合格投资者最优投资组合的存在性、唯一性和稳定性

在这种情况下，我们必须∞∩ ker（π）=E（X）∞= {0}到Proposition 3.2，这就结束了等价性的证明。下半连续性在本节中，我们重点讨论稳定性概念，如上所述，稳定性概念在我们的框架中最为相关。我们首先强调下半连续性可以用序列来等价地表示。此外，我们还表明，一旦下半连续性在属于A的边界和“增广”接受集A+ker（π）的边界之间的交点的每一个点上保持，它将自动确保所有位置的下半连续性，这与ρ为零的集一致。提案5.6。以下语句是等价的：（a）E在每X是下半连续的∈ 十、（b） E在每X为下半连续∈ bd A∩ bd（A+ker（π））。（c） 对于每X∈ 我们有→ 十、 Z∈ E（X）==> 锌∈ E（Xn）：Zn→ Z、 （d）每X∈ 我们有→ 十、 Z∈ E（X）==> Znk公司∈ E（Xnk）：Znk→ Z、 证明。很明显，（a）意味着（b），（c）意味着（d）。此外，[1，定理17.21]断言（a）和（d）总是等价的。因此，仍需证明（b）意味着（c）。为此，假设（b）保持并考虑任意（Xn） X和X∈ X满足Xn→ 十、 此外，取任意Z∈ E（X）。首先假设X∈ bd A∩ bd（A+ker（π））。在这种情况下，对于任何k∈ N设置Uk=int Bk（Z），注意E（X）∩ Uk6=. 由于假设E在X处是下半连续的，所以对于任何k∈ 存在一个邻居Vk X的X，使得E（Y）∩ Uk6= 对于所有Y∈ Vk。观察到，通过采用子序列交点，我们可以在不损失一般性的情况下假设Vk+1 VK每k∈ N、 此外，对于每个k∈ N存在N（k）∈ N这样Xn∈ VK适用于所有n≥ n（k）。根据我们之前的假设，我们可以始终确保每个k的n（k+1）>n（k）∈ N

因此，对于e非常n∈ N我们可以选择付款方式∈ E（Xn）以Zn∈ UK无论何时n∈ [n（k），n（k+1））对于某些k∈ N（如果N<N（1），我们取任意的Zn∈ E（Xn））。不难验证Zn→ Z、 所以（c）成立。否则X/∈ bd A∩ bd（A+ker（π）），需要确定所有n的Yn=Xn+Z∈ N和Y=X+Z，并观察X+Z∈ bd A∩ bd（A+ker（π）），0=Z- Z∈ E（X）- 根据命题3.2，Z=E（X+Z）。此时，可以将前面的参数应用于查找∈ E（Xn+Z）表示所有n∈ N这样Wn→ 0，但Wn+Z∈ E（Xn）每n∈ N和Wn+Z→ Z、 显示（b）在这种情况下也适用。备注5.7（假设3）。本文的主要目的是研究最优支付图的下半连续性。从前面的命题可以看出，我们的问题有意义的一个必要条件是ρ是有限且连续的。事实上，不难看出E在任何位置X都不能是下半连续的∈ X，其中E（X）6= 除非ρ是有限且连续的。这就解释了为什么我们必须在假设3下工作。备注5.8（关于下半连续的充分条件）。如引言中所述，通常很难建立下半连续性的一般有效条件；见Banket等人（1983年）以及其中的参考文献。一些众所周知的条件如下（引理5.18之前给出了严格下半连续的定义）：（i）存在严格下半连续映射S:X=> M和a下半连续映射：X=> M使得E（X）=S（X）∩ S（X）表示所有X∈ 十、参见B ank等人的引理2.2.5。

(19 83).（ii）下部{X∈ 十、Z∈ E（X）}对所有Z打开∈ M参见Aliprantis and Border（2006）中的引理17.12。（iii）图{（X，Z）∈ X×M；Z∈ E（X）}是凸的；见Rockafellar和Wets（200 9）中的定理5.9。不幸的是，由于不难验证，上述条件在我们的框架中通常不满足。沙Sin（i）的自然选择由s（X）={Z给出∈ MX+Z∈ A} 和S（X）={Z∈ Mπ（Z）=ρ（X）}。然而，这两种Snor扫描都不是严格的低半连续扫描。条件（ii）显然也永远不会满足。要完全满足条件（iii），ρ必须是任何线段的线性，即对于所有X，Y∈ X和λ∈ [0，1]我们必须有ρ（λX+（1- λ） Y）=λρ（X）+（1- λ） ρ（Y）。在ρ（0）=0的常见情况下，这将迫使ρ在整个空间X上呈线性，如果M是X的严格子空间，则很少满足这一条件。多面体接受集的下半连续在本节中，我们证明了如果下伏接受集是多面体，则最优payoff映射的下半连续性始终成立。我们首先建立两个有用的引理。第一个简单结果突出显示了A边界点的有用属性（我们提供了一个证据，因为我们无法找到n个明确的参考）。这里，我们用ri C表示集合C的相对内部 X，即所有X的集合∈ C那个爱慕社区UX X令人满意的用户体验∩ a OFF C C、 引理5.9。假设A是多面体，由Д、…、表示，^1m∈ X′+。对于任何X∈ X定义（X）={i∈ {1，…，m}；Дi（X）=σA（Дi）}。然后，对于每个非空凸集C bd A以下语句s成立：（i）如果X∈ ri C和Y∈ C、 然后IA（X） IA（Y）。（ii）如果X，Y∈ ri C，然后IA（X）=IA（Y）。证据取任意X∈ ri C和Y∈ C、 很明显，t X±ε（Y- X）∈ ε>0足够小时为C。

然后，对于任何i∈ IA（X），我们有σA（νi）±ενi（Y- 十） =Дi（X±ε（Y- 十） （）≥ σA（Дi），仅当Дi（Y）=Дi（X）时才可能。这将产生i∈ IA（Y）表示（i）成立。断言（ii）是（i）的直接结果。第二个初步结果提供了多面体情况下最优Payoff映射的分解，这是建立下半连续性的关键因素。回想一下，凸集的点X 当C{X}仍然是凸的时，X被称为C的下一个点。还记得，任何po-lyhedralset都承认最多有很多极端点；参见引理7。78阿利普兰蒂斯和边界（2006年）。引理5.10。假设A是多面体。然后，存在C:X=> 使C（X）6= andE（X）=（A∞∩ ker（π））+C（X）每X∈ 并且使得C（K）对于每个紧集K是有界的 十、证据让X∈ X是固定的，并从命题3.2中回顾，由于A是多面体，E（X）也是多面体（M）。我们用C（X）表示多面体s et E（X）的极值点集的C凸壳∩ N，其中N是满足lin E（X）的M的任何向量子空间∩ N={0}。注意，根据命题3.2，N不取决于X的选择。此外，注意，通过构造，E（X）∩ N不包含任何向量子空间，因此允许存在极值点。现在，它遵循引理16.2和16。3 inBarvinok（2002）认为E（X）可以分解为E（X）=E（X）∞+ C（X）。根据命题3.2，我们可以等价地写出（X）=（A∞∩ ker（π））+C（X）。证明了C-ma-ps紧集是有界集。为此，假设A由Д、…、，^1m∈ X′+和每个i的定义∈ {1，…，m+2}ma psαi:N→ R和βi:X→ 通过设置αi（Z）得到R=如果i∈ {1，…，m}，π（Z），如果i=m+1，-π（Z）如果i=m+2，和βi（X）=σA（Дi）- 如果i∈ {1, . . .

，m}，ρ（X），如果i=m+1，-ρ（X），如果i=m+2。然后，根据（3）和（4），多面体集E（X）∩ N可表示为asE（X）∩ N=m+2 \\i=1{Z∈ Nαi（Z）≥ 每X的βi（X）}∈ 十、现在，由I注释所有子集I的集合 {1，…，m+2}由d=小元素组成，并且{αi；i∈ 一} 是线性独立的。根据Berts e kas et al.（20 03）中的第3.3.3条建议，集合I是非空的。此外，定义αI:N→ Rd和βI:X→ rD通过设置αI（Z）=（αI（Z），αid（Z））和βI（X）=（βI（X），βid（X））对于每个I={I，…，id}∈ 注意，对于每个I，αIis线性且双射，βIis连续（由于ρ的连续性）∈ 一、 根据Bertsekas et al.（2003）中的P Proposition 3.3.3，E（X）的每个极值点∩ N，带X∈ X的形式为α-1I（βI（X））对于某些I∈ 一、 这意味着，对于nycompact集K X，我们有c（K） co【I】∈Iα-1I（βI（K））！。注意α-1I（βI（K））对于I的每个选择都是紧凑的∈ 一、 由于I包含很多成员，并且紧集的凸包仍然是紧的，因此我们得出结论，C（K）包含在紧集中。这证明了C（K）是不成立的，并得出了证明。我们现在准备证明，如果基础接受集是多面体，则下半连续性总是成立的。定理5.11。假设A是多面体。那么，E是下半连续的。证据我们自始至终都假设A由Д，^1m∈ X′+。取X∈ X，考虑一个序列（Xn） X收敛到X和Z∈ E（X）。Let（锌） M为满足Zn要求的任何序列∈ C（Xn）每n∈ N、 其中C:X=> M是引理5.10的集值d ma p。由于（Xn）包含在一个紧集中，引理5.10告诉我们（Zn）是有界的。因此，通过一个合适的子序列，westill用（Zn）表示，我们得到了Zn→ 对于一些报酬∈ M

请注意，Xn+Zn→ X+W和Xn+Zn∈bd A∩ bd（A+ker（π）），对于所有n∈ N根据命题3.2。因此，我们推断X+W∈ bd A∩ bd（A+ker（π））或等效地，W∈ E（X）再次通过命题3.2。回想推论4.5，E（X）6=. 如果| E（X）|=1，那么我们必须有W=Z，并且我们根据命题5.6立即得出E在X是下半连续的。因此，我们假设| E（X）|>1。在这种情况下，E（X）是凸的，具有非空的相对内部。我们首先假设Z∈ ri E（X）。自X+Z∈ ri（X+E（X））和X+W∈ X+E（X）和sinceX+E（X） bd A根据命题3.2，我们从引理5推断。9 thatIA（X+Z） IA（X+W）。这尤其意味着Ia（X+Z） {i∈ {1，…，m}；^1i（Z- W）=0}。对于i∈ IA（X+Z）我们可以使用上述夹杂物获得（注意，Xn+Zn∈ A代表所有n∈ N） ^1i（Xn+Zn+Z- W）=Дi（Xn+Zn）≥ σA（Дi）每n∈ N、 对于i 6∈ IA（X+Z）我们立即看到φi（Xn+Zn+Z- W）=Дi（Xn+Zn- 十、- W）+Дi（X+Z）>σA（Дi），对于自Дi（Xn+Zn）起足够大的n- 十、- W）→ 通过组合上述不等式，我们推断xn+Zn+Z- W∈ A适合足够大的n。现在，设置Wn=Zn+Z- 每n为W∈ N并注意到wn→ Z、 此外，我们最终得到了Xn+Wn∈ A和π（Wn）=π（Zn）+π（Z）- π（W）=ρ（Xn）+ρ（X）- ρ（X）=ρ（Xn）。换句话说，序列（Wn） 我很满意∈ E（Xn）表示n个大的E nough和Wn→ Z、 这表明E在命题5.6的X处是下半连续的。假设Z/∈ ri E（X）。在这种情况下，我们可以通过e（X）相对内部的元素来近似Z，并将上述参数应用于每个元素。从命题5.6可以看出，在这种情况下，E在X处也是低连续的。回想一下，基于预期短缺或测试场景的验收集在有限维环境中是多面体的。

因此，以下推论是我们关于Polye Dralaception集的一般结果的直接结果。推论5.12。假设尺寸（X）<∞ A是基于预期短缺或测试场景。然后，E是严格凸接受集的下半连续下半连续如果选择的接受集是严格凸的，则最优支付映射总是下半连续的。事实上，在这种情况下，任何职位都有唯一的最优薪酬，并且与每个职位相关联的最佳薪酬的ma p是连续的。定理5.13。假设A是严格凸的。那么，E是下半连续的。证据回想一下，根据推论4.11，每一个位置最多允许一个最优的凸性支付。因此，E显然是有界值的，定理5.5暗示E是上半连续的。作为结果，我们从备注5.1推断E也是下半连续的。下半连续性的反例例如5.14（基于VaR的验收集）。我们表明，如果可接受性基于VaR，则资本头寸的轻微扰动可能会大幅减少最优支付的范围。事实上，最优支付的选择数量可能会突然从有限减少到只有一个。固定α∈0,（回想一下，α接近0的值实际上是有趣的值）并考虑概率空间(Ohm, F、 P）和一个分区{E，F，G} 第页，共页Ohm 满足P（E）=P（F）=α和P（G）=1- 2α. LetX=L∞(Ohm, F、 P）并考虑基于VaR的接受集a={X∈ 十、P（X<0）≤ α}.此外，取M=跨度(Ohm, Z） 对于Z=E-通过设置π来定义π(Ohm) = 1和π（Z）=0。在这些规范下，假设1至3均得到满足∩ ker（π）={0}（市场不允许有好的交易），根据推论4.4，E（X）6= 对于所有X∈ 十、

不难验证ρ（0）=0和e（0）={λZ；λ∈ R、 P（λZ<0）≤ α} ={λZ；λ∈ (-∞, 0]}.现在，对于每个n∈ N考虑位置Xn=-nF公司∈ 注意ρ（Xn）=0，所以e（Xn）={λZ；λ∈ R、 P（Xn+λZ<0）≤ α} = {0} .因为我们显然有Xn→ 0，我们推断E fa ils在0时是下半连续的。特别是，每个位置xNad都会指定一个唯一的最佳支付，而极限位置0允许最佳支付的一致性。我们刚刚说明的下半连续性的失败关键取决于基于变量的接受集的非凸性。因此，人们可能想知道，如果选择的接受集是凸的，那么上述极端不稳定性行为是否也可能发生。接下来的例子表明，凸性不足以保证下半连续性。事实上，同样的极端不稳定性适用于各种重要（非多面体）凸接受集。示例5。15（基于场景的验收集（在有限维度中））。在有限维设置中，基于测试场景的接受集是多面体的，根据定理5.11，相应的最优支付图是下半连续的。这尤其适用于正锥体。一旦我们进入有限维环境，多面体c很容易保持，画面就会发生戏剧性的变化。在这种情况下，我们表明，潜在财务状况的轻微扰动可能会导致最优支付集从一个丰富的有限集缩小到一个单一集。考虑一个非原子概率空间(Ohm, F、 P）并确定事件E∈ F，P（E）>0。Let（Ek） Fbe所有k满足P（Ek）>0的E的可数划分∈ N、 它总是以非原子性存在。

空间X=L中的Wework∞(Ohm, F、 P），这是由规范的几乎肯定排序部分排序的，考虑基于场景的接受集a={X∈ 十、XE公司≥ 0}.此外，我们考虑了合格支付空间M=span(Ohm, Z） ，其中Z=-E+Xk≥3千克。定价函数由π定义(Ohm) = 1和π（Z）=0。根据这些规范，假设1至3均已满足∩ ker（π）={0}（市场不允许有好的交易），推论4.4意味着E（X）6= 对于allX∈ 十、现在，fixγ≥ 0并定义位置X∈ 通过设置X=γE+Xk≥3千克。直接计算表明ρ（X）=0。此外，验证e（X）={λZ；λ并不困难∈ R、 （X+λZ）E≥ 0}={λZ；λ∈ [-1, γ]}. （9） 对于任意n∈ N考虑位置Xn∈ X由xn=γE+2+nXk=3kEk+Xk给出≥3+nkEk。请注意，对于每个n∈ 我们有- Xk公司∞= 高级大床房≥3+nk（Xn- 十） Ekk公司∞= 高级大床房≥3+nk-k<3+n，表示Xn→ 十、 直接计算表明ρ（Xn）=0，e（Xn）={λZ；λ∈ R、 （Xn+λZ）E≥ 0}={λZ；λ∈ [0，γ]}（10）对于所有n∈ N、 特别是对于任何N∈ N和λ∈ R不等式（Xn+λZ）E≥ 0产生λ≥ 高级大床房≥3+n-kk-1.= - infk公司≥3+nk=0。因此，我们可以看到，对于所有n，E（Xn）=E（X）∈ N、 然而，E（X）远远大于E（X）。特别是，如果我们选择γ=0，则E（X）是有限的，而E（X）由一个付息组成。这清楚地表明E c在X处不可能是下半连续的。下一个例子表明，下半连续的失败是规则，而不是例外，欠凸接受集。示例5.16（凸律不变接受集（有限维））。我们在示例5.15和s et E=Ohm. 注意，我们总是可以选择分区（Ek） F，使p（E）>α。我们考虑了同一空间的弹性支付和凸交流接受集a X满足假设2，且a {X∈ 十、ESα（X）≤ 0}（11）对于某些α∈ (0, 1).

这意味着A比一些基于ES的验收集更严格。请注意，由于可能支付的空间没有改变，假设1明显满足，假设3遵循命题2.4。当然，条件（11）适用于任何基于ES的验收集。更一般地说，结合斯文德兰（2010）中的命题1.1和F¨ollmer and Schied（2011）中的定理4.67，条件（11）完全由任何接受集A 是凸的且定律不变的X（X∈ A代表所有X∈ X具有A）中某些元素的相同概率分布，且满足 {X∈ 十、VaRα（X）≤ 0}.自A∩ ker（π）={0}（市场不允许有好的交易），推论4.4意味着E（X）6= 对于allX∈ 十、作为初步观察，取λ∈ R，注意，对于任何Y∈ X，其中YE=ZEwe有α（Y+λZ）（=0，如果Y+λZ≥ 0，否则大于0。这是因为P（Y+λZ=0）≥ P（E）>α。自X起+ A. {X∈ 十、ESα（X）≤ 0}，我们推断y+λZ∈ A.<==> Y+λZ≥ 0。（12）然后，从（9）得出，tρ（X）=0，且e（X）={λZ；λ∈ R、 X+λZ∈ A} ={λZ；λ∈ [-1, γ]}.类似地，对于任何n∈ N我们从（10）推断ρ（Xn）=0，e（Xn）={λZ；λ∈ R、 Xn+λZ∈ A} ={λZ；λ∈ [0, γ]}.因此，我们可以像例5.15那样论证，得出结论，E在X处不能是下半连续的。特别是，选择γ=0，我们认为X的一个小扰动可能会导致最佳支付集突然从一个有限集收缩到一个单一到n的集。备注5.17。除基于VaR的验收集外，上述所有示例均无法适应有限的尺寸设置。特别是，推论5.12告诉我们，基于有限维中的ES和测试场景，我们总是有验收集的下半连续性。因此，人们可能想知道凸性是否能够确保至少在有限维环境中的下半连续性。