粗糙波动率模型的多因子逼近

此外th=φh+K* (tz公司th+tw），以及tψε=φψε+K* (t<（z）tw+t | w |+ε）。F=t>0时的tK，产生φh（t）=h（1- (tK公司* 五十） （t））+（d(tK公司* L）* h） （t）+(tK公司* 五十） （0）h（t），φψε（t）=h（1- (tK公司* 五十） （t））+（d(tK公司* L）* ψε）（t）+(tK公司* 五十） （0）| h（t）|。依赖于d(tK公司*五十） 是非负度量值，并且tK公司*L≤ 1，由RemarkA编写。2，以及| h（s）|≤ ψε（s）表示s≤ t、 我们得到|φh（t）|≤ φψε（t）。我们注意到，在h（t）=0的情况下，我们有th（t）=φh（t）+w（t）ZtK（s）ds+o（ZtK（s）ds，以及tψε（t）=φψε（t）+（| w（t）|+ε）ZtK（s）ds+o（ZtK（s）ds），在| h（t）|>0的情况下，我们得到|th（t）|=2<（z（t））| h（t）|+<（w（t））<（h（t））+=（w（t））=（h（t））ZtK（s）ds+|φh（t）|+o（ZtK（s）ds），tψε（t）=2<（z（t））| h（t）|+| w（t）| | h（t）|+ε| h（t）|）ZtK（s）ds+φψε（t）+o（ZtK（s）ds），对于小t，由于z、w、h、φh、φψε和ψε的连续性。在这两种情况下，我们都得到| h |≤ ψε在t的邻域上。因此t=∞ 对于任何t≥ 0 | h（t）|≤ ψε（t）。以下结果是定理C.1和C.3的直接结果。推论C.4。让h∈ C和z，w:R+→ C是连续函数，以便<（z）≤ λ表示某些λ∈ R、 我们定义h:R+→ 作为h=h+K的唯一连续解* （zh+w）。那么，对于任何t∈ [0，T]，| h（T）|≤ |h |+（kwk∞,T+λ| h |）ZTEλ（s）ds，其中Eλ是K与参数λ的正则预解式。证据根据定理C.3，我们得到| h |≤ ψ、 其中ψ是ψ=| h |+K的唯一连续解* （<（z）ψ+| w |）。此外，将ψ定义为ψ=| h |+K的唯一连续解* （λψ+kwk∞,T） 。那么，ψ- ψ解χ=K* （λχ+f），其中f=（λ- <（z） ψ+kwk∞,T- w、 这是[0，T]上的非负函数。理论EMC。1现在产生| h |≤ ψ≤ ψ.最后，声明的界限如下所示，对于t∈ [0，T]，ψ（T）=| h |+（kwk∞,根据定理A.3，T+λ| h |）ZtEλ（s）ds，并且根据推论C.2，r·Eλ（s）ds是非递减的。参考文献【1】E.Abi Jaber和O。

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