有连续系数的线性Volterra积分方程的解，x（t）=-tKn* F（b，φnη（·，b））（h）+千牛*η+ν（φnη（·，b）+hφnη（·，b））x个（t） ，我们再次利用定理C.1推导出它的非负性。因此，t∈ R+→ φnη（t，b）是非递增的，因此sups∈[0，t]|φη（s，b）|=|φnη（t，b）| asφnη（0，b）=0。因此，TheoremA。3导致φnη（t，b）=ZtEnη（t- s）(-b+νφnη（s，b））≤ZtEnη（s）ds-b+νφnη（t，b）.我们通过求解φnη（t，b）中的这个二阶不等式并利用φnη是非正的来结束证明。注意，对于每个t>0，rtenη（s）ds>0，参见推论C.2。推论5.6。修复a∈ [0, 1]. 我们有，对于任何t∈ （0，T）和b∈ R、 supn公司≥1<（ψn（t，a+ib））≤1.-p1+（a- a+（1- ρ） b）νm（t）νm（t），其中m（t）=infn≥1电阻ρνa-对于所有t，λ（s）ds>0∈ （0，T）和Enη是KNW的标准分解，参数η在附录A.3.证明中定义。设r=A-a+（1-ρ） 带η=ρνa-λ. φnη（·，r）- <（ψn（·，a+ib））是下列线性Volterra方程的解，其连续系数χ=K*（ρb+ν=（ψn（·，a+ib）））+ρνa- λ+ν（<（ψn（·，a+ib））+φη（·，r））χ,我们使用定理C.1和命题5.5得到，对于所有t∈ [0，T]和b∈ R、 <（ψn（t，a+ib））≤1.-q1+2rν（RtEnη（s）ds）νRtEnη（s）ds。（5.18）此外，对于任何∈ [0，T]，RtEnη（s）ds收敛于n，因为在L（[0，T]，R）中，RtEnη（s）ds收敛于K，见[16，定理2.3.1]，其中Eη表示K与参数η的正则预解式。因此，m（t）=infn≥1对于所有t，TENη（s）ds>0∈ （0，T），因为所有n的η（s）ds>0和rtenη（s）ds>0≥ 1，见推论C.2。