资本利得税下的无套利资产在时间上的本地化程度如何

分解readsexs，u=Is，u+Is，u+Is，u+Is，u，其中，u：=h（1- α） 伊苏大学∧（t-1） +αeSs∧（t-1） i（1+（1- α） r）T-u∧（t-1)-字母S∧（t-1)(1 + (1 - α） r）T-s∧（t-1） ，Is，u：=h（1- α） 伊苏大学∨t+αeSs∨ti（1+（1- α） r）T-u∨t型-字母S∨t（1+（1- α） r）T-s∨t、 Is，u：=αheSu∧（t-1)-字母S∧（t-1） ih（1+（1- α） r）T-u∧（t-1)- (1 + (1 - α） r）T-ui，Is，u：=0表示s>t- 1或u<t，否则，u：=eSt（1+（1- α） r）T-t型-美国东部时间-1(1 + (1 - α） r）T-（t-1)- α（eSt-美国东部时间-1) (1 + (1 - α） r）T-u、 是的≥ 0，我们有，即，u+Is，u（3.16）≤ αeSt-1h（1+（1- α） r）T-（t-1)- (1 + (1 - α） r）T-ui+eSt（1+（1- α） r）T-t型-美国东部时间-1(1 + (1 - α） r）T-（t-1)- α（eSt-美国东部时间-1) (1 + (1 - α） r）T-ufor所有s≤ t型- 1，u≥ t、 拜厄斯特≥ 0，则（3.16）的RHS在u=T时达到最大值，这意味着，u+是，u（3.17）≤ 一： =αeSt-1h（1+（1- α） r）T-（t-1)- 1 I+eSt（1+（1- α） r）T-t型-美国东部时间-1(1 + (1 - α） r）T-（t-1)- α（eSt-美国东部时间-1)≤ αeSt-1h（1+（1- α） r）T-（t-1)- 1i+eSt-1h（1+κt，t）（1+（1- α） r）T-t型- (1 + (1 - α） r）T-（t-1)- ακt，Ti<0开英国夏令时-1> 0，St-1> 0，St- St公司-第一个-1<κt，t对于s≤ t型- 1，u≥ t、 （3.17）可被视为证据的关键估计。这意味着在事件B上∈ 英尺-1、存在一种风险，即t期的亏损占t期递延税款的主要利益。该估计值在s期同时成立∈ {0，…，t- 1} 和u∈ {t，…，t}。现在定义为：=X（s，u），s<u（Ns，u-1.- Ns，u）是，ui，i=1，2，3，4。终端财富EV（N）由EV（N）=V+V+V+V给出。首先注意，Vis Ft-1可测量，可通过将其写成V=Xs，s<t-1.Xu，u>s，u<t-1（Ns，u-1.- Ns，u）Is，u+Ns，t-2Is，t-1..我们还考虑w：=X（s，u），s≤t型-1，u≥t（Ns，u-1.- Ns，u）I=IXs，s≤t型-1Ns，t-1、根据（3.17），一个有W≥ V+V在任何地方，与V+V相比，W是Ft可测量的。步骤3：现在，我们准备一个案例差异以完成证明。定义：=不适用∈ 英尺-1| {0，…，t上的bN- 1，t+1，T}使得（3.18）bNs，u=Ns，uP-a.s。

s≤ u≤ t型- 2和P（bV（bN）≥ 0 |英尺-1） =1在P-A.s.o上，MN：=nA∈ 英尺-1| eN在{0，…，T}上，这样Ens，u=Ns，uP-a.s。s≤ u≤ t型- 2和P（eV（eN）≥ 0 |英尺-1） =1在P-A.s.o上，cMN：=esssupcMN（即1cMN=Esssup1a | A∈cMN}），和MN：=esssup MN（3.19），当然，函数族{1A | A的基本上确界∈cMN}是{0，1}值，允许定义（3.19），参见[13]中的备注1.14。让我们证明（3.19）中的suprema已实现，即cMN∈cMN（3.20）（当然，MN也是如此，尽管不需要）。实际上，根据教授上确界的一般性质，存在一个序列（An）n∈NC确认∪n∈NAn=cMNP-a.s（参见[13]中的备注1.14）。LeteN（n）是对应的策略，其中en（n）s，u=Ns，uP-a.s.用于所有s≤ u≤ t型- 2和P（eV（eN（n））≥ 0 |英尺-1） =1在AnP-a.s上。现在，我们将这些策略粘贴到definingens，u:=Ns，ufor u中≤ t型- 2，eNs，u：=P∞n=1An \\（A∪...∪一-1） N（N）s，u或u≥ t型- 1（当然还有s≤ u） 。这将产生（3.20）。setcMN∈ 英尺-1是指战略在t之前- 1“可延伸至市场中的误入歧途{0，…，t- 1，t+1，T}这不会造成损失。在无套利摩擦的市场中，这一条件相当于t时清算价值的非负性- 但是，由于税收延期，随着时间的推移，负的清算价值肯定会变为正。注意，在（3.18）中，一个有u≤ t型- 2和非u≤ t型- 1、这意味着给定信息Ft-1，在时间t交易- 1可以与n不同，例如，所有股票头寸都可以在t清算- 1、来自（3.7）和B∈ 英尺-1，如下所示mn∩ BcMN公司∩ BP-a.s.（3.21）现在，我们区分了四种可能重叠的情况，但包括了（3.15）中的所有情况，表明N不可能是套利。案例1：PB∩nPt-1s=0Ns，t-1> 0o个= 通过（3.15），一个有PB∪nPt-1s=0Ns，t-1=0度= 1.

然后，到（3.7），市场中存在anbN{0，…，t- 1，t+1，T}带P（bV（bN）≥eV（N）/（1+（1- α） r））=1。自市场{0，…，t- 1，t+1，T}满意度（NA），N不能是套利。案例2：PB∩nPt-1s=0Ns，t-1> 0o个> 0和P（cMN）=1。到（3.20），存在BNS的anbN，u=Ns，uP-所有s的a.s≤ u≤ t型- 2和P（bV（bN）≥0) = 1. 如果事件{V>0}∈ 英尺-1有正概率，由BNS定义的策略B，u：=Ns，ufor u≤ t型- 2和BNS，u：=1{V≤0}bNs，ufor u≥ t型- 1将是套利，因为bv（bN）=1{V>0}V+1{V≤0}bV（bN）。因此，由于市场{0，…，t-1，t+1，假设T}是无套利的，我们必须有P（V≤ 0) = 1. 由{Pt-1s=0Ns，t-1> 0} ∈ 英尺-1和（3.17），一个0<Pt-1Xs=0Ns，t-1> 0，英国夏令时-1> 0，St-1> 0，St- St公司-第一个-1<κt，t！≤ P（W＜0）。（3.22）自{W<0}∈ Ft，随机增益1{W<0}vc也可以在价格过程（bSu）u=t的子市场中生成-1，t+1，t+2，。。。，T、 在这种情况下，最初的购买只需进行Ft测量。由于该子市场是无套利的，（3.22）意味着P（W+V<0）>0和thusP（eV（N）<0）>0。案例3：P((Ohm \\cMN）∩ B） >0。通过选择BNS，u：=Ns，ufor u≤ t型- 2和BNS，u：=0表示u≥ t型- 1，可以看出{V≥ 0} ∈cMN。因此Ohm \\cMN公司 {V<0}P-a.s.和P（{V<0}）∩ B） >0。这与{V<0}一起∈ 英尺-1 and（3.17）表示0<PV<0，bSt-1> 0，St-1> 0，St- St公司-第一个-1<κt，t≤ P（V<0，W≤ 0).然后，再次通过V+W的Ft可测性和子市场价格过程（bSu）u=t的无套利性-1，t+1，t+2，。。。，T、 一个到达P（V+W+V<0）>0和thusP（eV（N）<0）>0。案例4：P((Ohm \\cMN）∩ B） >0。根据（3.21），一个具有P(Ohm \\ MN）>0。另一方面，通过MN的最大值，我们可以Ohm\\明尼苏达州 {P（eV（N）<0 | Ft-1） >0}P-a.s.综合起来，我们得出P（eV（N）<0）>0。命题2.15的证明。

假设（2.6）和（2.9）保持不变。步骤1：定义为：={St≤ (1 + (1 - α） r）St-1.t=s+1，T}。让我们通过s=T中的反向归纳来证明P（As | Fs）>0 P-a.s.（3.23）-1，T-2.0.对于s=T- 1，断言已包含在（2.9）中。ss- 1： 我们有-1=As∩ {Ss≤ (1 + (1 - α） r）不锈钢-1}. 让C∈ Fs公司-1当P（C）>0时。通过（2.9），这意味着p（C∩ {Ss≤ (1 + (1 - α） r）不锈钢-1} ）=EEC{Ss≤(1+(1-α） r）不锈钢-1} | Fs-1.= E（1CP（Ss≤ (1 + (1 - α） r）不锈钢-1 | Fs-1)) > 0. （3.24）连同C∩ {Ss≤ (1 + (1 - α） r）不锈钢-1} ∈ F和归纳假设，（3.24）意味着P（C∩ 像-1） =E（1C∩{Ss≤(1+(1-α） r）不锈钢-1} P（As | Fs））>0，我们完成了。设s<t。在s满足时购买的股票在t时的清算价值- α（St- Ss）≤ Ss（1+（1- α） r）t-s- α(1 + (1 - α） r）t-s- 1.不锈钢≤ Ss（1+（1- α） r）t-s- α(1 - α） rSs和thusXs，t≤ -α(1 - α） rSs（1+（1- α） r）T-As上的t<0∩ {Ss>0}对于所有t≥ s+1，（3.25），其中X在（3.1）中定义。另一方面，通过（2.6），对于所有t，在{Ss=0}P-a.s上，一个hasXs，t=0≥ s+1。（3.26）步骤2：现在，让N是股票中的任意策略，清算值V（N）来自（3.2）。确定停止时间τ：=inf{s≥ 0 | Ns，s>0和Ss>0}∧ T、 情况1：P（τ=T）=1。要么该策略根本不交易，要么仅以消失的股价进行交易。要了解这一点，请定义τ：=inf{s≥ 0 | Ns，s>0}∧ T我们在{τ<T}上有Sτ=0，P-a.S。通过（2.6），这意味着对于所有t=τ，τ+1，…，St=0，T，P-a.s.{τ<T}。因此，Nsatis fies（Ns，u-1.- Ns，u）Xs，u=0对于所有s=0，T- 1，u=s+1，T，P-a.s.和不能豆套利。情况2：P（τ=T）<1。（3.23）表示p（A）>0，其中A：={τ<T}∩ {St≤ (1 + (1 - α） r）St-1.t=τ+1，T}。注意{τ<T} {Nτ，τ>0，Sτ>0}。通过（3.25），我们得到所有t的Xτ（ω），t（ω）<0≥ τ（ω）+1和ω∈ A.

加上Nτ，t-1.- Nτ，t≥ 0表示所有t≥ τ+1和ptt=τ+1（Nτ，t-1.- Nτ，t）=Nτ，τ，这意味着txt=τ（ω）+1（Nτ（ω），t-1(ω) - 对于所有ω，Nτ（ω），t（ω））Xτ（ω），t（ω）<0∈ A、 （3.27）另一方面，对于s<t（Ns，t）的所有对（s，t），我们都有-1.- Ns，t）Xs，t≤ A上的0，P-A.s.（3.28）实际上，到（3.26），仍然需要考虑Ss（ω）>0的情况。如果加上Ns，t-1(ω) -Ns，t（ω）>0，然后τ（ω）≤ s和（3.28）从（3.25）开始。从（3.27）和（3.28）中，得到A上的SV（N）<0。因此，N不能是套利。4（反-）示例在示例中，我们有α∈ （0，1），F=2Ohm, 所有状态都有正概率。此外，以下简单的观察结果在许多地方证明是有用的。注4.1。（i） 让R∈ R+，实数R由（1+R）（1+R）（1）给出- α） +α=[（1+R）（1- α) + α] (1 + (1 - α） r）。（4.1）那么∈ ((1 - α） r，r]，其中r=r i ffr=0，对于每一个r>r，（1+r）（1+r）（1+r）（1- α) + α >（1+R）（1）- α) + α(1 + (1 - α） r）。（4.2）（ii）让n∈ Nand实数R由（1+R）（1）给出- α) + α = (1 + (1 - α） r）n.（4.3）那么，存在一个∈ R+带（1+R）（1+R）（1- α) + α < (1 + (1 - α） r）n+1，（4.4）但（1+r）（1+r）（1- α) + α > (1 + (1 - α） r）n+2。（4.5）（iii）让r∈ R+和m，m∈ N带m≤ m、 我们有（1+r）m（1）的蕴涵- α) + α ≥ (1 + (1 - α） r）m==> （1+r）m（1- α) + α ≥ (1 + (1 - α） r）m.Proof。Ad（i）：从（4.1）中，可以得出'r>（1- α） r.自（4.2）和（4.1）的LHS差异为（r- R） （1+’R）（1- α） ，RHSs的差异由（R）给出- R） （1）-α)(1 + (1 - α） r），一个到达（4.2）。Ad（ii）：让R由（4.3）给出，并通过（4.4）中的等式定义R。这意味着（4.1）被满足。应用于Rgiven的1+R=（1+R）（1+R），断言（i）产生（4.5）。

评估之后，选择略小的r，使（4.5）保持不变。Ad（iii）：设m：=inf{m∈ N |（1+r）m（1- α) + α ≥ (1 + (1 - α） r）m}。最终结果如下（1- α） r.我们可以假设这一点，因为否则就没有什么可显示的了。一个有（1+r）m-1（1+r）（1- α） +α=（1+r）m（1- α) + α≥ (1 + (1 - α） r）m≥（1+r）米-1(1 - α) + α(1 + (1 - α） r），这意味着对于r=（1+r）m-1.- 1（4.1）满意度中相应的“r”≤ r、 （4.6）现在，我们可以通过归纳法证明（1+r）m+k（1- α) + α ≥ (1 + (1 - α） r）m+k，k∈ N、 这就完成了证明。假设断言适用于某些k∈ N、 我们推导出（1+r）m+k+1（1- α） +α=（1+r）m+k（1+r）（1- α) + α≥ （1+r）m+k（1+r）（1- α） +α>h（1+r）m+k（1- α） +αi（1+（1- α） r）≥ (1 + (1 - α） r）m+k+1。这里，第一个不等式由（4.6）确定，第二个由（i）部分确定，适用于R=（1+R）m-1.- 1和R=（1+R）m+k- 第三个是归纳假设。注4.1考虑了以下经济解释。考虑一个未实现账面利润与税前价值之间的比率为R/（1+R）的股票头寸。那么，（4.1）中的数字r是下一阶段的最小确定性回报，因此值得再持有一段时间，而不是立即清算。对于R>R，比率R/（1+R）大于R/（1+R），并且下一期股票收益的上述盈亏平衡点降低。本节的第一个示例是关于边界κ<r大于κt，Tfrom（2.8）s.tP（（St- St公司-1） /圣-1<κ|英尺-1） >0 P-a.s.，但t中的（RLNA）不成立。这意味着损失的风险大于-κSt-1这并不意味着t期的多头头寸不可能引发套利。例4.2（关于κt，t的最大值）。

让t，t∈ N带2≤ t型≤ T- 1和Ohm = {ω, ω}.结果ω在时间t显示，即Fu={, Ohm} 对于u≤ t型- 1和Fu=2Ohm对于u≥ t、 设κ为满足κ>（1）的边界- α)(1 + (1 - α） r）T- α[(1 + (1 - α） r）t-1.- α] [(1 + (1 - α） r）T-t型- α]- （4.7）（4.7）的RHS倾向于κt，t，t→ ∞ 和T- 固定。下面，我们用P（（St- St公司-1） /圣-1<κ|英尺-1） >0，但S不满足t中的（RLNA）。我们假设St（ω）=St-1（ω）（1+r）和St（ω）=St-1（ω）（1+r），参数Sr<rTh仍需规定。要证明S在t中不满足（RLNA），必须找到一个满足模型定义2.9中的（NA）的过程，其中时域{0，…，t- 1，t+1，T}使得（2.4）中的对应项允许套利。WeconsiderbSu（ω）：=（1+r）u：u≤ t型- 1（1+r）t-1（1+r）u-t： u型≥ t+1，ω=ω（1+r）t-1： u型≥ t+1，ω=ω，其中参数r，r>0也尚未规定。相关过程readseSu（ω）=（1+r）u：u≤ t型- 1（1+r）t-1（1+r）（1+r）u-t： u型≥ t、 ω=ω（1+r）t-1（1+r）：u≥ t、 ω=ω在下文中，我们陈述了四个条件，从中我们可以证明，通过适当选择参数r、r、r和r，可以同时满足这些条件。随后，我们表明，BS Satifies（NA）andeS允许在以下条件下进行套利：（1+r）t-1(1 - α) + α < (1 + (1 - α） r）t-1 t以下无套利- 1，（4.8）（1+r）T-t（1- α) + α < (1 + (1 - α） r）T-揭示ω后无套利，（4.9）（1+r）t-1（1+r）（1+r）T-t（1- α) + α> (1 + (1 - α） r）t如果ω出现，则按买入0卖出t进行预测，（4.10）和（1+r）t-1（1+r）（1- α) + α> (1 + (1 - α） r）如果出现ω，则通过买入0卖出t。

（4.11）根据（4.7），存在一个r<κ和（1+r）(1 + (1 - α） r）t-1.- α(1 + (1 - α） r）T-t型- α> (1 - α)(1 + (1 - α） r）T- α.（4.12）固定这样的r，可以找到（4.8）、（4.9）和（4.10）同时保持的rand rsuch。事实上，如果分别通过（4.8）和（4.9）中的等式定义兰德，那么（4.10）将只是（4.12）的重新表述。现在，人们选择兰德公司，但规模稍小的标准普尔（4.10）仍然成立。在这些参数已经指定后，由r>-1，可以选择足够大的（4.11）值。将不等式（4.8）-（4.11）放在一起可以同时满足。让我们展示一下这一点（NA）。我们考虑（3.3）中定义的收益。根据（4.8）和注释4.1（iii），一个具有（1+r）n（1- α) + α < (1 + (1 - α） r）n，n∈ N带N≤ t型- 1.（4.13）由于股票的收益在t之后的{ω}上消失- 1，我们得到bxs，u（ω）=h（1+r）u∧（t-1)-s∧（t-1)(1 - α) + α - (1 + (1 - α） r）u-s-1（s）≤t型-1<u）i×（1+（1- α） r）T-u-1（u≤t型-1） <0，s，u 6=t，s<u，（4.14），其中不等式来自（4.13）。另一方面，通过（4.9）和注释4.1（iii），我们得到了bxs，u（ω）=（1+r）u-s∨t（1- α) + α - (1 + (1 - α） r）u-s∨t型× (1 + (1 - α） r）T-u<0，t- 1.≤ 现在，让N是市场{0，…，t中的任意策略-1，t+1，T}带BV（N）≥ 0，参见（3.4）。从（4.14）可以看出，Ns，u-1(ω) - Ns，u（ω）=0表示所有s<u，因此Ns，s（ω）=PTu=s+1（Ns，u-1(ω) - Ns，u（ω））=0。自Ft起-2很简单，这意味着Ns，s=0表示所有≤ t型- 2、此外，对于所有s，Ns，s=0≥ t型- 1乘（4.15）/（4.14）。因此，（3.4）中的bV（N）消失，BS满足（NA）。另一方面，在具有价格过程的模型中，策略，u（ω）=1（ω=ω，s=0，u≤T-1） +1（ω=ω，s=0，u≤t型-1） ，导致v（N）=eX0，T{ω}+eX0，T{ω}，是一种套利。即，一个haseX0，T（ω）>0和x0，T（ω）>0分别乘以（4.10）和（4.11）。

综合起来，S不满足t中的（RLNA）。示例4.2基于两个特征：第一，r，t期间的不良回报，通过t期间的递延税款进行补偿；其次，在t之前进行购买的R有可能获得良好的回报- 1即使股票必须在t期后进行清算，也应编制相应的表格。如果股票必须在t期后进行清算，则价格过程模型中缺少该回报。不同的是，t期的随机回报可用于对冲股票随后的不良表现。另一方面，如果周期t返回从未超过（1- α） r，添加句点Two不会提供任何优势。尤其是不能为（4.7）中的相同边界构造确定性示例。示例4.3（同一股票中两个相互对冲的多头头寸）。设T=3，Ohm = {ω，ω}，F=F={, Ohm}, F=F=2Ohm, i、 e.，ω在时间2显示。我们考虑了以下仍需规定的参数r、ε、ε>0的股票价格：S=1，S=1+’r，S（ω）=（1+’r）（1+r- ε） ，S（ω）=（1+(R)r）（1+r- ε） （1+’r）and（ω）=（1+’r）（1+r+ε），S（ω）=0。返回'r∈ （0，r）必须满足（1+(R)r）（1+r）（1- α) + α < (1 + (1 - α） r），（4.16）但（1+’r）（1+r）（1- α) + α > (1 + (1 - α） r）。（4.17）根据注释4.1（ii），“r”上的两个条件可以同时满足。从现在起，我们注意到，第2期的短期投资收益为x1,2（ω）=-(1 - α)(1 + (1 - α） r）（1+(R)r）ε：对于ω=ω（1- α)(1 + (1 - α） r）（1+(R)r）ε：对于ω=ω（4.18），我们继续选择ε，ε>0都是“小的”，这样x1,2（ω）X0,2（ω）- X1,2（ω）X0,3（ω）=0，（4.19）X0,3（ω）=（1+(R)r）（1+r- ε） （1+’r）（1- α) + α - (1 + (1 - α） r）>0，（4.20）和x0,2（ω）=[（1+(R)r）（1+r+ε）（1- α) + α] (1 + (1 - α） r）- (1 + (1 - α） r）<0。（4.21）为此，将F（ε，ε）定义为（4.19）的LHS。

一个有F（0，0）=-(1 - α） （1+’r）（1+（1- α） r）（1+r）（1+r）（1）- α) + α - (1 + (1 - α） r）< 因此，隐式函数定理得出了一个函数f的存在性，该函数定义在一个f（ε，f（ε））=0的邻域中，对于所有足够小的ε>0。我们选择足够小的ε>0，ε=f（ε）。通过（4.16）和（4.17），可以同时满足条件（4.21）、（4.20）和（4.19）。我们构建了一个具有两种状态和两种自我融资和相反投资机会的模型：一种长期投资，如果ω发生，则在时间0买入股票，如果ω发生，则在时间3卖出；如果ω发生，则在时间2卖出；一种短期投资，则在时间1买入股票，然后在时间2卖出。所有其他投资都会导致一定的损失。等式（4.19）是一个无套利条件，确保两个投资机会中的一个是多余的。考虑策略0,0=N0,1=1，N0,2=1{ω}，N1,1=-X0,3（ω）/X1,2（ω），N1,2=0，N2,2=0，（4.22），其中X0,3（ω）>0和-X1,2（ω）>0分别乘以（4.20）和（4.18）。液化值readsV（N）=X0,3{ω}+X0,2{ω}+(-X0,3（ω）/X1,2（ω））X1,2，消失（4.19）。在时间零点购买一只股票时，-X0,3（ω）/X1,2（ω）股票在第一时间，按照上述清算规则，两个多头股票头寸的税后收益相互抵消，融资成本后的总收益肯定会消失。最后，我们给出了模型满足（NA）的详细证明。对于在时间0购买的股票，我们有maxu=1,2,3X0，u（ω）=X0,3（ω）>0和maxu=1,2,3X0，u（ω）=X0,2（ω）<0。（4.23）事实上，前者适用于X0,2（ω）<0乘以（4.16）和X0,3（ω）>0乘以（4.20）。后者由X0,3（ω）<X0,1（ω）<X0,2（ω）和（4.21）保持。对于在时间1购买的股票，我们得到maxu=2,3X1，u（ω）=X1,2（ω）<0，maxu=2,3X1，u（ω）=X1,2（ω）>0。（4.24）这里，X1,2（ω）<0由（4.18）保持，X1,2（ω）>X1,3（ω）由（4.16）得出，-ε<0，注释4.1（i）。