信贷风险符合随机矩阵：应对非固定资产

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英文标题：
《Credit Risk Meets Random Matrices: Coping with Non-Stationary Asset
  Correlations》
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作者：
Andreas M\\\"uhlbacher and Thomas Guhr
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We review recent progress in modeling credit risk for correlated assets. We start from the Merton model which default events and losses are derived from the asset values at maturity. To estimate the time development of the asset values, the stock prices are used whose correlations have a strong impact on the loss distribution, particularly on its tails. These correlations are non-stationary which also influences the tails. We account for the asset fluctuations by averaging over an ensemble of random matrices that models the truly existing set of measured correlation matrices. As a most welcome side effect, this approach drastically reduces the parameter dependence of the loss distribution, allowing us to obtain very explicit results which show quantitatively that the heavy tails prevail over diversification benefits even for small correlations. We calibrate our random matrix model with market data and show how it is capable of grasping different market situations. Furthermore, we present numerical simulations for concurrent portfolio risks, i.e., for the joint probability densities of losses for two portfolios. For the convenience of the reader, we give an introduction to the Wishart random matrix model.
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中文摘要：
我们回顾了相关资产信用风险建模的最新进展。我们从默顿模型开始，该模型的违约事件和损失源自到期时的资产价值。为了估计资产价值的时间发展，使用了股票价格，股票价格的相关性对损失分布，尤其是尾部的损失分布有很大影响。这些相关性是非平稳的，这也会影响尾部。我们通过对一组随机矩阵进行平均来解释资产波动，这些随机矩阵对真实存在的一组测量相关矩阵进行建模。作为一个最受欢迎的副作用，这种方法极大地降低了损失分布的参数依赖性，使我们能够获得非常明确的结果，从数量上表明，即使相关性很小，重尾也优于多样化收益。我们用市场数据校准了我们的随机矩阵模型，并展示了它如何能够把握不同的市场情况。此外，我们还对并行投资组合风险进行了数值模拟，即两个投资组合的损失联合概率密度。为了方便读者，我们介绍了Wishart随机矩阵模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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关键词：固定资产 信贷风险 correlations Quantitative Applications

信贷风险符合随机矩阵：应对非平稳资产相关性Andreas Mühlbacher*杜伊斯堡-埃森大学托马斯·古尔物理学院。147048德国杜伊斯堡2018年3月2日，我们回顾了相关资产信用风险建模的最新进展。我们从默顿模型开始，该模型的违约事件和损失源自到期时的资产价值。为了估计资产价值的时间发展，使用了股票价格，股票价格的相关性对损失分布，尤其是尾部的损失分布有很大影响。这些相关性是非平稳的，也会影响尾部。我们通过对一组随机矩阵进行平均来解释资产波动，这些随机矩阵模拟了真实存在的一组测量相关矩阵。作为一种最有利的影响，这种方法极大地降低了损失分布的参数依赖性，使我们能够获得非常明确的结果，从数量上表明，即使相关性很小，重尾也优先于分散效益。我们用市场数据校准了我们的随机矩阵模型，并展示了它如何能够把握不同的市场情况。此外，我们还对并行投资组合风险进行了数值模拟，即两个投资组合的损失联合概率密度。为了方便读者，我们介绍了Wishart随机矩阵模型。1引言评估信贷风险对金融市场和整个经济的系统稳定性的影响非常重要，因为2007-2009年的次贷危机和雷曼兄弟倒闭后的事件都清楚地表明了这一点[24]。迫切需要更好的信用风险评估。各种不同的性别歧视者，请参见[3、5、9、12、25、29、33、22、18、32]了解概述。

他们中的大多数人都陷入了*安德烈亚斯。muehlbacher@uni-到期日。撤销形式【12、7、50】或结构方法类【34、13】，综合评述见【16】。要解决的问题最终成为一个统计问题，因为必须估计大型信贷合同组合的损失分布。通常，它们有一条非常沉重的右尾，这是由于安然破产等异常重大的单一事件，或者次贷危机期间同时发生的许多小事件造成的。减少这一尾部将提高整个金融系统的稳定性。不幸的是，多元化可以降低投资组合风险的说法值得怀疑甚至是错误的，因为资产价值之间的相关性往往被忽视。它们在信贷合同组合中非常重要，例如以债务抵押债券（CDO）的形式。在详细的研究中，研究表明，即使存在弱的正相关差异，也无法降低第一通道模型和默顿模型的投资组合风险【49，17】【45，27，47】。最近，在相关市场的大多数一般情况下，甚至在资产之间的波动相关性的实际情况下，在分析解决默顿模型[34]方面取得了进展。资产价值的协方差和相关矩阵随时间变化[57、53、38、44]，这是金融市场中始终存在的非平稳性的一个重要例子。我们在此回顾的方法【46、47、48、52】使用了这样一个事实，即在一个较小的时间窗口中测量的一组不同的相关矩阵可以通过一组随机相关矩阵来建模，该窗口在较长的数据集中滑动。资产价值按照相关平均多元分布进行分布【8、46、47、48】。

这一假设得到了详细的实证研究的证实。应用于默顿模型，这种集成方法极大地减少了相关参数的数量，这是一个最受欢迎的副作用。我们只剩下两个，一个是资产价值之间的平均相关性，另一个是衡量流动性强度的指标。之前曾考虑过零平均相关的特殊情况【37】。还给出了包含有限数量资产的投资组合的极限分布，为多样化收益的极限提供了定量估计。我们还报告了产生风险价值（VaR）和预期尾部损失（ETL）的经验相关矩阵一般情况下的蒙特卡罗模拟结果。另一个重要方面是不同投资组合的同时亏损。同时极端亏损可能会影响主要市场参与者的偿付能力，从而加剧系统性风险。从投资者的角度来看，购买CDO可以在给定的投资组合中持有每份合约的“一部分”[11、31、1]。此类投资者可能会受到同时发生的重大信贷组合损失的严重影响。因此，有必要评估不同投资组合的损失以何种方式耦合以及耦合程度如何。在默顿模型和集合平均的框架下，研究了由统计相关信用合约组成的两个信用组合的损失。由于相关系数仅在高斯分布的情况下提供完整信息，因此这些投资组合损失的统计相关性通过copulas进行了研究【39】。这里讨论的方法不同于[30]中给出的方法，因为使用标准普尔500指数和日经225指数的经验输入对信贷组合损失进行了蒙特卡罗模拟，并详细分析了由此产生的经验连接函数。

还有许多其他方面会导致系统性风险，如零售溢出【10】。本审查文件组织如下：第。2我们为不熟悉随机矩阵的读者介绍了非平稳资产相关性的随机矩阵理论，包括Wishart模型的草图。这种方法在Sec中使用。3说明信贷风险中的流动资产相关性。以秒为单位。4、讨论了并行信贷组合。第节给出了结论。5.2非平稳资产相关性的随机矩阵理论我们以秒为单位勾画了相关和协方差矩阵的Wishart模型的显著特征。2.1. 以秒为单位。2.2，我们讨论了Wishart模型asa模型的一种新解释，以描述相关性的非平稳性。2.1相关性和协方差矩阵的Wishart模型金融市场是高度相关的系统，风险评估总是需要了解相关性，或者更一般地说，相互依赖性。我们首先简要总结了续集中需要的一些事实。具体而言，我们考虑了股票价格和回报，但对于作为时间序列给出的所有可观测数据，相关性可以用相同的方式进行测量。例如，我们对股价为K（t），K=1，…，的K家公司感兴趣，K作为时间t的函数。相对价格在固定时间间隔内变化t、 即返回srk（t）=Sk（t+t）- 众所周知，Sk（t）Sk（t）（1）具有重尾分布，较小的t、 越重。样本皮尔逊相关系数定义为：asCkl=hMk（t）Ml（t）iTMk（t）=rk（t）- hrk（t）在长度t的时间窗内，它是两个公司k和l之间的σk（2）。时间序列mk（t）通过归一化为零均值和单位方差从rk（t）中获得，其中标准偏差σkis在上述时间窗口中进行评估。

我们定义K×T矩形数据矩阵M，其第K行为时间序列Mk（T）。带有条目的相关矩阵Cklis为给定的byC=TMM+，（3），其中+表示转置。根据定义，C是实对称的，并且具有非负的IgenValue。我们还将使用协方差矩阵∑=σCσ，其中对角矩阵σ包含标准偏差σk，k=1，K、 设置A=σM，我们可以为协方差矩阵写∑=TAA+（4）。我们必须记住，只有当多元分布为高斯分布时，相关性或协方差才能完全理解相互依赖关系，而当t太小。我们回到这一点。对于观测值为时间序列的任意系统，可以测量相关或协方差矩阵。大约90年前，Wishart【55，36】提出了arandom矩阵模型，通过与高斯零假设进行比较来评估相关性或协方差矩阵的统计特征。考虑K值Ak（t），K=1，K在固定时间t，形成K分量数据向量a（t）。现在假设我们从多元高斯分布中画出这个向量的条目，其协方差矩阵为∑，也就是说ew（a（t）|∑）=det1/2（2π∑）exp-A+（t）∑-1A（t）（5） 是概率密度函数。我们现在作出重要假设，首先，数据向量在不同时间t的统计上是独立的，其次，分布（5）在所有时间t=1，…，具有完全相同的形式，T具有相同的方差矩阵∑。换言之，我们假设数据来自统计视图点、马尔可夫和时间平稳。然后，整个模型数据矩阵A的概率密度函数就是乘积w（A∑）=TYt=1ew（A（t）∑）=detT/2（2π∑）exp-trA+∑-1A级.

（6） 这是著名的数据矩阵A的Wishart分布，它预测随机协方差矩阵的统计特征。通过构造，我们发现模型协方差矩阵AA+/ThTAA+i=Zd[A]w（A∑）TAA+=∑，（7）其中角括号表示Wishart随机矩阵系综的平均值（6），其中d[A]表示FL度量，即所有自变量的微分的乘积。Wishart集合基于不同时间的统计独立性、平稳性和多变量高斯函数形式的假设。协方差矩阵∑是Wishart系综平均值的输入，其中各个随机协方差矩阵以高斯方式变化。波动的强度与模型时间序列的长度T密切相关。取形式极限T→ ∞ 将函数减少为零，所有随机协方差矩阵固定为∑。值得一提的是，随机相关矩阵的Wishart模型具有相同的形式。如果我们将A替换为M，∑替换为cw，则可以找到产生随机相关矩阵统计特性的Wishart分布。Wishart模型通过遍历性参数作为统计推断的基准和标准工具【36】：如果矩阵的维数K较大，则可以通过这些矩阵的集合来估计单个协方差或相关矩阵的统计特性。诚然，这种遍历性论证并不一定意味着概率密度函数是多元高斯函数。然而，与中心极限定理类似的论点证实了高斯假设，从经验上看，它在各种各样的应用中都是合理的。

巴黎和波士顿经济物理学小组【28，41】提出了一个特别有趣的应用Wishart模型，以简化形式计算C=1k的相关性，他们将经验金融相关矩阵的特征值分布（边际特征值概率密度函数）与理论预测进行了比较。他们发现大部分分布都很一致，这表明数据中存在令人不安的噪声修饰量，因为经验时间序列的长度相对较短，对组合优化方法产生了相当大的影响[6、42、15、19、40、54]。2.2众所周知，Wishart模型金融市场的新解释和应用是非平稳的，即平稳性假设仅在短时间尺度上有意义，在长时间尺度上必然失败。非平稳复杂系统对经验分析和数学建模提出了根本挑战【14、21、2、43】。财务方面的一个例子是样本标准偏差σk的强烈波动，在相同长度T的不同时间窗口中测量[4，51]，如图1所示。金融市场展示了1995年、2000年、2005年、2010年、20150.000.020.040.060.08标准偏差2002–2004图1：固特异1992年至2018年的标准偏差时间序列。返回间隔为t=1个交易日，时间窗口长度为t=60个交易日。在最近几年的危机中，非平稳性以相当激烈的方式出现。在这里，我们主要关注相关性的非平稳性。他们的波动会及时发生，例如，由于交易员的市场预期发生变化，公司之间的业务关系发生变化，尤其是在危机状态下，等等。为了说明K×K相关矩阵C作为一个整体是如何随时间变化的，我们在图2中为后续时间窗口显示了它。

此处使用的数据集由K=306个连续交易数据组成图2：2005年第四季度和2006年第一季度K=306家公司的相关矩阵，越暗，相关性越强。公司按照工业部门进行分类。摘自【46】。1992年至2012年间标普500指数中的公司【56】。在后面的讨论中，我们强调这些相关矩阵中的条纹表示工业部门的市场结构，参见，例如，[38]。显然，相关性的非平稳波动会影响所有推断出的经济观察值，而且对于罕见的相关事件的统计而言，这种影响可能会很强。在续集中，我们将展示信贷风险中损失分布的尾部对相关性的非平稳性特别敏感。我们还将扩展信用风险的默顿模型，以考虑非平稳性。为此，我们现在将对相关矩阵的Wishart随机矩阵模型进行重新解释【46】。如第。2.1，最初广泛使用的Wishart模型基于平稳性假设。利用信度，它借助随机矩阵的有效集合预测大型个体相关性和协方差矩阵的统计特性。我们现在认为，Wishart模型可以被视为随机矩阵的集合，对现有的非平稳协方差矩阵集合进行建模。后一个系综中的两个元素如图2所示，整个系综由所有相关矩阵组成，通过一个长度为T的窗口滑动通过一组更长的长度为Ttot的时间序列来测量。因此，如果窗户不重叠，那么真正存在的整体大小为Ttot/T。

平均相关矩阵或协方差矩阵Cor∑只是长度为Ttot的整个时间序列上的样本平均值。我们将K个时间序列分成长度为T的输入片段，从而产生真正存在的集合。为了用一组随机矩阵对其建模，我们必须使用数据矩阵A和K行，代表模型时间序列，但我们可以自由选择其长度N。如上所述，时间序列的长度控制着平均值周围波动的强度。因此，我们使用K×N随机数据矩阵A和writew（A∑）=detN/2（2π∑）exp-trA+∑-1A级（8） 对于概率密度函数。K×K均值协方差矩阵∑是输入，由使用整个长度Ttot时间序列的样本均值给出。这是我们重新解释的Wishart模型，用于描述可变、非平稳协方差或相关矩阵。重要的是，遍历性推理在这里没有被唤起，它实际上是错误的。还值得一提的是，我们并不局限于大矩阵维度。接下来，我们证明相关性中的非平稳性会导致相关市场金融时间序列中的通用特征。我们首先说明，如果协方差矩阵∑是固定的，则回报率是多元高斯分布的良好近似值。我们首先假设k维向量的分布r（t）=（r（t），rK（t）），用于固定的返回间隔当t在数据集中运行时，由g（r∑）=pdet（2π∑）exp给出-r+∑-1r级, （9） 在这里，我们在符号中抑制r的参数t。我们用标准普尔500指数的每日数据来检验这一假设。我们将时间序列划分为长度为T=25个交易日的窗口，该窗口足够短，以确保采样协方差在这些窗口内是一致的。