合格投资者最优投资组合的存在性、唯一性和稳定性

，m}分为两个子集I6= I+使得对于I，φI（Z）=0∈ i的i和φi（Z）>0∈ I+。在这种情况下，我们声称a+ker（π）=\\i∈I{X∈ 十、^1i（X）≥ σA（Дi）}。“包含内容”” 是清楚的。要显示反向包含，假设X∈ X满意度i（X）≥ σA（Дi）表示所有i∈ 我注意到，我们可以选择λ>0，其大小足以满足Дi（X+λZ）=（Дi（X）≥ σA（Дi）如果i∈ 一、 ДI（X）+λДI（Z）≥ σA（Дi）如果i∈ I+，所以X∈ A+ker（π）。这证明了包含”” 并表明A+ker（π）是多面体。现在，假设A∞∩ ker（π）={0}。取任意非零Z∈ ker（π），并注意到对于合适的j，k，φj（Z）>0>φk（Z）∈ {1，…，m}（否则为Z或-Z需要位于A∞). 因此，我们可以将{1，…，m}分成三个子集I，I+6= 而我-6=  因此，对于i，νi（Z）=0∈ 一、 ^1I（Z）>0表示I∈ I+，对于I，νI（Z）<0∈ 我-.对于任何j∈ I+和k∈ 我-定义λjk=-Дk（Z）Дj（Z）>0，使函数lДjk=λjkДj+Дkbelongs toker（π）⊥. 我们声称a+ker（π）=\\i∈I{X∈ 十、^1i（X）≥ σA（Дi）}∩\\j∈I+，k∈我-{X∈ 十、~njk（X）≥ σA（Дjk）}。“包含内容”” 是清楚的。要避免逆向包含，请取X∈ 并假设它属于上述有限交点。我们必须展示λ∈ R使得X+λZ∈ A、 或相当于Дi（X+λZ）≥ σA（Дi）表示所有i∈ {1，…，m}。为此，设置λ=ma xi∈I+σA（ДI）- Дi（X）Дi（Z）。然后，不难验证φi（X+λZ）=^1i（X）≥ σA（Дi）如果i∈ 一、 ДI（X）+λДI（Z）≥ Дi（X）+σA（Дi）-如果i∈ I+，Дji（X）- λjiИj（X+λZ）≥ λjiσA（Дj）+σA（Дi）- λjiσA（Дj）=σA（Дi），如果i∈ 我-,其中j∈ I+满意度λ=σA（Дj）-Дj（X）Дj（Z）（注意，Дj（X+λZ）=σA（Дj））。这就是结论的证明。”” 并表明A+ker（π）是多面体。最优支付的唯一性在描述最优支付的存在性之后，下一个自然问题是在什么条件下我们可以确保唯一性。

我们首先展示了独特性的一般特征，这是对我们的最佳支付的定义的简单序列∈ 我们用| E（X）| s E t E（X）的基数表示。提案4.6。假设E（X）6= 对于每X∈ 十、然后，以下语句是等效的：（a）| E（X）|=1，每X∈ 十、（b） | E（X）|=每X 1∈ bd A∩ bd（A+ker（π））。（c） bd A∩ bd（A+ker（π））∩ （bd A+（ker（π）\\{0}））=.（d） bd A∩ （bd A+（ker（π）\\{0}）） int（A+ker（π））。证据很明显，（a）意味着（b）。现在，假设（b）成立，但我们发现X∈ bd A∩ bd（A+ker（π））和Z∈ ker（π）\\{0}这样X+Z∈ bd A.由于引理3.1的ρ（X）=0，我们看到E（X）包含两个零payoff 0∈ M和非零payoff Z∈ M使| E（X）|≥ 由于这与（b）相矛盾，我们得出结论，（b）必须暗示（c）。立即验证（c）是否意味着（d）。最后，假设条件（d）满足，但存在Z，Z∈ E（X），对于某些X，Z6=zf∈ 十、特别地，请注意Z- Z∈ ker（π）\\{0}。SinceProposition 3.2表示t X+Z∈ bd A∩ bd（A+ker（π）），则X+Z=X+Z+Z- Z∈ （（bd A∩ bd（A+ker（π））+ker（π）\\{0}）∩ bd A。然而，这与条件（d）不兼容，表明（d）意味着（A）。我们提供了多面体接受集唯一性的充分条件。为此，wefreely使用引理2.1中记录的多边形集的对偶表示。提案4.7。假设A是多面体，由Д、…、表示，^1m∈ X′+。对于任何X∈ X考虑setIA（X）={i∈ {1，…，m}；Дi（X）=σA（Дi）}。然后，以下语句是等效的：（a）| E（X）|=1，每X∈ 十、（b） ker（π）∩Ti公司∈IA（X）ker（ψi）={0}对于每X∈ bd A∩ bd（A+ker（π））。证据首先，回顾推论4.5，每个职位都有一个最优的报酬，因此E（X）对于所有X都是非空的∈ 十、

此外，对于任何位置X，没有te∈ X我们有IA（X）6= 当且仅当X∈ bd A由于多面体。为了证明（a）意味着（b），假设条件（b）对x失效∈ bd A∩ bd（A+ker（π）），因此我们找到一个非零Z∈ 对于所有i，属于keri的keri（π）∈ IA（X）。特别是在r中，请注意，对于i，Дi（X+λZ）=Дi（X）+λИi（Z）=σA（Дi）∈ 每λ的IA（X）∈ (0, ∞). 因为i的φi（X）>σA（φi）/∈ IA（X），也很清楚的是，Βi（X+λZ）=Βi（X）+λΒi（Z）≥ σA（Дi）表示i/∈ λ的IA（X）∈ (0, ∞) 小enoug h。这意味着X+λZ∈ A FORλ∈ (0, ∞) 足够小。由于ρ（X）=0，我们得出结论| E（X）|>1。这就确定了（a）意味着（b）。相反，假设t（a）不成立，因此对于某些X，| E（X）|>1∈ bd A∩ bd（A+ker（π））由命题4.6得出。取两个不同的Z，Z∈ E（X）并设置Y=X+（Z+Z）。自（Z+Z）∈ 根据A的凸性，从命题3.2可以看出，Y属于bd A∩ bd（A+ker（π））。那么，对于everyi∈ IA（Y）我们有σA（νi）≤（Дi（X+Z）=Дi（Y）+Дi（Z- Z） =σA（Дi）+Дi（Z- Z） Дi（X+Z）=Дi（Y）+Дi（Z- Z） =σA（Дi）+Дi（Z- Z） 在第一个不等式中，我们将X+Zand和X+Zbelong都用到了A。这意味着Z- Z∈ ker（^1i）代表所有i∈ IA（Y）。自π（Z- Z） =ρ（X）- ρ（X）=0，我们得出结论，违反了条件（b）。因此，（b）意味着（a）。对于多面体接受集，上述唯一性条件采用以下简单形式。推论4.8。假设A是一个多面体圆锥体，由Д，^1m∈ X′+andker（π）∩ 对于所有i，ker（Дi）={0}∈ {1，…，m}。那么，| E（X）|=每X 1∈ 十、我们通过建立关于唯一性的另一个有用结果来结束本节，该结果表明，每当接受集沿ker（π）方向“严格凸”时，总是确保唯一性。提案4.9。

假设E（X）6= 对于所有X∈ 对于任何不同的X，Y∈ bd A带X- Y∈ ker（π）存在λ∈ （0，1）满足λX+（1- λ） Y型∈ int A.那么，对于所有X，| E（X）|=1∈ 十、证据取任意位置X∈ bd A∩ （bd A+ker（π）\\{0}）。这一主张直接源于主张4。6一旦我们证明X属于int（A+ker（π））。为此，请注意，对于合适的位置Y，X=Y+Z∈ bd A和非零支付∈ ker（π）。因此，通过假设，我们找到了一个标量λ∈ （0，1）满足λX+（1- λ） Y型∈ int A.现在，设置为方便em=X- (1 - λ） Z=λX+（1- λ） Y型∈ int A，所以M+U A表示零U的某个邻域 十、自每个W∈ X+U很容易被看到- (1 - λ） Z- M=W- 十、∈ U、 然后是X+U (1 - λ） Z+M+U A+ker（π）。这表明X是A+ker（π）的内点，并给出了证明。备注4.10。一般来说，不需要满足上述唯一性的充分条件。要看到这一点，letX=Rand考虑由a=co（{X，X，X}）+X+给出的多面体接受集，其中X=（0，-1，1），X=(-1、0、1）和X=(-, 0, 0). 假设M=X，并通过为所有X设置π（X）=（X+X+X）来定义π∈ 十、立即验证我们的假设（A1）至（A3）在这种情况下是否成立。此外，sinceA+ker（π）={X∈ 十、X+X+X≥ -},由此可知，根据命题4.1，E（X）是非空的，并且很容易被视为由单个支付组成，每个X对应于命题4.6∈ 十、然而，位置X和X都属于bd A和satisfyX- 十、∈ ker（π）\\{0}和bd A中连接X和Xlie的整个段。作为命题4.9的直接结果，我们推断，如果基础接受集是严格凸的，则位置最多允许一个最优支付。推论4.11。假设A是严格凸的，E（X）6= 对于所有X∈ 十、那么，对于allX，| E（X）|=1∈ 十、备注4.12。在Armenti等人的多变量背景下。

（2016年），最优薪酬的独特性对于在被调查的金融系统实体之间确定系统性风险的有意义分配至关重要。定理3.6中记录的唯一性结果可以被视为等价于基础接受集的严格凸性。5最优收益的稳定性本文的其余部分侧重于最优投资组合的稳定性或稳健性问题。正如导言中所述，从运营角度来看，确保X的轻微扰动（例如由估计或规格错误引起的扰动）不会显著改变最优支付集是至关重要的。换句话说，对于所有位置X，Y∈ 我们希望确保y接近X==> E（Y）与E（X）接近。为了明确最优支付集之间的邻近性概念，我们自然会研究最优支付映射的（半）连续性性质。文献中研究了集值映射的各种（半）连续性概念，并且经常使用相同的术语来描述不同的连续性形式。上半连续和下半连续的概念可以追溯到Berge（1963），但我们对上半连续的概念略有不同，并与Aliprantis和Border（2006）中的上半连续的概念一致。外部半连续性的定义摘自Rockafellar和Wets（2009）。外部半连续性。对于任何给定位置X∈ 我们说E在X上是外半连续的，如果在Z上是外半连续的/∈ E（X）我们发现开放式邻居引擎罩UX X/X和UZ Z中的M就是这样∈ 用户体验==> E（Y）∩ UZ=.我们说E是外半连续的（在X上），如果E在每个X上是外半连续的∈ 十、

这种稳定性要求，对于给定位置非最优的合理报酬，对于非常接近给定位置的任何位置都不可能是最优的。上半连续性。对于任何给定位置X∈ 如果前面的开集U是上半连续的，我们说E在X上是上半连续的 M带E（X） U我们找到一个开放的社区UX X/X这样的∈ 用户体验==> E（Y） U、 如果E在每个X上是上半连续的，我们说E在X上是上半连续的∈ 十、直觉上的峰值、上半连续性确保了最优收益集不会因基础位置的轻微扰动而突然“爆炸”。下半连续性。对于位置X∈ 我们说，对于每个开集U，E在X iff处是下（或内）半连续的 M带E（X）∩ U 6= 我们发现了一个开放的社区UX X/X这样的∈ 用户体验==> E（Y）∩ U 6=.我们说，如果E在每个X上是下半连续的，那么E是下半连续的（或内部的）∈ 十、从直觉上讲，下半连续性确保了最优支付不会因基础头寸的轻微扰动而突然“收缩”。在这种情况下，对于每个位置X，满足以下直觉鲁棒性：Y接近X和Z∈ E（X）==> E（Y）中存在一个接近Z的支付。换句话说，下半连续性保证了在基础头寸发生小扰动后，最优支付将接近最优。因此，这种连续性属性构成了我们财务上下文中的键稳定性概念。备注5.1。（i） 由于E是闭值的，很快就会发现，对于我们的最优支付图E，上s半连续性总是意味着外半连续性。（ii）考虑位置X∈ X，其中| E（X）|=1。那么，当E在X上半连续时，它在X上是下半连续的。然而，反之则不成立。

但如果| E（X）|=1表示所有X∈ 那么上半连续和下半连续是等价的，可以归结为映射的连续性，映射给X的是E（X）中的唯一元素。（iii）对于凸值集值映射，下半连续性的性质尤其强大，因为它确保了共连续选择的存在；参见Aliprantis和Border（2009）中的定理17.66。回想一下函数ζ：X→ 如果满足ζ（X），则M是E的选择∈ E（X）每X∈ X使得e（X）是非空的。因此，对最优支付图的连续选择可以解释为以稳健的方式选择最优支付的过程。外半连续我们首先证明了最优支付映射在整个X上总是外半连续的。定理5.2。最优支付图E是外半连续的。证据取任意X∈ X和fix Z∈ X\\E（X）。假设第一个t Z/∈ M、 在这种情况下，由于M是封闭的，我们发现了一个邻居UZ Z的M满足UZ∩ M=, 这意味着E（Y）∩ UZ= 每年∈ 十、假设Z∈ M但X+Z/∈ A、 因为A是封闭的，所以存在UX社区 X和UZ的X M o f Z使得（UX+UZ）∩ A=. 特别是，我们必须有E（Y）∩ UZ= 每年∈ 用户体验。最后，假设Z∈ M和X+Z∈ 但π（Z）6=ρ（X）。在这种情况下，设置ε=|π（Z）- ρ（X）|并考虑X和Z的邻域，分别由（回想一下ρ和π是连续的）UX={Y定义∈ X|ρ（Y）- ρ（X）|<ε}和UZ={W∈ M|π（W）- π（Z）|<ε}。然后，取任意元素W∈ E（Y）∩ UZwith Y∈ UXwe获得ε≤|π（Z）- π（W）|+|π（W）- ρ（X）|=|π（Z）- π（W）|+|ρ（Y）- ρ（X）|<ε+ε=ε，这显然是不可能的。这表明E（Y）∩ UZ= 每Y必须保持∈ 用户体验。

综上所述，X处E始终是外半连续的。上半连续这一部分为最优支付图是上半连续的提供了必要和充分的条件。基于Aliprantis和Bor de r（2006）定理17.20中记录的一般特征化，我们通过证明上半连续性的序列特征来启动t。通过利用最优payoff映射的特殊结构，我们可以锐化这个结果，并表明上半连续性可以用序列来表征，而无需任何竞争性假设。事实上，上半连续性意味着紧凑的价值。提案5.3。下列语句是等价的：（a）E是上半连续的。（b） 对于每个紧致集K，E（K）是有界的（M） 十、（c） 对于每X∈ 我们有→ 十、 锌∈ E（Xn）==> Z∈ E（X），（Znk）：Znk→ Z、 证明。首先，假设（a）成立。回想Aliprantis和Border（2006）中的引理17.8，紧致值的nyupper半连续集值映射会自动将紧致集发送到有界集。由于命题3.2给出的E值与d值很接近，一旦我们证明E（X）对于任何给定的X都有界（以M为单位），就会出现断言（b）∈ 十、为此，假设e（X）6= 考虑由u=[Z]定义的e（X）的op-n邻域∈E（X）∩B（0）int B（Z）∪[r>1[Z]∈E（X）∩bd Br（0）int Br（Z）。此外，考虑严格递增函数f：（1，∞) → (2, ∞) 由f（r）=r+r给出。注意，对于每个W∈ 当功率k>2时，我们发现合适的r>1和Z∈ E（X）∩ bd Br（0）使W∈ int Br（Z），表示kW k≤ kZk+千瓦- Zk公司≤ f（r）和yieldskW- Zk公司≤r≤f-1（kW k）。因此，以下是W∈ U\\B（0）==> d（{W}，E（X））≤f-1（kW k）。（6） 上半连续存在一个开放的邻域UX X的X，使得E（Y） U代表联盟∈ 用户体验。

特别是，我们发现ε>0足够小，因此X+εU∈ UXand thusE（X）- εU=E（X+εU） U、 （7）我们声称d（E（X）- εU，E（X））>0。（8） 要看到这个，取任意Z，W∈ 注意，由于π（Z）=ρ（X）=π（W），我们有Z- W∈ ker（π）。这个yieldskZ- εU- W k公司≥ εd（{U}，ker（π））>0，建立（8）（最后一个不等式通过π的连续性保持，因为π（U）>0）。通过组合（6）、（7）和（8），我们可以得出E（X）必须有界的结论。事实上，如果不是这样，我们可以通过（7）无边界序列（Zn）找到 E（X）- εU U满足D（{Zn}，E（X））≤f-1（kZnk）→ 0by（6）。然而，这与（8）相矛盾。总之，E（X）是有界的，因此，（b）成立。接下来，假设（b）保持并考虑序列（Xn） X和X∈ X使得Xn→ 十、 Mor e over，let Zn∈ E（Xn）为每个n固定∈ N、 由于收敛，（Xn）包含在紧集中，因此它遵循fr om（a），即（Zn）有界，因此允许收敛子序列（Znk）。让Z∈ Mbe对应的限值（请注意，M是闭合的）。自Xnk+Znk∈ bd A∩ bd（A+ker（π））适用于所有k∈ 根据位置3.2，我们很容易推断出X+Z∈ bd A∩ bd（A+ker（π））。因此，我们可以将Proposition 3.2应用于c，从而得出Z∈ E（X）。这建立了（c）。根据Aliprantis and Border（2006）中的第17.20节，我们通过回顾（c）始终暗示（a）来完成等效性的证明。下一个结果表明，每当合格资产的市场没有可伸缩的好交易时，E总是上半连续的。推论5.4。假设市场不允许任何可扩展的好交易，即∞∩ ker（π）={0}。那么，E是上半连续的。证据一旦我们证明，对于任何固定紧集K 十、 集合E（K）以M为基础。

相反，假设E（K）没有界，这样我们就可以找到一个序列（Xn） K和元素Zn∈ E（Xn）表示n∈ N使kZnk≥ 每n取n∈ N、 在不丧失一般性的情况下，我们假设Xn→ X代表s ome X∈ K、 注意，通过紧性，我们可以提取出可测子序列（Znk），这样kznkk（Znk）→ 对于一些非零Z∈ M（回想一下，M是闭合的）。特别是r，我们还有kznkk（Xnk+Znk）→ Z、 自Xnk+Znk∈ A代表所有k∈ N、 我们看到Z∈ A.∞. 此外，Z满足π（Z）=limk→∞π（Znk）kZnkk=limk→∞ρ（Xnk）kZnkk=0连续性。然而，与我们的假设相反，这意味着Z∈ A.∞∩ ker（π）。因此，e（K）必须有界，从而得出证明结论。每当底层接受集为星形时，缺乏可扩展的好交易是上半连续的必要条件。在这种情况下，上半连续性等价于E（X）有界于某个位置X∈ X（使得E（X）是非空的）。回想一下，根据假设2，当A是凸的时，它会自动被压缩。定理5.5。假设A是星形的。然后，下列语句是等价的：（a）E是上半连续的。（b） E（X）每X有界∈ 十、（c） E（X）对于某些X是有界的∈ X使得E（X）6=.（d） 市场不允许任何可扩展的好交易，即∞∩ ker（π）={0}。证据从Pro位置5.3可以看出，（a）意味着（b），这显然意味着（c）。此外，推论5.4告诉我们，（d）意味着（a）。因此，必须证明∞∩ ker（π）={0}当在允许最优支付的某个位置有界值时，取任意X∈ 使得E（X）是非空且有界的。