信贷风险符合随机矩阵：应对非固定资产

【20，23】中提供了传染病的直接建模。3.4风险价值和预期尾部损失有效相关矩阵的近似值有助于分析进度，但重要的是，使用该近似值时，平均资产收益率分布仍能很好地拟合经验数据。我们现在表明，这种近似方法也能够估计风险价值（VaR）和预期尾部损失（ETL），也称为预期短缺。我们将在这种近似下得到的结果与经验协方差矩阵得到的结果进行了比较。这在风险管理中也很有趣，因为在很长一段时间内估计协方差矩阵并将其用作各种风险估计方法的输入是很常见的。不同的是，我们对使用有效相关矩阵并考虑影响相关性的风险估计质量感兴趣。有效相关矩阵与经验协方差矩阵的比较无法进行分析。因此，进行蒙特卡罗模拟以计算VaR和TL。对于每项资产，模拟其到期时的价值，并根据（14）计算投资组合损失。所有资产在投资组合中的比例都相同。对于不同的时间范围，计算了标准普尔500指数股票月度收益的经验协方差矩阵、波动率和漂移。此外，如上所述确定参数N。在2002-2004年平静期，我们发现经验协方差矩阵的参数值相当大，为N=14，而在2008-2010年金融危机期间，我们发现N=7。这再一次说明了N的含义是一个倒转的函数方差。计算了有效协方差矩阵与经验协方差矩阵不同分位数的VaR和ETL的相对偏差。

这有两种不同的方式。首先，我们可以假设一个完全同质的投资组合，其中使用每个股票的波动率和漂移的平均值。其次，可以使用每个股票的经验性预期值。事实证明，在大多数情况下，有效协方差矩阵加上同质波动率和漂移低估了风险。相反，如果使用异质波动率和漂移，与完整的经验协方差矩阵相比，有效协方差矩阵能找到令人满意的一致性，请参见[48]。在后一种情况下，在大多数情况下，有效协方差矩阵略微高估了VaRand ETL。因此，相关矩阵的结构对风险估计不起决定性作用。这是因为损失分布始终是多重平均量。然而，对波动性的良好估计至关重要。通过比较N计算的VaR，可以看出随机矩阵方法的好处→ ∞ 对于N的不同值。情况N→ ∞ 不允许协方差矩阵波动。这意味着我们使用平稳相关性，将到期资产价值的分布hgi（V∑，N）转变为多元对数正态分布。因此，对于N→ ∞ 禁用了随机矩阵方法的好处。利用平稳相关性低估VaR，即N→ ∞,根据N的经验值计算的VaR的相对偏差进行测量。使用2006-2010年期间计算的经验协方差矩阵和经验，即异质性、波动性和漂移。结果如图9所示。这里，使用不同的分位数α=0.99,0.995,0.999。

对于经验观察到的0102030405060708090低估VaR0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28Nα=99.0α=99.5α=99.9图9：如果不考虑可变资产相关性，则低估VaR。使用经验协方差矩阵，并比较N的不同值。摘自【48】。参数N=12风险值在30%至40%之间被低估。因此，为了避免大量低估风险，必须考虑资产相关性的波动。4并发信贷组合损失在上一节中，仅考虑了金融市场上的一个单一组合。在这里，基于[52]，我们考虑了同时出现的投资组合损失问题，其中考虑了两个不重叠的信贷投资组合。以秒为单位。4.1我们讨论同质投资组合的连接函数。Sec讨论了标准普尔500指数和日经指数信用组合的相关性。4.2.4.1模拟设置我们考虑根据图10设置的两个非重叠信贷组合，其中金融市场通过其相关矩阵进行说明。颜色表示市场上两家公司的关联度。因此，对角线为红色，因为相关矩阵的对角线定义为1。这两个投资组合在图10中标记为黑框正方形。这两个投资组合都包括Kcontracts，这意味着它们的规模相等，而且两个投资组合中都不包含任何信贷合同。尽管投资组合是非重叠的，但由于对角平方中的非零相关性，它们是相关的-0.20.20.40.60.81.0-6-4-2图10：说明金融市场的异质相关矩阵。双框正方形对应于两个不重叠的信贷组合。

摘自【52】。两个信贷组合的损失L（1）和L（2）的联合二元分布P（1，2））=Z[0，∞)Kd[V]g（V∑）δL（1）-KXk=1f（1）kL（1）k！δL（2）-KXk=1f（2）kL（2）k！（29）的定义类似于（15）。这里，上指数表示相应的投资组合和标准化损失L（b）和投资组合损失L（b）以及b=1,2的分数f（b）k分别类似于（13）和（14）定义。总面值fk=F（1）k+F（2）k是两个投资组合面值的总和。我们注意到，对于两个不重叠的投资组合，其中一个加数总是零。通过该模拟设置，对每个合同的相关资产价值Vk（TM）进行数千次模拟，以计算投资组合损失，并从中计算出经验投资组合损失copula。copula是一个二元随机变量的联合分布，表示为两个边际分布分位数的函数。copulas的基本思想是将二元随机变量的相互依赖性从两个边缘分布中分离出来，以分析统计依赖性。特别是，我们将分析copula密度，该密度通过归一化二维直方图进行说明。因此，当谈到copula时，我们指的是它的密度。为了更好地理解经验copula表示的相互依赖关系，将其与高斯copula进行比较。该高斯copula完全由投资组合损失的相关系数决定。为了系统地研究不同参数对投资组合损失的影响，首先分析同质投资组合很有帮助。最普遍的特征可以通过关注资产相关性和漂移来找到。模拟以两种不同的方式运行。

首先，我们考虑股票价格回报的高斯动力学。这意味着到期时的资产价值T按照多变量对数正态分布进行分布。我们注意到，在高斯动态的情况下，平均相关系数周围的随机相关函数为零。这对应于案例N→ ∞. 第二，我们使用波动资产相关性，根据[48]的结果，使用参数值Nefff=5作为有效相关性矩阵，见表。1、对于模拟，参数u=-3天-1，ρ=0.03天-选择1/2和杠杆F/V=0.75。投资组合的规模为K=50，到期时间为TM=1年，考虑资产相关性为零的市场，即c=0。得到的连接函数如图11所示。对于图11：平均资产相关性c=0的同质投资组合的平均损失copula直方图。资产值为多元对数正态分布（N→ ∞) 在顶部图中，多变量重尾（Nefff=5）在底部图中。颜色条表示与相应高斯copula的局部偏差。摘自【52】。N→ ∞ 损失copula是常数。这一结果非常明显。由于高斯动力学和c=0，资产价值不相关且统计独立。因此，由这些独立数量得出的投资组合损失也不显示相互依赖性。得到的copula是一个独立copula，它与Corr（L，L）=0的组合损失相关性的高斯损失copula一致。在颜色编码中，仅显示白色。每个箱子内经验copula和高斯copula的差异通过着色代码来说明。右侧的颜色baron表示两个连接符之间的差异。

黄色到红色表示在给定的（u，v）-区间内，经验copula比高斯copula预测的依赖性更强。绿松石色到蓝色意味着经验copula的相关性比高斯copula弱。白色表示局部相关性相等。根据模拟结果计算的经验平均损失相关性为零，证实了这一结果。在图11的底部面板中，显示了c=0和Ne off=5的组合。与独立copula的偏差是惊人的。它们之所以出现，是因为根据随机矩阵方法，我们将资产相关性归纳为平均相关性c=0。这样一来，正相关性和负相关性都是同样可能的。查看copula直方图，我们发现与高斯copula存在显著偏差。高斯copula对于从（0,1）到（1,0）的线总是对称的。然而，投资组合损失相关性为Corr（L，L）=0.752。由计算的相关系数确定的与高斯copula的偏差如图11所示。特别是在与并发极端损失相关的（1,1）角，我们看到经验copula比高斯copula表现出较弱的依赖性。我们仍然必须回答这样一个问题：尽管平均资产相关性在模拟中设置为零，但为什么投资组合损失表现出如此强的正相关性。首先，如上所述，信贷风险是高度对称的。例如，如果在一个信贷组合中，一个合同产生了损失，那么它已经足够大，以至于整个组合产生了损失。公司违约可能只会造成一小部分投资组合损失，但它仍然主导着所有其他非盈利公司，甚至可能是繁荣的公司。

换句话说，非违约公司对投资组合损失没有积极影响。所有这些非默认值都被投影到零。其次，资产相关性的波动意味着将公司分为两个区块。这些公司在区块内表现出正相关，而在区块间则表现出负相关。由于上述事实，即非违约公司对损失分布没有积极影响，反相关性对投资组合损失相关性的贡献有限。根据信贷风险的不对称性，它们将起到降低风险的作用。另一方面，区块内的正相关性意味着同时违约的高风险。现在我们研究漂移的影响。所有未违约公司的投资组合损失均为零。通过改变资产值的漂移，可以更详细地分析这些预测对零的影响以及由此产生的违约非违约比率。例如，如果选择了强烈的负漂移，则所有公司都很可能在到期时违约。我们考虑平均资产相关性为c=0.3且平均相对度为ρ=0.02天的高斯动态-1/2和u的不同值。图12显示了三个不同漂移参数的结果copulas。在顶板上，u=10的漂移-3天-选择1，这导致非违约率为39.1%，估计的投资组合损失相关系数（L，L）=0.851。我们发现对称高斯copula存在显著偏差。在中间和底部面板上，u=3×10的漂移-4天-1和u=-3 × 10-3天-选择了1，这导致非违约率分别为12.8%和零。估计的投资组合损失相关性随着非违约率的降低而增加，发现相关性分别为Corr（L，L）=0.904和Corr（L，L）=0.954。

此外，我们还看到，经验copula变得更加高斯ifFigure 12：资产相关性c=0.3的同质投资组合的平均损失copula直方图。资产值为多元对数正态分布（N→ ∞). 偏差为u=10-3天-1（顶部），3×10-4天-1（中间）和-3 × 10-3天-1（底部）。颜色条表示与相应高斯copula的局部偏差。摘自【52】。非违约百分比降低。最后，在违约概率为100%的情况下，经验损失copula是高斯copula。这可以在底部面板中看到，除白色外，其他颜色均不显示。在中间和顶部的面板中，我们看到了高斯copula的偏差。特别是在（1,1）角，我们看到经验copula比相应的高斯copula显示出更强的依赖性。在这两种情况下，高斯copula低估了大型并发投资组合损失的统计相关性。我们推断，违约概率的增加会导致投资组合损失关系的增加。此外，我们得出结论，由于投影到零而导致的信息丢失，是观测到的统计相关性与高斯copula的偏差的原因。4.2经验信贷组合现在考虑具有异质参数的更现实的组合。为了系统地研究异质性的影响，只有波动性最初被选择为异质性。之后，我们将继续分析完全异质的投资组合。资产相关性、漂移和波动性等经验参数由标准普尔500指数和日经225指数的历史数据集确定。为了避免由于特定参数选择而产生的任何影响，计算了使用不同参数值运行的平均超千次模拟。我们首先研究单个参数的异质性。

平均资产相关性c=0.3且均匀大负漂移u=-3 × 10-3天-1已考虑。由于较大的负漂移，我们已经看到，在额外同质波动的情况下，产生的依赖结构是高斯copula。当只有日波动率被认为是随机的时，就构建了一个相当简单的异质投资组合。对于每个合约，波动率是从开放区间（0,0.25）的均匀分布中提取的。由此产生的平均投资组合损失copula如图13所示。我们再次比较平均copula计算图13：从区间（0,0.25）的均匀分布中得出的具有异质波动性的两个投资组合的平均损失copula直方图。色条表示与相应高斯copula的局部偏差。摘自【52】。由模拟结果与相应高斯copulas上的平均值确定投资组合损失的相关性。令人惊讶的是，单参数异质性足以导致偏离高斯copula。着色显示了经验copula与高斯copula的不同，尤其是在（0,0）和（1,1）角附近。我们得出的结论是，选择一个或多个异质参数，即每个投资组合的不同参数变化很大，会改变理想高斯copula的依赖结构。投资组合的异质性越大，与对称高斯copula的偏差就越大。到目前为止，非高斯经验copula有两个原因：由非违约预测到零导致的信息损失，以及参数异质性。我们现在转向实证投资组合。在开始模拟之前，必须确定经验参数。

该数据集包括272家标准普尔500指数上市公司和179家日经225指数上市公司的股票回报数据。每隔21年进行一次采样，采样时间为1993年1月至2014年4月。为了建立区域性、完全同质的投资组合，漂移、波动率和相关性都是从这个经验数据集计算出来的。此外，在[46]中，我们发现，经验资产价值的年回报率表现正常。为了匹配这些发现，应用了股票价格回报的高斯动力学。为了获得平均经验投资组合损失copula，首先对不同的投资组合对进行平均，然后对21年期间随机选择的年度时间间隔进行平均。通过对不同组合对进行平均，两个特定组合的特定特征导致的结果无效。我们考虑三种不同的情况，如图14所示。在第一种情况下，如上图所示，一种投资组合来自标准普尔500指数，另一种来自日经225指数。在第二种情况下（中间面板），这两种投资组合都是从标准普尔500指数中提取的，在第三种情况下（底部面板），这两种投资组合都是从日经225指数中提取的。在这三种情况下，我们都发现了经验copula与高斯copula的偏差。特别是极端事件的依赖性比高斯copula的预测更加明显。这可以在（1,1）角中看到，其中的颜色表明，与Gaussiancopula相比，尾巴更窄，更尖。另一方面，（0,0）角处的尾部与Gaussiancopula相比更薄。关于（1,0）和（0,1）之间的线的不对称性导致了这样的结论，即极端投资组合损失比小投资组合损失更经常同时发生。