合格投资者最优投资组合的存在性、唯一性和稳定性

此外，我们写了br（Z）：={W∈ M千瓦- Zk公司≤ r} 对于任何Z∈ M和r∈ (0, ∞).可用支付的价格用线性函数π：M表示→ R、 注意，作为线性，π是自动连续的。π的核用ker（π）表示：={Z∈ Mπ（Z）=0}。我们自始至终都假设M包含一个正的支付和严格的正价格（通过线性，它总是可以归一化为1）。假设1。我们假设存在U∈ M∩ X+使得π（U）=1。如果M包含非零正收益，且市场没有套利机会，因此π是严格正的，则上述假设自动满足。验收集验收集由子集a表示 我们规定了以下假设。假设2。我们假设A严格包含在X和s中：（1）A是闭合的，并且包含零。（2） A+X+ A、 上述性质被广泛认为是验收集应满足的最小性质。属性（1）在理论和实践中均符合所有相关验收集的要求。属性（2）被称为单调性，等同于规定支配可接受位置的任何位置也应被视为可接受。注意，我们不要求先验是凸的。原因是，尽管其在多元化效益方面的解释很有吸引力，但实践中使用的一些相关接受集（如基于风险价值的接受集）并不能满足凸性。然而，我们需要A的凸性来建立我们的一些结果。在凸接受集类中，多面体集和凸锥（有时称为相干接受集）特别容易处理。例2.2（单变量可接受性）。假设X是随机变量的标准空间。

对于隐式，我们取X=L∞(Ohm, F、 P）并且我们考虑了X上的c-正则几乎确定序。（1） 头寸X的风险值（VaR）∈ α级X∈ （0，1）由varα（X）定义：=inf{m∈ RP（X+m<0）≤ α}.因此，直到一个符号，VaRα（X）与X的上α分位数重合。相应的接受集是由a={X给出的闭合锥∈ 十、VaRα（X）≤ 0}={X∈ 十、P（X<0）≤ α}.在这种情况下，可接受性归结为检查某个头寸的违约或损失概率是否不超过阈值α。请注意，A通常不是凸的。基于VaR的承兑交易历来是巴塞尔协议（Basel Agreements）和偿付能力II（Solvency II）的核心，前者是银行业的参考监管制度，后者是欧盟保险公司的监管制度。（2） 预计的ed差额为X∈ α级X∈ （0，1）定义为α（X）：=αZαVaRβ（X）dβ。相应的访问集是由a={X给出的闭凸锥∈ 十、ESα（X）≤ 0}.众所周知，无论何时，A都是多面体Ohm 是有限的。要在ES下被接受，金融机构需要在α分位数上限以外的尾部具有平均偿付能力。目前，ES是瑞士保险公司监管框架SWIS偿付能力测试的基础，并将成为即将出台的巴塞尔协议中市场风险的风险度量标准。（3） 基于测试场景E的非空se的验收集∈ F是闭凸圆锥＝{X∈ 十、XE公司≥ 0}.在这里，我们用事件E的指标函数表示。在这种情况下，可接受性降低到在每个选定的测试场景中要求偿付能力。注意，在E=Ohm. 还请注意，A是多面体Ohm 是有限的。

许多中央交易所和清算对手用于设定保证金要求的方法，尤其是芝加哥商品交易所采用的标准投资组合风险分析，基于测试sce narios。（4） 基于概率测度族Q的可接受集(Ohm, F） 对于P是绝对连续的，是由a=\\Q定义的闭凸集∈Q{X∈ 十、等式[X]≥ αQ}适用于合适的αQ∈ (-∞, 0]. Q的元素通常被称为广义s cenarios。请注意，当Q为有限和圆锥时，如果所有Q的αQ=0，则为一个等多面体∈ Q、 在关于好交易定价或具有可接受风险的定价的文献中，经常会遇到这种类型的接受集。（5） 基于增凹效用函数u:R的可接受集→ R由a={X给出∈ 十、E【u（X）】≥ α} 对于合适的α∈ (-∞, u（0）]。注意，当u在u（λx+（1）的意义上是严格凹的时，A是严格凸的- λ） y）>λu（x）+（1- λ） u（y）表示所有缺陷x，y∈ R和λ∈ (0, 1). 基于预期效用的接受集在有关良好交易定价或具有可接受风险的定价的文献中很常见。例2.3（多元可接受性）。假设X是随机向量的标准空间。对于隐式，我们取X=L∞d(Ohm, F、 P）对于某些d∈ N，我们考虑X上的正则分量几乎必然序。（1） 每当A的formA=C×······································∞(Ohm, F、 P）。根据A的说法，当每个实体根据相应的单一接受集在单独的基础上充分资本化时，该系统就被充分资本化了。（2） 基于聚合函数∧：Rd的接受集→ R定义为a={X∈ 十、∧（X）∈ C} 其中C是L中的给定验收集∞(Ohm, F、 P）。

函数∧在一个图中总结了系统及其内部相关性，该图根据单变量接受集进行测试。在好的交易定价框架中，通常假设市场不接受好的交易，即nopayo ffz∈ A.∩ M使得π（Z）≤ 这相当于要求每个可接受的合格支付必须有一个严格的正价格。根据假设1-2，没有好的交易相当于∩ ker（π）={0}。有时，人们有兴趣排除那些特殊的好交易Z∈ M使得λZ∈ A表示所有λ>0，对应于可以零成本甚至负成本购买的支付，并且无论其大小都是可接受的。根据Pennanen（2011）中引入的术语，我们将这种支付称为可扩展的好交易。根据假设1-2，缺乏可扩展的良好交易相当于∞∩ ker（π）={0}。上述条件对于确保最优支付的存在性和稳定性非常重要。风险度量与接受集A、合格支付空间M和Pricingfunctionπ相关的风险度量是映射ρ：X→通过设置ρ（X）：=inf{π（Z）；Z定义∈ M、 X+Z∈ A} 。对于我们研究合格资产最优投资组合的存在性和稳定性而言，至关重要的是假设ρ仅取有限值且是连续的；详见备注5.7。假设3。我们假设ρ是整值且连续的。Fa rkas等人（2015）提供了各种完整性和连续性的有效条件，我们在此记录这些条件以便于参考。特别要注意的是，ρ不能被精确估价（事实上，我们会得到ρ≡ -∞) unlessA+ker（π）6=X。Farkas等人将这种情况称为缺乏可接受性套利。

（2015）并表示不可能以零成本让每个职位都被接受。提案2.4（[18，提案1、2、3]）。假设A+ker（π）6=X。然后，如果以下任何条件成立，ρ为整值且连续：（i）int X+∩ M 6=.（ii）A是凸的，X是凸的++∩ M 6=.（iii）A是凸锥，int A∩ M 6=.备注2.5。上述条件要求合格支付空间包含“充分无风险”的支付；详见Farkas等人（2015）。注意，条件（i）要求正coneX+具有非空内部。如果dim（X）<∞ 但除有界随机变量空间外，通常在有限维空间中分解。3最优支付图与风险度量ρ相关的最优支付图是集值图E:X=> 定义byE（X）：={Z∈ MX+Z∈ A、 π（Z）=ρ（X）}。E（X）中的每个合格支付被称为位置X的最佳支付。注意，如上所述，可能存在位置X，使得E（X）为空（即使ρ（X）为有限）。下一个命题列出了本文中使用的最优支付图的一些有用属性。为此，我们首先需要回顾风险度量ρ的一些基本属性。引理3.1（[18，引理2，3]）。对于任意X，Y∈ X风险度量ρ满足：（i）X≥ Y表示ρ（X）≤ ρ（Y）。（ii）ρ（X+Z）=ρ（X）- π（Z）对于每个Z∈ M、 （iii）ρ（X）=inf{M∈ RX+亩∈ A+ker（π）}。（四）{X∈ 十、ρ（X）<0}=int（A+ker（π））。（v） {X∈ 十、ρ（X）≤ 0}=cl（A+ker（π））。（vi）{X∈ 十、ρ（X）=0}=bd（A+ker（π））。提案3.2。

对于每X∈ 下列国家持有：（i）E（X）={Z∈ MX+Z∈ bd A∩ bd（A+ker（π））}。（ii）E（X+Z）=E（X）- Z代表每个Z∈ M、 （iii）E（K）对于每个紧集K是闭合的 十、（iv）当A是凸的时，E（X）是凸的。（v） 当A是多面体时，E（X）是多面体（M）。（vi）E（X）∞ A.∞∩ ker（π）。（vii）E（X）∞= A.∞∩ ker（π），如果A为星形且E（X）6=.证据（i） 因为A是闭合的，X+Z∈ 对于所有X，bd（A+ker（π））等于ρ（X）=π（Z∈ X和Z∈ M通过引理3.1，一旦我们证明了E（X），断言就成立了 {Z∈ MX+Z∈ bd A}。（2） 为此，取任意Z∈ E（X），注意，根据定义，我们有X+Z∈ A和ρ（X）=π（Z）。应为X+Z∈ 在等待中，我们将找到一个合适的ε>0，以便X+Z- εU∈ A、 然而，这将意味着ρ（X）≤ π（Z）- επ（U）<ρ（X）。因此，我们必须有X+Z∈ 这就是（2）的证明。（ii）对于任何Z∈ M根据命题3.2，E（X+Z）=bd A∩ bd（A+ker（π））- （X+Z）=（bd A∩ bd（A+ker（π））- X）- Z=E（X）- Z、 （iii）评估K X是紧的，考虑序列（Zn） E（K）收敛到某个Z∈ M（r ecallthat M is clos e d）。对于任意n∈ N我们发现Xn∈ K，使Zn∈ E（Xn）。由于K是紧的，一个适配子序列（Xnk）收敛到某个X∈ K、 请注意，Xnk+Znk∈ bd A∩ bd（A+ker（π））适用于所有k∈ N根据命题3.2。还请注意，Znk→ Z、 因此，我们推断X+Z∈ bd A∩bd（A+ker（π）），表示Z∈ E（X）aga根据命题3.2。这将产生Z∈ E（K），并得出证明结论。（iv）假设A是凸的，取任意X∈ 十、然后，对于每个Z，W∈ E（X）和对于每个λ∈ [0，1]我们显然有x+λZ+（1- λ） W=λ（X+Z）+（1- λ） （X+W）∈ Aas以及π（λZ+（1- λ） W）=λρ（X）+（1- λ） ρ（X）=ρ（X）。这表明E（X）是凸的。（v） 假设A是多面体，以便我们找到合适的泛函Д。

，^1m∈ X′+满足a=m\\i=1{X∈ 十、^1i（X）≥ σA（Дi）}。在这种情况下，我们很容易看到{Z∈ MX+Z∈ A} =m\\i=1{Z∈ M^1i（Z）≥ σA（Дi）- ^1i（X）}。（3） 此外，请注意{Z∈ Mπ（Z）=ρ（X）}={Z∈ Mπ（Z）≥ ρ（X）}∩ {Z∈ M-π（Z）≥ -ρ（X）}。（4） 这表明E（X）可以表示为M中两个多面体集的交点，因此在M中也是多面体。（vi）取任意Z∈ E（X）∞所以λnZn→ Z表示合适的序列（λn） R+收敛到零，对于（Zn） E（X）。自λn（X+Zn）→ Z和X+锌∈ A代表每n∈ N、 我们看到Z∈ A.∞. 此外，请注意，Z属于M（因为M是封闭的），满足π（Z）=limn→∞λnπ（Zn）=limn→∞λnρ（X）=0乘以π的连续性，因此Z∈ ker（π）。这证明了E（X）∞ A.∞∩ ker（π）。（vii）回想一下，如果A是星形的，我们有∞= 此外，回顾渐近锥总是包含相应的衰退锥。因此，根据第（v）点，一旦我们证明REC A∩ ker（π） 记录E（X）。（5） 为此，取任意Z∈ 记录A∩ ker（π）和W∈ E（X），它的存在是因为E（X）被假定为benonempty。我们声称，对于每个λ∈ (0, ∞), 我们有W+λZ∈ E（X）。为了说明这一点，请首先注意x+W+λZ∈ A、 这是因为Z∈ rec A和X+W∈ A、 此外，很明显π（W+λZ）=π（W）=ρ（X）。这表明W+λZ∈ E（X）对于每个λ∈ (0, ∞) 并建立（5）。备注3.3。我们表明，上述第（vii）点中的假设都是必要的。设X=Rand M=X，通过为所有X设置π（X）=（X+X）来定义定价函数π∈ 十、（i） A为星形，但E（X）为空。考虑验收se t A=A∪ A其中A={X∈ 十、十、∈ [0, ∞), 十、∈ [-1.∞)}andA={X∈ 十、十、∈ (-∞, 0），X≥ 前任- 十、- 2}.请注意，A是星形的。很容易验证我们的假设（A1）到（A3）在该设置中都得到了满足。

此外，我们有a+ker（π）={X∈ 十、X>-十、- 2}.由于bd A和bd（A+ker（π））具有空交集，因此从命题3.2可以看出，E（X）对于每个X都是空的∈ 十、但是∞∩ ker（π）包含很多元素。（ii）E（X）是非空的，但A不是星形的。设置αn=-n+n每n∈ N并考虑验收集a=X+∪[n∈N{X∈ 十、十、∈ [αn+1，αn），X∈ [n+1，∞)}.请注意，A不是星形的，我们的假设（A1）到（A3）都符合该设置。此外，很容易验证a+ker（π）={X∈ 十、十、≥ -十} 。由于E（0）={0}，我们也有E（0）∞= {0}. 但是∞∩ ker（π）很容易被认为包含很多元素。4最优支付的存在性和唯一性本节致力于研究在哪些条件下我们可以确保最优合格支付的存在性和唯一性。最优支付的存在性从提供最优支付全局存在性的一般特征开始。命题4.1。以下语句等效：（a）E（X）6= 对于每X∈ 十、（b） E（X）6= 对于每X∈ bd（A+ker（π））。（c） A+ker（π）闭合。证据很明显，（a）意味着（b）。假设（b）成立，但A+ker（π）不闭合，因此我们找到X∈ bd（A+ker（π））\\（A+ker（π））。这意味着E（X）6= ρ（X）=0，引理3.1，但同时，不存在Z∈ k（π），X+Z∈ A、 由于这是不可能的，我们得出结论（c）必须成立。最后，假设（c）保持并取任意的X∈ 十、注意，ρ（X+ρ（X）U）=0，thusLemma 3.1表示X+ρ（X）U∈ A+ker（π）。因此，我们发现∈ ker（π），使得X+ρ（X）U+Z∈ Aandπ（ρ（X）U+Z）=ρ（X），证明ρ（X）U+Z∈ E（X）。这表明（a）保持并总结了等价性的极限。前面的结果表明，最优支付的存在性等价于“增广”接受集A+ker（π）是闭合的。

这组数据有一个清晰的财务解释，因为它包括在零成本下可以接受的所有位置，即a+ker（π）={X∈ 十、X+Z∈ A代表一些Z∈ ker（π）}。特别是，当A=X+时，上述集合很容易与可以零成本超级复制的位置集合重合，直到一个符号。确立A+K（π）的封闭性是数学金融中经常出现的主题。事实上，这是泛函分析中一个经典al问题的特例，该问题问两个闭集的和何时仍然是闭的。正如Dieudonn\'e（1966）首次指出的那样，渐近锥的概念在建立亲密度方面起着重要作用。提案4.2。假设市场不允许任何可扩展的好交易，即∞∩ ker（π）={0}。那么，我们有E（X）6= 对于每X∈ 十、证据自ker（π）∞= ker（π），由于缺乏可扩展的良好数据，因此∞∩ ker（π）∞= {0}.此外，作为有限维向量空间的子集，ker（π）很容易被认为是Barbu和Precupanu（2012）意义上的渐近紧集。事实上，我们总是可以找到ε>0和z ero U的邻域 X使得cl（{λX；λ∈ [0，ε]，X∈ ker（π）}∩ U） 结构紧凑。因此，我们可以应用Ba rbu和Precupanu（2012）中的Corollary 1.61，得出a+ker（π）是闭合的结论。命题4.1现在得出E（X）6= 对于每X∈ 十、备注4.3。在Ar menti等人（2016）研究的多元短缺风险度量的设置中，最优回报被称为风险分配。主要存在性结果是他们的定理3.6，该定理为在适当假设基础多变量损失函数下存在风险分配提供了有效条件。这种浪费很容易被视为等同于缺乏可扩展的好交易。我们将上述命题应用于星形和多面体接受集。

首先，我们表明，如果潜在的接受集是星形的，并且市场不接受好的交易，那么最优回报总是存在的。由于假设2，该结果适用于任何凸或圆锥接受集。推论4.4。假设A是星形的，m市场不允许有好的交易，即A∩ ker（π）={0}。那么，我们有E（X）6= 对于每X∈ 十、证据要验证任何闭合的星形se t是否包含共形c t并不困难。因此，命题4.2中的断言立即出现。接下来，我们证明了当潜在接受集是多面体时，每个位置都允许最优支付。在这种情况下，我们不需要缺少（可扩展的）良好交易。推论4.5。假设A是多面体。那么，我们有E（X）6= 对于每X∈ 十、证据一旦我们证明A+ker（π）是闭合的，这个断言就来自命题4.1。事实上，我们证明了A+ker（π）是偶数多面体。如果尺寸（X）<∞ 因为，作为有限维空间，ker（π）在有限维环境中是多面体，而多面体在加法下保持不变。因此，假设dim（X）=∞ 请注意，我们可以在不损失一般性的情况下假设t dim（ker（π））=1（否则，通过简单的有限归纳论证进行）。我们还假设A由Д，^1m∈ X′+。从引理2.1来看，这意味着a=m\\i=1{X∈ 十、^1i（X）≥ σA（Дi）}。在这种情况下，我们很容易∞=m\\i=1{X∈ 十、^1i（X）≥ 0}.首先，假设∞∩ ker（π）6={0}，取非零Z∈ A.∞∩ ker（π）。请注意，Z∈ bd（A∞), 否则，每X∈ X将允许λ>0满足λX+Z∈ A.∞, 所以X A.∞+ ker（π）（与ρ的完整性相比，参见第2.4条建议前的讨论）。因为Z是a的边界点∞, 可以拆分{1。