合格投资者最优投资组合的存在性、唯一性和稳定性

然而，正如Baes和Munari（2017）所示，这远非事实。近似最优支付图的下半连续前面的例子表明，一旦我们离开多面体，最优支付图可能就不是下半连续的，在这种情况下，最优投资组合的选择会受到严重不稳定性的影响。这与基础验收集是否为共模无关。因此，我们很自然地会转向下半连续性的研究，以获得接近最优的支付图。对于任何给定的ε>0，这些都是设定值MAPS Eε：X=> 通过设置ε（X）定义：={Z∈ MX+Z∈ A、 π（Z）<ρ（X）+ε}。我们不再关注最优回报，而是放松最优条件，以接近最低的成本寻找确保可接受性的所有回报。参数ε定义了最佳成本周围的公差范围。在参数优化语言中，Eε被称为ε-最优集映射。几乎最优集映射的研究是参数优化中经常出现的主题，下半连续性的关键结果是Bank等人（1983）的定理4.2.4。在将该结果调整到我们的框架后，我们利用它来建立各种较低的连续性结果，以获得接近最优的支付图。为此，我们首先需要以下初步引理，它提供了Bank等人（1983）中引理2.2.5和推论2.2.5.1的简单概括。这里，对于X∈ 我们说一个集值映射S:X=> 对于任意Z，M在X处是严格下半连续的∈ 存在开放的社区UX X/X和UZ Z中的M就是这样∈ 用户体验==> 乌兹 S（Y）。我们说，如果上述性质对每个X都成立，那么S是严格下半连续的∈ 十、早期，严格下半连续性比下半连续性强（通常强得多）。引理5.18。

对于任何贴图S，S:X=> M以下陈述成立：（i）假设Sis严格下半连续且Sis下半连续。然后，集值映射：X=> M由S（X）=S（X）给出∩ S（X）是下半连续的。（ii）假设Sis严格下半连续和S（X） S（X） cl S（X）适用于所有X∈ 十、然后，Sis下半连续。证据（i） 修复X∈ X并假设S（X）∩ U 6= 对于某些开放集U M、 取Z∈ S（X）∩ 注意，通过严格的下半连续性，我们可以找到开放的邻域UX X/X和UZ Z的M使得uz S（Y）代表所有Y∈ 用户体验。自Z起∈ S（X）∩ U∩ UZ，有一个邻居VX X，共X个∈ Vx表示S（Y）∩ U∩ UZ6= 通过下半连续性。因此，以下为S（Y）∩ U=S（Y）∩ S（Y）∩ U 乌兹∩ S（Y）∩ U 6=对于每个Y∈ 用户体验∩ 证明S是下半连续的。（ii）固定X∈ 十、假设S（X）∩ U 6= 对于某些开放集U M取Z∈ S（X）∩ U、 然后，Z∈ cl S（X）∩ 因此，我们可以找到一个序列（Zn） S（X）使Zn→ Z、 特别是，存在k∈ N，其中Zk∈ U、 通过严格的下半连续性，我们找到了开放的邻域UX Xof X和英国 ZK的M，以便英国 S（Y）代表所有Y∈ 用户体验。接下来是thatZk∈ 英国∩ U S（Y）∩ U S（Y）∩ Ufor任何Y∈ UX，表明Sis在X下半连续。命题5.1 9。修复X∈ 并假设集值映射F:X=> 定义为f（X）：={Z∈ MX+Z∈ A} 在X处是下半连续的。然后，对于任何ε>0，Eε在X处是下半连续的。证据对于任何固定ε>0，请考虑设定值映射H:X=> M由h（X）={Z给出∈ Mπ（Z）<ρ（X）+ε}。很容易看出，通过π和ρ的连续性，H在每个点上都是严格下半连续的。因为Eε（X）=F（X）∩ H（X）表示所有X∈ 这个断言是引理5.18的直接结果。备注5.20。

在参数优化中，ma p F通常被称为约束集映射。在我们的背景下，它可以被视为Jouiniet al.（2004）引入的集值风险度量的广义版本，并在Hamel和Heyde（201 0）中进一步研究。下一个定理是我们关于近似最优支付映射稳定性的主要结果。定理5.21。假设cl（int A）=A，集值映射G:X=> 定义为g（X）：={Z∈ MX+Z∈ int A}满意度G（X）6= 对于所有X∈ 十、当ε＞0时，Eε是下半连续的。证据对于任意X∈ 我们有G（X） F（X） cl（G（X））。第一个包含很明显。要建立第二个包含项，请注意f（X）=M∩ （A）- 十） =米∩ （cl（int A）- X） cl（M∩ （内景A- 十） ）=cl（G（X））。此外，注意G是严格下半连续的。要显示这一点，请使用X∈ X和Z∈ G（X）。自X+Z∈ int A，我们发现开放式社区用户体验 X/X和UZ Z的M使得UX+UZ int A.这意味着W∈ G（Y）表示任意Y∈ UX和W∈ UZ，表明G确实是X的严格下半连续。因此，我们可以应用引理5.18来推断F是下半连续的。该评估现在是5.19号提案的直接结果。上述密度条件在正锥具有非空内点的模型空间中总是满足的。这尤其意味着，当某些合格的支付函数位于正锥的内部时，在有限维空间或有界随机变量空间中，接近最优的支付函数映射总是下半连续的。推论5.22。假设int X+∩ M 6=. 当ε＞0时，Eε是下半连续的。证据首先请注意，A具有非空内部，因为它包含X+。取任意X∈ A和Z∈ 整数X+∩ 所有n的命令集Xn=X+nZ∈ N、 显然，我们有Xn→ 十、 我们声称Xn∈ int A适用于任何文件∈ N

要看到这一点，请将Z定义的邻域设为uz={Y∈ 十、2Z≥ Y≥ 0 }.然后，我们很容易看到，X+nuzi是X+中包含的xn的邻域，因此，在a中。这建立了该主张，并证明了cl（int a）=a。根据定理5.21，总结证明G（X）6= 对于所有X∈ 十、为此，取任意X∈ 注意Z+λX∈ λ>0时，int X+足够小。这将产生X+λZ∈ int X+表示G（X）不是空的。本节的最后一部分用凸接受集来表示。在本案例中，密度条件cl（int A）=A是众所周知的满足条件（前提是A具有非空内部）。对于凸面情况下接近最优的支付映射低于半连续的情况，因此有必要使每个位置都“严格可接受”，即通过合适的合格支付，可以移动到接受集的内部。接下来的结果描述了可以实现这一点的一些情况。推论5.23。当s ume A是凸的且int（A∞) ∩ M 6=. 当ε＞0时，Eε是下半连续的。证据固定ε>0，让Z∈ 内景（A∞) ∩ M、 那么，对于任何X∈ X我们发现λ>0小数值，因此λX+Z∈ 内景（A∞). 自A∞是一个圆锥体，相当于X+λZ∈ 内景（A∞) 并表明G（X）6=.作为定理5.21的结果，我们得出E在X是ε-下半连续的。在下一个结果中，我们用X++表示X中的严格正元素集。重新计算所有X∈ 对于所有非零功能，如果ν（X）>0，则X+严格为正∈ X′+。推论5.24。假设A是凸的，int（A∞) 6=  和X++∩ M 6=. 那么，对于每一个ε>0，Eε都是下半连续的。证据让Z∈ X个++∩ M这个断言是推论5.23的直接结果，一旦我们证明z∈ 内景（A∞). 为此，假设Z/∈ 内景（A∞). 在这种情况下，Hahn Banach发现了一个非零函数∈ X′令人满意（注意0∈ A.∞)^1（Z）≤ σA∞(φ) ≤ 0 .

（13） 自A∞是一个圆锥体，引理2.1表示ν（X）≥ 0表示所有X∈ A.∞. 特别是，由于X+ A、 我们看到了∈ X′+。通过严格的正性，这将产生大于0的ν（Z），然而，这与（13）相矛盾。