系统风险有效资产配置：系统风险最小化

投资组合i（风险文件）的预期回报和方差分别由▄ri=pkvkirk和▄σi=PkPlVkiVliσkl给出。债券k在市场上的总价值表示为Sk。考虑以下优化问题，minxki≥0k、 iXiXjVJEJXKXKIXKJDK受Vi=Xkxki约束，i、 Sk=Xixki，k、 ri≤Xkxkirk，i、 σi≥XkXlxkixliσkl，i、 （11）变量xkidenotes表示可以重新分配的投资。问题（11）将违约情况下的总直接影响降至最低，同时不会恶化银行的风险收益。这样，总投资组合数量和总未偿数量保持不变，即网络只需重新布线。为了确保目标函数的平滑性，减少了影响矩阵W中的最小运算符，从而简化了优化。问题（11）现在可以重新表述为一般的二次约束二次规划（QCQP）≥0y>（P>+P）y受y>Piy约束- σi≤ 0，i=1。。。，N、 Ay+c≤ 0，Ay+c=0。（12） 这里，Pand-Piare-KN×KN矩阵，Ais-a-N×KN矩阵，Aa（K+N）×KN矩阵和相应维数的cand-care向量。Welet y=vec（X）是K×N矩阵X与元素xki的向量化。向量和矩阵的准确规格见附录B。二次约束确保新的投资组合分配不会增加投资组合方差，线性不等式约束防止投资组合收益下降。线性等式约束对基本市场结构进行控制，使得投资组合只重新组合，而不改变总规模，也不增加或从市场中移除任何资产。4.1. 解决优化问题所描述的数据集由36家债券和49家银行（1764个变量）组成。我们有85个线性等式约束、49个线性不等式约束和49个二次约束。

预期收益根据历史收益进行估计。投资组合差异根据历史价格数据计算，请参见补充信息。对称矩阵Pi是正半确定性，它是一个块对角矩阵，协方差矩阵位于其对角线上。然而，事实证明，在我们的例子中，矩阵（P>+P）是不确定的，这将问题转化为非凸QCQP问题。其解决方案通常是NP难找到的（Anstreicher，2009）。尽管如此，仍然有可用的解决方案可以处理这类问题，例如通过实现分支定界算法。为了解决问题（12），我们在四种不同的解算器上运行它：KNITRO（Byrd et al.，2006）、BARON（Sahinidis，1996）、MINOS（Murtagh and Saunders，1983）和Couenne（Belotti et al.，2009）。我们制定了problemin AMPL（Fouer等人，1990年），并利用NEOS服务器（Czyzyk等人，1998年），在那里我们将其提交给了四个解算器。下面我们展示了Couenne解算器的结果，它提供了最小的目标值。结果我们首先计算每家银行的DR，并估计欧洲政府债券市场的平均总重叠投资组合系统性风险Rorig=6.66%。然后，我们根据方程式（12）和（A）0.000.050.100.150.201 6 11 16 21 26 31 36 41 46根据原始订单订购的银行优化投资组合持有量。DRDebtrankor原始网络优化网络（B）●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0.000.020.040.060.080.100.120.140.160.180.200.220.240.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10相对市场份额债务等级●原始网络优化网络图2：（A）优化前（红色）和优化后（绿色）银行DRs的比较。银行从原始网络中系统性最强的银行到系统性最弱的银行进行排序。

网络重组（绿色）后，最初最相关的银行的系统性风险水平降低，而一些最不重要的银行在优化的网络中增加了DRs。（B） DR与优化前（红色）和优化后（绿色）所有银行的市场份额之比。左上角（红色）的银行代表DR与市场份额比率较高的银行集团。网络的优化极大地提高了这些银行的系统性风险相关性（绿色）。总体而言，在优化后的网络中，系统提升与市场规模之间的正相关斜率减小。计算Ropt=2.89%。我们发现，市场的系统性风险降低了一半以上（系数为2.27），金融网络中的最大DR从0.22降至0.09，见表1。尤其是最初系统性风险水平较高的银行，其在市场中的系统相关性较低。对于一些系统性最低的银行，DR水平有所提高，总体而言，实现了更为系统性的风险分配（图2A）。优化还改变了银行系统相关性的顺序，即在原始网络中被认为比另一家特定银行风险更高的银行在优化网络中的风险相对更低。总体而言，优化后的网络中系统相关性的顺序发生了变化，但仍与原始顺序呈正相关，见表1。从直觉上看，银行的系统相关性与市场份额之间存在正相关关系。图2B显示，优化网络中的这种正关系（斜率）减小。

从系统性风险管理的角度来看，特别是问题银行是那些规模相对较小，但在网络中占据非常核心地位的银行（图2B中的左上角（红色）），这意味着小型银行违约会产生不利影响，但方程式（2）中的比例参数c不会影响市场的流动性，进而影响银行之间的风险敞口。附录C讨论了选择C如何影响欧洲ZF债券市场的系统性风险及其对优化的影响。（A） （B）图3：优化之前（A）和之后（B）的重叠投资组合网络。节点的大小与债券市场的总投资相对应，链接的强度取决于银行之间的风险敞口水平。银行根据其DR进行着色。未显示自循环。占整个市场的很大一部分。这种优化已导致系统性风险的大幅降低，尤其是在小型但原本非常系统化的银行群体中。5.1. 网络拓扑系统风险的优化改变了市场的网络拓扑，从基本网络统计数据可以看出。网络密度是用现有链接数除以潜在链接数得到的。在二部网络中，潜在链接的数量为NK。在给定的主权风险敞口二部网络中，密度为0.51，即网络中大约有一半可能的链接实际存在。投资组合中债券的平均数量（银行节点的平均程度）约为18.27，持有特定债券的银行的平均数量（债券节点的平均程度）约为24.86。图3A所示的流动性调整后的银行预测产生了一个密集的网络（密度=0.967），平均程度大于46。

考虑到邻居的最大数量是48个，我们发现大多数银行通过持有相同的ZF债券而彼此直接相连。该网络的（未加权）直径为2，这意味着从理论上讲，来自任何节点的金融传染病可以通过两个步骤传播到整个市场。然而，这种传染过程的严重程度取决于暴露权重。提前回答这个问题并不容易，所描述的优化过程是否会导致网络的更高或更低的连通性。正如Gandy和Veraart（2017）以及Battiston等人（2012a）所言，金融网络的稳定性不是其度的单调函数。高度互联网络中的金融联系将更均匀地分布，但到达节点的概率更高。相比之下，在稀疏网络中，传染的可能性通常较小，但由于传染的传播更加不均匀，财务损失的严重程度更高，可以抵消这种积极影响。因此，关于其完整性的最佳网络拓扑将取决于节点的财务状况（如资本缓冲）和互连类型（如相关银行之间的高风险敞口）。在我们的案例中，优化会导致更密集的网络，见图3B。事实上，优化的二部网络是完全连通的；每家银行都投资于市场上的每家资产。为了检查链接以何种方式重新排列，我们可以根据链接的权重对其进行排序，并检查它们连接的节点。结果表明，与原始网络相比，在系统性较差的银行之间连接高风险敞口的链接是一种趋势。

例如，在优化网络中，最大的风险敞口出现在属于十家租赁系统银行的两家银行之间，而在原始网络中，最大的权重出现在DR值第三和第四高的银行之间。大多数最大加权链接都可以观察到这种定性模式。从这个意义上说，优化产生了一个考虑到银行系统相关性的网络。表1概述了一些基本的网络统计数据。有关确切定义，请参阅附录D。为了量化优化前后投资组合的分散程度，我们计算了每个投资组合的赫芬达尔-赫希曼指数（HHI）。有关措施的详细信息，请参见附录E。HHI是衡量多元化的指标，接近1的值表示投资组合高度集中。值接近零表示高度多样化。优化后，平均多样性增加，见表1。结果表明，随着优化的进行，小额投资的数量增加。6、原始网络与优化网络的SR–零售模拟我们现在在零售模拟中测试优化网络的效率，并将其与原始网络进行比较。考虑用于零售的资产仅为银行持有的债券。这是真实环境的主要简化，也可以出售股票或衍生品等其他流动证券。这一模拟的目的并不是为陷入财务困境的银行提供一个现实的模型，而是在市场上零售连锁的一般情况下，显示两个网络之间的差异。如果相应的数据可用，则不阻止模型扩展以包括其他资产。6.1. 火灾销售动态银行在火灾销售模拟中的基本决策规则受到Cont和Schaanning（2017）以及Greenwood等人方法的启发。

(2015). 让我们考虑一个简单的资产负债表模型。banki在时间步t的债券组合价值用Vi（t）表示。银行i的所有其他资产的价值由固定Oi决定。Ei（t）是i的权益。所有i和每个t的资产负债表标识必须保持，Vi（t）+Oi！=债务i（t）+Ei（t）。（13） 银行i的杠杆比率定义为LI（t）=Vi（t）+OiEi（t）。（14） 原始优化市场深度最小值3.65E71st Qu.2.91E9中间值3.20E10平均值1.52E123 Qu.2.59E11Max。3.34E13DebtRank最小值0.001 0.0031st Qu.0.018 0.010Median 0.046 0.020Mean 0.067 0.0293第Qu.0.090 0 0.052Max。0.215 0.087平均度加权3704.98E6 3616.37E6未加权46.41 48聚类系数加权0.992未加权0.975最近邻度加权197.57E6 119.09E6未加权46.67 48斯皮尔曼的ρ0.70Kendall的τ0.55Her findhl-Hirschman指数0.49 0.43传染概率中等零售16.7%0%极端零售100%0%表1：本框架中的结果表，唯一的去杠杆化方法是出售ZF债券。让我们引入一个外部指定的基准杠杆率Li，我不能超过该比率，即Li（t）≤ LIF对于所有t。如果Li（t）>Li，银行需要出售其债券的一小部分γiof，以充分利用最大杠杆Li。Thenaγi∈ [0，1]的确定必须确保（1- i） Li=（1- γi（t））Vi（t）+OiEi（t），（15）带小i> 0考虑了资产负债表缩减产生的自触发价格效应。因此，每个银行在每个时间点γi（t）=（minnV（t）+O进行评估-(1-i） LiVi（t），1如果Li（t）>Li0如果Li（t）≤ 锂。（16） 如果必须清算整个投资组合（γi（t）=1），则不可能进行授权。γiis在随后的所有时间都设置为零。请注意，方程式（16）代表了一个简化的情况，即银行按比例出售债券，而不首先出售流动性更强的资产。

根据等式（1），政府债券的出售导致价格线性下降，pk（t+1）=最大pk（t）1.-PiγiVki（t）Dk, 0, （17） 新的债券组合价值为vi（t+1）=最大值（1- γi）XkVki（t）1.-PiγiVki（t）Dk, 0），（18），其中最大运算符确保非负价格和非负Portfolio值。银行i对待售债券γiVi（t）以及剩余债券（1）产生价格影响- γi）投资组合中的Vi（t）。然后由Ci（t）=XkVki（t）PiγiVki（t）Dk给出银行i的总损失。（19） 该损失改变了t+1 toEi（t+1）=最大{Ei（t）时的权益- Ci（t），0}。（20） 如果Ei（t）=0，则银行默认。在这种情况下，其投资组合按当前价格进行清算，银行将被排除在下一轮之外。在t+1时，所有偿付银行都会再次检查杠杆条件是否成立，以及动态是否重现。一旦市场不再出现销售，算法就会停止。这一条件可以由监管机构或银行本身作为内部业务指南加以规定。6.2. 结果选择一家银行并对外宣布破产，以引发一种再出售场景。其整个投资组合都被出售，这会对资产产生价格影响。这会使其他银行的投资组合贬值，并导致上述的转售活动开始。我们对每家银行重复这一过程，并比较两个网络的结果。我们将至少一家银行因最初的动荡而破产的情况定义为传染事件。传染概率是指在零售模拟中观察到传染事件的概率。我们运行两种不同的场景，一种是中等场景，另一种是极端场景。受巴塞尔协议III（BCBS，2014）的激励，我们在中等情景下对所有i使用最大杠杆阈值Li=33。为了实现极端的零售销售，我们要求所有i的Li=Li（0）。

在这方面，银行希望在发生冲击的情况下降低初始杠杆率。这是一种更为极端的情况，因为每个受到价格影响的银行都会在第一步违反杠杆约束，并被迫出售债券。显然，这种行为可能比现实环境更为激烈，因为在现实环境中，银行通常不会想方设法低于最初宣布的杠杆率目标。该场景旨在调查两种网络类型在极端情况下的弹性，其中涉及大量市场。6.2.1. 情景1–中等规模的债券销售图4A显示了债券销售级联后总债券市值的柱状图，以原始市值的百分比表示。我们看到原始（红色）网络和优化（绿色）网络存在明显差异。在某些情况下，原始网络中的投资组合价值减少了约7%。在优化网络中，投资组合价值的下降幅度不会超过2%。图4B的左面板显示了初始违约导致权益受损的方框图。虽然在这种情况下，对股本水平的影响很小，但仍可以观察到，在优化的网络中，股本受到的影响较小。图4B右面板中的方框图显示了银行在零售后的平均杠杆率。水平黑线是模拟前的平均杠杆率。请注意，如果银行接近违约，其股本将接近零，这可能导致高杠杆率。模拟后，优化网络中的平均杠杆率保持在初始水平。这表明银行可以成功地删除。然而，在最初的网络中，我们看到，在一些模拟中，杠杆率显著增加，表明银行的脆弱性增加。

优化后的网络中韧性的改善在传染概率的降低中尤为明显，见表1。在原始网络中，传染概率为16.7%，在优化后的网络中，没有一家银行违约。6.2.2. 情景2–极端金融销售在这种情景下，初始违约对市场的影响比在中等情景下强得多，见图4C。在原始网络中，在（A）ε=之后，资产负债表上平均只剩下总投资组合价值的3.1%。025010152092 94 96 98 100%原始网络优化网络的剩余投资组合价值（B）●●●012345原。optim公司。权益损失（%）●●●●●●●●●●●●●●●255075100原。optim公司。平均杠杆率（C）ε=。025010155 10 15原始网络优化网络（D）2223242526原始%的剩余投资组合价值。optim公司。权益损失（%）●●●●●●255075100125原。optim公司。平均杠杆率图4：（A）适度再融资后的投资组合价值柱状图，修正了初始违约导致的异源贬值。这意味着100%指的是市场上的债券总价值，不包括最初违约银行的投资组合。优化（绿色）网络中的PortfolioValue售后服务通常高于原始（红色）网络中的PortfolioValue售后服务。（B） 左图：中等规模出售后被摧毁的股权的方框图。原始网络中的初始违约导致的权益损失比最优网络中的更多。右面板显示了除违约银行外，在疲弱的金融销售后的平均杠杆率。水平黑线表示陷入困境前银行的平均杠杆率。原始网络显然比优化后的网络更容易受到售后服务的影响。（C） 在极端的零售场景中，大部分投资组合已售出，但在优化（绿色）网络中，整体投资组合的价值要高得多。