一种用于检测跨区域显著格兰杰因果关系的自举测试

假设我们对Xt、YT和Wt应用相同的过程，得到静态引导序列ESX*t、 Y型*横截面W*t、 计算这些序列上的无条件和有条件格兰杰因果关系谱等于在随机独立的假设下评估因果关系，因为X的整个s都是随机行为*t、 Y型*横截面W*皮重由X的条件分布解释*t | X*t型-1，Y*t | Y*t型-1，W*t | W*t型-1、在此之前，测试原始序列Xt、YT和WT上计算的每个格兰杰因果关系与频率onX上计算的中位数因果关系*t、 Y型*横截面W*这是一种测试因果关系相对强度的有效方法。让我们考虑^r（ω）=^hY→X（ω），定义为（2.3），其中系数矩阵saj，j=1，k、 误差协方差矩阵∑替换为相应的SUREestimates（Zellner，1962）。我们知道SURE估计^Aj，j=1，k、 是数据的理性函数，因此是可区分的。^ИP（ω）和^∑是^Aj的函数，因此依次为有理函数；与^h（ω）的结果相同。因此，^hY→X（ω），数据有理函数的自然对数，是Fr'echet可微分的。此时，正如Politis et al.（2012）第30页所指出的，即使m edian不是Fr'echted differentiable，也可以作为^hY的引导→X（ω）仍然有效，前提是介质的密度函数（hY→X（ω））为正。因此，根据Politis和Romano（1994）第4.3段，我们可以一致地估计^hY中值分布的任何分位数→努尔假设下的X（ω）。考虑^r（ω）=^hY→X | W（ω），wh ich定义为（2.4），其中系数矩阵和误差协方差矩阵被相应的确定估计所取代，可以进行类似的推理。

这同样适用于^hY的估计差异→X（ω）-^hY→X | W（ω），即除^hY情况外，Fr'echet diffe rentable→X（ω）=^hY→X | W（ω），以零概率成立。我们强调，我们的目的不是表示过程Zt=[Xt，Yt，Wt]的常见多元分布函数f。这个问题是一个估计问题，可以通过参数或剩余引导有效地解决。我们的目标是利用随机过程Z*t=[X*t、 Y型*t、 W*t] 推导bootstrap分位数q*1.-α满足（r*地中海≤ q*1.-α) = 1 - α、 其中α为显著水平，r*medis在随机独立假设下，非条件GC、条件GC或其差异频率的引导中值。由于rmedis Fr'echet可区分，P（r*地中海≤ q*1.-α） 近似一致P（rmed≤ qr，1-α） 作为T→ ∞ 在道德独立的零假设下。更详细地说，假设r是一个Fr'ec het-differentiable functional，也就是说，存在一些影响函数hf，使得r（G）=r（F）+ZhFd（G- F）+o（| | G- F | |），RHFDF=0（| |。| |是最高范数）。我们定义了混合系数αX（k）=supA，B | P（A，B）- P（A）P（B）|其中A和B随{Xt，t产生的σ场中的事件而变化≤ 0}{Xt，t≥ k} 。下面的定理成立。定理2.1假设Xt、yt和wt是分布函数为FX、FY、FW的严格平稳随机变量。假设，对于一些d≥ 0，E（hFX（X）2+d）<∞,PkαX（k）d2+d<∞ andPkkαX（k）1/2-τ< ∞. 进一步假设这些假设也适用于YT和Wt。

然后，如果随机向量Zt=[Xt，Yt，Wt]的分布函数fzo可以分解为FXFYFW，则它保持sp（r（^F*Z）- r（FZ）≤ qr（1- α)) = 1 - 假设T下的任何Fr'echet可微泛函r的α→ ∞.我们参考附录4进行证明。由于我们测试的性质，我们需要排除白噪声中因果关系谱恒定的随机过程。假设Zt是一个具有自协方差矩阵Rj=cov（Zt，Zt）的随机过程-j） ，j∈ Z+。在本文中，我们需要假设，如果在一个延迟j处至少有一个非零因果关系系数∈ Z+，再熔协方差矩阵不是对角的，即影响和原因变量不是不相关的。同时，我们需要假设每个自协方差矩阵rj，j≥ 1，为正定义。我们通过一个例子来阐明所表达的约束。考虑具有以下参数的V AR（1）的情况：∑=diag（1，1），a=0 0.50 0. 根据Wei et al.（2006）第392页，向量AR（1）过程的向量化协方差矩阵为vec（R）=（I- A.（A）-1vec（∑），且滞后k处的向量化自协方差矩阵为vec（Rk）=vec（R）Ak。因此，我们有R=diag（1.25，1），而R，R。是奇异矩阵。例如，如果我们假设=0.5 0.50 0. 在这种情况下，协方差矩阵results R=diag（，1）。我们的程序无法处理此类案件，因为肯定的估计是不一致的。如果基础过程是非平稳的，那么我们的测试在这个病理集合之外达到了100%的能力。

相反，Breitung和Candelon（2006）的测试不太保守，与0.2.3测试程序相比，任何因果关系距离都很明显。我们现在详细报告了与这三种功能相关的测试程序对于功能性^hY→X（ω），我们的引导过程是–模拟N个固定引导序列（X*t、 Y型*t） 给定观察序列（Xt，Yt）。-在每个模拟服务器上（X*t、 Y型*t） ：1。估计（X）上的VAR模型*t、 Y型*t） via SURE使用BIC进行型号选择。2、在傅里叶频率fi=iT，i=1，[T] ，计算hY*→十、*（2πfi）。3、计算中值{fi，i=1，…，T/2}hY*→十、*（2πfi）。-然后，计算quncond，1-α、 （1- α） -步骤3中N个引导序列中引导分布的分位数，其中α是显著水平最后，在每个fi，flag^hY→X（2πfi）如果大于quncond，则为显著值，α对于功能性^hY→X | W（ω），p过程变成–模拟N个固定引导序列（X*t、 Y型*t、 W*t） 给定观察到的系列（Xt、Yt、Wt）。-在每个模拟服务器上（X*t、 Y型*t、 W*t） ：1。估计（X）上的VAR模型*t、 W*t） 和（X*t、 Y型*t、 W*t） 通过SURE使用BIC进行型号选择。2、在傅里叶频率fi=iT，i=1，[T] ，计算hY*→十、*|W* （2πfi）。3、计算中值{fi，i=1，…，T/2}hY*→十、*|W*（2πfi）。-然后，计算qcond，1-α、 （1-α） -步骤3中N个引导序列中引导分布的分位数–最后，在每个fi，flag^hY→如果大于qcond，则X | W（2πfi）为显著值，αo对于功能性^hY→X（ω）-^hY→X | W（ω），p过程是–模拟N个固定自举序列（X*t、 Y型*t、 W*t） 给定观察到的系列（Xt、Yt、Wt）。-在每个模拟服务器上（X*t、 Y型*t、 W*t） ：1。估计（X）上的VAR模型*t、 Y型*t） ，（X*t、 W*t） 和（X*t、 Y型*t、 W*t） 通过Sure使用BIC进行型号选择。2、在傅里叶频率fi=iT，i=1，[T] ，计算hY*→十、*（2πfi）-hY公司*→十、*|W* （2πfi）。3.

计算中值{fi，i=1，…，T/2}hY*→十、*（2πfi）- hY公司*→十、*|W* （2πfi）。-然后，计算qdiff，α和qdiff，1-α、 （α）-和（1）-α） -步骤3中bootstrap分布在N个bootstrap系列中的分位数–最后，在每个fi，flag^hY→X（2πfi）-^hY→如果小于qdiff，α或大于qdiff，则X | W（2πfi）为显著值，1-α.我们提供了一个名为“grangers”的R包，它执行这些例程。此外，我们扩展了我们的框架来测试r（2πfi），i=1，[T] ，跨越频率范围。为了做到这一点，我们应用Bonferr on i校正，也就是说，我们将测试程序应用于每个频率，显著水平为2αT。这样，我们确保总体水平不大于零水平下的α。这种方法是保守的：无论如何，由于VAR过程趋于非平稳，测试仍然具有100%的威力。2.4测试特征和模拟结果为了澄清对结果的解释，我们需要以正式的方式定义“突出”的概念。在显著水平α，给定由基础数据生成过程采样的随机时间序列，如果P{r（ω）>rmed}>1，则任何函数r（ω）都被称为最大显著频率ω- α、 其中rmedis是r（ω）在频率上的中值。因此，当r（ω）最大化时，我们的测试程序的威力接近1。我们将频率ω处的显著性r定义为r（ω）最大显著的预期概率：prom（ω）：P（r（ω）>q1-α). 突出率回答了“r（ω）最大突出的概率是多少？”然后将频率ω下的显著程度定义为dp（ω）：P（r（ω）>rmed）。相反，频率ω处的功率定义为功率（ω）=P（^r（ω）>q1-α). 表示特征方程Det（Ip）的解-Pkj=1AjLj）=0，按λ递减。

，λq，频率ω处的最大功率定义为mp（ω）=lim |λ|→1功率（ω）。对于我们的测试，我们观察到最大ω∈]0,2π]mp（ω）=1。通常，如果大于r，则^r（ω）是显著的*medat a significance levelα。如第2.2节所述，r*MED始终类似于stationarybootstrap的RMEDB。正如预期的那样，我们的测试水平大约等于零下的科森显著水平α，即在所有频率的因果关系为零的情况下（白噪声过程）。现在，我们描述了测试在许多情况下的性能。首先，假设我们以k=1，∑=diag（1，1）的形式（2.1）模拟VAR过程中的100个重复，并且没有因果关系系数。通过BIC标准为每个引导设置选择VAR延迟。我们测试的系数矩阵Ais A1，（jj）=0，0.2，0.5，0.8，1，j=1，2。我们观察到，只要A1，（jj）远离1，在所有傅里叶频率下，估计的水平都低于5%。如果A1，（jj）=1（双随机游走），则根据突出率的形状和突出程度，在低频率下拒绝率增加，直到0.4。我们处理的另一个相关案例是k=1和A1，（j2）=0.5，1，j=1，2。这个过程有一个无条件的因果关系，它随着频率的增加而减少。对于A1，（j2）=0.5（图1），突出度在0.8到0.3之间，所有频率下的抑制率都在5%以上，大约在0.9到0.3之间。对于A1，（j2）=1（图2），最低频率下的功率为1，反映了突出率和突出程度。同样的案例也进行了条件因果关系测试，结果非常相似。现在我们比较无条件因果关系和条件因果关系，它们在所有频率下都为零。对于这两种情况，在所有频率下，拒绝率都低于5%。

如果我们将具有上述形状（A1，（j2）=0.5，1，j=1，2）的因果关系递减进行比较，如果非零系数等于1（双随机游动的极限情况），则最低频率下的射血率倾向于增加到0.4。这种模式反映了优势率的形状和突出程度（图4）。如果我们将无条件零因果关系与参数为0.5和1的递减条件因果关系进行比较，则在所有频率下的拒绝率都在5%以上，在最低频率下分别增加到0.6或1。在后一种情况下，我们存在最大0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6格兰杰-与X频率的因果关系无条件GC0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0拒绝率频率拒绝率NEBC0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0突出率频率优势率0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0突出度图1：k=1，A1，（j2）=的情况0.5，j=1，2。在虚线中，显著性水平α=0.05，中性突出度分别为0.5和0.95。虚线表示BC试验的拒收率。0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.5 0.7 0.9 1.1测距仪-与X频率的因果关系无条件GC0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0拒绝率频率拒绝率NEBC0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0突出率频率优势率0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0突出度图2：k=1，A1，（j2）=的情况1，j=1，2.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1 0 1 2 DifferenceFrequencyDifferenceDifferenceUncd。因果关系。

因果关系0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0拒绝率频率拒绝率2 4 6 8 10 120.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0突出率频率优势率0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0突出度图3：比较无条件和有条件零因果关系。0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1 0 1 2 DifferenceFrequencyDifferenceDifferenceUncd。因果关系。因果关系0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0拒绝率频率拒绝率2 4 6 8 10 120.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0突出率频率优势率0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0突出度图4：比较无条件和有条件递减因果关系A1，（j2）=1。显著的因果关系差异，如承诺程度和承诺率。此外，考虑Breitung和Candelon（2006）第4段中描述的VAR模型。这些模型h的k=3，Ak，（j2）=1，k=1，3，j=1和Ak，（j2）=-2 cos（ω*), k=2，j=1。Su ch系数结构在频率ω处导致零因果关系*. 在这些设置下，我们可以将我们的测试结果与Breitung和Candelon（2006）的“BC测试”结果进行比较，后者以虚线显示。此外，我们测试了结果对协方差矩阵条件数的敏感性，设置∑=diag（1，1），∑=diag（0.2，1），∑=diag（5，1）。如果ω*=π和∑=diag（1，1），我们的抑制率在极端频率下为0.8，在ω下为0.6*, 类似于突出程度的形状（图5）。相反，BC测试显示ω时的拒识率为0.2*, 极端频率为1。设置∑=diag（0.2，1），BC测试的注射率范围为0.7到0.2，而我们的s大约在0.3附近保持不变（图6）。

这是因为X的幅值比Y的幅值小得多，因此X接近于零过程，而潜在的因果关系很小，并且在f个频率上检测到恒定。设置∑=diag（5，1）（图7），两个测试的拒绝率都在1左右，ω处的值为0.3除外*. 这是因为Yi的大小远小于X的大小，因此任何非零因果关系都会被检测为最大优先。将Ak，（22），k=1，3设置为0.25和0.5等于增大变根的幅值，直到极限值为1（非平稳情况）。在这种情况下，我们观察到排斥率的范围随着显著程度的增加而增加，在非平稳情况下达到1。我们的竞争对手能够更好地检测到零因果关系，而正如预期的那样，它能够捕捉到不同频率的显著程度的形状。如果我们设置，如Breitun g和Candelon（2006），ω*= 0, ω*=π, ω*=3π和ω*= π、 我们注意到，正如本文所述，我们的竞争对手不太准确，尤其是前两种情况，因为拒绝率远远高于5%。它对非零因果关系的拒识率为100%，而我们的拒识率类似于突出度的形状，对于零因果关系，它倾向于0，对于ω的情况，具有特定的强度*= 0, ω*= 1.0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.5 1.0 1.5测距仪-与X频率的因果关系无条件GC0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0拒绝率频率拒绝率NEBC0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0突出率频率优势率0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0突出度图5：ω的情况*=π、 Ak，（22）=0，∑=diag（1，1），k=1，3。

降低了BC试验的不合格率。0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.5 1.0 1.5量程-与X频率的因果关系无条件GC0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0拒绝率频率拒绝率NEBC0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0突出率频率优势率0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0突出度图6：ω的情况*=π、 Ak，（22）=0，∑=diag（0.2，1），k=1，3.0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.5 1.0 1.5量程-与X频率的因果关系无条件GC0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0拒绝率频率拒绝率NEBC0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0突出率频率优势率0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0突出度图7：ω的情况*=π、 Ak，（22）=0，∑=diag（5，1），k=1，3。综上所述，我们测试的拒绝率取决于三个因素：oVAR根的大小，这有助于扩大范围。一般来说，当过程更接近非平稳性时，喷射率在低频时受到扰动；o真正的潜在光谱可变性，反过来又取决于因果关系和非因果关系系数之间的关系；o自协方差矩阵Rj，j的条件数≥ 0，这掩盖了潜在的光谱可变性。在表1中，我们报告了Bonferroni校正联合得出的所有因果关系的测试拒绝率。