指数Levy神经网络期权定价

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英文标题：
《Pricing Options with Exponential Levy Neural Network》
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作者：
Jeonggyu Huh
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper, we propose the exponential Levy neural network (ELNN) for option pricing, which is a new non-parametric exponential Levy model using artificial neural networks (ANN). The ELNN fully integrates the ANNs with the exponential Levy model, a conventional pricing model. So, the ELNN can improve ANN-based models to avoid several essential issues such as unacceptable outcomes and inconsistent pricing of over-the-counter products. Moreover, the ELNN is the first applicable non-parametric exponential Levy model by virtue of outstanding researches on optimization in the field of ANN. The existing non-parametric models are too vulnerable to be employed in practice. The empirical tests with S\\&P 500 option prices show that the ELNN outperforms two parametric models, the Merton and Kou models, in terms of fitting performance and stability of estimates.
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中文摘要：
本文提出了用于期权定价的指数Levy神经网络（ELNN），它是一种新的基于人工神经网络（ANN）的非参数指数Levy模型。ELNN将人工神经网络与传统定价模型指数利维模型充分集成。因此，ELNN可以改进基于ANN的模型，以避免一些基本问题，例如不可接受的结果和非处方产品的定价不一致。此外，由于人工神经网络在优化方面的杰出研究，ELNN是第一个适用的非参数指数Levy模型。现有的非参数模型过于脆弱，难以应用于实际。对标准普尔500指数期权价格的实证检验表明，在拟合性能和估计稳定性方面，ELNN优于Merton和Kou两个参数模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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关键词：Levy 神经网络 期权定价 神经网 Quantitative

指数Lévy神经网络期权定价Jeongyu Huha，*韩国高等研究院计算科学学院，韩国首尔02455摘要本文提出了用于期权定价的指数Lévy神经网络（ELNN），这是一种使用人工神经网络（ANN）的新的非参数指数Lévy模型。ELNN将ANNswith与传统定价模型——指数Lévy模型充分集成。因此，ELNN可以改进基于ANN的模型，以避免一些基本问题，例如不可接受的结果和非处方产品的定价不一致。此外，由于在人工神经网络领域优化方面的杰出研究，ELNN是第一个适用的非参数指数Lévy模型。现有的非参数模型在实际应用中并不可靠。对标准普尔500指数期权价格的实证检验表明，在拟合性能和估计稳定性方面，ELNN优于两个参数模型，即Merton和Kou模型。关键词：指数Lévy模型；人工神经网络；非参数模型；选项pricingJEL分类：C45、G131。简介Lévy过程是一个具有独立和平稳增量的随机过程，粗略地说，它是一个广义的跳跃-扩散过程，因此其样本路径允许在一个时间间隔内有有限数量的跳跃。长期以来，它被广泛用于期权定价，以克服Black-Scholes模型[7]的局限性，该模型与一些众所周知的事实不一致，如波动率偏斜、收益分布的厚尾等（参见Hull和Basu[17]）。该模型的缺点在于，它只使用高斯过程来模拟市场回报。

然而，通过使用一个Lévy过程，即在高斯过程中加入一个跳跃过程，收益率可以遵循各种分布。在此背景下，许多研究人员提出了许多基于Lévy过程的模型，其中大多数属于指数Lévy（exp-Lévy）模型的范畴。exp-Lévy模型大致分为两种不同类型：参数exp-Lévy模型（Merton【26】、Kou【20】、Madan等人【24】、Carr等人【9】）和非参数exp-Lévy模型（Cont和Tankov【11】、Belomestny和Reiss【5】）。总的来说，与参数模型相比，非参数模型由于有大量的参数，有很大的潜力提供更好的拟合结果。然而，要很好地校准非参数模型，应该找到一个非常高维目标函数的“好”最小值，几乎与全局最小值一样好，但这是一个非常具有挑战性的问题，因为该函数的曲面是凹凸不平的。因此，非参数模型通常需要一些技术来稳定目标函数，例如正则化和贝叶斯先验。在文献中，Cont和Tankov【11】通过相对于先验的相对熵来惩罚一个客观函数，Belomestny和Reiss【5】选择光谱域的截止值，并排除该值之外的信息。不幸的是，即使是非参数模型的技术也未能达到良好的最小值。关于人工神经网络（ANN）的工作在Hinton等人的杰出成功之后迅速发展，可以为优化问题提供更理想的解决方案。人工神经网络模拟生物大脑的复杂结构，因此它可以通过考虑大量的例子来学习任务。根据*通讯作者。

电话：82-10-8960-0122E-邮箱：ai fina2018@kias.re.krPreprint根据2018年9月18日arXiv的通用逼近定理，ANN能够在温和的条件下逼近紧集上的连续函数（参见Cybenko[12]，Hornik[16]）。此外，它不需要特性工程，即实验设计者从给定的数据中手动提取特性，从而帮助发现隐藏的原理，在没有任何偏见的情况下产生观察结果。尽管有这些优势，但ANN仍需要充分利用其能力，因为其复杂的结构使其很难找到一个好的最小值。因此，许多研究继续将流行的优化方法应用于神经网络，如随机梯度法及其扩展（Bousquet和Bottou【8】、Sutskever等人【28】、Kingma和Ba【19】）。在本文中，我们发明了一种新的非参数经验模型，并通过部署人工神经网络和相关技术对其进行了令人满意的校准。我们将本文的模型称为exp-Lévy神经网络（ELNN）。另一方面，人工神经网络已被广泛用于期权定价。大多数早期作品（Malliarisand Salchenberger【25】、Hutchinson等人【18】、Yao等人【33】）将人工神经网络作为非线性回归的工具。几位作者曾声称，他们的方法很有吸引力，因为它们不需要任何经济假设。然而，没有这些假设的方法可能会在三个方面产生不利的结果。首先，当涉及到提供少量数据的产品时（即，资金期权的深度），网络的预测可能非常不正确（Bennell和Sutcliffe[6]）。其次，网络可能产生不可接受的结果，如价格不连续，这是一个比上述问题更严重的问题。

最糟糕的是，套利机会可能发生在估计价格内（Lajbcygier[21]，Yang等人[32]）。最后，这些网络仅对用作学习数据的目标选项有效，因此它们无法对其他选项，也就是说，非处方产品提供任何有意义的结果。为了应对DIF文化，将ANN与传统定价模型（称为混合模型）集成的方法已被设计出各种各样的方法。它们可以根据集成程度进行分类：弱混合模型（Lajbcygierand-Connor[22]，Andreou等人[1]，Wang[30]）和强混合模型（Luo等人[23]，Yang等人[32]）。在弱混合模型下，传统模型和人工神经网络以相对简单的方式相互补充。例如，Lajbcygier和Connor【22】用anANN修正了Black和Scholes的模型价格，Wang【30】使用GARCH波动率作为输入，改进了ANN的定价性能。相反，一个强大的混合模型是将人工神经网络与传统方法充分结合。最近，Luoet al.（23）和Yang et al.（32）分别将人工神经网络放入单因素随机波动率模型和局部波动率模型中，其中人工神经网络与传统模型密不可分。强杂交模型和弱杂交模型都可以纠正由于数据稀疏导致的错误预测。然而，只有强混合模型才能公平地减少因缺乏经济假设而导致的不可接受事件，并自然地扩展到场外产品的定价和对冲。ELNN属于强混杂模型，避免了非混杂模型和弱混杂模型的本质问题。考虑到Luo等人[23]讨论了股票预测（而非期权价格），Yang等人[32]目前只建立了关于期权定价的强混合模型。

但该模型很难摆脱局部波动模型的局限性。特别是，局部波动率模型对路径依赖型期权的定价不足，因为它们在理论上无法处理条件事件（参见Wilmott[31]）。Levy的框架，包括ELNN，基于高级概率理论，因此它可以为复杂产品提供更理想的解决方案。此外，ELNN可以优于现有的Exp-Lévy模型，因为它在寻找ANN领域良好最小值方面获得了杰出的研究成果。我们用标准普尔500指数的期权价格对其进行了5年的实验验证，结果表明，与默顿和库恩两个参数经验模型相比，ELNN更好地拟合数据，其估计更稳定。与其他非参数模型不同，ELNN的性能表现良好，因为它即使在各种噪声下也能准确估计Lévy密度。在双参数模型生成的虚拟市场下，我们也证明了这一点。令人鼓舞的是，现有的非参数exp-Lévy模型尽管参数很多，但不能优于几个参数exp-Lévy模型。另一方面，期权价格应使用傅里叶变换进行ELNN训练。然而，实际市场中的日常数据通常流动性太低，无法精确转换。我们通过发明一种技术“数据放大”来解决这个问题。这也是本文相当重要的贡献。本文的结构如下。下一节将回顾exp-Lévy模型和该模型的定价方法。第3节介绍了ELNN，并详细说明了其结构。在第4节中，我们在虚拟市场下实现并测试了ELNN。此外，对现有的非参数Exp-Lévy模型进行了稳定性测试。

第5节提供了利用市场数据进行实证检验的结果。第6节结束。Exp-Lévy模型2.1。Exp-Lévy模型如引言所述，Lévy过程通常用于描述市场回报的动态，这可以被充分视为跳跃扩散过程，允许在有限的时间间隔内出现有限数量的跳跃。莱维It^o分解阐明了这一观点：任何莱维过程（Xt）t≥0可以分解为一个具有线性漂移的高斯过程和两个分别与大跳跃和小跳跃相关的纯跳跃过程的总和。具体而言，存在（Xt）t的Lévy-Khinchine三重态（σ，ν，b）≥0使得xt=bt+σWt+Xlt+limε&0Xεt，其中Xlt=Z | x|≥1，s∈[0，t]xJX（ds×d x），xεt=Zε≤|x |<1，s∈[0，t]xJX（ds×d x）-ν（d x）ds.这里，wt是布朗运动，JXis是（Xt）t的跳跃测度≥0是一个泊松随机测度，具有一个强度测度ν（d x）d t，而ν是R{0}上的σ-有限测度，称为（Xt）t的Lévy测度≥0，验证RR \\{0}1.∧ x个ν（d x）<∞. 没有（Xt）t的上述表达式中的跳转过程≥0，这与Black-Scholes模型的返回过程没有什么不同。（Xt）t的分布≥0由其特征函数ΦXt（w）=E表示eiwXt公司= 经验值t型-σw+i bw+f（w）, （1） 式中，F（w）=Z∞-∞eiwx公司-1.- iwx1 | x|≤1.ν（d x）。这个表达式被称为Lévy Khinchine公式。给定Lévy过程（Xt）t≥0，资产价格过程（St）t≥0建模如下：在风险中性度量Q下，St=Sexp（r t+Xt），其中r是假定为常数的无风险率。这种模型称为指数Lévy（exp-Lévy）模型。在金融应用中，通常假设存在Lévy densitydνd xof（Xt）t，以进行可行的计算≥0

此外，为了（e-r tSt）t≥0要成为一个定义良好的鞅过程，（Xt）t的三元组（σ，ν，b）≥0需要满足以下条件（参见Tankov[29]）[a1]R | x|≥1exν（d x）<∞,[a2]b=-σ-R∞-∞前任-1.- x1 | x|≤1.ν（d x）=-σ- f级(-i） 。在exp-Lévy模型下，Lévy过程XT表示不包括利息费用的资产回报。人们可以通过以下等式注意到这种关系：Xt+- Xt=日志St公司+St公司- r在一段时间内. 莱维过程能够在固定的短时间范围内（不适用于大范围的时间范围）反映市场回报的非条件分布的不对称性和瘦肉症。让我们定义() :=Xti公司+- Xti公司对于ti=t+i i=0，···，N. 基于R() 根据标普500指数收盘价计算，图1显示了R的几个时刻() 针对时间范围. 数据期为1950年1月3日至2018年1月19日。此外，我们还指出了标准普尔500指数日收益率服从Lévy过程或高斯过程的情况下矩的理论预测值。在莱维案中，平均值和0 10 20 30 40时间范围（天）0.0000.0020.0040.0060.0080.0100.012平均值和P 500LevyGaussian0 10 20 30 40时间范围（天）0.010.020.030.040.050.06标准偏差和P 500LevyGaussian0 10 20 30 40时间范围（天）1.61.41.21.00.80.60.40.20.0偏斜和P 500LevyGaussian0 10 20 30 40时间范围（天）0510152025剩余峰度和P 500LevyGaussian0图1使用返回集绘制R() 根据标准普尔500指数收盘价计算，该图显示了R() 对抗时间范围.

此外，对于标普500指数日收益率服从Lévy过程或高斯过程的情况，给出了矩的理论预测值。标准偏差应按比例增加 和偏度和峰度应该衰减为-1/2和-分别为1。另一方面，在高斯情况下，平均值和标准偏差应成比例增加 和1/2，如在莱维的情况下，偏度和多余峰度应为零。在图中，预测值在平均值和标准偏差方面非常准确，但在偏度和峰度方面，它们与实际时刻相差甚远。高斯情况给出了完全不合理的偏度和峰度值。Levy Assumption上的值更符合实际数据，但它们似乎下降得太快了。该测试很好地证明了exp-Lévy模型的能力和局限性。事实上，这一结论在文献中是众所周知的。许多论文提出了两种尺度模型来解释小尺度下的快速衰减矩(  1） 以及在粗尺度下缓慢衰减的力矩(  1） （参见Bakshi等人【2】，Bates【3，4】）。当然，我们并不断言exp-Lévy模型与实际市场相符；引入这些模型的原因是，它们可以被视为扩展到两个比例模型的基石。2.2. exp-Lévy模型的著名示例有许多属于exp-Lévy模型范畴的模型。但是，我们认为，其中已知的最多的是三个参数模型（Merton【26】、Kou【20】、Carr等人【9】）和两个非参数模型（Cont和Tankov【11】、Belomestny和Reiss【5】）。方差伽马模型[24]提到了，但我们将不讨论它，因为下面的CGMY模型包括该模型。

我们将简要解释下面列出的模型及其Lévy密度dνd xas。1、默顿模型λδp2πexp-（十）-u)2δ（2） 在此模型下，平均频率λ出现跳跃，跳跃大小服从正态分布nu, δ. 该模型简单易懂，但不能令人满意地捕捉实际跳跃的行为。它生成的收益分布尾部比高斯分布重，但（St）t的所有矩≥0对于此型号是有限的。不幸的是，实际资产的高阶矩似乎并不确定。2、Kou模型Pλλ+e-λ+xx>0+（1- p） λλ-e-λ-|x | x<0（3）其采样路径随向上频率pλ和向下频率（1）跳跃- p） λ平均值。向上跳跃和向下跳跃的大小遵循两种不同的指数分布，即exp（λ+）和exp（λ-), 分别地与默顿模型相比，该模型更好地反映了资产分布的强不对称性和过度峰度。3、Carr、Geman、Madan和Yor（CGMY）模型λ| x | 1+αe-λ+xx>0+e-λ-|x | x<0该模型与Kou的模型相似，但没有任何扩散分量，即σ=0。相反，它会产生很多小跳跃，这是扩散过程的一个很好的替代品，因为小跳跃也有助于构建轻轨分布。同时，α和λ分别控制小跳跃的分布和整个跳跃的频率。4、Cont和Tankov（CT）模型Nxi=1νiδ（x- xi），其中xi=x+i 对于i=0、1、·····、N和δ，x是狄拉克δ函数。该模型只考虑了细节度量，因此假设pni=1 |νi |<∞. 由于其高度的自由度使得估计νivery不稳定，Cont和Tankov通过相对于aBayesian先验的相对熵来惩罚目标函数，通过这种相对熵，他们的校准很大程度上依赖于先验的选择。5.