粗糙波动率模型的多因子逼近

最后，我们使用（5.18）和x 7这一事实来结束证明→1.-√1+2rνxνxis不增加（0，∞).命题4.3证明结束：假设|ρ|<1且fix a=1/2。受控收敛定理ZT1-p1+（a- a+（1- ρ） b）νm（T）- s） νm（T- s） （θ（s）+Vs-H-Γ(- H） ）dsis相当于-|b | p1- ρνZT（θ（s）+Vs-H-Γ(- H） ）ds，因为b趋于完整。因此，由于推论5.6，存在C>0，因此对于anyb∈ Rsupn≥1<（ψn（t，a+ib））≤ C（1- |b |）。（5.19）回顾z、 z∈ C使<（z），<（z）≤ c、 | ez- ez |≤ ec | z- z |，我们得到| Ln（a+ib，T）-L（a+ib，T）|≤ eC（1-|b |）支持∈[0，T]|ψn（T，a+ib）-ψ（t，a+ib）| ZT（θ（s）+Vs-H-Γ(- H） ）ds，从（5.16）、（5.17）和（5.19）开始。我们根据（5.15）和定理4.1推导命题4.3∈Rb+1b+eC（1-|b |）db<∞.感谢布鲁诺·布查德、克里斯塔·库奇罗、菲利普·哈姆斯和马修·罗森鲍姆进行了许多有趣的讨论。Omar El-Euch感谢在欧洲金融研究所的支持下，由法国汇丰银行资助的研究计划“三月行动、义务和风险调整”。附录A随机卷积和解在本附录中回顾了[2]中介绍的框架和符号。A、 1卷积符号对于R+上的可测函数K和局部有界变差的R+上的测度L，卷积K* L和L* K定义为（K* 五十） （t）=Z[0，t]K（t- s） L（ds），（L* K） （t）=Z[0，t]L（ds）K（t- s） 只要这些表达式定义得很清楚。如果F是R+上的函数，我们写K* F=K* （F dt），即（K* F）（t）=ZtK（t- s） F（s）ds。我们可以证明我*F几乎处处定义良好，属于Lploc（R+，R），每当F∈ Lploc（R+，R）。

此外，（F*G）*L=F*（G）*五十） a.e.，无论何时F，G∈ Lloc（R+，R），请参见[16，定理3.6.1和推论3.6.2]了解更多详细信息。对于任意连续半鞅M=R.bsds+R.ASDBS，卷积（K* dM）t=ZtK（t- s） DMS被定义为每个t的It^o积分≥ 0，使zt | K（t- s） | | bs | ds+Zt | K（t- s） | | as | ds<∞.使用随机Fubini定理，见[2，引理2.1]，我们可以证明对于每个≥ 0，几乎肯定（L* （K）* dM））t=（（L* K）*dM）t，（A.1）每当K∈ Lloc（R+，R）和a，b是局部有界的a.s。最后，从[2]中的引理2.4以及Kolmogorov连续性定理，我们可以证明（K* dMt）t≥0只要b和σ是局部有界的，它就是连续的。在本文中，我们将始终使用此连续版本。注意，卷积表示法可以很容易地扩展到矩阵值K和L。在这种情况下，上面公开的缔合性属性是成立的。A、 2第一类预解式我们将第一类d×d-矩阵值核K的预解式定义为局部有界变化的R+上的Rd×d-值测度L，使得K* L=L* K≡ id，其中id代表身份矩阵，见【16，定义5.5.1】。Firstkind的解决方案并不总是存在。对于分数核K（t）=tH-Γ（H+1/2）第一类的解存在，由l（dt）=t给出-H-Γ(1/2 - H） dt，对于任何H∈ (0, 1/2). 如果K为非负、非递增且不等于R+上的零，则[16，定理5.5.5]可以保证第一类预解的存在。[2，引理2.6]中所示的以下结果在这里表示为d=1，但对任何维度d都是正确的≥ 引理A.1。假设K∈ Lloc（R+，R）允许第一类解决方案L。

对于anyF∈ Lloc（R+，R）使F* L是右连续的，且局部有界变差为1 hasF=（F* 五十） （0）K+d（F* L）* K、 这里，df表示这样的度量：对于所有t，f（t）=f（0）+R[0，t]df（s≥ 0，对于R+上局部边界变化f的任意右连续函数。备注A.2。前面的引理将与F=香港，固定h>0。如果K在（0，∞), 然后香港*L是右连续的。此外，如果K为非负且l在s的意义上不增加→ L（[s，s+t]）对于所有t都是不增加的≥ 0，那么香港* L自(香港* 五十） （t）=1-Z[0，h）K（h- s） L（t+ds），t>0。特别地，香港* L是局部有界变差。A、 3第二类预解式我们考虑核K∈ Lloc（R+，R），并将第二类K的预解定义为唯一函数RK∈ Lloc（R+，R）使K- RK=K* RK。对于λ∈ R、 我们定义了K的正则预解，参数λ为唯一解λ∈ λ的Lloc（R+，R）- K=λK* Eλ。这意味着Eλ=-R-λK/λ，当λ6=0且E=K时。λEλ的存在唯一性由[16，定理2.3.1]以及K的连续性保证→ Eλ（K）在Lloc（R+，R）的拓扑中。此外，如果K∈ 由于[16，定理2.3.5]，Lloc（R+，R）和Eλ也是如此。我们回顾了关于Lloc（R+，R）中线性Volterra积分方程解的存在唯一性的[16，定理2.3.5]。定理A.3。让f∈ Lloc（R+，R）。积分方程x=f+λK* x提供独特的解决方案x∈ Lloc（R+，R）由x=f+λEλ给出* f、 当K和λ为正时，Eλ也为正，见【16，命题9.8.1】。在这种情况下，我们有[16，引理9.8.2]给出的Gr–onwall型不等式。引理A.4。

设x，f∈ Lloc（R+，R）使x（t）≤ （λK* x） （t）+f（t），t≥ 0，a.e.然后，x（t）≤ f（t）+（λEλ* f） （t），t≥ 注意，第二类预解式和规范预解式的定义可以扩展到矩阵值核。在这种情况下，定理A.3仍然成立。备注A.5。分数核K（t）=tH的正则预解-参数为λ的Γ（H+1/2）由tα给出-1Eα(-λtα），其中Eα（x）=Pk≥0xkΓ（α（k+1））是Mittag-Le-fluer函数，α=H+1/2表示H∈(0, 1/2).B随机Volterra方程的一些存在性结果我们收集在本附录中，一般随机Volterra方程的存在性结果在[2]中介绍。我们参考[1，2]进行证明。我们假设T>0，并考虑D维随机Volterra方程xt=g（T）+ZtK（T- s） b（Xs）ds+ZtK（t- s） σ（Xs）dBs，t∈ [0，T]，（B.1），其中B:Rd7→ Rd，σ：Rd7→ 具有线性增长的Rd×mare连续函数，K∈L（[0，T]，Rd×d）是一个允许第一类预解式L，g:[0，T]7的核→ Rdis是一个连续函数，B是过滤概率空间上的m维布朗运动(Ohm, F、 F，P）。为了证明（B.1）连续解的弱存在性，需要以下正则性假设。假设B.1。存在γ>0和C>0，因此对于任何t，h≥ 0带t+h≤ T，| g（T+h）- g（t）|+Zh | K（s）| ds+ZT-h | K（h+s）- K（s）| ds≤ Ch2γ。以下存在性结果可在[1，定理A.1]中找到。提案B.1。在假设B.1下，随机Volterra方程（B.1）允许Awak连续解X=（Xt）t≤T、 此外，X令人满意∈[0，T]E[| Xt | p]<∞, p＞0，（B.2），并允许在任何阶严格小于γ的[0，T]上存在H¨older连续路径。特别是对于分数核，命题B.1得出以下结果。推论B.2。

固定H∈ （0，1/2）和θ：[0，T]7→ R令人满意ε > 0, Cε>0；u∈ （0，T）|θ（u）|≤ Cεu--ε.分数阶随机积分方程xt=X+Γ（H+1/2）Zt（t-u） H类-（θ（u）+b（Xu））du+Γ（H+1/2）Zt（t-u） H类-σ（Xu）dBu，允许弱连续解X=（Xt）t≤t对于任意X∈ R、 此外，X满足（B.2），并允许在任何阶的[0，T]上的H¨older连续路径严格小于H.Proof。值得注意的是，分数阶随机积分方程是（B.1）的特例，d=m=1，K（t）=tH-Γ（H+1/2）分数核，允许第一类解，见a.2节，g（t）=X+Γ（1/2+H）Zt（t- u） H类-1/2θ（u）du。同于t 7→ t1/2+εθ（t）在[0，t]上有界，我们可以证明g是H- εH–对于任何ε>0的情况，都是连续的。因此，假设B.1得到满足，声称的结果直接从命题B.1中获得。在光滑核的特殊情况下，我们现在建立了（B.1）的强存在唯一性。这是通过扩展[25]中的山田渡边路径唯一性证明来实现的。提案B.3。固定m=d=1，并假设g是H–older连续的，K∈ C（[0，T]，R）承认第一类预解，并且存在C>0和η∈ [1/2，1]对于任何x，y∈ R、 | b（x）- b（y）|≤ C | x- y |，|σ（x）- σ（y）|≤ C | x- y |η。然后，随机Volterra方程（B.1）允许一个唯一的强连续解。证据我们首先注意到，K是光滑的，它满足假设B.1。因此，（B.1）的弱连续解的存在性源自命题B.1。因此，它足以显示路径的独特性。

我们可以通过考虑a=1，ak类似于[25]-1> akfor k公司≥ 1个带RAK-1akx-2ηdx=k和Дk∈ C（R，R）使得φk（x）=φk(-x） ，хk（0）=0，对于x>0，对于x，хk（x）=0≤ ak，Дk（x）=1代表x≥ ak公司-1和Дk（x）∈ [0，1]对于ak<x<ak-1.oИk（x）∈ [0，kx-2η]对于ak<x<ak-1、设x和Xbe为（B.1）的两个解，由相同的布朗运动B驱动。注意到，由于K，Xi的光滑性- g是半鞅，对于i=1，2d（Xit- g（t））=K（0）dYit+（K* dYi）tdt，其中Yit=Rtb（Xis）ds+Rtσ（Xis）dBs。使用It^o的公式，我们写出φk（Xt- Xt）=It+It+It，其中It=K（0）ZtИK（Xs- Xs）d（Ys- Ys），It=ZtИk（Xs- Xs）（K* d（Y- Y） ）sds，It=K（0）ZtИK（Xs）- Xs）（σ（Xs）- σ（Xs））ds。回顾该支持≤TE[（Xit）]<∞ 对于命题B.1中的i=1，2，我们得到≤ E[K（0）Zt | b（Xs）- b（Xs）| ds]≤ cZtE[| Xs- Xs |]ds，andE[信息技术]≤ cZtE[（| K |* |b（X）- b（X）|）s]ds≤ cZtE[| Xs- Xs |]ds，因为b是Lipschitz连续的，Kis有界于[0，T]。最后，通过定义ρkandη-H¨σ的连续性，我们得到了≤ck，当k较大时，它变为零。此外，E[Дk（Xt-Xt）]收敛到E[| Xt-Xt |]由于单调收敛定理，当NK趋于一致时。因此，我们转到limitand obtainE[| Xt- Xt |]≤ cZtE[| Xs- Xs |]ds。Gr¨onwall引理通向E[| Xt- Xt |]=0，产生所声称的路径唯一性。在g和K上的附加条件下，当d=m=1时，可以得到非负解to（B.1）的存在性。如【2，定理3.5】所述，需要以下假设。假设B.2。我们假设K∈ L（[0，T]，R）在（0，T）上是非负的、非递增的和连续的。

我们还假设第一类L的预解是非负的，并且在0≤ L（[s，s+t]）≤ L（[0，t]），用于所有s，t≥ 带s+t的0≤ T在[1]中，对[2，定理3.5]的证明进行了修改，以证明一大类可容许输入曲线g满足汞柱- (香港* 五十） （0）克- d(香港* L）* g级≥ 0，小时≥ 0。（B.3）因此，我们定义了以下一组容许输入曲线gk={g:[0，T]7→ R连续满足（B.3）和g（0）≥ 0}.下面的存在定理是[1，定理a.2]的一个特例。定理B.4。假设d=m=1，b和σ满足边界条件b（0）≥ 0, σ(0) = 0.然后，在假设B.1和B.2下，随机Volterra方程（B.1）允许任何g∈ GK。备注B.5。请注意，任何局部平方可积的完全单调核都不完全满足假设B.2，请参见【2，示例3.6】。特别是，这是分数核K（t）=tH的情况-1/2Γ（H+1/2），带H∈ (0, 1/2).o 指数K（t）=Pni=1cie的任何加权和-γitsuch the ci，γi≥ 0代表所有i∈{1，…，n}和ci>0（对于某些i）。备注B.6。定理B.4将与以下形式的函数g一起使用：g（t）=c+ZtK（t- s） ξ（ds），其中ξ是局部有界变化的非负度量，c是非负常数。

在这种情况下，根据假设B.2，我们可以证明（B.3）是满足的。具有连续系数的C线性Volterra方程在本节中，我们考虑K∈ Lloc（R+，R）满足假设B.2，T=∞ Andreal对GK的定义是，isGK={g:R+7→ R连续满足（B.3）和g（0）≥ 0}.我们用k.k表示∞,T对于每个T>0，T，[0，T]上的通常一致范数。根据假设B.2，可以证明香港* L为非递增且右连续，这要归功于标记A.2，以便相关度量值d(香港* 五十） 定义明确。内核K∈ 如果Lloc（R+，R）在（0，∞) 诸如此类(-1） jK（j）（t）≥ 对于任何t>0和j≥ 0、定理C.1。让K∈ Lloc（R+，R）满足假设B.2和g，z，w：R+7→ R为连续函数。线性Volterra方程χ=g+K* （zχ+w）（C.1）允许唯一的连续解χ。此外，如果g∈ gk和w是非负的，那么χ是非负的，并且tχ=gt+K* (tz公司tχ+tw）带gt（t）=tg（t）+(tK公司* （zχ+w））（t）∈ GK，对于t，t的所有≥ 0.证明。χ中这类解的存在唯一性∈ Lloc（R+，R）从[2，引理C.1]中获得。因为χ是（C.1）的解，所以显示χ的局部有界性就足以得到其连续性。这源于Gr¨onwall引理A.4应用于以下不等式|χ（t）|≤ 克格勃∞,T+（K* （kzk∞,T |χ|（.）+科威特克朗∞,T） ）（T），对于任何T∈ [0，T]和固定T>0。我们现在假设g∈ gk和w为非负。gt∈ GK，用于t≥ 0，通过将[1，定理3.1]的证明的计算改为ν=0，前提是χ是非负的。为了建立χ的非负性，对于每个ε>0，我们引入χε作为χε=g+K的唯一连续解* （zχε+w+ε）。

（C.2）证明χε对于每一个ε>0都是非负的，并且（χε）ε>0在每一个紧致上与χ一致，因为ε趋于零。χε的正性：很容易看出χε在零邻域上是非负的，因为对于小t，χε（t）=g（t）+（z（0）g（0）+w（0）+ε）ZtK（s）ds+o（ZtK（s）ds，因为χ、z和w是连续函数。因此，t=inf{t>0；χε（t）<0}为正。如果我们假设t<∞, 我们通过χε的连续性得到χε（t）=0。χε是（C.2）的解，我们有tχε=gt，ε+K* (tz公司tχε+tw+ε），带gt，ε（t）=tg（t）+(tK公司*（zχε+w+ε））（t）。然后，使用引理A.1和F=tK，我们得到gt，ε（t）=tg（t）- （d）(tK公司* L）* g） （t）- (tK公司* 五十） （0）g（t）+（d(tK公司* L）* χε）（t）+(tK公司* 五十） （0）χε（t），连续且非负，因为g∈ GKand公司tK公司*L对于任何T都是非递减的≥ 0，见备注A.2。因此，以同样的方式，tχε在零邻域上是非负的。因此t=∞, 这意味着χε是非负的。χε的一致收敛性：我们使用以下不等式|χ- χε|（t）≤ （K）* （kzk∞,T |χ- χε|+ε））（t），t∈ [0，T]，以及Gronwall引理A.4，表明当ε为零时，χε到χ在[0，T]上的一致收敛性。特别是，χ也是非负的。推论C.2。让K∈ Lloc（R+，R）满足假设B.2，并将Eλ定义为参数为λ的K的正则预解式∈ R- {0}. 然后，t 7→RtEλ（s）ds在R+上为非负且不递减。此外，如果K在[0，t]证明中不消失，则λ（s）ds为正。χ=R·Eλ（s）ds的非负性由定理C.1和以下线性Volterra方程χ=K的解得出* （λχ+1），根据定理A.3。对于固定t>0，tχ满意度tχ=gt+K* (λtχ+1），带gt（t）=tK公司*(λtχ+1）（t）∈ GK，见定理C.1。

因此tχ-χsolvesx=gt+K* （λx）。因此，定理C.1的另一个应用产生了χ≤ tχ，证明t→RtEλ（s）Ds为非递减。现在，我们提供了复值解的定理C.1的一个版本。定理C.3。设z，w:R+7→ C是连续函数，h∈ C、 以下线性沃尔特拉方程h=h+K* （zh+w）允许唯一连续解h:R+7→ C使得| h（t）|≤ ψ（t），t≥ 0，其中ψ：R+7→ R是ψ=| h |+K的唯一连续解* （<（z）ψ+| w |）。证据连续解的存在性和唯一性的证明方法与定理C.1的证明方法相同。现在考虑，对于每个ε>0，ψεψε的唯一连续解=| h |+K* （<（z）ψ+| w |+ε）。正如定理C.1的证明所做的那样，当ε为零时，ψε在每个紧致上一致收敛到ψ。因此，足以表明，对于每个ε>0和t≥ 0，| h（t）|≤ ψε（t）。我们从零附近的不等式开始。因为z，h，w和ψε是连续的，我们得到，取h=0，| h（t）|=| w（0）| ZtK（s）ds+o（ZtK（s）ds），ψε（t）=（| w（0）|+ε）ZtK（s）ds+o（ZtK（s）ds），对于小t。因此，| h |≤ ψε在零邻域上。当他的值不为零时，这个结果仍然成立。事实上，在这种情况下，很容易证明对于t为零，| h（t）|=| h |+2<h（z（0）h+w（0））ZtK（s）ds+o（ZtK（s）ds）和|ψε（t）|=| h |+2<（z（0））| h |+| w（0）| | h |+ε| h |）ZtK（s）ds+o（ZtK（s）ds）。由于| h |现在为正值，我们得出结论| h |≤ 利用CauchySchwarz不等式得到零邻域上的ψε。因此，t=inf{t>0；ψε（t）<h（t）}为正。如果我们假设t<∞, 我们可以通过h和ψε的连续性得到| h（t）|=ψε（t）。