最优投资消费问题：退休后最小

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英文标题：
《Optimal investment-consumption problem: post-retirement with minimum
  guarantee》
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作者：
Hassan Dadashi
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We study the optimal investment-consumption problem for a member of defined contribution plan during the decumulation phase. For a fixed annuitization time, to achieve higher final annuity, we consider a variable consumption rate. Moreover, to have a minimum guarantee for the final annuity, a safety level for the wealth process is considered. To solve the stochastic optimal control problem via dynamic programming, we obtain a Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation on a bounded domain. The existence and uniqueness of classical solutions are proved through the dual transformation. We apply the finite difference method to find numerical approximations of the solution of the HJB equation. Finally, the simulation results for the optimal investment-consumption strategies, optimal wealth process and the final annuity for different admissible ranges of consumption are given. Furthermore, by taking into account the market present value of the cash flows before and after the annuitization, we compare the outcomes of different scenarios.
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中文摘要：
我们研究了固定缴款计划成员在递减阶段的最优投资消费问题。对于固定的年金化时间，为了获得更高的最终年金，我们考虑可变的消费率。此外，要为最终年金提供最低保障，需要考虑财富过程的安全水平。为了用动态规划方法求解随机最优控制问题，我们在有界区域上得到了一个Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程。通过对偶变换证明了经典解的存在唯一性。我们应用有限差分法寻找HJB方程解的数值近似值。最后，给出了不同允许消费范围下最优投资消费策略、最优财富过程和最终年金的仿真结果。此外，通过考虑年金化前后现金流的市场现值，我们比较了不同情景的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：费问题 Optimization Differential Quantitative Contribution

最优投资消费问题：退休后最低保障哈桑·达达什基础科学高级研究所数学系，赞扬，45137-66731，Irandadashi@iasbs.ac.irAbstractWe研究确定缴款计划成员在递减阶段的最优投资消费问题。在未来的年金化时期，为了获得更高的最终年金，我们考虑可变的消费率。此外，为了为最终年金提供最低保障，还考虑了财富过程的安全水平。为了用动态规划方法求解随机最优控制问题，我们得到了有界域上的哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。通过对偶变换证明了经典解的存在性和唯一性。我们采用有限差分法来寻找HJB方程解的数值近似。最后，给出了不同消费容许范围下最优投资消费策略、最优财富过程和最终年金的仿真结果。此外，通过考虑年金化前后现金流的市场现值，我们比较了不同情景的结果。关键词：固定缴款计划、递减阶段、最终年度担保、HJB方程、政策迭代方法AMS主题分类：60J70、93E20、65N061介绍在这项工作中，重点介绍了固定缴款计划的递减阶段，我们确定了年金化时间，并研究了具有时间依赖性利率的布朗市场模型中的最优投资消费策略。在制定损失函数时，我们考虑了递减阶段的消费目标和终端累积财富目标。

由于避免破产的可能性，有时对回报有最低保证，是养老基金管理中的一个基本问题，出于[12]的动机，我们假设对最终财富有最低保证。在本文中，与现有文献不同，我们假设消费率是可变的。假设在整个下降阶段（通常是一个较长的时期）的消费率是固定的，这远远不是最优的。我们的模拟结果证明，假设一个可变的消费率，尽管受到很大限制，但最终会产生更高的养老金。然而，为了支付退休人员的基本开支，确定消费率的下限是合理的。因此，考虑到预期的消费率，我们假设消费率在两个极限C和C之间变化，其中C>C。为了比较与允许消费范围不同的最佳投资组合[C，C]，我们考虑了年金化前后现金流的市场现值。Gerrard等人[18]研究了退休后的投资组合优化问题，当损失函数由财富过程的目标函数定义，年金化时间和消费率固定时。在[19]中，作者违反了固定消费率假设。在一个类似的框架中，DiGiacinto等人[12]探讨了当假定最终财富的最低保证和消费率固定时的最佳投资策略。在忽略运行成本的情况下，得到了最优策略的封闭形式。对于损失函数的一般形式，在[8]中开发了一种用于找到最优投资策略近似值的数值算法。Gerrard et al。

[20] 研究最佳年金化时间和最佳消费投资策略。Vigna【29】表明，养老基金投资组合优化中基于目标的方法产生的投资组合在均值方差设置方面非常有效。作为我们框架的扩展，年金化时间可以被视为一个控制变量，可以在一定程度上降低年金风险，即高利率时存在的风险。此外，由于在我们的问题中，时间跨度很长，考虑到非恒定利率模型，yieldsa的框架更为现实。假设对最终财富的限制与Di Giacinto等人[12]中的相同，我们认为可变消费率在我们的框架中是一个新颖的概念。此外，我们考虑了基于消耗的损失函数中的运行成本项。为了用动态规划方法求解给定的随机最优控制，我们得到了一个似乎没有显式解的非线性HJB方程。利用对偶变换，我们证明了值函数是充分光滑的，以暗示验证定理。然后，为了获得价值函数和最优投资消费策略的数值近似，我们采用了基于全隐式后向时间有限差分方法的数值格式。此外，为了处理数值过程中出现的代数非线性系统，应用了策略迭代法。

策略迭代法是一种研究得很好的方法，用于寻找最优控制问题的近似解（见[14]、[15]和[27]），其中值函数和策略迭代推导，以收敛于相应HJB方程和最优策略的解。在文献[6]中，这种方法被用于具有交易成本的投资组合选择问题。许多学者研究了退休后的投资组合优化问题，他们考虑了不同的效用或损失函数、不同的控制变量和不同的财富动态。此外，可以假设对控制变量或财富过程的不同约束。我们在这里提到了一些相关的工作。米列夫斯基（Milevsky）和杨（Young）[24]广泛研究了全有或全无（all or nothing）市场以及更一般的anythinganytimes市场中的最优年金化和投资消费问题，其中允许渐进年金化策略。Milevsky等人[23]得出了退休人员的最佳投资和年金策略，其目标是在消费率固定的情况下最小化破产概率。Stabile[28]研究了最优投资消费问题，并通过考虑基于消费和最终年金的不同效用函数，研究了在恒定死亡率下购买年金的最佳时间。Blake等人[4]将退休时的即时年金与退休期间涉及不同股票敞口的分配计划进行了比较。Albrecht和Maurer【1】比较了即时年金和收入提取选项，并确定了在不确定的死亡日期之前资金耗尽的可能性。本文的组织结构如下。在下一节中，我们将详细说明市场模型和控制变量的限制。

在第三部分中，确定了容许策略集、损失函数和价值函数。此外，还确定了财富过程的一些性质和领域。在第4节中，编写了相应的HJB方程，并使用对偶变换证明了解的正则性。在第5节中，我们表达了数值算法，以找到HJB方程解的近似值。最后，在第6节中，给出了最终年金、最优投资消费策略和最优财富过程的模拟结果。此外，为了比较不同情景的结果，显示了相应现金流的当前值。2市场模型我们考虑一个布朗市场模型，该模型由一个有风险和一个无风险的集合组成，其动力学为：dPt=Pt（udt+σdBt），dAt=rAtdt，其中B（·）是过滤概率空间上的布朗运动(Ohm, F、 F，P）和r是固定利率。因此，风险资产是一个几何布朗运动，具有常数的波动率σ和预期收益u=r+σβ，其中β是其夏普比率。在任意时刻t，设πtand 1-πt分别是投资于风险资产和无风险资产的基金投资组合部分。用πt表示此时的消费率，我们有以下财富过程动力学（或基金价值动力学）（dXt={[πt（u- r） +r]Xt- πt}dt+σπtXtdBt，X=X。（2.1）我们将消费率限制在区间[C，C]，其中Cis为预期消费率，通常设置为等于退休时累积财富可购买的年金，Cis为递减阶段的最小容许消费率。此外，投资控制变量π被限制在区间[0，L]内。这意味着卖空是被禁止的。

但是，我们可以从货币市场借入高达基金价值1倍的资金。我们的市场模式可以在多个方向上扩展。在许多其他模型中，Boulier等人[5]考虑了一个随机利率的市场模型。Han和Hung【17】为模型提供了波动率，这对最优策略具有重要影响。Deelstra等人[10]在随机利率框架中，考虑一个由三种资产组成的市场模型，一种是风险资产，一种是无风险资产，另一种是债券。Hainaut和Deelstra【16】研究了当风险资产具有跳跃式扩散动态且经济效用函数被预期现值算子取代时，年金购买的最佳时间。3最优控制问题让衰减阶段用时间间隔[0，T]表示。我们考虑一位年届a的退休人员，他将把年金推迟到a=a+T的年龄。退休人员推迟购买年金的主要目的是达到预期的年金。设F为终端累积财富XT的目标，通过该目标，退休人员可以在A岁时购买所需的年金。换言之，如果Aa是年龄a的单一终身年金的精算值，那么Faa将是期望的年金。此外，在积累阶段，退休人员的部分担忧是消费，他或她希望以最大容许利率C消费。因此，我们将损失函数写成两项。其中一项为运行成本，定义为期中消耗量与预期消耗量的惩罚偏差，加权κ>0。第二个术语写为最终时间与目标年金AAA的惩罚偏差。我们假设死亡率νu，u≥ a、 独立于资产动力学。

所以，表示ηt=e-Rt（r+νs+a）ds，损失函数写为κZTηt（C- πt）dt+ηtF- XTaa公司, （3.1）式中，Xt是方程（2.1）在终点时间的解的值。对于任何0≤ t型≤ T，考虑过滤Ft：=（Fts）s∈[t，t]其中fts是由随机变量（Bu）生成的σ代数-Bt）u∈[t，s]。然后从L中选择策略π（·）和π（·），它们被认为是Ft渐进可测过程(Ohm ×【t，t】；[0，L]）和L(Ohm ×【t，t】；[C，C]）。应该注意的是，对于从这些类别中选择的控件，以下方程具有唯一的强解；参见[22，第5.6.C节]，（dXs={[πs（u- r） +r]Xs- πs}ds+σπsXtdBs，s≥ t、 Xt=x.（3.2），用x（·；t，x，π（·），π（·））表示。为了应用动态规划来寻找使上述损失函数最小化的最优策略，我们必须将随机最优控制问题嵌入一系列具有不同初始时间的问题中。因此，对于任何初始时间0≤ t型≤ 当初始财富x>0时，通过最小化（3.4）中规定的可容许策略集上的以下损失函数，考虑了一个随机最优控制问题，κZTtηs（C- πs）ds+ηTF- X（T；T，X，π（·），π（·））aa. （3.3）本工作框架的主要特点是假设最终年金或相当于终端财富的最低担保。让最终财富金额的安全水平为S，这取决于退休人员的风险规避水平。因此，时间0时的容许策略集≤ t型≤ 当Xt=x时，T减小到∏ad（T，x）：={π∈ L(Ohm ×【t，t】；[0，L]），π∈ L(Ohm ×【t，t】；[C，C]|π，πareFt- 掠夺。测量值。，X（T；T，X，π（·），π（·））≥ S a.S.}。

（3.4）关于损失函数（3.3），对于任何（t，x）∈ [0，T]×R+，定义了容许策略集∏ad（T，x）上的以下目标函数J（T，x；π（·），π（·））：=Ex[κZTtηs（C- πs）ds+ηTF- X（T；T，X，π（·），π（·））aa], （3.5）其中EXS代表Xt=x的期望值。我们的目标是找到可接受的策略，使上述功能最小化。为了通过动态规划解决该随机最优控制问题，定义了以下值函数V（t，x）：=infπ（·），π（·）∈∏ad（t，x）~J（t，x；π（·），π（·））。（3.6）此外，相应的HJB方程将在下一节中详细说明。现在，利用损失函数定义、动态规划和安全水平约束，我们探索了状态过程的一些性质和领域。终端时间的最小担保约束对递减阶段的财富过程施加了相应的约束。实际上，下面的曲线是财富过程的障碍，S（t）=Cr- （Cr- S） e类-r（T-t） ，0≤ t型≤ T、 （3.7）此外，损失函数公式（3.3）表明，在任何时候∈[0，T]，财富金额F（T）=Cr+（F-Cr）e-r（T-t） ，（3.8）通过在时间间隔[t，t]内将整个投资组合投资于无风险资产并以最大利率C消费，确保在终端时间t达到目标F。这里，我们将函数F（·）称为目标函数。上述陈述在以下命题中得到了准确的证明。定理3.1。设具有初始时间t和损失函数（3.3）的随机最优控制问题的初始财富x位于区间[S（t），F（t）]。如果在任何时间∈ [t，t]，财富到达区间[S（S），F（S）]的边界，然后，从该区间开始，最优财富量保持在该边界时间t内。我们称这种边界性质为吸收性质。证据

目标函数公式（3.8）表示df（s）=（rF（s）- C） ds。此外，请注意，采用零投资策略，π≡ 0和最大消费策略，π≡ C、 为财富过程dxs=（rXs）产生相同的动态- C） ds。假设，通过在点（t，x）应用最优策略π=（π，π），财富过程在某个时间s达到目标F（s）∈ [t，t]。上述观察结果表明，点（s，F（s））处的策略（0，C）产生零成本，因此是最优的。另一方面，根据动态规划原理，最优策略π=（π，π）对[s，T]的限制给出了点（s，F（s））的最优策略，即（0，C）。因此，在时间s之后，最优财富过程X（·；t，X，π（·），π（·））将保持在曲线{F（u），s≤ u≤ T}且永远不会超过上部屏障。现在，假设财富量在一个时间S等于S∈ [t，t]，Xs=S（S）。然后通过应用策略π=（0，C），我们得到dXu=dS（u），对于u≥ s、 因此，这种策略使财富过程保持在曲线上{s（u），s≤ u≤T}。我们证明了这是在（s，s（s））点上唯一可容许的策略。对于任何可接受的投资策略π（·），过程yu=X（u；s，s（s），π（·），C），u≥ s、 在风险中性度量下具有以下动态，该度量使风险资产的预期收益等于利率r，dYu=（rYu- C） du+πuYudWu，其中Wu=Bu+u-rσu表示该测度下的布朗运动。因此，让祖=于- S（u），我们有Zs=0，对于S<u<TdZu=rZudu+πu（Zu+Su）dWu，这表明Zu的贴现值，~Zu=e-ruZu，是风险中性测度下的鞅。因此，我们有▄E（▄ZT）=▄E（▄Zs）=0，其中▄edente表示此度量下的期望运算符。该等式表示▄EX（T；s，s（s），π（·），C）=s（T）=s。