最优投资消费问题：退休后最小

此外，每当财富过程到达下边界时，之后的消费率必须处于最低水平。7结论研究了退休后的最优投资消费问题。考虑到最终年金的最低保证，可变消费率和基于消费的损失函数的运行成本项在不规则有界域上产生一个非线性HJB方程。表1：最终年金的分布，消费和现金流C=CC=CC=CC=Cκ=0.25κ=0.25κ=0.25κ=0.5κ=0.5κ=0.75κ=0.75κ=0.75κ=1κ=1 FA平均值9.59 9.43 9.28 5.699.08 8.96 8.858.77 8.67 8.578.54 8.45 8.37 FA的标准偏差2.14 2.24 2.33 2.772.43 2.50 2.50 552.58 2.63 2.672.68 2.71 2.74 PV105.21 104.15 103.25 96.17105.34 104.59 103.92105.06 104.46 103.91104.71 104.22的平均值103.76 PV的标准偏差13.95 13.77 13.49 12.1714.11 14.14 14.0814.12 14.19 14.2114.16 14.18 14.21Prob（FA>C）（）89.62 88.10 86.22 37.4483.72 82.42 80.9880.10 79.08 77.9277.42 76.54 75.76Prob（XT=S）（）1.62 1.94 2.16 6.941.66 2.60 2.861.44 1.94 3.240.94 2.18 3.26平均消耗量5.7752 5.7466 5.7341 6.51555.9869 5.9698 5.95956.0873 6.0756 6.06686.1470 6.1398 6.1330FA=最终AnnuityPV=现值利用对偶方程，证明了经典解的存在唯一性。为了获得HJBequation解的数值近似值，我们采用有限差分方法的后向时间隐式格式。我们的方案具有正系数性质，可以保证收敛到粘性解。为了解决数值格式中出现的非线性问题，采用了策略迭代法。考虑了允许消费范围的四种不同情况。

我们的模拟结果表明，通过假设可变的消费率，虽然受到很大限制，但可以实现更精确的最终年金。此外，还比较了运行成本条件不同权重对应的结果。此外，通过评估年金化前后总现金流量的现值，我们观察到当允许消费范围较宽时，总现金流量的现值较高。我们未来研究的目标是考虑一个具有跳跃扩散动力学的市场模型，这似乎是一个具有挑战性的问题。参考文献[1]P.Albrecht、P.Maurer，《自我年金化、退休消费缺口和资产配置：年金基准》。养老金经济与金融杂志。1(3), (2002) 269-288.[2] G.Barles，《拟线性退化椭圆方程的非线性Neumann边界条件及其应用》，《微分方程杂志》，154，（1999）191-224。[3] G.Barles和P.Souganidis，《完全非线性方程近似格式的收敛性》。渐近分析，4（1991）271-283。[4] D.Blake、A.J.G.Cairns和K.Dowd，《养老金计量学2：分配阶段的随机养老金计划设计》。保险：数学和经济学。33(1), (2003) 29-47.[5] J.F.Boulier，S.Huang，G.Taillard，《随机利率下的最优管理：受保护的固定缴款养老基金案例》。保险：数学和经济学。28(2), (2001) 173-189.[6] T.Chellathurai，T.Draviam，使用非奇异随机最优控制理论的具有固定和/或比例交易成本的动态投资组合选择。《经济动力与控制杂志》，31，（2007）2168-2195。[7] M.Crandall，H.Ishii，P.L.Lions，《二阶偏微分方程粘度解用户指南》，美国数学学会公报27，（1992）1-76。[8] H。

Dadashi，《无破产可能性退休后最优投资策略：数值算法》，计算与应用数学杂志363，（2020）325-336。[9] M.Di Giacinto、S.Federico、F.Gozzi、E.Vigna，《养老金计划递减阶段的限制投资组合》，Carlo Alberto笔记本，155（2010）。[10] G.Deelstra、M.Grasseli、P.F.Koehl，《最低担保下的最优投资策略》。保险：数学与经济33，（2003）189-207。[11] S.Federico，P.Gassiat和F.Gozzi，《财富上当前效用的效用最大化：HJB方程解的正则性》，《金融与随机》19，（2015）415-448。[12] M.Di Giacinto、S.Federico、F.Gozzi、E.Vigna，最低担保收入提取选择权。《欧洲运筹学杂志》，234（3），（2014）610-624。[13] W.Fleming，H.Soner，《受控马尔可夫过程和粘度解》。第二版。Springer Verlag，纽约，2006年。[14] P.Forsyth，G.Labahn，《金融中受控Hamilton-JacobiBellman偏微分方程的数值方法》。计算金融杂志，11（2），（2007）1-44。[15] P.Forsyth，L.Wang，《金融领域HamiltonJacobi Bellman偏微分方程的中心差分最大化利用》。《暹罗数值分析杂志》，46（3），（2008）1580-1601。[16] D.Hainaut，G.Deelstra，《基于Jumpdiffusion fund和随机死亡率的最佳年金时机》。《经济动力学与控制杂志》，44，（2014）124-146。[17] N.-W.Han，M.-W.Hung，《华盛顿特区养老金计划在通货膨胀下的最佳资产配置》。保险：数学与经济学51（1），（2012）172181。[18] R.Gerrard、S.Haberman和E.Vigna，《固定缴款养老金计划退休后的最佳投资选择》。《保险：数学与经济学》，35，（2004）321-342。[19] R.杰拉德、S.哈伯曼和E。

Vigna，明确贡献环境中的减记风险管理。《北美精算杂志》，10，（2006）84-110。[20] R.Gerrard、B.Hojgaard和E.Vigna，选择退休后的最佳年金化时间。《定量金融》，12（7），（2012）1143-1159。[21]S.Janson，J.Tysk，《抛物型方程解的凸性保持》。《微分方程杂志》，206（2004）182-226。【22】I.Karatzas，S.Shreve，《数学金融方法》。Springer Verlag，纽约，1998年。【23】M.A.Milevsky、K.Moore和V.R.Young，最优资产配置和破产最小化年金化策略。《数学金融》，16，（2006）647-671。【24】M.A.Milevsky，V.R.Young，年金化和资产配置。《经济动力学和控制杂志》，31（9），（2007）3138-3177。【25】B.Oksendal，《随机微分方程》。第6版。SpringServerLag，纽约，2003年。[26]D.Pooley，P.Forsyth和K.Vetzal，波动率不确定的期权定价偏微分方程的数值收敛性质。IMA数字分析杂志，23，（2003）241-267。[27]M.S.Santos和J.Rust，策略迭代的收敛性。西亚姆杰。控制优化。，42(6), (2004) 2094-2115.【28】G.稳定、最优年金购买时机：一个随机控制和最优停止的组合问题。《国际理论与应用金融杂志》，9（2），（2006）151-170。[29]E.Vigna，关于DCPension计划中基于均值方差的投资组合选择的效率。量化金融，14（2），（2014）237-258.8附录命题4.7的证明我们遵循[9，命题4.8]中相同陈述的证明步骤。由于在我们的问题中有两个控制变量，并且运行成本终端损失函数基于消耗，因此我们的证明与[9]中的相应证明略有不同。

现有证明中的步骤2、3和5可以应用于我们的问题，无需进行必要的修改。所以，这里我们只需证明步骤1和4。第1步。对于任何固定的≤ z≤ F，我们证明了函数t→ V（t，z）+（C- C） t，（8.1），其中C=C+（C- C） F级-采埃孚-S、 是不减损的。考虑函数：[0，T]→ [S，T]，T→ R（t）=Cr+（z-Cr）e-r（T-t） 。首先，我们证明了l（t，R（t））=z，0≤ t型≤ T、 （8.2）一些操作yieldF（T）- R（t）=（F- z）（C）- C） （1）- e-r（T-t） ）r（F）- z） +e-r（T-t）= （F）- z）（C）- C） （1）- e-r（T-t） ）r（F）- S） +e-r（T-t）,andF（t）- S（t）=（F- S）（C）- C） （1）- e-r（T-t） ）r（F）- S） +e-r（T-t）.所以，我们有f（t）-R（t）F（t）-S（t）=F-采埃孚-S、 因此l（t，R（t））=R（t）er（t-t）+C+（C- C） F（t）- R（t）F（t）- S（t）1.- er（T-t） r=Crer（t-t） +（z-Cr）+C1- er（T-t） r=z。此外，通过应用策略π=0和π=C，可以很容易地检验财富过程将具有与函数r相同的动力学。因此，如果在任何时候0≤ t型≤ 财富量等于R（T），那么它将保持在曲线上{R（s），T≤ s≤ T}。上述观察结果表明，财富过程可以通过产生成本金额（C）的策略从点（t，z）移动到点（t，z- C） （t- t） 。这表明函数（8.1）是非减量的。第2步。函数t→ V（t，z）对于每S是连续的≤ z≤ F第3步。对于任意ε>0，函数V在集合[0，T]×[S+ε，F]上是连续的。第4步。在这一步中，我们要求对于任何固定的0≤ t型≤ T我们证明了在x=S（t）时∧V（t，·）的右连续性，这简单地暗示了这一主张。让财富过程在时间t等于x=S（t）+ε，其中ε为正常数。

通过应用消耗率π≡ Cand零投资策略π≡ 0，财富过程将保持在曲线上（t）=x个-Cr公司er（t-t） +铬，t≤ t型≤ T、 所以，通过应用策略π≡ c任何可接受的投资策略π，过程e-rt公司X（t；t，X，π（·），C）- L（t）, t型≤ t型≤ T、 是风险中性测度下的鞅。因此，我们在风险中性度量下得出以下等式，即：EX（T；T，x，π（·），C）=L（T）=S+εer（T-t） ，（8.3），其收敛到安全水平S，即ε→ 然后，通过使用[9，命题4.8，步骤4]中使用的论点，我们得到了在实际测度一致总体可容许投资策略下的以下收敛性F- X（T；T，X，π（·），C）→ （F）- S） asε→ 0。（8.4）此外，当π6≡ C、 最终财富量小于X（T；T，X，π（·），C）。因此，上述收敛一致地适用于所有容许策略（π，π）∈∏ad（t，x）。现在，我们要估计运行成本损失函数。我们证明了容许消费策略π2，ε（T）的以下收敛性- t） （C）- C）-ZTt（C- π2，εt）dt→ 0，作为ε→ 0。（8.5）显然，为了证明上述收敛性，只需证明（π2，εt- C） dt公司→ 0，作为ε→ 0。（8.6）对于容许策略（π1，ε，π2，ε）∈~ad（t，x），letY（t）=~EX（t；t，x，π1，ε（·），π2，ε（·）），是风险中性度量下财富过程的预期。自π2，ε≥ C、 我们有L（t）≥ Y（t），尽管如此≤ t型≤ T关于这个不等式以及函数Y和L的动力学，我们得到以下不等式L（T）- Y（T）=ZTtr（L（s）- Y（s））ds+ZTt（π2，εs）- C） ds公司≥ZTt（π2，εs- C） ds公司≥ 0。（8.7）从（8.3）中，我们得到L（T）→ S、 asε→ 0

所以，最小保证应变X（T；T，X，π1，ε（·），π2，ε（·））≥ S a.S.，因此Y（T）≥ S、 这意味着左手边趋于零，从而结束收敛（8.6）。现在，（8.4）和（8.5）暗示了权利要求，V（t，S（t）+ε）→V（t，S（t）），单位为ε→ 0、步骤5。双变量函数（t，x）→ V（t，x）在边界[0，t]×{S}处是连续的。