信贷风险符合随机矩阵：应对非固定资产

我们聚合数据，即将返回向量旋转到∑的特征基，并用相应的特征值进行归一化。如图所示。3与高斯函数在至少四个数量级上有很好的一致性，10-510-310-1pdf-4 0 4图3：标准普尔500指数数据集固定协方差的标准化收益的聚合分布，t=1个交易日，窗口长度t=25个交易日。圆圈呈正态分布。摘自【46】。有关分析的详细信息，请参见【46】。为了解释协方差矩阵的非平稳性，我们将其替换为随机协方差矩阵∑-→NAA+，（10）从分布中提取（8）。我们强调，随机矩阵A的维数为K×N。N越大，对AA+/N的单个矩阵素的贡献越大，最终将其定义为N→ ∞ 平均值∑。波动协方差改变了多元高斯分布（9）。我们用系综平均回报分布hgi（r∑，N）=Zd[A]g对此进行建模rNAA+w（A∑），（11），其参数取决于固定的经验协方差矩阵∑以及onN。系综平均可以用解析方法进行[46]，结果为：GI（r∑，N）=N/2+1Γ（N/2）pdet（2π∑/N）K（K-N）/2qNr+∑-1r级qNr+∑-1r（K-N）/2，（12），其中Kν是第二类ν阶修正贝塞尔函数。在下面的数据分析中，我们将发现K>N。由于经验协方差矩阵∑是固定的，N是分布中唯一的自由参数（12）。对于大N，它接近阿高辛。N越小，尾部越重，当N=2时，分布呈指数分布。重要的是，返回值仅通过双线性形式r+∑输入hgi（r∑，N）-1r。为了测试我们的模型，我们必须再次聚合数据，但现在对于1992年至2012年的整个标准普尔500数据集，即Ttot=5275天，见图4。

我们发现，对于dailyreturns，N=5，即：。，t=1个交易日，N=14个交易日t=20个交易日。此外，图5还提供了与更大的月度回报数据集的详细比较。这里使用的是标准普尔500指数和纳斯达克股票。在左上角，数据集由307只取自标准普尔500指数的股票组成，这些股票在1992年至2012年期间连续交易。顺时针方向的其他数据集包括：2002-2012年期间标准普尔500指数的439只股票，2002-2012年期间纳斯达克的2667只股票，以及1992-2012年期间纳斯达克的708只股票。我们发现月收益率的值约为N=20。这两个数据集都可以在[56]上找到。模型和数据之间有很好的一致性。重要的是，分布具有重尾，这是协方差波动的结果，N越小，越重。对于小N，尾部的理论和数据之间存在偏差。有三条评论。首先，我们应该清楚地将这种多元分析与众所周知具有重尾分布的个别股票的程式化事实区分开来。这在一定程度上可以在我们的模型中得到解释，如图4底部的asseen所示。在顶部，由于时间间隔t短得多。为了进一步说明这一点，我们需要通过使用不同于高斯分布的分布来修改Wishartmodel【35】。其次，图2清楚地显示了相关矩阵的经验集合具有我们的模型中也包含的内部结构，因为均值∑进入。第三，投资组合管理的后果在[8]中进行了讨论。10-410-310-210-11pdf10-410-310-210-1pdf-4 0 4图4：旋转和缩放收益的聚合分布t=1（顶部）和t=20个（底部）交易日。

圆圈对应于分布的聚合（12）。摘自【46】。3建模信贷风险中波动的资产相关性结构性信贷风险模型利用到期时的资产价值得出违约事件及其后续损失。因此，必须仔细选择描述资产价值的分布。一个主要要求是，分布与经验数据保持良好的一致性。这一目标可以通过对资产相关性使用随机矩阵方法来实现，第。2、在[47，48]的基础上，我们讨论了默顿模型和随机矩阵方法。3.1. 以秒为单位。3.2我们揭示了信贷组合平均损失分布的结果。模型的可调整性如第节所示。3.3. 以秒为单位。3.4我们讨论了随机矩阵方法对VaR和ETL的影响。3.1随机矩阵法我们从默顿模型开始[34]，并将其扩展到考虑K个信用合约的投资组合。假设投资组合中的每个债务人都是一家上市公司。基本思想是k公司的资产价值Vk（t）是时间独立负债Fk和权益Ek（t）之和，即Vk（t）=Fk+Ek（t）。Vk（t）被认为是一个随机过程，按照默顿模型的精神，它是由几何布朗运动建模的。因此，我们可以追溯资产价值的变化到股票价格回报，并通过经验10估计随机过程的参数，如波动率和漂移-410-310-210-11pdf10-410-310-210-11pdf-4 0 4r-4 0 4r图5：对数标度上的经验方差矩阵的归一化月度收益的聚合分布。黑线表示经验分布，红色虚线表示理论结果。插图显示了相应的线性图。

左上/右：标准普尔500指数（1992-2012）/（2002-2012），左下/右：纳斯达克指数（1992-2012）/（2002-2012）。摘自【48】。股票价格数据。债务在一段时间后到期，债务人必须履行其义务并支付所需款项。因此，他必须偿还票面价值，中间不支付任何息票。这与零息票债券有关，该公司的股权可被视为以执行价格为Fk的资产价值的欧洲看涨期权。只有在到期时，资产价值Vk（TM）低于面值Fk时，才会发生违约。相应的归一化损耗isLk=Fk- Vk（TM）FkΘ（Fk- Vk（TM））。（13） Heaviside阶跃函数Θ（x）保证损耗始终大于零。这是必要的，因为在Vk（TM）>FK的情况下，公司能够作出承诺付款，并且不会发生损失。换言之，违约标准可能与到期时的杠杆Fk/Vk（TM）有关。如果杠杆率大于1，则会发生违约；如果杠杆率低于1，则不会发生违约。总投资组合损失L是由投资组合中的分数fk=KXk=1fkLk，fk=FkPKi=1Fi加权的单个损失的总和。（14） 目的是描述平均投资组合损失分布p（L），该分布可通过滤波积分p（L）=Z[0，∞)Kd[V]g（V∑）δL-KXk=1fkLk！，（15） 其中，g（V |∑）是所有资产价值在到期时间t的多元分布，∑是协方差矩阵。这相当于K- 1次卷积，用Diracδ函数δ（x）表示为滤波器积分。我们注意积分（15）的复杂性，因为损失（13）涉及Heaviside函数。分布g（V |∑）通过更容易获得的分布g（r |∑）获得，其中r是由返回srk（t）=Vk（t+t）- Vk（t）Vk（t），（16）类似于（1）定义。

在这里t是与自然时间相对应的返回视界，即。，t=TM（17），因为我们对TM期间资产价值的变化感兴趣。关键的问题是，资产价值在一段时间内呈现出波动的相关性。当考虑一年或一年以上的较大时间尺度时，分布g（r∑）必须考虑这种非平稳性。如第。2随机矩阵法可用于处理非平稳资产相关性。平均资产价值分布hgi（V∑，N）是通过对Wishart分布相关矩阵集合上的多变量非线性分布进行平均得到的。因此，我们将损耗分布计算为总体平均值。从（15）中，我们发现HPI（L∑，N）=Z[0，∞)Kd[V]hgi（V∑，N）δL-KXk=1fkLk！。（18） 我们再次强调，由于非平稳性，集合确实存在。作为随机矩阵方法的一个副作用，结果分布仅取决于两个参数。K×K平均协方差矩阵∑和自由参数n控制平均协方差矩阵周围的函数强度。N表现为函数的逆方差，N越小，函数越大。这两个参数都必须由历史股价数据确定。平均资产价值分布取决于K×K平均协方差矩阵∑。为了避免随之而来的复杂性并取得分析进展，我们假设一个有效的平均相关矩阵=1 c c。c 1 c。c c 1。。。。。。。。。。。。。（19） 其中，所有o f-对角线元素均等于c。平均相关性是计算选定时间范围内的总体资产。我们强调，只有有效的平均相关矩阵是固定的，随机矩阵方法中的相关性围绕该平均值进行。

在续集中，每当我们提到一个具有有效相关矩阵的协方差矩阵时，我们都将其表示为有效协方差矩阵，当我们提到一个完全经验协方差矩阵时，其中所有对角元素都与另一个不同，我们将其表示为经验协方差矩阵或具有异质相关结构的协方差矩阵。使用假设（19），可以实现分析的可跟踪性，但这也提出了一个问题，即数据是否仍然可以很好地描述。要将结果与数据进行比较，必须再次旋转和缩放收益，但必须应用具有有效平均相关结构的协方差矩阵，而不是使用经验协方差矩阵。如图5所示，使用samedataset的月度回报结果如图6所示。尽管如此，10国之间还是达成了良好的协议41031021011pdf1041031021011pdf-4 0 4r-4 0 4r图6：对数标度上具有有效相关矩阵的归一化月度收益的聚合分布。黑线表示经验分布，红色虚线表示理论结果。插图显示了相应的线性图。左上/右：标准普尔500指数（1992-2012）/（20022012），左下/右：纳斯达克指数（1992-2012）/（2002-2012）。平均相关系数分别为c=0.26、0.35、0.21和0.25。摘自【48】。假设（19）和数据的平均资产价值分布。这就得出了这样的结论：近似值是合理的。考虑到描述有效平均相关矩阵周围波动所需的参数Nefff，可以找到Nefff=4附近的值。

与N=20左右的较大值相比，在经验相关矩阵的情况下，该值最好地描述了分布，而在具有平均相关性c的有效相关矩阵的情况下，需要较低的值来描述该平均值周围的较大波动。这一结果证实了N是函数的逆方差的解释。现在，金融市场的相关性结构仅由两个参数获得。平均相关系数c和参数N，表示该平均值附近的波动强度。3.2平均损失分布显示了随机矩阵方法的质量，我们现在可以继续计算平均投资组合损失分布（18）。我们根据收益结果（12）推导出资产价值hgi（V∑，N）的平均分布。在默顿模型中，假设资产价值Vk（t）遵循几何布朗运动，分别具有漂移常数和波动常数ukandρk。这导致收益率的形式为（9）的多元高斯分布，这与随机矩阵方法一致。因此，根据It^o的引理[26]，我们对variablesrk进行了更改-→ lnVk（TM）Vk0-uk-ρk！TM，（20），Vk0=Vk（0），挥发度ρk=σk√TM，（21），其中σkis是与（2）相关的标准偏差。此外，我们假设一个大的投资组合，其中所有面值fk都是相同的顺序，并对大K进行了扩展。分析结果为ishpi（L | c，N）=√2π2N/2Γ（N/2）Z∞dz锌/2-1e级-z/2sN2π×z+∞-∞du exp公司-如新大学pM（z，u）扩展-（L）- M（z，u））2M（z，u）！（22）对于m（z，u）=KXk=1fkm1k（z，u）（23）和m（z，u）=KXk=1fk的平均损失分布m2k（z，u）- m1k（z，u）. （24）第j阶矩mjk（z，u）为mjk（z，u）=√Nρkp2πTM（1- c） Z^Fk-∞d^Vk1-Vk0Fkexp√z^Vk+uk-ρk！TM！！j×exp-^Vk+√cTMuρk2TM（1- c） ρk/N, （25）见【47】。

更改后的变量为^Vk=（ln（Vk（TM）/Vk0）- （uk- ρk/2）TM）/√z和积分（25）^Fk的上界=√zlnFkVk0-uk-ρk！TM！。（26）必须对（22）中的积分进行数值计算。为了进一步说明结果，我们假设同质信贷组合。当所有合约的面值Fk=F和起始值Vk（0）=相同，且基本随机过程的参数（如进化性ρk=ρ和漂移uk=u）相同时，称为同质投资组合。当然，这并不意味着所有资产价值都遵循从t=0到到期日TM的相同路径，因为基础流程是仓促的。人们经常认为，多元化显著降低了信贷组合的风险。在这里提到的背景下，多元化仅仅意味着同一市场上信贷组合中信贷合同数量的增加。大型投资组合的限额分布提供了该论点是否正确的信息。因此，我们考虑规模为K的投资组合→ ∞ 并确定极限分布HPI（L | c，N）K→∞=N/2Γ（N/2）sN2πZ∞dz锌/2-1e级-z/2exp-如新大学|m（z，u）/u | z，u，（27），其中u（L，z）是方程L=m（z，u）的隐式解。（28）我们现在显示了不同K的平均损失分布。该模型取决于四个参数，可通过经验数据进行校准。其中三个，平均漂移u、平均波动率ρ和平均相关系数c可以从数据中直接计算出来。控制波动强度的第四个参数N必须通过拟合数据中的平均资产价值分布来确定。图7显示了correlationaveraged asset Value的最终平均投资组合损失分布hpi（L | c，N）。不同投资组合规模K=10100和K→ ∞ 显示了两种不同的到期时间TM=20个交易日和TM=252个交易日。

对于经验参数的估计，使用1992-2012年期间的标准普尔500指数数据。TM=20个交易日的参数为10-1110102hpi（长碳氮）0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2L10-810-610-410-21102hpi（L | c，N）K=10K=100K→ ∞T=252天st=20天图7：不同投资组合规模K=10、K=100和极限情况K的平均投资组合损失分布→ ∞. 顶部的到期时间为一个月，底部为一年。摘自【48】。N=4.2，u=0.013个月-1，ρ=0.1个月-1/2平均相关系数c=0.26，如顶部所示，对于TM=1年的到期时间，N=6.0，u=0.17年-1，ρ=0.35年-1/2，平均相关系数c=0.28，如底部所示。此外，使用了面值F=75和初始资产价值V=100。总是有一条缓慢减少的粗尾巴。通过增加信贷组合的规模，无法显著降低重大损失的风险。相反，分布迅速收敛到极限分布K→ ∞. 这从根本上减少了多元化的影响。因此，从定量的角度来看，多元化并不适用于资产价值相关的信贷组合。从图像上讲，这种相关性将债务人粘在一起，让他们在某种程度上像一个债务人一样行事。平均相关系数c和参数N的值也影响平均损失分布。平均相关系数c越大，参数N越小，分布的尾部越重，发生重大损失的风险越大。3.3根据不同的市场情况进行调整金融市场的非平稳性意味着市场存在稳定的平静期，以及2008年至2010年的危机期，如图。

1、描述不同时期市场行为的观察值差异很大。因此，损失分布，尤其是其尾部，在不同的市场情况下会发生强烈变化。我们的模型充分理解了这一影响。这些参数，即漂移、波动性、平均相关系数和参数N，可在不同时期进行调整。为了证明基于随机矩阵方法的模型的可调整性，我们考虑了2002-2004年和2008-2010年这两个时期。第一阶段相当平静，而第二阶段包括全球金融危机。我们确定了标准普尔500指数连续交易股票月收益率的平均参数，如表1所示。1、对于每个周期，我们采用相应的参数，并计算估算月的平均时间范围K Ne fffρ（单位：u）-1/2个月-12002-2004 436 5 0.10 0.015 0.302008-2010 478 5 0.12 0.01 0.46表1：用于两个不同时间段的平均参数。摘自【48】。投资组合损失分布，见图8。正如预期的那样，我们发现了一个更为明显的tail0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1010-410-310-210-1100101102hpi（L | c，N）L2008–2010202–2004图8：表中不同参数的平均损失分布。灰线对应2002-2004年的平静期，实线对应2008-2010年的全球金融危机。危机时期的风险。这主要是由于危机时期的平均相关系数增大。因此，我们能够将模型调整到不同的时期。Iteven可以动态调整参数，从而调整尾部行为。此处讨论的环境仅在与危机状态下的市场形势相适应时间接包括雪崩或传染效应。