最优投资消费问题：退休后最小

根据公式（4.61）和（4.62），闭环方程允许解Z*(·) ≡ F和Z*(·) ≡ S分别对应于初始值z=F和z=S。推论4.15。映射Pand P的有界性、关系式（4.65）和上述注释意味着，对于任何（t，z）∈ [0，T]×[S，F]，以下策略是允许的。此外，通过验证和闭环方程定理得出最优性结论。πs=（P（s，Z*（s；t，z）），s∈ [t，t），0，s=t，（4.66）πs=（P（s，Z*（s；t，z）），s∈ [t，t），0，s=t.（4.67）最优策略的唯一性在下面得到证明。命题4.16。在任意点（t，z）∈ [0，T]×[S，F]，上述给定的策略π=（π，π）是唯一的最优策略。证据通过矛盾，让π=（π，π）成为点（t，z）的另一个最优策略。类似于Prop中使用的参数。（4.6），定义X*s： =（Xs+Xs），其中Xs=X（s；t，z，π（·）），π（·）），Xs=X（s；t，z，π（·）），π（·）），和π1，*s： =2倍*s（πsXs+πsXs），π2，*s： =（πs+πs），我们有X*s=X（s；t，z，π1，*(·), π2,*(·)).现在，由于函数x的严格凸性→ （C）- x） 和x→（F）-xaa），得出了以下关于作用泛函的严格不等式，这与策略π和π的最优性相矛盾，[J（t，z；π（·），π（·））+J（t，z；π（·），π（·））]=E[κZTtηs（C- πs）ds+ηT（F）- XTaa）]+E[κZTtηs（C- πs）ds+ηT（F- XTaa）]>E[κZTtηs（C- π2,*s） ds+ηT（F- 十、*Taa）]=J（t，z；π1，*(·), π2,*(·)).根据（4.66）和（4.67），通过将反馈映射应用于闭环方程的解来获得最优策略。因此，最优策略的唯一性决定了闭环方程解的唯一性；有关严格的证明，请参见[9，备注5.4]。5数值算法在第4节中，使用Neumann边界条件（4.13）-（iii）来显示值函数V的规律性。

然而，根据定理4.8，值函数V是（4.11）在条件（4.13）-（i）（ii）-（iii）下的唯一粘度解。因此，为了得到数值函数的近似值，我们可以使用Dirichlet条件（4.13）-（iii）代替Neumann条件（4.13）-（iii）。5.1有限差分法有限差分法用于离散方程（4.11）。时间范围[0，T]被划分为M=T×52等长的子区间t=，一年中一周的长度。此外，当S=z，z，z，·····，zN+1=F时，空间间隔[S，F]是离散的，其步长等于z、 对于时间和空间二阶导数，分别采用正向和中心差分格式。此外，在任何节点，当函数α为非负（负）时，我们对第一空间导数采用前向（后向）方案。因此，表示V（i，j）=V（ti，zj），0≤ 我≤ M、 0个≤ j≤ N+1，方程（4.11）在任意节点（ti，zj）处的离散化，0≤ 我≤ M- 1, 1 ≤ j≤ N，由v（i+1，j）给出- V（i，j）t+infπ，π{a（i，j）V（i，j+1）+b（i，j）V（i，j- 1)- （a（i，j）+b（i，j））V（i，j）+κηti（C- π） }=0，（5.1），其中（i，j）=α（ti，zj）z+β（ti，zj）(z） ，b（i，j）=β（ti，zj）(z） ，当α（ti，zj）时≥ 0，anda（i，j）=β（ti，zj）(z） ，b（i，j）=β（ti，zj）(z）-α（ti，zj）z、 当α（ti，zj）<0时。上述表示清楚地表明，V（i，j+1）和V（i，j）的系数- 1） 是非负的，这意味着我们的方案具有正效率性质；有关该物业的更精确定义，请参见【14，条件4.1】。备注5.1。

应该注意的是，对于下一节中考虑的参数，以及对应于所获得的最优策略，函数α在任何点都是非负的。此外，函数α、β的Lipschitz连续性和损失函数的光滑性满足[13，V，定理8.1]的假设，这意味着方程（4.11）的比较性。众所周知，具有比较性质的正系数数值模式如果在l中是稳定的，则它是收敛的∞规范、单调、一致；参见【3，定理2.1】。我们在下面的命题中展示了这些性质。提案5.2。离散化（5.1）满足∞- 稳定性，kV（i，·）k∞≤F- Saa公司+ κ（C- C） ，0≤ 我≤ M、 （5.2）证明。通过采用最优策略π1，*, π2,*在（5.1）的系数中，我们有0≤ 我≤ M- 1和1≤ j≤ NV（i，j）=V（i+1，j）+ta（i，j）V（i，j+1）+tb（i，j）V（i，j- 1)- t（a（i，j）+b（i，j））V（i，j）+tκηti（C- π2,*). （5.3）我们有| V（i，j）|（1+t（a（i，j）+b（i，j）））≤kV（i，·）k∞t（a（i，j）+b（i，j））+V（i+1，j）+tκηti（C- C） 。（5.4）如果V（i，j）=kV（i，·）k∞= 最大值1≤j≤NV（i，j），然后考虑节点（i，j）的上述不等式，我们得到kv（i，·）k∞(1 + t（a（i，j）+b（i，j）））≤kV（i，·）k∞t（a（i，j）+b（i，j））+kV（i+1，·）k∞+ tκηti（C- C） ，表示skv（i，·）k∞≤ kV（i+1，·）k∞+ tκηti（C- C） 。现在，关于V的终端条件，实现了界（5.2）。此外，边界很容易在边界的上边界和下边界上实现。备注5.3。等式（5.1）中的最小值表明，通过在系数中采用任何可接受的策略，（5.3）中的等式变成了一个仍然产生不等式（5.4）的不等式。

因此，界（5.2）在可容许策略集上一致成立。如果我们用gij（V（i，j），V（i，j+1），V（i，j）表示方程（5.1）的左侧- 1） ，V（i+1，j）），单调性质如下所述。提案5.4。离散格式（5.1）是单调的，即对于任何εi≥ 0，i=1，2，3我们有gij（V（i，j），V（i，j+1）+ε，V（i，j- 1） +ε，V（i+1，j）+ε）- Gij（V（i，j），V（i，j+1），V（i，j- 1） ，V（i+1，j））≥ 0.证明。V（i，j+1），V（i，j）的系数- 1） （5.1）中的V（i+1，j）都是非负的。因此，直接得到了上述不等式。提案5.5。离散化方案（5.1）是一致的，即对于任何光滑的测试函数φ：[0，T]×[S，F]→ R具有关于t和z的所有阶有界导数，表示φij=φ（ti，zj），我们有limt，z→0φt+infπ，π{Aφ+κηt（C- π)}ij公司- Gij（φij，φij+1，φij-1，φi+1j）= 0.证明。由于系数α和β以及φ的导数都限定在域[0，T]×S，F]上，因此使用泰勒级数展开得出以下近似值（Aφ）ij-α（i，j）φij+1- φijz+β（i，j）φij+1- 2φij+φij-1(z） 哦！= O(z） ，则，（Aφ）ij--α（i，j）φij-1.- φijz+β（i，j）φij+1- 2φij+φij-1(z） 哦！= O(z） ，分别对应于一阶导数的正向和反向格式。此外，显然我们有（φt）ij-φi+1j-φijt型= O(t） ，这就结束了该提议。5.2政策迭代法由于（5.1）中的系数取决于控制变量，应用隐式时间步进法在每个时间步产生非线性方程。为了克服这一困难，我们在每个时间步都采用策略迭代法，其中最优策略和值函数是迭代逼近的。值函数在终端时间T已知。

所以，我们在时间上后退，从最后一列t=t开始-域C内的t。在每个列t=ti上，我们以下一个时间步的值函数为起点，向量V（ti+t、 ·），并应用以下算法。策略迭代算法：I）策略改进：对于节点（ti，zj）上的给定值函数，1≤j≤ N、 解决静态优化问题（5.1），分别找到最优投资和消费策略π和π。二） 策略评估：使用步骤（I）中获得的策略π，π，并考虑边界条件（4.13）-（I）-（II）-（iii），求解所有节点（ti，zj）对应的线性系统（5.1），1≤ j≤ N，在t=ti列上查找新的值函数Vnew（ti，·）。三） 收敛标准：如果以下不等式不成立，则返回步骤（I）max1≤j≤NVnew（ti，zj）- Vold（ti，zj）≤ {最大值1≤j≤N | Vnew（ti，zj）|}×10-在下一个定理中，我们证明了迭代策略给出了近似值函数的单调序列。我们的证明是对[26，定理1]中给出的定理的修正。我们将离散表示（5.1）写成矩阵形式。设Vi=V（i，·）为向量，表示t=t（N+2）×（N+2）三对角矩阵上的值函数，其中第一行和最后一行为零，[DiVi]j=a（i，j）Vi（j+1）+b（i，j）Vi（j-1)- （a（i，j）+b（i，j））Vi（j），1≤ j≤ N、 然后我们可以为所有0重写（5.1）≤ 我≤ M- 1 as【I】- tDi]Vi=Vi+1+tEi+Gi- Gi+1，（5.5），其中Ei=κηti（C-π） gi是一个只有一个非零元素的向量，代表V at（ti，S）的边界值。请注意（I- tDi）是一个对角矩阵，其中对角项为正，对角项为负，行和均等于1。这是一个M-矩阵，因此我们有（I- tDi）-1.≥ 0、定理5.6。

对于任何固定列t=ti，策略迭代算法给出了一个单调的向量序列，该序列收敛到Vi.Proof。设W=Vi+1，Wk，k≥ 1是第k次迭代中Viobtained脚背（II）的近似值。然后，从（5.5）中，我们得到了- tDi，k（π1，k，π2，k）]Wk=Vi+1+tEi，k（π1，k，π2，k）+Gi- Gi+1，（5.6），其中，对于任何k≥ 1，（π1，k，π1，k）=argmin（π1，k，π2，k）∈∏adDi，k（π1，k，π2，k）Wk-1+Ei，k（π1，k，π2，k）.（5.7）因此，系数Di、k、Ei、kar在每次迭代中都进行了修改。根据（5.6）并进行一些操作，我们得到- tDi，k+1]（每周+1- Wk）=t型（Di，k+1周+Ei，k+1）- （Di，kWk+Ei，k）.（5.8）构造（5.7）意味着，给定Wk，系数Di，k+1和Ei，k+1产生向量所有元素的最小值（Di，k+1Wk+Ei，k+1）。因此，我们有所有0≤ j≤ N+1（Di，k+1周+Ei，k+1）- （Di，kWk+Ei，k）j≤ 0.现在，因为（I- tDi，k+1）-1.≥ 0，我们从（5.8）中得出结论，向量序列Wk，k≥ 0正在减少。此外，根据备注5.3，序列（Wk）k≥0一致有界。因此，它是收敛的。wk的构造过程意味着它收敛于Vi，即（5.1）的唯一解，它是t=ti时值函数的近似值。6模拟结果为了进行比较，我们假设与[18]和[12]中相同的市场参数。因此，我们假设利率为r=0.03，风险资产的预期回报率和波动率分别为u=0.08和σ=0.15，夏普比率等于β=0.33。此外，我们考虑退休年龄a=60，初始财富x=100。此外，假设计算阶段的长度等于T=15年，这意味着a=75。

考虑到本节给出的死亡率，最大消费率设定为C=6.5155，相当于退休时可购买的终身年金。我们考虑了最低容许消费率的四种情况，即C=C、C=C、C=C和C=C。此外，富裕过程考虑的目标水平F=1.75Ca，安全水平S=0.5Caar，在文献中，这与风险规避的中等水平相对应；参见【18】和【12】。这意味着在我们的环境中，退休人员将获得的最终年金最多为1.75，至少为C的0.5倍。很明显，风险规避程度越高，目标F越高，安全水平越低。我们应该注意到，我们在这项工作中主要关注的是比较允许消费范围的差异。因此，这里的F级和S级是固定的。然而，我们对应于其他风险厌恶水平的模拟结果（此处未报告）表明，结果与中等风险厌恶水平的模拟结果相似。为了模拟最优财富过程，将5000个伪随机数的相同流应用于不同的场景。使用κ=0.5时的模拟最优财富过程，我们在图中给出了最终年金的直方图。图1、图2、图4和图5显示了最佳财富的一些百分位数。图3、图6、图7和图10中的最优投资策略。8、9、11和12。结果表明，当消费的容许范围受到更多限制时，平均而言，投资的风险更高，最终年金更高。此外，图表和柱状图的主要指示是，固定消费情景对应的最终年金和最佳财富过程与其他三种情景对应的最终年金和最佳财富过程之间存在巨大差异。

事实上，我们从结果中得出的结论是，通过假设可变消费率，虽然非常局限于短期内，但我们可以获得更有价值的最终年金和更大的最佳财富数额。κ=0.5和κ=1的最佳消耗率的百分位数如图所示。13-15和图。分别为16-18。我们发现，与C=6.5155相比，消费率比6高出百分之五十，因此并不比C小多少。此外，正如预期的那样，当κ更大时，最佳消费更高。为了对不同情景的结果进行全面比较，我们需要考虑在调整前后现金流的市场现值。年金化前的现金流包括0≤ t型≤ T此外，如果在退休前死亡，我们也会考虑死亡时的累积财富。年金化后的现金流包括终身年金的固定支付，该终身年金是由累积财富在终止时间T购买的。因此，将XT作为时间t的基金价值，现金流的当前价值写为asP。五、 =Zτd∧15e-ρtπtdt+e-ρτdXτd{τd≤15} +Zτdτd∧15Xae-ρtdt，其中τd=～τd- 60，其中τdde表示死亡时间。对于死亡率，考虑了Gompertz-Makeham分布，对于年龄为t的个体，该分布表示为νt=A+BCt。参数A、B和C是比利时监管机构为男性购买的终身年金定价所考虑的参数，如【16】所示。

所以，weassume A=0.00055845，B=0.000025670，C=1.1011。现在假设死亡时间与过滤无关图1：最终年金（C=C）图2：最终年金（C=C）图3：最佳财富（C=C）图4：最终年金（C=C）图5：最终年金（C=C）图6：最佳财富（C=C）图7：最佳财富（C=C）图8：风险投资（C=C）图9：风险投资（C=C）图10：最佳财富（C=C）图11：风险投资（C=C）图12：风险投资（C=C）图13：最优消费（C=C，K=0.5）图14：最优消费（C=C，K=0.5）图15：最优消费（C=C，K=0.5）图16：最优消费（C=C，K=1）图17：最优消费（C=C，K=1）图18：最优消费（C=C，K=1）财务回报，我们得到P。五、 =Zηtπt+ν60+tXtdt+ZTm-60ηtXadt，其中Tm=100被视为最大寿命。表1显示了不同可容许消费范围和不同运营成本（κ=0.25、0.5、0.75和1）下的最终年金和现金流现值的一些统计数据。此外，它还报告了年金化前消费的平均值，以及最终年金大于C的概率，即在退休时可购买的年金。正如预期的那样，当最低可容许消费率降低或相当于可容许消费范围变宽时，我们会得到更有价值的最终年金和更高的现金流。此外，在这种情况下，获得最终年金的可能性会增加。我们在表1中再次看到固定消费率情景C=C的结果与其他三种情景对应的结果之间的显著差异。实际上，当消费率固定时，最终年金的价值就会大大降低。

此外，现金流的现值明显小于可变消费率情景的类似结果。然而，由于在这种情况下，annuitization之前的现金流是恒定的，因此总现金流的偏差较小。对于固定的可接受消费范围，比较与运营成本不同权重相对应的结果，我们发现小体重者的最终年金（平均值较高，标准差较低）非常合理。实际上，当κ较小时，损失函数的第二项所占的权重就越大，这一项基于最终年金。对于固定的允许消费范围，令人惊讶的结果是，当k=0.5时，现金流的最大现值达到。这可以通过同时考虑损失函数的两项来解释。事实上，对于较小的κ（其中损失函数的权重更多地用于最终年金），预计年金化后的现金流会更高。另一方面，对于更大的κ，即更多的权重用于消费，预期年金化之前的现金流会更高。表的最后几行报告消耗量的平均值。正如预期的那样，大κ的平均消耗量更大。值得注意的是，当消费的容许范围变得更加有限或增加时，消费的平均值会略有下降。这种现象可以从到达下边界的概率P rob{XT=S}的结果来解释，因为当范围更有限时，这种概率更高。