资本利得税下的无套利资产在时间上的本地化程度如何

这意味着P（ηT≥ 0）=1和P（ηT>0）>0，ηT=（1- α） Nt公司-1，t-1（St- St公司-1.- rSt公司-1) (1 + (1 - α） r）T-t、 注2.4。让t∈ {1，…，T}带P（St-1> 0) = 1. 对于α∈ [0，1），在t iff P期间没有单期套利PSt公司- St公司-第一个-1<r | Ft-1.> 0或PSt公司- St公司-第一个-1.≤ r | Ft-1.= 1.= 1.（2.3）证明很简单。在单期模型中，税前和税后套利策略明显重合。因此，（2.3）是有税动态无套利的必要局部条件，即仅取决于随机回报（St- St公司-1） /圣-1期注2.5。让t∈ {1，…，T}和R∈ L(Ohm, 英尺，P），右≥ -1，这样P（P（R<R | Ft-1） >0或P（R≤ r | Ft-1) = 1) = 1. 然后，存在一个自适应过程（Su）u=0，。。。，Twith P（St-1> 0）=1，（St- St公司-1） /圣-1=R，S满意度（NA）。证据考虑u的Su=1≤ t型- 1，对于u，St=1+R，Su=0≥ t+1。注2.5，“t中无一期套利”是最强的局部性质，即仅取决于随机回报（St- St公司-1） /圣-1在t期间，这可以从动态无套利税收中得出。换言之，从（NA）中，我们只能得出“t中无一期套利”属性的所有随机回报都能满足的属性。因此，（2.3）是（NA）的最佳必要局部条件。作为对应，我们引入了一个有效的局部条件来保证（NA）。这意味着对于每个周期t，我们再次寻找一个只依赖于周期t定义2.6（鲁棒局部无套利（RLNA））中随机回报的条件。给定一个过滤的概率空间，一个非负的适应股票价格过程在t期间满足（RLNA）∈ {1，…，T}i ff P（St-1=0，St>0）=0，对于所有非负自适应过程，bs=（bSu）u=0,1，。。。，t型-1，t+1，。。。，在限定的时域{0，1，…，t上触碰- 1，t+1。

，T}，以下含义成立。时域受限{0，1，…，t的模型中的IfbS满意度（NA）- 1，t+1，T}（关于模型的精确定义，请参见下面的定义2.9），则Nes=（eSu）u=0,1，。。。，ESU定义的Tde：=bSu：u≤ t型- 1bSt公司-1SST公司-1： u=tbSuStSt-1： u型≥ t+1，（2.4），约定0/0：=0，也满足（NA）。每个时期的满意度（RLNA）∈ {1，…，T}。备注2.7。如果P（St-1=0，St>0）>0，存在一个平凡的单期套利，税后收益（1- α） St{St-1=0}. 除此之外，零是资产价格的吸收状态，随后资产中的投资机会消失。备注2.8。（RLNA）可解释如下。周期t内的随机收益，即（St- St公司-1） /圣-1、无法触发套利–无论该过程在其他时期表现如何。要使该属性正式化，我们考虑所有具有与周期t中的S相同的随机回报的过程，这些过程在消除周期t的回报后是无套利的。我们要求所有这些过程在周期t中都是无套利的。该性质在时间上是局部的，因为只有周期t中的回报进入（尽管它显然取决于时间范围和整个过滤概率空间）。不同的是，t期的股票收益率与任意收益率粘贴在一起，形成了一个没有t期的无套利过程，应该导致一个无套利过程。这正好是“稳健”一词。通过构造，（RLNA）在保证（NA）的最弱局部条件之上所描述的意义上。对于α=0，它相当于（NA），但对于α>0，它的强度令人惊讶（参见位置2.11（ii）和示例4.2）。定义2.6尽可能笼统，允许S取零，具有正概率，尽管相关性较小。

对于S>0，eS可以很容易地解释为免税投资者以高价买入一只股票，然后以高价卖出的自我融资投资组合的财富过程-1在t期间投资奖励- 1和t，并在时间t回购。仍需将时间t的消除形式化。其思想是- 1和t被消除，因此在此期间累积的收益（股票和银行账户）消失。另一方面，可用于下一时期投资决策的信息与原始模型中的信息相同。定义2.9（消除t期）。消除周期t的模型∈ {1，…，T}和价格过程（bSu）u=0,1，。。。，t型-1，t+1，。。。，定义如下。策略由N=（Ns，u）s，u给出∈{0，…，t-1，t+1，。。。，T}，s≤无时间t的使用（2.1），其中Ns、uis-Fu可测量ifu 6=t- 1和Ns，t-1英尺可测量。在自融资条件下（2.2），t- 1和t以及t和t+1之间消失，并被ηt+1取代- ηt-1= (1 - α） rηt-1.- Nt+1，t+1，ST+1+t-1Xs=0（Ns，t-1.- Ns，t+1）（英国夏令时+1）- α（bSt+1-bSs））。（2.5）（当然，在特殊情况下t=t，需要Ns，t-1=0表示s=0，T- 1，液体值由ηT给出-1代替ηT，即（2.5）不适用）（2.5）意味着- 1，t+1是rηt-1，即自- 1和t被消除，利息只支付一个时间单位。从理论上讲，投资者必须以最低价抛售其股票头寸-1并以每股价格回购。为了使该程序能够自我融资，分数-1/t时间t的位置- 1已回购。

这促使粘贴（2.4）中的价格过程。假设Ns，t-1必须是可衡量的是很自然的：关于ST+1投资的决定-英国夏令时-1可以以信息Ft为条件。这意味着-1和t对可用于下一期投资决策的信息没有影响。当S>0时，t和t+1之间的投资机会在安第斯市场是相同的。备注2.10。从模型中消除t期的一种更简单的方法是，投资者必须在t期清算其股票头寸- 1，并可能在时间t时重建。这将导致更强烈的（RLNA）-条件，因为在没有时间t的模型中，税收不能推迟到时间t之后- 1、这甚至可能将t期内股票的确定损失转化为“好交易”。然而，我们认为这将是错误的情况，因为在时域的内部增加一个周期不应成为税收可以推迟到这一点的原因。提案2.11。我们有α的（i）∈ [0，1），（RLNA）=> （NA）（ii）对于α=0，（RLNA）<=> （NA）在下文中，我们提供了（RLNA）的有效条件。示例4.2表明它在某种意义上是尖锐的。定理2.12。让t∈ {1，…，T}并假设p（St-1=0，St>0）=0（2.6）和PPSt公司- St公司-第一个-1<κt，t | Ft-1.> 0或PSt公司- St公司-第一个-1.≤ (1 - α） r | Ft-1.= 1.= 1，（2.7）式中，κt，t：=-α + (1 - α） r(1 + (1 - α） r）T-t+α（1+（1- α） r）T-t型- α、 （2.8）再次使用约定0/0：=0。然后，周期t中的满意度（RLNA）。条件（2.7）是一个二分法：在时间t中给定任何信息- 1，要么存在周期t内的随机收益率低于κt的风险，要么我们确信它不超过（1-α） r。

事实证明，这两种情况都不可能使无套利模型的周期相加导致套利。选择的边界κt足够小，以便在其不足的情况下，亏损期t决定了可能的税收递延收益-1至T。乍一看，κt、Tmay看起来不必要的小，无法保证（RLNA）；即，截至timet的应计收益税- 在比较模型B中，1也可以推迟到T，消除了T期，通过定义，它必须是无套利的。然而，由于只需要κt，t低于正概率，在t期可以有收益。该收益可用于对冲t后市场中的abad结果，并允许在包括t期在内的模型中进行套利。在示例4.2中，我们构建了这样一个市场。该示例仅满足（2.8）较大的边界κ<r，不满足（RLNA）。备注2.13。将α=0，（2.7）减少到（2.3），这对于“t中无一期套利”是必要和有效的，无论是否含税（见注2.4）。备注2.14。将注释2.5和备注2.8放在一起，（NA）表示某些α∈ [0，1）被夹在两个局部条件之间，这两个局部条件是上述意义上最必要和最有效的局部条件。此外，根据定理2.12，（2.7）担保（RLNA），它在某种意义上是严格的（参见示例4.2）。因此，比较（2.7）和（2.3）中的界限可以很好地估计无套利财产的非局部纳税情况（参见结论）.提案2.15。Letα∈ （0，1），并假设（2.6）和St公司- St公司-第一个-1.≤ (1 - α） r | Ft-1.> 0，P-a.s.（2.9）保持所有t=1，T，同样使用约定0/0：=0。然后，模型满足（NA）。备注2.16。

条件（2.9）意味着投资者永远无法确保股票的税前利润严格超过银行账户的税后利润。这确保了股票收益税的减免不能用于产生套利。另一方面，对于命题2.15中排除的α=0，（2.9）是比（NA）更弱的条件。3证明下列数量在所有证明中都是有用的。对于s<u的每一对（s，u），s和u之间的股票自融资投资在T时的税后收益由XS给出，u：=[Su- α（Su- Ss）]（1+（1- α） r）T-u- Ss（1+（1- α） r）T-s、 s<u.（3.1）对于初始资本为零的任何自我融资策略（η，N），由N唯一确定的清算价值ηT可以写为v（N）：=ηT=T-1Xs=0TXu=s+1（Ns，u-1.- Ns，u）Xs，u.（3.2）对于价格过程，而不是S，eXs，uandeV（N）进行了相应的定义。在时域{0，…，t较小的市场中- 1，t+1，T}和股票价格过程b（参见定义2.9），这些数量读取bxs，u：=hbSu- α（bSu-bSs）i（1+（1- α） r）T-u-1（u≤t型-1)-bSs（1+（1- α） r）T-s-1（s）≤t型-1） ，s，u 6=t，s<u，（3.3）和bv（N）：=t-1Xs=0，s6=tTXu=s+1，u6=t，u6=t+1（Ns，u-1.- Ns，u）bXs，u+（Ns，t-1.- Ns，t+1）bXs，t+1. （3.4）命题2.11的证明。Ad（i）：假设（St）t=0，。。。，t不满足（NA）和lett：=最小{u∈ {1，…，T}| P（Ns，l=0）=1的所有l的套利（η，N）≥ u} 。这意味着t是最小的数字u，因此清算时间为u的模型，即所有股票头寸必须清算到时间u，允许套利。让我们证明在t.W.l.o.g.P（St-1=0，St>0）=0，因为否则（RLNA）不适用于定义。我们考虑作用于时域{0，…，t-1，t+1。

，T}并由BSU定义：=Su（u≤t型-1). （2.4）中的对应关系与{0，…，t}上允许套利的s一致。因此，仍需证明定义2.9中模型中的BS满意度（NA）。由S≥ 0和r>0，一个有bxs，u≤ (1 + (1 - α） r）-1Xs，u∧（t-1） 对于所有s≤ t型- 2，u 6=t，bXt-1，u≤ 0表示所有u≥ t+1和bxs，所有s的u=0≥ t+1。对于市场中的每个策略N，这意味着bv（N）=t-1Xs=0TXu=s+1，u6=t，u6=t+1（Ns，u-1.- Ns，u）bXs，u+（Ns，t-1.- Ns，t+1）bXs，t+1≤1 + (1 - α） r“t-2Xs=0吨-2Xu=s+1（Ns，u-1.- Ns，u）Xs，u+t-2Xs=0Ns，t-2Xs，t-1#，（3.5）使用该Ns，T=0。（3.5）的RHS可以通过价格过程S和清算时间t在市场中生成- 但是，根据t的最小值，如果必须在t之前清算股票头寸，S不允许套利-因此，（3.5）意味着（NA）forbS，我们完成了。Ad（ii）：有待展示”<=”. 当然，对于α=0，在无摩擦市场中，（2.2）降低到标准的自我融资条件。假设S在某个时间段t内不满足（RLNA）∈ {1，…，T}。如果P（St-1=0，St>0）>0，S允许套利，我们完成了。因此，我们可以假设存在满足（NA）的过程，但（2.4）中的对应允许套利。由于α=0，因此存在一些u∈ {1，…，T}这样ES允许在周期u中进行一个周期的套利，即在u之间- 1和u（参见F¨ollmer和Schied[10]中命题5.11的证明，该命题在一些资产的卖空约束下也成立）。根据定义2.9中的模型构造∈ {1，…，T}\\{T}，在u中的单期套利会导致在BS中的单期套利（注意，对于u=T+1，单期套利会导致在T- 消除周期为t的模型中的1和t+1。对于这一模型，需要Ns，t-1在带有BS的模型中仅可测量Ft）。

但是，由于满足条件（NA），因此u=t，S也允许t的单期套利。定理2.12的证明。LetbS是定义2.9的模型中满足（NA）的任意非负适应价格过程，时域{0，…，t- 1，t+1，T}和leteS是（2.4）中定义的作用于{0，…，T}的相关过程。我们观察到P英国夏令时-1=0，某些u的bSu>0∈ {t+1，…，t}= 0。（3.6）此外，在整个证明过程中，我们在时域{0，…，T}上的市场中确定了策略N。我们必须证明，N不能是套利，即eS也不能满足（NA）。步骤1：定义：=nbSt-1=0度∪PSt公司- St公司-第一个-1.≤ (1 - α） r | Ft-1.= 1..让我们首先表明，在{0，…，t上的市场中存在一种战略- 1，t+1，T}（参见定义2.9），即BNS，u=Ns，UF或所有s≤ u≤ t型- 2和BV（bN）≥1 + (1 - α） B上的版次（N）∪（t-1Xs=0Ns，t-1=0）P-a.s.，（3.7），其中bv和v分别定义为（3.4）和（3.2）。我们定义（bNs，美国）≤u、 s，u6=tbybNs，u：=Ns，u，s≤ t型- 2，u 6=t- 10亿，吨-1： =Ns、t、s≤ t型- 20个NT-1，t-1： =Nt-1，t+1+（1- α） rStSt公司-1Nt，tbNt-1，u：=Nt-1，u+1+（1- α） rStSt公司-1Nt、u、u≥ t+1十亿，u：=1+（1- α） rStSt公司-1Ns，美国≥ t+1。注意BNS，t-1必须是Ft可测量的。bNt公司-1，t-1是按价格B购买的股票数量-1，即“t之间- 时间域较小的模型中为1和t+1“。这些购买必须模仿以最高价购买的金额-1并在具有较大时域的模型中。在setnPt上-1s=0Ns，t-1=0，市场中的股票头寸完全清算- 1，且在t时未购买新股- 1.（2.1）得出在这个集合上一个hasNs，所有s的u=0≤ t型- 1，u≥ t型- 1，因此，eV（N）减小到v（N）=t-2Xs=0吨-1Xu=s+1（Ns，u-1.- Ns，u）eXs，u+T-1Xs=tTXu=s+1（Ns，u-1.- Ns，u）eXs，u。

（3.8）通过构造BN，在上述集合上，一个具有BNS，所有s的u=0≤ t型- 2，u≥ t型- 1，bNt-1，t-1=1/(1 + (1 - α） r）St/St-1Nt、t和BNT-1，u=1/（1+（1- α） r）St/St-1Nt、UF或所有u≥ t+1。这产生了与（3.8）类似的简化：bV（bN）=t-2Xs=0吨-1Xu=s+1（bNs，u-1.-bNs，u）bXs，u+TXu=t+11+（1- α） rStSt公司-1（Nt，u-1.- Nt，u）bXt-1，u+T-1Xs=t+1xU=s+1（bNs，u-1.-bNs，u）bXs，u.（3.9）用于s≤ t型- 2，u≤ t型- 1，一个有BNS，u-1.-bNs，u=Ns，u-1.- Ns，u，bXs，u=eXs，u/（1+（1- α） r），因此（bNs，u-1.-bNs，u）bXs，u=（Ns，u-1.- Ns，u）eXs，u/（1+（1- α） r）。另一方面，BN在{t上的子市场中产生相同的收益- 1，t+1，t+2，T}作为N在子市场{T，T+1，T+2，…，T}上直到前因子1/（1+（1- α） r）。由于两个增益在集合{St=0}上都消失了，我们只需在集合{St>0}上检查这个断言，它与{St]重合-1> 假设为0，St>0}。对于s≥ t+1，u>s，我们有BNS，u-1.-bNs，u=1/（1+（1- α） r）St/St-1（Ns，u-1.- Ns，u），bXs，u=St-1/STEX，u，因此（bNs，u-1.-bNs，u）bXs，u=1/（1+（1-α） r）（Ns，u-1.-Ns，u）eXs，u。此外，一个hasbXt-1，u=St-1/SteXt，u。将（3.8）和（3.9）中的“对应”总和加在一起，等于前因子1/（1+（1- α） r），这意味着（3.7）满足《不扩散核武器条约》的平等要求-1s=0Ns，t-1=0度。现在，我们分析B的收益，这当然是有趣的部分。没有假设-1s=0Ns，t-1=0，需要估计gainseXs，uwith s≤ t型- 1安图≥ t、 我们得到了，u=h（1- α） eSu+αeSsi（1+（1- α） r）T-u-eSs（1+（1- α） r）T-s≤h（1- α)(1 + (1 - α） r）bSu+αbSsi（1+（1- α） r）T-u-bSs（1+（1- α） r）T-s≤ (1 + (1 - α） r）h（1- α） bSu+αbSsi（1+（1- α） r）T-u-bSs（1+（1- α） r）T-s-1.= (1 + (1 - α） r）bXs，向上-B，s上的a.s≤ t型- 1，u≥ t+1，（3.10），其中对于集合{bSt）上的估计-1=0}我们使用{bSt-1= 0}  {bSu=0，eSu=0}，P-a.s.by（3.6）和ofeS的构造。

在相同的估计下，它遵循x，t≤h（1- α)(1 + (1 - α） r）英国夏令时-1+αbSsi（1+（1- α） r）T-t型-bSs（1+（1- α） r）T-s≤ (1 + (1 - α） r）bXs，t-1P-B、s上的a.s≤ t型- 2（3.11）及以下-1，t≤ 0 P-a.s.在B.（3.12）上，不假设PT-1s=0Ns，t-1=0，（3.8）和（3.9）的RHSs仍然与前因子1/（1+（1）重合- α） r），但会出现额外的summandst-1Xs=0TXu=t（Ns，u-1.- Ns、u）eXs、u（3.13）和T-1Xs=0TXu=t+1（Ns，u-1.- Ns，u）bXs，u+t-2Xs=0（Ns，t-1.- Ns，t）bXs，t-1（3.14）foreV（N）和BV（bN）。由（3.10）和（3.11）可知，（3.14）中的每个求和都支配着（3.13）中的“对应”求和，直到前因子1/（1+（1- α） r）在集合B上。总结（Nt-1，t-1.- Nt公司-1，t）外部-1，tin（3.13）是左边的，但到（3.12）时，它在B上是非正的，我们得到（3.7）。这意味着如果t期的税前股票回报率肯定不超过（1- α） r，投资者总是希望消除周期t。请注意，冲销意味着她可以在不投资于t期的情况下延期纳税，并且她不需要支付t期债务的利息。步骤2：定义：=nbSt-1> 0o个∩St公司-1> 0，PSt公司- St公司-第一个-1<κt，t | Ft-1.> 0.注意，根据（2.6）和约定0/0：=0，我们得到{St-1= 0}  B、 因此，我们通过假设（2.7）得到∪ B） =1。（3.15）在B上，以下分解起着至关重要的作用。对于s≤ t型- 1，u≥ t、 我们将eXs、uin分解为四部分：在t清算股票时的收益- 1、在时间t购回股票后的收益，即在时间t之前递延应计收益税所产生的财富- 1到时间u，以及在时间u征税的期间t中的利润。形式上，分解也定义为s<u和s>t- 1或u<t，但随后退化，即，Is，u=Is，u=0。