指数Levy神经网络期权定价

Belomestny和Reiss（BR）方法-xF车型-1.Tlog1+e-iwr Tiw（1+iw）FzXT（k）+^σw-^σ-^b+^λ- 我^σ+^bw（x） ，其中F是傅里叶变换算子h（x）→^h（w），F-1是它的倒数，λ=R∞-∞ν（d x），k=对数k/S，k和T分别是期权的行使和到期时间，zx是期权时间值中涉及的函数。事实上，这不是一个普通的模型，而是一种估计市场生成过程（Xt）t的triplet（σ，ν，b）的校准方法≥正如CT模型所做的那样，该方法也涉及到有限的Lévy度量。它首先生成一个估计值^σ，^b，^λ，然后通过将估计值放入上述表达式中来计算ν。这种方法在理论上很有吸引力，但在实践中并不适用，因为它是严重不适定的。所述模型按历史发展顺序排列。对于参数模型，请注意，参数λ+应限制在其Lévy度量服从假设的域中【a1】。另一方面，对于非参数模型，预计[a1]在校准过程中会得到隐含的满足。2.3. 使用傅立叶变换定价期权在本小节中，我们回顾了Carr和Madan[10]的期权定价方法，其中假设[a1]替换为以下假设：[a1*]α>0，R | x|≥1e（1+α）xν（d x）<∞.它是[a1]的一个轻微扩展，因为α可以选择为任意小的数字。在继续之前，我们将函数h（x）与其傅里叶变换^h（w）之间的关系指定如下：^h（w）=Z∞-∞h（x）ei xwd x，h（x）=2πZ∞-∞^h（w）e-i x wdw。这一规定是必要的，因为傅里叶变换存在各种定义。此外，我们将傅里叶变换算子及其逆表示为F和F-分别为1。

所以，F（h）=^h和F-1.^h= h、 我们将计算一个欧洲看涨期权价格CXK，行使K，到期T为T=0。根据鞅pricingaapproach，它由cx（S，K；T）=e给出-r TEQ（ST- K）+.设k=对数，cX（k；T）：=cX（S，k；T）S=e-r TEQer T+XT- 埃克+.在假设条件下使用傅里叶变换[a1*] 和[a2]，~cX可实现如下：~cX（k；T）=zXT（k）+1.- 埃克-r T+, （4） 式中，zxt（k）=F-1.ζXT（w）（k） ，（5）ζXT（w）=eiwr TΦXT（w- （一）- 1W（1+iw）。（6） 这里，ΦXT是XT的特征函数。注意ΦXT（w- i） 对w进行了充分定义和分析∈ R by【a1】*], 和ΦXT(-i） =1乘以[a2]。这些事实意味着ζXT（0）是有限的。因此，注意ΦXT（w- i） 是w的边界∈ R、 我们可以得出ζXT∈ p的Lp（R）∈ (0.5, ∞]. 此外，ζx的实部和虚部分别为偶数和奇数，因为ζx是实函数zXT的傅里叶变换。这种方法在校准方面非常有效。首先，人们可以将长期的期权数据视为一天的大数据，因为定价公式（4）不需要现货价格S。此外，对于大范围k上的每一个T，~cX（k；T），可以使用快速傅立叶变换（FFT）一次快速计算。总之，只需几个FFT就可以计算出许多期权的模型价格。有关FFT数值实现的详细说明，请参阅【14，29】。在结束本节之前，我们讨论ΦXT（w- i） ，它对后面介绍的网络培训起着重要作用。用ρXT，ΦXT（w）表示x的密度函数- i） 是exρXT的傅里叶变换。因此，根据普朗谢尔定理（参见福兰德[13]），可以得到以下关系：Z∞-∞ΦXT（w- （一）- Φ*XT（宽- （一）dw=Z∞-∞exρXT（x）- exρ*XT（x）d x，（7），其中ρ*Xt是另一个Lévy过程X的密度*t。

这意味着，在Lsense中，发现Φ*XT（宽- i） 接近ΦXT（w- i） 导致查找exρ*XT（x）最接近exρXT（x）。Exp-Lévy神经网络在本节中，我们找到了最佳替代（Xt）t≥市场生成过程的0（X*t） t型≥假设它们是Lévy过程，它们的三元组是（σ，ν，b）和（σ*, ν*, b*), 分别地此外，我们假设以下条件以及第2节中给出的[a2][a1**]R∞-∞e2xν（d x）<∞,【a3】R∞-∞ν（d x）<∞.条件【a1】**] 表示资产过程（St）的方差t≥0存在，这通常适用于财务数据。我们设置了[a3]，以便本文只考虑有限测度。BR方法，另一种非参数方法，也需要[a1**], 【a2】和【a3】。（同时，CT模型需要[a1*],【a2】和【a3】。）在这些条件下，假设dνd xexists，exdνd x∈ L（R）∩ L（R）可以通过使用Cauchy–Schwarz不等式的astraightforward计算得出。首先，我们必须确定哪些数据用于网络学习。一种简单的方法是尽量减少经常使用的市场价格之间差异的度量c*X和网络预测的值▄Cx。然而，为了实现它，FFT应该在每个历元执行，这是无效的，因为稳定的学习需要大量的迭代。或者，在考虑了最佳适用措施后，我们决定将ΦXT（w- i） 和Φ*XT（宽- i） 学习我们的网络。根据关系式（7），这项工作可以给出exρXT（x）- exρ*对于小ε（x），XT（x）<ε（x），即ρXT（x）-ρ*XT（x）<e-xε（x）。我们的方法有一个风险，即ρXT（x）可能与ρ相差很大*x的XT（x） 0.另一方面，Φ*XT（宽- i） 可按以下方式计算：Φ*XT（宽- i） =1+e-iwr Tiw（1+iw）Fz*XT（k）（w） 。

（8） 这个表达式很容易从两个公式（5）和（6）中推导出来。现在，我们尝试表示ΦXT（w- i） 明确地。根据Lévy Khinchine公式（1）和假设[a2]，ΦXT（w- i） =经验值T-σw+gr（w）+ 我σw+gi（w）, （9） 其中w∈ R、 g（w）=f（w- （一）- i（w- i） f级(-i） ，gr=Re（g），gi=Im（g）。注意，g（0）=g（i）=0。通过【a1】**] 和[a3]，我们可以显示（w）=h（w）- c- icw，其中h（w）=Z∞-∞exeiwxν（d x），c=Z∞-∞exν（d x），c=Z∞-∞（例如-1） ν（d x）。（10） 因为h是实函数exdνd x的傅里叶变换∈ L（R）∩ L（R），可导出以下公式：h∈ L（R）、h（w）→ 0为| w |→ ∞, 人力资源部(-w） =小时（w）和高(-w） =-hi（w）（h=hr+ihi）（比照Pinsky【27】）。此外，请注意，h（0）=c，h（i）=c- c、 假设h是可微的，hr（0）=0。同时，dνd xc可以从h计算如下：dνd x（x）=e-xF车型-1【h（w）】（x）。这意味着发现h使我们能够估计Lévy测度ν。因此，我们试图通过精心利用人工神经网络，尽可能地从给定的数据中推导出h。严格来说，我们使用前馈神经网络。如果不熟悉这些，可以参考前面的论文，例如，Hutchinson等人[18]。我们制作了两个人工神经网络（ANN）来近似hrand hi。更精确地说，hr（w）=ANNr（w；θr），hi（w）=ANNi（w；θi），其中θrandθi分别是ANNrand ANNi的参数集。稍后将介绍ANNS的详细结构。这样，ΦXT（w- i） in（9）由ΦXT（w）给出- i；Θ）=expT-σw+ANNr（w；θr）- c+ 我σw+ANNi（w；θi）- cw公司,式中，Θ={c，c，σ，θr，θi}。注意ΦXT（w- i） 是一个复杂的函数。这使得人工神经网络很难获得市场信息，因为现有的学习方法（如随机梯度法）只能处理实值函数。

因此，我们分解ΦXT（w- i） 分成两个实值函数ΦXT，r（w- i） ：=ReΦXT（w- （一）和ΦXT，i（w- i） ：=即时消息ΦXT（w- （一）欧拉公式如下：ΦXT，r（w- i） =exp R（w）cos（Arg（w）），ΦXT，i（w）- i） =exp R（w）sin（Arg（w）），其中R（w）=T-σw+ANNr（w；θr）- c, Arg（w）=Tσw+ANNi（w；θi）- cw公司.接下来，我们设计ANN，使其能够尽可能多地继承h的属性。因此，可以设计ANN具有以下特性：1。ANNr公司(-wθr）=ANNr（w；θr）2。ANNr（0；θr）=c3。ANNr（0；θr）=04。ANNr（w；θr）→ 0为| w |→ ∞5、安尼(-wθr）=-安尼（w；θr）6。ANNi（0；θr）=07。ANNr（w；θr）→ 0为| w |→ ∞8、ANNr（i；θr）+iANNi（i；θi）=c- Ca经过仔细考虑，我们设置了nR（w）=Wr，0sigWr，1wsig公司-Wr，1w,ANNi（w）=Wi，0sigWi，1wsig公司-Wi，1ww、 其中，Wr、0、Wr、1、Wi、0和Wi、1是权重，sig是sigmoid函数，即sig（x）=1/（1+e-x） 。此外，c：=ANNr（0；θr）和c：=ANNr（0；θr）- ANNr（i；θr）- iANNi（i；θi）。使用sig（αi）sig(-αi）=1/（2（1+cosα）），c=Wr，0，c=Wr，0明确表示-Wr，01+cos Wr，1+Wi，01+cos Wi，1.然后，很容易证明ANN满足上述性质1,2,4,5,6,7,8。因为（sig（w））=sig（w）（1-sig（w）），ANN的导数areANNr（w）=Wr，0sigWr，1wsig公司-Wr，1w-Wr，1sigWr，1w+ Wr，1sig-Wr，1w,ANNi（w）=Wi，0sigWi，1wsig公司-Wi，1w1 +-Wi，1sigWi，1w+ Wi，1sig-Wi，1ww.将w=0代入上述表达式，我们可以检查ANN是否也满足属性3。ANNr（0）=0，ANNi（0）=Wi，0。输入和输出为w和ΦXT，r（w- i） ，ΦXT，i（w- （一）下文分别称为指数Lévy神经网络（ELNN）。由于其极大的灵活性，如果经过适当的训练，ELNN可以包含并优于现有的具有有限Lévy度量的参数exp-Lévy模型，如Merton和Koumodels。

此外，由于对神经网络优化问题的各种研究，它似乎优于现有的非参数经验模型，如CT模型和BR方法。图2展示了ELNN的部分结构。节点表示为 将每个节点的所有输入相乘，生成给定的输出。乍一看，ELNN的神经网络可能看起来类似于具有一个隐藏层的神经网络。但是，在本文提出的人工神经网络中，各个隐藏层中的节点被组织成两个,1.-,1.,0,1.-,1.,0乙状结肠安兰尼ArgSigmoidSigmoid乙状结肠图2：该图展示了指数Lévy神经网络（ELNN）的部分结构。节点表示为 将每个节点的所有输入相乘，生成给定的输出。包含相同数量元素的组。来自各组的信号在匹配和相乘时合并为一个信号。此外，各组的权重密切相关。这些精心设计使得ELNN可以被视为exp-Lévy模型的完全广义版本。最后，我们描述了ELNN的一种训练方法，即寻找最佳参数的方法*=c*, c*, σ*, θ*r、 θ*我. 如前所述，我们的基本策略是定位Θ以最小化| |ΦXT（w- i；Θ) -Φ*XT（宽- i） | |。然而，这种方法的幼稚应用很难实现。回想一下，ANNr（w）和ANNi（w）被设计为以| w |的形式变为0→ ∞. 但是，在实践中，ANN仍然很难猜测一个属性常数M>0，以至于它们的值对于| w |>M来说非常小。这个问题极大地增加了ELNN的训练时间。所以，在观察Φ的形状时*XT（宽- i） ，我们手动设置M>0，以便|Φ*XT（宽- i） |<N表示| w |>M和某个值N>0。

利用此M，引入正则化函数∧：∧（θr，θi）=Z∞-∞wM公司αANNr（w；θr）+ANNi（w；θi）dw，（11），其中α，至少大于1，在本文中设置为4。我们发现，惩罚原始目标函数| |ΦXT（w- i；Θ) - Φ*XT（宽- i） | | with∧大大缩短了训练时间。注意∧中的| w/M |α对于| w |非常小 M，而对于| w |它非常大 M、 这允许我们将ANN压缩为0表示| w | M不影响其| w | M、 总之，ELNN的目标函数为| |ΦXT（w- i；c、 c，σ，θr，θi）- Φ*XT（宽- i） | |+β∧（θr，θi），其中β是一个小常数，我们将该值设置为0.001。由于该函数的每一项都与R上的积分有关，我们使用梯形规则将其离散在足够大的紧集上。4、数值测试在本节中，我们实现了前一节中的ELNN。为此，我们创造了100000个虚拟开发价格c*通过采用两个参数exp-Lévy0.4 0.2 0.0 0.2 0.4x02468d/dx50 0 50w0.00.20.40.60.81.0Re（）T=0.3T=1T=350 0 50w0.100.050.000.050.10Im（）T=0.3T=1T=3（a）默顿模型4 0 2 0 4x0.00.51.01.52.02.5d/dx20 0 20w0.20.60.81.0Re（）T=0.3T=1T=320 0 20w0.40.20.00.20.4Im（）T=0.3T=1T=3（b）Kou模型图3：此图描述SDνd x和ΦXT（w- i） Merton和Kou模型的三个到期日T。文本中写入了模型的参数值。模型，Merton和Kou模型。回想一下，这些模型是基于有限的度量。由于ELNN不是针对这些情况而设计的，因此本文不感兴趣的是具有有限测度（如CGMY模型）的Exp-Lévymodels。图3描述了Lévy密度dνd x和ΦXT（w- i） 对于Merton和Kou模型，r=0.02，T={0.3，1，3}。

其参数设置如下：σ=0.2，λ=1，u=-默顿模型（2）中的0.05和δ=0.05，σ=0.21，p=0.04，λ=1.4，λ+=3.7和λ-= 1.8在Kou模型中（3）。我们通过监控大量蒙特卡罗模拟中的样本路径来选择合适的参数集。在图中，两个模型的平均密度具有不同的形状。默顿模型的图是连续的，而寇模型的图是不连续的。回想一下，Cont和Tankov[11]直接估算了莱维密度。然而，在估计不连续密度时，这种方法可能会导致严重的不稳定性，例如Kou模型。关于ELNN，问题不会出现，因为ELNN中的ANN近似于（10）中的连续h。观察ΦXT（w）的形状也很有趣- i） 根据T：到期时间越短，ΦXT（w）越明显- i） 取决于模型类型。但它们在长期到期时变得相似，这与正态分布的特征函数非常相似。这是因为跳跃的许多特征由于中心极限定理而减弱。因此，在估计资产的利维测度时，利用资产的短期期权是有效的。此外，如第2节所述，经验模型适用于固定的短时间范围。由于这些原因，我们仅在短期成熟度T=0.05时进行此实验。然后计算z*XTfrom▄c*X并用N（0，0.05z）添加市场噪音*XT）至z*Belomestnyand Reiss工作中的XTas【5】。为方便起见，我们表示扰动z*XTby z公司*在不改变符号的情况下。

随着期权的时间价值越来越大，期权价格上的市场噪音变得越来越强，这似乎是合理的。接下来，我们得到Φ*XT（宽- i） 每天使用（8），让ELNN学习，从而获得ΦXT（w- i） 60 40 20 20 20 40 60 W0.00.20.40.60.81.0Re（）ELNNtrue60 40 20 20 20 40 60 W0.030.020.010.000.010.020.03Im（）ELNNtrue0.2 0.1 0.0 0 0.1 0.2k0.0000.0050.0100.0150.020ZelnTrue0.3 0.2 0.1 0.0.0.1 0.1 0.1 0.2 0.3x02468dv/dxELNNtrue40 20 20 20 40 40 40.20 40.81.0Re（）ELNNtrue40 20.30.20.10.00.10.20.3Im（）ELNNtrue2 1 0 1 2k0.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.035zELNNtrue2 1 0 12x0.00.51.01.52.02.5dv/DXELNNTRUE由ELNN预测。在学习过程中，每个组的节点数设置为20，因此ELNN中的节点总数为80。我们发现，更多的节点并不一定能保证更好的结果。（11）中的调节参数M设置如下：对于默顿模型的虚拟市场，M=100；对于Kou市场，M=55。此外，ADAM优化器（Kingma和Ba[19]）用于找到上一节中提出的目标函数的良好局部最小值。测试了各种优化器，但ADAMoptimizer优于其他优化器，至少对于ELNN是这样。整个学习过程在30000个时期内进行，并且是一个完整的批次。事实上，我们在获取Φ时使用了一种技巧“数据放大”*XT（宽- i） 从z开始*每天X，因为k空间中的100个点不足以在w空间中找到相当精确的变换。使用数据收集All z*XT在整个数据周期（1000天）内，我们分成1000组，每组包括10000个随机选择的z*XT。然后，我们将每组视为单独的一天数据。与初始设置相比，它可以被视为每天将原始数据放大100次。请注意，这种方法是合理的，因为z*XT不依赖S。

过一会儿就会证明它非常有效。图4图表ΦXT（w- i） ，zXTandd vd XF用于Merton和Kou车型。蓝色实线和虚线分别表示ELNN的预测值和模型的真实值。灰色标记表示z*XTorΦ*XT（宽- i） 从z开始计算*XT。因为市场噪音干扰了期权价格，Φ*XT（宽- i） 通常会偏离正确的值，尤其是当| w |较大时，这会大大增加有偏学习的可能性。但是，通过在长期数据上训练ELNN，我们可以使误差相互抵消，从而降低偏差风险。请注意，预测行成功地通过了给定的数据点。此外，这些预测值与精确值非常接近，这证明了ELNN具有对市场噪声鲁棒的卓越推理能力。另一方面，对于Kou模型，当tod vd xnear x=0时，ELNN给出的结果稍差。这是由吉布斯现象引起的，吉布斯现象源于Kou模型的Lévy密度在x=0时是不连续的。ELNN估计，Merton模型的波动率σ为0.1998，而Kou模型的波动率σ为0.2106。这些值的相对误差分别只有0.1153%和0.2791%。为了阐明我们对文献的贡献，我们应该将ELNN与其他非参数EXP-Lévy模型、CT模型和BR方法进行比较。然而，我们已经知道，其他模型很容易受到各种因素的影响，而这些因素实际上是它们需要采用的。因此，我们分析并揭示了这些漏洞，而不是直接与ELNN进行比较。这一额外的测试是在现有数据上通过默顿模型进行的，其中我们使用了它唯一的一天数据，不包括市场噪音。首先，让我们看看CT模型。