最优投资消费问题：退休后最小

（4.38）为了缩短上述两个公式，括号内的变量t和z已被删除。自V起∈ C1,3（[0，T）×（S，F）；R），我们有g∈ C1,2（[0，T）×（0+∞); R） 。现在，通过推导方程（4.28）w.r.t.t，w.r.t.z和两次w.r.t.z，我们得到vtz（t，g（t，y））+Vzz（t，g（t，y））gt（t，y）=0，（4.39）Vzz（t，g（t，y））gy（t，y）=-1，（4.40）Vzzz（t，g（t，y））gy（t，y）+Vzz（t，g（t，y））gy（t，y）=0。（4.41）根据上述关系，我们从方程（4.37）-（4.38）中获得方程（4.31）-（4.32）。此外，边界条件（4.33）以及性质（4.29）和（4.30）已在函数g的构造中得到证明。相反，让g如语句中所示。关系式（4.33），（4.29）和（4.30）清楚地表明函数[g（t，·）]-1对于每一个t∈ [0，T）。此外，定义（4.36）表明∈ C（[0，T]×[S，F]）∩ C0,1（[0，T）×（S，F]；R）∩C1,3（[0，T）×（S，F）；R）。此外，条件（4.33）和定义（4.36）意味着（4.13）-（i）-（ii）-（iii）。导出关于z和关于（4.29）-（ii），（4.27）的方程（4.36）-（i）是用h代替V得到的。现在，通过定义（4.36）-（i）确定h，我们看到h满足（4.28），用h代替V。然后，第一部分的论点表明，h满足es公司（4.39）-（4.40）-（4.41），h代替V。设置z=g（t，y），向后应用证明第一部分的参数，并且由于关系（t，（0+∞)) = （S，F），我们得出结论，h满足方程（4.37）-（4.38），h代替V。因此，通过积分这些关于z的方程，我们得到ht（t，z）+（H（t）+K（t，z）G（t）+rK（t，z）G（t）-CG（t））hz（t，z）-βhz（t，z）hzz（t，z）-G（t）hz（t，z）κηt=C（t），（t，z）∈ A、 （4.42）ht（t，z）+（H（t）+K（t，z）G（t）+rK（t，z）G（t）-CG（t））hz（t，z）-βhz（t，z）hzz（t，z）+κηt（C- C） =C（t），（t，z）∈ B

（4.43）为了得出结论，我们必须证明C（t）=C（t）=0，对于任何t∈ 注意，子集A和B的公共边界是从T=0到T=T的曲线∈ C1,3（[0，T）×（S，F）；R），考虑到该曲线上的上述两个方程，我们得出结论C≡ C、 证明C就足够了≡ 0。由于Cis是一个时间变量函数，对于任何z∈ （S，F），我们可以写ec（t）=ht（t，z）-βhz（t，z）hzz（t，z）+κηt（C- C） +（H（t）+K（t，z）G（t）+rK（t，z）G（t）- CG（t））hz（t，z）。在时间间隔[t，t]内，综合上述方程的两侧，并考虑定义（4.36），我们得到zttc（s）ds=h（t，z）- h（t，z）-βZTthz（s，z）hzz（s，z）ds+ZTtκηs（C- C） ds+ZTtD（s，z）hz（s，z）ds=ηT（F- zaa）- ηT（F- Saa）+ZzS【g（t，·）】-1（ζ）dζ-βZTthz（s，z）hzz（s，z）ds+ZTtD（s，z）hz（s，z）ds，（4.44），其中chd（s，z）=H（s）+K（s，z）G（s）+rK（s，z）G（s）-CG（s）。（4.45）然后，取z↓ 在上述公式中，我们得到zttc（S）ds=limz↓S-βZTthz（s，z）hzz（s，z）ds+limz↓SZTtD（s，z）hz（s，z）ds。（4.46）对于给定（s，y）∈ [0，T）×（0+∞), 设置z（s）=g（s，y）。由于（4.40）和（4.28），我们有hz（s，z（s））hzz（s，z（s））=-ygy（s，y）。关系式（4.29）-（ii）表示z（s）↓ S、 当y→ +∞. 此外，该收敛对于s是一致的∈ [0，T）；（见[9，第4.18款]）。因此，由于条件（4.34）limz，我们得到以下收敛性↓SZTthz（s，z）hzz（s，z）ds=- 石灰→+∞ZTtygy（s，y）ds=0。

（4.47）现在，取z等于（4.45）中的S，关于（4.5）、（4.6）和（4.7）中的公式，我们得到d（S，S）=CF- CSF（s）- S（S）e-r（T-s） +（CF- CS）（C- C+r（F- S） ）（F（S）- S（S））e-r（T-s）- e-2r（T-s） r-S（C- C+r（F- S） ）e-r（T-s） F（s）- S（S）+[CF- CS]（e）-r（T-s）- 1） r（F- S） （F）- S） （C）- C+r（F- S） ）e-r（T-s） （F（s）- S（S））+r[F（S）- S（S）]S（F- S） F级- SF（s）- S（S）-[CF- CS]e-r（T-s） （F）- S） F级- SF（s）- S（S）+[CF- CS]F- 旧金山- SF（s）- S（S）-C（F- S） F（S）- S（S）：=e+e+e+e+e+e+e+e，其中H（S）=e+e，K（S，S）G（S）=e+e，rK（S，S）G（S）=e+e+e。显然，e+e=0，e+e=0。此外，关于身份- S（S）=C- Cr+r（C- C+r（F- S） ）e-r（T-s） ，（4.48）我们得到e=-rS+S（C-C） F（s）-S（S），其屈服强度为e+e+e+e=-rS+S（C- C） F（s）- S（S）+rS+CF- CSF（s）- S（S）-C（F- S） F（S）- S（S）=0。因此，我们有身份D（·，S）≡ 0。由于函数D是连续的，因此此标识意味着limz↓SD（s，z）=0，s∈ [0，T]。此外，关于函数K（4.7）的定义，D是变量z的线性函数。因此，由于函数sin（4.45）的有界性，上述收敛相对于紧区间[0，T]上的s是一致的。另一方面，[g（s，·）]的可积性-1at S+，条件（4.35），表明收敛极限↓Shz（s，z）=-∞ 被积函数D（s，z）hz（s，z）乘以z的线性函数时，速度非常慢，趋向于零，在[0，T]上一致，如z↓ S、 这意味着收敛极限↓SZTtD（s，z）hz（s，z）ds=0。（4.49）由于Cis是一个连续函数∈ [0，T]在（4.46）中是任意的，收敛（4.47）和（4.49）产生恒等式C≡ 0。推论4.10。由于上述命题中给出的函数h是（4.11）的经典解，条件为（4.13）-（i）-（ii）-（iii），因此它也是粘性解。

因此，由于粘度解的唯一性，它等于值函数V。基于上述命题，为了证明价值函数V的所需正则性，我们必须证明存在满足该命题假设的函数g。这是以下定理的主张。定理4.11。存在唯一的g∈ C（[0，T]×[0+∞); R）∩C1,2（[0，T）×（0+∞); R） 这是（4.31）-（4.32）-（4.33）和（4.29）、（4.30）、（4.34）和（4.35）的经典解。证据我们将方程（4.31）-（4.32）写成一个统一的形式，它是域[0，T）×（0+∞),gt（t，y）+u（t，y）gy（t，y）+βygyy（t，y）- q（t）g（t，y）+f（t，y）=0，（4.50），边界条件为（i）g（t，0）=f，t∈ [0，T]，（ii）g（T，y）=ψ（y），y∈ [0, +∞),（4.51），其中u（t，y）=（β- K（t）G（t）- rK（t）G（t））y，q（t）=K（t）G（t）+rK（t）G（t），f（t，y）=-H（t）+（G（t）+rG（t））K（t）+G（t）（C-G（t）2κηty）∨C、 ψ（y）=（F-aay2ηT）∨ S、 粘度溶液的存在。首先，我们证明了上述方程具有唯一的有界粘度解。在第一步中，我们找到方程（4.50）的有界子解和上解。有关这些类型解决方案的定义，请参见【7，第2节】。由于系数u/y、q和f是有界函数，通过取它们的上下界，我们建立了子解和上解。显式公式（4.56）表明，q是一个非负函数，这意味着βy是u的上界。此外，显式公式（4.57）和f∞≤ f、 从他们的定义可以清楚地看出，f是非负的。

因此，设置q=sup0≤t型≤Tq（t），具有条件（4.51）的以下方程的解可被视为方程（4.50）“gt（t，y）+βy”gy（t，y）+βy”gy（t，y）的亚解- q'g（t，y）=0，（t，y）∈ [0，T）×（0+∞).该方程在给定条件下有一个经典解，可以表示为“g（t，y）=aa2ηTe（β-q） （T-t） \'pput（t，y）+S∈ [S，F]，其中“pputis”是行使价格为2ηTaa（F）的欧洲看跌期权的价格- S） 在Black Scholes市场中，风险资产的波动率等于β，无风险资产的即期利率为β。要找到上解，请设置q=β- q、 我们在与（4.51）相同的条件下考虑以下等式。^gt（t，y）+qy^gy（t，y）+βy^gyy（t，y）+f=0，（t，y）∈ [0，T）×（0+∞),其中f=supt，yf（t，y）。该方程的显式解可以写成^g（t，y）=aa2ηTeq（t-t） ^pput（t，y）+S+f（t- t） =（F- S） Φ（k（t，y））-aa2ηTeq（T-t） yΦk（t，y）-β√T- t型+ S+f（T- t） ，（4.52），其中k（t，y）=-对数（aay2ηT（F-S） （）-β（T- t） β√T- t、 Φ是标准正态随机变量的累积分布函数。实际上，^pputis是执行价为2ηTaa（F）的欧洲看跌期权的价格- S） 在Black Scholes市场中，风险资产的波动率等于β，无风险资产的即期利率为q。此外，我们很容易得到^g（t，y）∈ [S，F+英尺]。现在，我们使用[7，定理8.2]来总结有界上下半连续函数类的子解和上解的比较原理。

虽然在这样一个定理中考虑了有界域，但可以直接修改域（0+∞), 正如【13，定理9.1】中对实线所做的那样(-∞, +∞).由于有界子解和上解的存在性以及比较原理，通过应用Perron方法[7，定理4.1]，我们可以得出唯一有界粘性解gvisc的存在性，使得≤ gvisc公司≤ ^gover[0，T）×[0+∞).C1,2溶液的调节性。对于任何0<a<b<+∞, 考虑[0，T）×（a，b）上的方程（4.50），边界条件由粘度溶液gt（T，y）+u（T，y）gy（T，y）+βygyy（T，y）设置- q（t）g（t，y）+f（t，y）=0，g（t，a）=gvisc（t，a），g（t，b）=gvisc（t，b），t∈ [0，T），g（T，y）=gvisc（T，y），y∈ [0, +∞).很明显，上述方程具有唯一的粘度解，该解必须等于gvisc。另一方面，给定区域上的方程具有一致抛物性质，这意味着存在一个属于C1,2（[0，T）×（a，b）；R）的经典解。由于经典解也是aviscoity解，它必须与gvisc一致。现在，从a和b的任意性，我们得出gvisc∈ C1,2（[0，T）×（0+∞); R） 。因此，gvisc是具有边界条件（4.51）的（4.50）的唯一经典解。Feynman-Kac公式和溶液性质。

在证明带条件（4.51）的方程（4.50）具有经典解后，我们可以使用费曼-卡克公式找到该解的概率表示，它具有一些性质g（t，y）=等式[ZTte-Rstq（τ）dτf（s，Yys）ds+e-RTtq（τ）dτψ（T，YyT）]，（4.53）其中，期望在概率测度Q下，使得yy是由方程（dYys=u（s，Yys）ds+β（Yys）dWQs驱动的anIt^o过程，s>T，YyT=y，wq是Q下的布朗运动。由于f和ψ是y的递减函数，我们可以从Fynman-Kac公式得出结论，g相对于y是严格递减的；关系式（4.30）。因此，关系式（4.51）（i）表示g≤ F大于[0，T]×[0+∞).现在，我们的目的是确定当y→ +∞.考虑到f的定义，它对子集Bis的限制是一个函数oft，用f表示∞（t） f级∞（t） ：=-H（t）+（G（t）+rG（t））K（t）+G（t）C.（4.54）此外，很明显，作为y→ +∞, P{s∈ [t，t]：（s，Yys）∈ A}→ 0，对于任何0≤ t型≤ T另一方面，我们有limy→+∞P（ψ（T，YyT）=S）=1。因此，作为y→ +∞, g（t，y）收敛于积分g∞（t） ：=等式[ZTte-Rstq（τ）dτf∞（s） ds+e-RTtq（τ）dτS]。（4.55）为了计算上述积分，函数q和f∞必须明确写入。从q的公式中，我们得到q（t）=K（t）G（t）+rK（t）G（t）=F（t）- S（t）F- S-（F）- S） （C）- C+r（F- S） ）e-r（T-t） （F（t）- S（t））+r=C- CF（t）- S（t），（4.56），其中，在最后一个等式中，关系式（4.48）适用。此外，根据f的公式∞, 我们有∞（t） =-穿越火线- 脑脊液（t）- S（t）e-r（T-t）-（参见- CS）（C- C+r（F- S） ）（F（t）- S（t））e-r（T-t）- e-2r（T-t） r+-（F）- S） （C）- C+r（F- S） ）e-r（T-t） （F（t）- S（t））[CF- CS]（e）-r（T-t）- 1） r（F- S） +射频- SF（t）- S（t）[比照- CS]（e）-r（T-t）- 1） r（F- S） +C（F- S） F（t）- S（t）=b+b+b+b+b。显然，b+b=0。因此，一个简单的操作表明F∞（t） =S（C- C） F（t）- S（t）=Sq（t）。

（4.57）因此，（4.55）变为∞（t） =序号[ZTte-Rstq（τ）dτq（s）ds+e-RTtq（τ）dτ]。（4.58）鉴于不确定的积分计算re-Rstq（τ）dτq（s）ds=-e-Rstq（τ）dτ，我们得到了ztte-Rstq（τ）dτq（s）ds=-e-Rstq（τ）dτ]Tt=-e-RTtq（τ）dτ+1。因此，我们得到以下等式，表示（4.29）-（ii），g∞（t） =S，t∈ [0，T]。现在，我们考虑实际差异g（t，y）- S、 当y非常大时。由于上述恒等式和（4.53），我们可以写EG（t，y）-S=等式[ZTte-Rstq（τ）dτ（f（s，Yys）- f∞（s） ）ds]+等式[e-RTtq（τ）dτ（ψ（T，YyT）- S） ]=d（t，y）+d（t，y）。注意f（s，Yys）=f∞（s） 对于（s，Yys）∈ 带ψ（T，YyT）=S，当YyT≥2ηTaa（F-S） 。所以，根据P的粗略估计{s∈ [t，t]：（s，Yys）∈ A} ，这是有限区间上的退出概率，P{YyT<2ηTaa（F-S） }，这是从对数正态分布获得的，对于足够大的y，我们得到以下上界，d（t，y）<cy，d（t，y）<cy，其中c关心正常数。然后，对于常数c，即大于c+c的大数值，我们得到估计值| g（t，y）-S |<cy，（t，y）∈ [0，T）×（0，∞), （4.59），这意味着可积性条件（4.35）。方程（4.50）的系数满足[21，定理3.1和6.1]的条件，这意味着我们的线性抛物方程，具有凸终端条件ψ，保持凸性。因此，g在变量y中是凸的。从g和（4.30）的凸性，我们得到（g（t，2y）- g（t，y））≤ ygy（t，2y）<0，（t，y）∈ [0，T）×（0+∞).

（4.60）估算值（4.59）表示g（t，y）- g（t，2y）≤cyor g（t，2y）- g（t，y）≥ -cy.因此，关于（4.60），我们有-8cy≤ ygy（t，y）<0，由此得出关系式（4.34）。4.4验证理论在证明值函数是方程（4.24）-（4.25）的唯一经典解之后，我们可以陈述与（4.11）的经典解有关的验证定理，并给出一种测试给定容许策略是否最优的方法。要查看该定理的标准证明，我们请读者参考[13，Ch.IV，定理3.1]。定理4.12。（验证定理）（a）设h∈ C（[0，T]×[S，F]）∩ C1,2（[0，T）×（S，F）；R）是具有边界条件（4.13）-（i）-（ii）-（iii）的（4.11）的经典解。然后，对于任何初始数据（T，z）∈ Cand容许策略π=（π（·），π（·））∈ πad（t，z），我们有h（t，z）≤ J（t，z；π（·），π（·））。（b） 如果存在π*= (π1,*(·), π2,*(·)) ∈ πad（t，z）使得对于任何s≥ t（π1，*s、 π2，*s）∈ arg min{Ah（s，Z*s） +κηs（C- π2,*s） }，其中运算符A在（4.12）和Z中定义*sis对应于策略π的（3.2）的解*, 带Z*t=z，然后是π*是最优策略，h等于值函数，h（t，z）=V（t，z）=J（t，z；π1，*(·), π2,*(·)).在任意点（t，z）∈ [0，T）×[S，F]，我们建立了闭环方程来证明最优策略的存在唯一性。

首先，根据公式（4.20）和（4.21）并使用（4.28）和（4.40），我们得到了以下反馈映射函数gP（t，z）的公式=(-(u-r） [g（t，·）]-1（z）gy（t，[g（t，·）]-1（z））G（t）σK（t，z），（t，z）∈ [0，T）×（S，F），0，（T，z）∈ [0，T）×{S，F}，（4.61）P（T，z）=(-G（t）[G（t，·]-1（z）2κηt+C）∨ C、 （t，z）∈ [0，T）×（S，F），C，（T，z）∈ [0，T）×{F}，C，（T，z）∈ [0，T）×{S}。（4.62）关系式（4.34）表示[0，T）×[S，F]上的泛Pare有界连续函数。对于某些（t，z）∈ [0，T）×（S，F），设y*= [g（t，·）]-1（z）假设是*（·；t，y*) 是（dY）的解决方案*s=-（K（s）G（s）+rK（s）G（s））Y*十二烷基硫酸钠- βY*sdWs，t<s<t，Y*t=y*.（4.63）现在，考虑流程z*（s；t，z）=g（s，Y*（s；t，y*)), s∈ [t，t]。（4.64）由于Y的定义*和g的性质，我们有z*（s；t，z）∈ （S，F），s∈ [t，t]。（4.65）定理4.13。（闭环方程）对于任意（t，z）∈ [0，T）×（S，F），Z*（·；t，z）解出以下与反馈映射Pand P相关的闭环方程，dZ公司*s={K（s，Z*s） G（s）+G（s）[（P（s，Z*s） （u- r） +r）K（s，Z*s）- P（s，Z*s） ]+H（s）}ds+G（s）σP（s，Z*s） K（s，Z*s） dWs，t<s<t，Z*t=z证明。关于定义（4.64）、动力学（4.63）和方程（4.31）、（4.32），并应用It^o公式，得到以下动力学*s=gs（s，Y*s） ds公司- （K（s）G（s）+rK（s）G（s））Y*sgy（s，Y*s） ds+β（Y*s） gyy（s，Y*s） ds- βY*sgy（s，Y*s） dWs公司=(-βY*sgy（s，Y*s） +H（s）+K（s，Z*s） G（s）+rK（s，Z*s） G（s））ds- G（s）((-G（s）κηsY*s+C）∨ C） ds公司- βY*sgy（s，Y*s） dWs。定义（4.64）表示Y*s=【g（s，·）】-1（Z*s） 。因此，关于公式（4.61），（4.62），一个简单的操作可以得到闭环方程。此外，请注意，如果反馈映射替换为（π，π），则闭环方程与方程（4.8）一致。备注4.14。