最优投资消费问题：退休后最小

（3.9）另一方面，最低担保约束在物理和风险中性度量（T；s，s（s），π（·），C）下施加了以下不等式≥ S、 a.S.（3.10）此外，除空策略以外的任何投资策略都会产生非恒定随机终端财富。所以，由于（3.9）和（3.10），当π≡ C、 唯一可接受的投资策略是π≡ 此外，消费率越高，最终财富额越少。这意味着唯一可接受的策略，也就是最优策略，是π=（0，C）。备注3.2。如果X>F（0），从上述论证的第一部分可以清楚地看出，策略π=（0，C）产生了预期的消费和大于目标F的最终财富。然而，由于损失函数（3.1）的第二项，当该区域的终端财富增加时，损失函数增加[F+∞). 因此，在X>F（0）的情况下，此损失函数以及相应的最优控制问题没有意义。如果X<S（0），我们从论证的第二部分得出结论，终端财富的约束不适用于任何可接受的策略。因此，这个问题没有解决方案。推论3.3。下边界的吸收特性表明容许策略∏ad（t，x）的以下等价表示：={π∈ L(Ohm ×【t，t】；[0，L]），π∈ L(Ohm ×【t，t】；[C，C]|π，πareFt- 掠夺。

测量值。，X（s；t，X，π（·），π（·））≥ S（S），t≤ s≤ T a.s.}。（3.11）4 HJB方程由于值函数V的定义，（3.6），Bellman原理在域C上产生以下HJB方程：={（t，x）| t∈ [0，T]，S（T）≤ x个≤F（t）}；参见[25，第11章]，inf（π，π）∈[0，L]×[C，C]{V（t，x）t+～A～V（t，x）+κηt（C- π） }=0，（4.1），其中▄A是扩散过程X的发生器，如（3.2）所示，▄A={（π[u- r] +r）x- π}x+σ（π）xx、 此外，V的定义和上下边界的吸收特性意味着以下边界条件（i）~V（T，x）=ηTF- xaa公司, x个∈ [S，F]，（ii）~V（t，S（t））=ηtF- Saa公司+ κZTtηsds（C- C） ，t∈ [0，T]，（4.2）（iii）~V（T，F（T））=0，T∈ [0，T]。4.1将区域缩小为矩形方程（4.1）的区域不规则，上下边界弯曲。由于我们将应用有限差分法作为算法的一部分，因此我们将应用变量变化，将域转换为矩形。为此，我们定义了异态性L:C→ C、 其中C：={（t，z）| t∈ [0，T]，S≤ z≤ F}和（t，x）→ （t，z）=L（t，x）=（t，L（t，x））：=t、 xer（t-t）+C+（C- C） F（t）- xF（t）- S（t）1.- er（T-t） r.（4.3）请注意，对于所有0≤ t型≤ TL（t，S（t））=S，L（t，F（t））=F.（4.4）然后，我们定义了扩散过程Z asZt：=L（t，Xt）=XtG（t）+H（t），t∈ [0，T]，其中g（T）=er（T-t） +C- CF（t）- S（t）1- er（T-t） r=F- SF（t）- S（t），（4.5）H（t）=C+F（t）（C- C） F（t）- S（t）1.- er（T-t） r=CF- 脑脊液（t）- S（t）e-r（T-t）- 1r。提案4.1。过程Z满足以下动态Cdzt=Xt-（F）- S） （C）- C+r（F- S） ）e-r（T-t） （F（t）- S（t））dt+G（t）[（πt（u- r） +r）Xt- πt]dt+σπtXtdWt+穿越火线- 脑脊液（t）- S（t）e-r（T-t） dt+（CF- CS）（C- C+r（F- S） ）（F（t）- S（t））e-r（T-t）- e-2r（T-t） rdt。（4.6）证明。

由于积规则dZt=XtdG（t）+G（t）dXt+dH（t），并且考虑X的动力学，（2.1），我们直接得到了上述动力学。注意，通过一些操作，我们得到xt=r[F（t）- S（t）]Zt- [CF- CS]（e）-r（T-t）- 1） r（F- S） 。因此，定义函数k（t，z）：=[F（t）- S（t）]F- Sz公司-[CF- CS]（e）-r（T-t）- 1） r（F- S） =K（t）z- K（t），（4.7）我们可以重写动力学（4.6）asdZt=K（t，Zt）G（t）+G（t）[（πt（u- r） +r）K（t，Zt）- πt]+H（t）dt+G（t）σπtK（t，Zt）dWt。（4.8）提案4.2。对于每个（t，z）∈ C、 类似于（3.11）的容许策略集可以写成∏ad（t，z）={π∈ L(Ohm ×【t，t】；[0，L]），π∈ L(Ohm ×【t，t】；[C，C]|π，πareFt- 掠夺。测量值。，Z（s；t，Z，π（·），π（·））≥ S、 t型≤ s≤ T a.s.}，其中我们定义z（s；T，z，π（·），π（·））：=L（s，X（s；T，X，π（·），π（·）），T≤ s≤ T、 其中x=L-1（t，·）（z）。证据根据（4.4）中的关系以及域C的上下边界的吸收特性，可以得到这种表示。我们应该强调，存在等式∏ad（t，z）=∧ad（t，x）。由于上述变量的变化，我们应该使用过程Z在新的域上重新表述我们的随机最优控制问题。类似于（3.5），我们定义了任何（t，Z）∈ C∏ad（t，z），J（t，z，π（·），π（·））：=Ez[κZTtηs（C- πs）ds+ηTF- Z（T；T，Z，π（·），π（·））aa]. （4.9）然后，定义值函数V asV（t，z）：=infπ（·），π（·）∈πad（t，z）J（t，z；π（·），π（·）），（t，z）∈ C、 （4.10）我们在Cinf（π，π）域上得到以下HJB方程∈[0，L]×[C，C]V（t，z）t+AV（t，z）+κηt（C- π)= 0，（4.11），其中，由于动力学（4.8），A是扩散过程Z的发生器，asA=α（t，Z）z+β（t，z）z:=K（t，z）G（t）+G（t）[（π（u- r） +r）K（t，z）- π] +小时（t）z+G（t）σ（π）K（t，z）z、 （4.12）由于在年金化之前，损失函数仅取决于消耗量，因此V的边界条件（4.2）的结论类似。

此外，在刻画对偶变换时，Neumann边界条件atz=F，这在Prop中得到了证明。4.3，需要。因此，V的边界条件写为（i）V（T，z）=ηTF- 扎阿, z∈ [S，F]，（ii）V（t，S）=ηtF- Saa公司+ κ（C- C） ZTtηsds，t∈ [0，T]，（iii）Vz（T，F）=0，T∈ [0，T]，（4.13）（iii）V（T，F）=0，T∈ [0，T]。提案4.3。对于任何t∈ [0，T]，值函数具有左导数atz=F，并且它等于零，Vz（T，F）=0。证据让z∈ （S，F）为初始状态。找到应用策略π=（π，π）=（0，C）的结果，其中C=C+（C-C） F级-采埃孚-S、 对于财富过程（4.8），我们将此策略应用于（3.2），然后使用转换。设x=[L（t，·）]-1（z）是域C中相应的初始状态。表示Xs=X（s；t，X，π（·），π（·）），我们有Xt=X和Xs=Cr+（z-Cr）e-r（T-s） ，s≥ t、 与等式（8.2）一样，我们可以得出结论，过程Zs=L（s，Xs）不会从z级移动，尤其是ZT=z。现在，不等式V（t，z）≤ J（t，z，0，C）和关系V（t，F）=0意味着-κ（C- C） RTtηsds+ηT（F-zaa）F- z≤V（t，F）-V（t，z）F- z≤ 关于C的定义，左侧改写为（F- z） “κ（C- 穿越火线- S） ZTtηsds+ηTaa#，趋向于零，如z↑ F，并得出索赔结论。在下面的命题中，我们声明在变量变化后制定的新的最优控制问题中最优的策略在原始问题中也是最优的。提案4.4。在任意点（t，z）∈ C、 产生函数J（4.9）最小值的策略是问题（3.6）在点（t，x）=（t，L）的最优策略-1（t，·）（z））∈ C、 证明。

注意，在终端时间T，存在等式z（T；T，z，π（·），π（·））=X（T；T，X，π（·），π（·））。因此，我们得到了等式J（t，z，π（·），π（·））=~J（t，x，π（·），π（·）），它简单地总结了这个命题。通过假设一些光滑性，值函数的严格递减性在第4.3小节中得到了证明。然而，递减特性直接来自定义。提案4.5。对于任何t∈ [0，T]和S≤ z<z≤ F、 我们有v（t，z）≥ V（t，z）。证据对于任何容许策略（π，π）∈ πad（t，z），我们有x（t；t，z，π（·），π（·））≤ X（T；T，z，π（·），π（·））。（4.14）注意，两个过程X（·；t，z，π（·），π（·））和X（·；t，z，π（·），π（·））是连续的。所以，如果它们对于一些s是相等的∈ （t，t）那么它们从s开始相等。这一观察结果表明，通过在点（t，z）应用策略（π，π），财富过程将保持高于或等于安全水平s，这意味着该策略属于∏ad（t，z）。现在，由于损失函数（3.3）的定义，不等式（4.14）表明相应的作用函数J也存在类似的不等式，从而得出了索赔结论。4.2粘度解为了证明值函数（4.10）在粘度意义上满足HJB方程（4.11），需要值函数的连续性。为此，我们首先证明它作为空间变量的函数是凸的。提案4.6。对于任何t∈ [0，T]，函数[S，F]→ R+，x→ V（t，x）是三次凸的。证据目标函数J、~J的定义意味着任何0的以下等式≤ t型≤ T和S（T）≤ x个≤ F（t），~V（t，x）=V（t，L（t，x））。（4.15）此外，定义（4.3）表明≤ t型≤ T，函数X→ L（t，x）是线性的。那么，函数x的凸性→V（t，x）和x→ V（t，x）是等效的。

这里，我们证明了前一个函数的凸性。当δ>0时，设π1、δ、x（·）、π2、δ、x（·）和π1、δ、y（·）、π2、δ、y（·）分别为δ-最优控制，对应于点（t、x）和（t、y），或￠J（t、x；π1、δ、x（·）、π2、δ、x（·））≤~V（t，x）+δ，~J（t，y；π1，δ，y（·），π2，δ，y（·））≤V（t，y）+δ。设置Xδs：=X（s；t，X，π1，δ，X（·），π2，δ，X（·））和Yδs：=X（s；t，Y，π1，δ，Y（·），π2，δ，Y（·）），fort≤ s≤ T然后，对于固定γ∈ [0，1]，设置Zδs：=γXδs+（1- γ） Yδ砂π2，δ，zs：=γπ2，δ，xs+（1-γ） π2，δ，ys，我们得到γОV（t，x）+（1- γ） V（t，y）+δ≥ γИJ（t，x；π1，δ，x（·），π2，δ，x（·））+（1- γ） ~J（t，y；π1，δ，y（·），π2，δ，y（·））=γE[κZTtηs（C- π2，δ，xs）ds+ηTF- XδTaa]+ (1 -γ） E[κZTtηs（C- π2，δ，ys）ds+ηTF- YδTaa]≥ E[κZTtηs（C- π2，δ，zs）ds+ηTF- ZδTaa], （4.16）其中最后一个不等式是从x的凸性得到的→ （C）- x） andx→ （F）-xaa）。此外，设置控制π1，δ，zs：=Zδsγπ1，δ，xsXδs+（1-γ） π1，δ，ysYδs, t型≤ s≤ T、 我们从动力学（3.2）得出结论，zδs=X（s；T，γX+（1- γ） y，π1，δ，z（·），π2，δ，z（·））。因此，值函数V的定义表示V（t，γx+（1- γ） y）≤ E[κZTtηs（C- π2，δ，zs）ds+ηTF- ZδTaa]. （4.17）由于δ在（4.16）中是任意的，我们从（4.16）和（4.17）中得出以下不等式，表明x的凸性→V（t，x）~V（t，γx+（1- γ） y）≤ γОV（t，x）+（1- γ） V（t，y）。（4.18）现在，通过矛盾的假设，V不是严格凸的，这意味着（4.18）必须是一个等式。因此，作为δ→ 0，则（4.16）中的最后一个不等式变为等式。然后，从x的严格凸性→ （C）- x） andx→ （F）-xaa），我们得出结论，π2，δ，x（·）→ π2，δ，y（·）a.s.和XδT→ YδTa。s、 ，作为δ→ 0

由于控制变量π2，δ，x，π2，δ，yar是从有界区间[C，C]中选择的，利用支配收敛定理和动力学（3.2），我们得出结论，在风险中性测度下，以下It^o过程的漂移系数是rMs，Ms：=limδ→0（Xδs- Yδs），s≥ t、 因此，贴现过程Ms=e-r（s）-t） Ms，s≥ t、 是一个在风险中性测度下的鞅，初始值为Mt=x- y 6=0。因此，在任何等价测度▄P下，我们有▄P{MT=0}<1或等价▄P{limδ→0XδT6=直线度δ→0YδT}>0，这是一个矛盾。提案4.7。值函数V在域[0，T]×[S，F]上是连续的。证据证据见附录。值函数的连续性支持以下定理。定理4.8。值函数V是具有边界条件（4.13）-（i）-（ii）-（iii）或（4.13）-（i）-（ii）（iii）的HJBEquation（4.11）的唯一粘度解。证据可以很容易地检查微分算子A的系数和运行成本项κηt（C-π） 对于任何固定的控制变量，具有关于变量t和z的连续偏导数。此外，控制变量π、π的值位于紧致区间内。因此，由于值函数的连续性，[13，V.定理3.1]和[13，V.推论3.1]意味着V是（4.11）的粘性解。

此外，[13，V，推论8.1]指出了（4.11）在边界条件（4.13）-（i）-（ii）-（iii）下粘度解的唯一性。此外，由于（4.13）-（i）-（ii）-（iii）中的Dirichlet型和Neumann型边界条件分别位于边界的不连通部分，在z=S和z=F上，我们可以应用[2，定理3.1]在z=F上，得出比较原理，然后得出粘性解的唯一性。4.3经典解和对偶方程要应用验证定理，我们必须证明V∈ C1,2（[0，T）×（S，F）；R）。我们的论点与[9，11]中使用的论点相似。实际上，考虑了HJB方程（4.11）的对偶方程。设方程（4.11）的粘度解V属于C1,2（[0，T），（S，F）；R），这意味着V也是一个经典解。然后，由于V的严格凸性，表示vzz（T，z）>0，（T，z）∈ [0，T]×（S，F），（4.19）产生（4.11）中最大值的投资控制变量由π1给出，*=-(u - r） Vz（t，z）G（t）σK（t，z）Vzz（t，z）。（4.20）此外，由于消耗控制变量必须在区间[C，C]内，我们得到π2，*= （G（t）Vz（t，z）2κηt+C）∨ C、 （4.21）公式（4.21）将域分为两部分：A={（t，z）∈ [0，T）×（S，F）：G（T）Vz（T，z）2κηT+C>C}，（4.22）B={（T，z）∈ [0，T）×（S，F）：G（T）Vz（T，z）2κηT+C≤ C} 。（4.23）现在，将控制变量（4.20）和（4.21）插入（4.11）中，V满足以下经典senseVt（t，z）+（H（t）+K（t，z）G（t）+rK（t，z）G（t）中的方程-CG（t））Vz（t，z）-βVz（t，z）Vzz（t，z）-G（t）Vz（t，z）κηt=0，（t，z）∈ A、 （4.24）Vt（t，z）+（H（t）+K（t，z）G（t）+rK（t，z）G（t）-CG（t））Vz（t，z）-βVz（t，z）Vzz（t，z）+κηt（C）- C） =0，（t，z）∈ B

（4.25）应注意的是，上述两个方程的系数在A和B的共同边界上相同。关系式（4.19）与（4.13）-（iii）表示z（t，z）<0，（t，z）∈ [0，T]×（S，F）。（4.26）此外，我们假设↓SVz（t，z）=-∞, t型∈ [0，T）。（4.27）直觉上，这一假设意味着财富过程接近安全水平时的边际损失非常大，这似乎是合理的。现在，我们准备定义双重转换。关系（4.19），（4.26），（4.13）-（iii）和（4.27）表明，对于每个（T，y）∈ [0，T）×[0+∞),存在唯一的极小化子g（t，y）∈ 函数的（S，F）【S，F】→ R+，z→V（t，z）+zy。此外，其特征在于方程Vz（t，g（t，y））=-y、 （t，y）∈ [0，T）×[0+∞). （4.28）该特征与（4.27）一起暗示（i）g（t，y）∈ （S，F），（ii）石灰→+∞g（t，y）=S，（t，y）∈ [0，T）×（0+∞).（4.29）此外，从（4.19）和（4.28）中，我们得出结论，g在空间变量中是可微的，Gy（t，y）<0，（t，y）∈ [0，T）×（0+∞). （4.30）类似于（4.22）和（4.23）中定义的子集A和B，域[0，T）×（0+∞) 被分成两个子集：A={（t，y）∈ [0，T）×（0+∞) : y<2κηtG（t）（C- C） }，B={（t，y）∈ [0，T）×（0+∞) : y≥2κηtG（t）（C- C） }。在下一个命题中，我们从带边界条件（4.13）-（i）-（ii）-（iii）的完全非线性方程（4.24）（4.25）推导出带边界条件（4.33）的函数g和B的以下方程。gt（t，y）+（β- K（t）G（t）- rK（t）G（t））ygy（t，y）+βygyy- H（t）- K（t，g（t，y））g（t）- rK（t，g（t，y））g（t）+CG（t）-G（t）κηty=0，（t，y）∈ A、 （4.31）gt（t，y）+（β- K（t）G（t）- rK（t）G（t））ygy（t，y）+βygyy- H（t）- K（t，g（t，y））g（t）- rK（t，g（t，y））g（t）+CG（t）=0，（t，y）∈ B、 （4.32）应注意，上述两个方程的系数在A和B的共同边界上相同。

更具体地说，我们有等式CG=CG-该边界上的G（t）κηty。考虑条件（4.13）-（iii），并找到函数z的最小值→ V（T，z）+zy显式地，我们得到以下边界条件：（（i）g（T，0）=F，T∈ [0，T]，（ii）g（T，y）=（F-aay2ηT）∨ S、 y型∈ [0, +∞).（4.33）在这里，我们证明了一个类似于[9，Prop.4.18]的命题。提案4.9。假设（4.11）在边界条件（4.13）-（i）-（ii）-（iii）下的唯一粘度解V属于C1,3类（[0，T）×（S，F）；R）和满足条件（4.27）。设g如上所述。则g是（4.31）-（4.32）在边界条件（4.33）下的经典解。此外，g是（4.29）和（4.30）。相反，设g∈ C（[0，T]×[0+∞); R）∩ C1,2（[0，T）×（0+∞); R） 是（4.31）-（4.32）-（4.33）的经典解，满足（4.29）和（4.30）。此外，假设→+∞ygy（t，y）=0，在t中均匀∈ [0，T），（4.34）[克（T，·）]-1在S+，t可积∈ [0，T），（4.35）和（i） h（t，z）：=RTtκηs（C- C） ds+ηT（F-Saa）-RzS【g（t，·）】-1（ζ）dζ，（t，z）∈ [0，T）×[S，F]，（ii）h（T，z）：=ηT（F-zaa），z∈ [S，F]。（4.36）然后h∈ C（[0，T]×[S，F]）∩ C0,1（[0，T）×（S，F]；R）∩ C1,3（[0，T）×（S，F）；R）。此外，它是具有边界条件（4.13）（i）-（ii）-（iii）和满足条件（4.27）的（4.11）的经典解。证明。让具有边界条件（4.13）-（i）-（ii）-（iii）的（4.11）的唯一粘度解V属于C1,3（[0，T）×（S，F）；R）。然后，V满足条件（4.24）-（4.25）在古典意义上。根据z推导这些方程，分别得出以下关于A和B的方程。Vtz+（KG+rGK）Vz-β2VzVzz- VZVZZZZ+（KG+rGK+H- CG）Vzz-GVzVzz2κηt=0，（4.37）Vtz+（KG+rGK）Vz-β2VzVzz- VZVZZZZ+（KG+rGK+H- CG）Vzz=0。